AFA RESUMO TEÓRIO

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 AFA 2011/2012 – RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA 
 
1 
 
APOSTILA DE REVISÃO 
MATEMÁTICA – FRENTE 1 
 
CONJUNTOS 
 
1 - Noções Básicas 
 
Conjunto: é uma coleção de elementos. 
a) vazio: não possui elementos 
b) unitário: possui um único elemento 
c) universo: conjunto que possui todos os elementos 
 
Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A Ax∈⇒ . 
Caso contrário, Ax∉ . 
 
Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a 
um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, BA ⊂ (A está 
contido em B). 
 
Operações com conjuntos: 
a) união: }BxouAx,x{BA ∈∈=∪ 
b) intersecção: }BxeAx,x{BA ∈∈=∩ 
c) diferença: }BxeAx,x{BA ∉∈=− 
 
Complementar: se BA ⊂ então o complementar de A com relação à 
B é o conjunto ABCBA −= . 
 
O número de elementos da união de dois conjuntos pode ser 
obtido pela seguinte relação: )BA(n)B(n)A(n)BA(n ∩−+=∪ 
 
Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de 
A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A 
possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos. 
 
2 – Conjuntos Numéricos 
 
Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
Números racionais: Q = {a/b, com a,b ∈ Z e b ≠ 0} 
Obs: o conjunto dos números racionais é formado por todas as frações 
e por dízimas periódicas. 
 
Números irracionais: são todos os números que não podem ser 
escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I. 
Obs: todas as dízimas não-periódicas são irracionais. 
 
Números reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}. 
 
TEORIA BÁSICA DE FUNÇÕES 
 
Definição: dados dois conjuntos A e B, uma relação f: A→B é 
chamada função quando associa a cada elemento de A um único 
elemento de B. O domínio de f é o conjunto A, o contra-domínio de f é 
o conjunto B e a imagem de f é o subconjunto de B formado por todos 
os elementos que estão em correspondência com os elementos de A. 
 
Classificações 
a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomínio. 
b) injetora: se x1,x2 ∈A, com x1≠x2, então f(x1)≠f(x2). 
c) bijetora: função injetora e sobrejetora 
d) função par: f(x) = f(-x) 
e) função ímpar: f(x) = -f(-x) 
obs: existem funções que não são nem pares nem ímpares. 
 
Função composta: chama-se função composta, ou função de uma 
função, à função obtida substituindo-se a variável independente x por 
uma outra função. 
 
 
 
Função inversa: se f:A→B é uma função bijetora, então existe uma 
função f-1:B→A tal que se f(x)=y ⇒ f-1(y)=x. 
Obs: para determinar a função inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se 
x por y e y por x na expressão. Isolando-se y obtemos então a 
expressão da função inversa de f. 
Exemplo:Sendo f(x) 3x 6= + e = −g(x) log(x) 1encontre as inversas. 
1
y 3x 6
x 3y 6
3y x 6
1y x 2
3
1f (x) x 2
3
−
= +
= +
= −
= −
= −
 
x 1
1 x 1
y log(x) 1
x log(y) 1
log(y) x 1
y 10
g (x) 10
+
− +
= −
= −
= +
=
=
 
 
Função composta com a inversa: se f é uma função inversível então 
1f f (x) x.− =D 
 
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2 
 
 
FUNÇÕES E EQUAÇÕES 
 
1- Função do 1o grau 
 
Definição: f(x) = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico sempre é uma reta. 
 
 
Função decrescente 
 
Função crescente 
 
Zero da função do 1o grau: valores onde f(x) = 0. 
a
bx0bax −=⇒=+ 
 
2- Função do 2o grau 
 
Definição: 2f(x) ax bx c= + + , com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola. 
 
 
 
Zeros da função do 2o grau: ax2+bx+c=0 
a.2
bx
c.a.4b2
Δ±−=
−=Δ
 
Aqui, temos: 
a) se ∆>0: duas raízes reais (o gráfico de f corta o eixo x em dois 
pontos distintos). 
b) se ∆=0: uma raiz real (o gráfico de f tangencia o eixo x) 
c) se ∆<0: duas raízes complexas conjugadas (o gráfico de f não 
passa pelo eixo x). 
Vértice: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−−
a4
;
a2
b 
Função biquadrada: 4 2 2f(x) ax bx c f(x) ay by c= + + ⇒ = + + | 2y x= 
 
3- Função modular 
Definição: 2f(x) x x= = 
 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0xx
0xx
xf
,
,
)( 
Equação modular: uma equação modular é uma equação do tipo 
)x(g)x(f = , onde f(x) e g(x) são funções. Para resolver tais equações 
devemos estudar o sinal de f e aplicar a definição de módulo: 
≥⎧= ⎨− <⎩
f(x), quando f(x) 0
f(x)
f(x), quando f(x) 0
 
= ≥⎧= ⇒ ⎨− = <⎩
f(x) g(x), quando f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x), quando f(x) 0
 
Inequação modular: sendo a 0≥ : 
f(x) a a f(x) a< ⇔ − < < 
f(x) a f(x) a> ⇔ < − ou f(x) a> 
 
4- Função exponencial 
 
Definição: f(x) = ax, onde a é constante positiva. 
 
a) a > 1 
 
f é crescente 
x2>x1 ⇒ y2>y1 
Imagem = IR+ 
 
b) 0<a<1 
 
f é decrescente 
x2>x1 ⇒ y2<y1 
Imagem = IR+ 
 
 
Equação exponencial: são equações que possuem termos com 
expoentes. Observe que a equação ax = 0 não tem solução, isto é, a 
função exponencial não possui raiz. xa 0> x∀ ∈\ 
 
5- Função logaritmo 
 
Logaritmo: se a > 0, a ≠ 1 e b > 0 então baxblog xa =⇔= . 
Conseqüência lógica: = =alog b baa log a b 
Definição: f(x) = loga x. 
a) a>1: 
 
f é crescente 
Imagem = IR 
Domínio = IR+ 
b) 0<a<1: 
 
 
f é decrescente 
Imagem = IR 
Domínio = IR+ 
 
 
Propriedades dos logaritmos 
1) = +a a alog (b.c) log b log c 4) alog
blog
blog
c
c
a = 
2) n m aa
mlog b .log b
n
= 5) a alog b log c b c= ⇔ = 
3) ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠a a a
blog log b log c
c
 
Quantidade de algarismos: tomando-se um número aleatório b com 
n algarismos, temos que: 
10n-1 ≤ b < 10n 
log(10n-1) ≤ log(b) < log(10n) 
n - 1 ≤ log(b) < n 
n ≤ log(b) + 1 < n + 1 
Assim, sendo c a parte inteira do log(b): n = c + 1. 
 
Equação logarítmica: equação do tipo )x(g)x(floga = . Deve ser 
resolvida a partir das propriedades de logaritmos. 
Observação: resolver uma equação é o mesmo que encontrar os 
zeros de uma função. Normalmente, as equações são mistas, ou seja, 
são misturas de várias funções diferentes, o que torna difícil montar 
um modo de resolução específico para cada equação. 
 
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INEQUAÇÕES 
 
Inequação do 2º grau: 2f(x) ax bx c= + + , com a ≠ 0 
 
a < 0 f(x) < 0, x∀ ∈\ ∆ < 0 a > 0 f(x) > 0, x∀ ∈\ 
a < 0 f(x) ≤ 0, x∀ ∈\ ∆ = 0 a > 0 f(x) ≥ 0, x∀ ∈\ 
f(x) < 0, x∀ ∈ 1[ ,x ]−∞ U 2[x , ]+∞ a < 0 
f(x) > 0, x∀ ∈ [x1,x2] 
f(x) > 0, x∀ ∈ 1[ ,x ]−∞ U 2[x , ]+∞ 
∆ > 0 
a > 0 
f(x) < 0, x∀ ∈ [x1,x2] 
 
 Δ < 0 
 a > 0 
 a < 0 + 
_ 
 
 + + 
 Δ = 0 
 _ 
a > 0 a > 0 
 _ 
 
 
 
 a < 0 
 a > 0 
 _ 
+ + +
 Δ > 0 
x1 x2 x1 x2 _ _ 
 
Obs: generalizando para uma equação polinomial de grau n, ao 
percorremos os valores possíveis de x, temos que em toda raiz de 
multiplicidade ímpar há alteração do sinal da função, enquanto em 
raízes de multiplicidade par não há alteração do sinal. 
 
Inequação modular: se a<0: f(x) a> x∀ ∈\ 
se a 0≥ : f(x) a a f(x) a< ⇔ − < < 
f(x) a f(x) a> ⇔ < − ou f(x) a> 
 
Inequações produto e quociente: são inequações que envolvem o 
produto e/ou quociente de funções. É preciso montar um quadro de 
estudo de sinais das funções envolvidas. 
Ex: Sejam 1 2 3 4a,b,c,x ,x ,x ,x ;∈\ a,b > 0; c 0;< 1 2 3 4x x x x ;< < < 
1f(x) a.(x x )= − , 2 3g(x) b.(x x ).(x x )= − − , 1 4h(x) c.(x x ).(x x )= − − e 
f(x).g(x)q(x)
h(x)
= 
- - - - - - - -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - -
x1 
x1 
x2 x3 
x4 
\
\
\
\
f ( x )
g(x )
h(x )
f ( x ).g(x )q(x )
h(x )
=
- - - - - - - -+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
 + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + ++ + + 
 + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - + + + + + + - - - - - -
x1 x2 x3 x4 
 
 
Pelo quadro de sinais acima, sabemos que: 
• 1 1 2x ( ,x ) (x ,x ) q(x) 0∈ −∞ ⇔ >∪ 
• 3 4x (x ,x ) q(x) 0∈ ⇔ < 
• 2 3x {x ,x } q(x) 0∈ ⇔ = 
• q(x) não está definida em x1 e x4 
 
Inequações exponenciais e logarítmicas: 
se a > 1: x na a x n> ⇔ > 
> ⇔ > >a alog f(x) log g(x) f(x) g(x) 0 
k
alog f(x) k f(x) a> ⇔ > e kalog f(x) k 0 f(x) a< ⇔ < < 
 
se 0 < a < 1: x na a x n> ⇔ < 
a alog f(x) log g(x) 0 f(x) g(x)> ⇔ < < 
k
alog f(x) k 0 f(x) a> ⇔ < < e kalog f(x) k f(x) a< ⇔ > 
 
SEQÜÊNCIAS 
 
1- Progressão aritmética 
 
Definição: seqüência na qual a diferença entre dois termos 
consecutivos é sempre constante. 
 
Termo geral: r).1n(aa 1n −+= 
Soma dos n primeiros termos: 
2
n).aa(S n1n
+= 
 
2- Progressão geométrica 
 
Definição: seqüência na qual o quociente entre dois termos 
consecutivos é sempre constante. 
Termo geral: 1n1n qaa
−= 
Soma dos n primeiros termos: 
q1
)q1(a
S
n
1
n −
−= 
Soma de uma PG infinita: 1aS
1 q
= − , onde, |q| < 1 
Dica: representar os termos de uma PA como ..., x r,x,x r− + ,... ou 
..., rx
2
− , rx
2
+ ,... e de uma PG como ..., x ,x,xq
q
,... ou 
..., 2
x. q
q
x. q
q
, x. q , x. q.q ,... pode facilitar a resolução de questões 
de geometria e polinômios onde alguns dados formam seqüências. 
 
Somatório e Produtório: 
n
i 1 2 3 n
i 1
a a a a ... a
=
= + + + +∑ n i 1 2 3 n
i 1
a a .a .a .....a
=
=∏ 
 
 
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4 
 
MATRIZES 
 
Definição: Uma matriz m x n é uma tabela de m.n números dispostos 
em m linhas e n colunas. Se m = n, a matriz é dita matriz quadrada de 
ordem n. Um elemento na i-ésima linha e na j-ésima coluna é indicado 
por ija . Assim, uma matriz m x nA é apresentada como: 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
"
"
# # % #
"
 
 
Exemplo: As matrizes A, B e C abaixo têm tamanhos 
respectivamente, 3 x 2, 3 x 1 e 1 x 4. 
 
4 0
500!37
1
A
i π
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
, 
2
15
23B
e
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, 
32 1 17 2 6
2
C i
⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
Matriz Transposta: Dada uma matriz A, de tamanho m x n, definimos 
a matriz transposta de A, representada por AT, como a matriz de 
tamanho n x m, obtida de A transformando suas m linhas em colunas, 
ou de modo equivalente, suas n colunas em linhas. 
 
Exemplo: 
4 0
4 137500!37 0 500!
1
T iA A
i
ππ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
Igualdade entre matrizes: Duas matrizes são iguais quando têm o 
mesmo número de linhas, o mesmo número de colunas, e seus termos 
correspondentes são iguais. Assim: 
m x n p x q
m = n
p = q
, ,ij ij
A B
a b i j
⎧⎪= ⇔ ⎨⎪ = ∀⎩
 
 
Exemplo: As matrizes P e Q abaixo, ambas quadradas de ordem 3, 
são iguais para todo valor real de x. 
 
2 2
3
11 cos
2
3! |1 2 | 1
1 52 | 5 |
2
x
sen x x
P
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
 e 
0 1
92 log 3 1
6 2 1 45
8 2 5x
Q tg
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − °⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
Adição de matrizes: Dadas duas matrizes A e B, de mesmo tamanho 
m x n, definimos a soma A B+ como sendo outra matriz, também de 
tamanho m x n, cujos termos são a soma dos termos correspondentes 
das matrizes A e B. Assim: 
 
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
n n
n n
m m mn m m mn
a a a b b b
a a a b b b
A B
a a a b b b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
" "
" "
# # % # # # % #
" "
 
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m m m mn mn
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ + +⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
"
"
# # % #
"
 
 
Exemplo: Sejam 
1
2 5
A
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
,
7 5
4 20
B
π−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 .Então, 
8 5
6 3 5
A B
⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
Multiplicação de uma matriz por um número: Dados um número λ e 
uma matriz A, de tamanho m x n, definimos o produto λ.A como sendo 
outra matriz, também de tamanho m x n, onde cada termo é o produto 
do número λ pelo elemento correspondente da matriz A. Assim: 
 
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
n n
n n
m m mn m m mn
a a a a a a
a a a a a a
A A
a a a a a a
λ λ λ
λ λ λλ
λ λ λ
⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇒ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
" "
" "
# # % # # # % #
" "
 
 
Em particular, a matriz (–1).A é dita matriz oposta a A e representada 
por – A. 
 
Exemplo: Se 
1
2 5
A
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
, então 
4 4
4
8 4 5
A
π⎛ ⎞⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e a matriz 
oposta a A é a matriz 
1
2 5
A
π− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
. 
 
Produto de duas matrizes: Dadas duas matrizes A e B, sendo A de 
tamanho m x n, e B de tamanho n x p (ou seja, o número de colunas 
de A deve ser igual ao número de linhas de B), definimos o produto 
A.B como sendo uma matriz de tamanho m x p (ou seja, com o 
número de linhas de A e o número de colunas de B), onde cada 
elemento do produto C = A.B é dado por: 
1 1 2 2
1
n
ij ik kj i j i j in nj
k
c a b a b a b a b
=
= ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅∑ " 
Em outras palavras, o elemento da matriz produto C, na i-ésima linha 
e na j-ésima coluna, é obtido multiplicando-se os elementos 
correspondentes na i-ésima linha da matriz A e na j-ésima coluna da 
matriz B, e depois somando esses n produtos. 
 
Exemplo: Se 
2 0
3 2
1 4
A
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
 e 
7 3
2 1
B
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, então: 
2 0 2 7 0 2 2 ( 3) 0 1
7 3
3 2 3 7 ( 2) 2 3 ( 3) ( 2) 1
2 1
1 4 ( 1) 7 4 2 ( 1) ( 3) 4 1
A B
⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = − ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
14 6
17 11
1 7
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Por outro lado, o produto B A⋅ não está definido, uma vez que o 
número de colunas de B não é igual ao número de linhas de A. 
 
Matriz Nula: A matriz nula de tamanho m x n é a matriz que tem zeros 
em todas as suas entradas. 
 
Exemplo: A matriz nula 2 x 3 é 
0 0 0
0 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
 
Matriz Identidade: A matriz identidade de ordem n é a matriz 
quadrada n x n que tem o número um em sua diagonal principal e zero 
em todas as outras entradas. 
 
Exemplo: A matriz identidade de ordem 3 é 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
 
Matriz Inversa: Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, 
admite inversa, ou é inversível, quando existe uma outra matriz B, 
também quadrada de ordem n, tal que nA B B A I⋅ = ⋅ = , onde In 
denota a matriz identidade de ordem n. Quando tal matriz B existe, ela 
é dita matriz inversa de A e denotada por B = A–1. 
 
Exemplo: As matrizes 
1 3 0
2 2
3 1 0
2 2
0 0 3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A e 
1 3 0
2 2
3 1 0
2 2
10 0
3
B
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
são inversas uma da outra, pois 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A B B A I
⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
 
 
 
 
 
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5 
 
DETERMINANTES 
 
Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a 
um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o 
determinante Dij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M 
quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij. 
 
Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada 
elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j 
.Dij. 
 
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem 
n≥2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) 
pelos respectivos cofatores. 
 
Cálculo do determinante para ordens 1 e 2 ( )
bcaddc
ba
A
dc
ba
A
aaAaA
−==⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
==⇒=
det
det
 
 
Cálculo do determinante para ordem 3 (Regra de Sarrus) 
I - Repetem-se as duas primeiras colunas (ou linhas); 
II - Multiplicam-se os elementos com direções iguais à da diagonal 
principal, atribuindo a estes produtos sinais positivos; 
III - Multiplicam-se os elementos com direções iguais à da diagonal 
secundária, atribuindo a estes produtos sinais negativos; 
IV - A soma algébrica de todos os produtos obtidos corresponde ao 
determinante procurado. 
A = 
a b c
d e f
g h i
 
a b c
d e f
g h i
 
a
d
g
 
b
e
h
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⇒; 
 
 
 
− − − + + + ⇒ det A = aei + bfg + cdh - bdi - afh - ceg 
 
Propriedades 
1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 
 
2) det(A) = det(At). 
 
3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a 
zero, é nulo. 
 
4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, 
ele muda de sinal. 
 
5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais 
é nulo. 
 
6) det(A-1) = 1/det A. 
 
7) det(A.B) = det A.det B 
 
8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então 
det(k.A) = kn. det A 
 
Existência da matriz inversa: Uma matriz A possui inversa se e 
somente se tem determinante não-nulo. 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Sistemas lineares: são sistemas de equações onde o maior expoente 
é 1: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
#####
 
A solução de um sistema linear é uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz 
as m equações acima. 
 
Forma matricial 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
###%##
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
 
 
Sistema Homogêneo: o sistema é chamado homogêneo quando 
b1=b2=...=bn=0. 
 
Classificação de sistemas lineares 
a) possível e determinado: só possui 1 solução; 
b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções; 
c) impossível: não possui soluções. 
Obs: se m≠n, o sistema jamais será possível e determinado. 
 
Sistema de Cramer (ou Normal) 
É todo aquele em que a matriz incompleta dos coeficientes A’ é 
quadrada (m = n) e também det A’ ≠ 0 (D ≠ 0) 
 
Regra de Cramer: 
Todo sistema normal é possível admitindo uma e só uma solução, 
dada por: 
D
Di
i =α , onde Di é o determinante da matriz obtida pela 
substituição da i-ésima coluna pela coluna dos termos constantes. 
 
Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjunto-
solução. 
 
Propriedades: 
1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro 
sistema equivalente; 
2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número 
real K≠0 obtemos um sistema equivalente ao anterior. 
 
Escalonamento: método para resolver sistemas lineares de qualquer 
ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte 
procedimento: 
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 
1º incógnita diferente de zero. 
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos 
todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. 
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema 
se torne escalonado. 
 
Exemplo de sistema escalonado possível e determinado: 
a x a x ... a x b
 a x ... a x b
 ................................
 a x b
11 1 12 2 1n n 1
22 2 2n n 2
mn n n
+ + + =
+ + =
=
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
 
em que aii ≠ 0 , ∀i , 1 ≤ i ≤ n 
 
Observa-se que a matriz incompleta A’ é tal que: 
det A’ = det
 a a ... a
 0 a ... a
 .........................
 0 0 ... a
11 12 1n
22 2n
mn
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
= ≠a a ann11 22 0. .....
 
Logo o sistema é normal e pela regra de Cramer, (S) é possível e 
determinado. 
 
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6 
 
 
APOSTILA DE REVISÃO 
MATEMÁTICA – FRENTE 2 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
1- Potenciação 
 
Definição: seja n um número inteiro diferente de zero. Assim, dado 
um número real a, temos ��
��	�
vezesn
n a...aaa ×××= . 
Propriedades 
1) se 1a0a 0 =⇒≠ 
2) n
n
a
1a =− 
3) nnn b.a)b.a( = 
4) n
nn
b
a
b
a =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
5) mnmn aa.a += 
6) mnm
n
a
a
a −= 
7) m.nmn a)a( = 
 
 
2- Radiciação 
 
Definição: radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, se 
n é um inteiro tal que n > 1, temos: nn abab =⇒= 
 
Propriedades 
1) nn
1
aa = 
2) n mp.n p.m aa = 
3) nnn b.ab.a = 
4) nmm n a = a ⋅ 
 
Racionalização de denominadores: a racionalização de 
denominadores consiste em transformar um denominador irracional, 
indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua 
fração. 
a
a
a
a.
a
1
a
11)
n pn
n pn
n pn
n pn p
−
−
−
== 
( ) ( ) ba b a = b - a b a = b a b a b - a 1 = b- a 1 2) 22 −++++⋅ 
( ) ( ) ba b - a = b - a b - a = b - a b - a b + a 1 = b+ a 1 3) 22 −⋅ 
 
3- Produtos Notáveis 
 
)baba)(ba(ba
)baba)(ba(ba
bb.a.3b.a.3a)ba(
bb.a.3b.a.3a)ba(
bb.a.2a)ba(
bb.a.2a)ba(
)ba)(ba(ba
2233
2233
32233
32233
222
222
22
+−+=+
++−=−
−+−=−
+++=+
+−=−
++=+
−+=−
 
 
4- Aritmética 
 
Teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro pode ser 
decomposto como produto de seus fatores primos. 
 
Máximo divisor comum: maior número inteiro que divide 
simultaneamente uma série de números dados. 
Mínimo múltiplo comum: menor número que é múltiplo 
simultaneamente de uma série de números dados. 
 
Propriedade: )b;a(mmc).b;a(mdcb.a = 
 
5- Regra de Três 
 
Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são 
diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se 
uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção. 
K
Y
X = 
 
Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra 
diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra 
aumenta na mesma proporção. 
KY.X = 
 
Regra de três simples direta: uma regra de três simples direta é uma 
forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais. 
Z
WK
Y
X ==
Z
W.YX
Z
W
Y
X =⇒=⇒ 
 
Regra de três simples inversa: uma regra de três simples inversa é uma 
forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais. 
D.CKB.A == 
B
C
D
AD.CB.A =⇒= 
 
Regra de três composta: regra de três composta é um processo que 
relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente 
proporcionais ou uma mistura dessas situações 
 
Situação Grandeza 1 
Grandeza 
2 ........... 
Grandeza 
n 
1 A1 B1 ........... X1 
2 A2 B2 ........... X2 
 
Aqui, temos dois casos: 
1) se todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza n, 
basta resolvermos a proporção: 
.....2D.2C.2B.2A
.....1D.1C.1B.1A
2X
1X =
 
2) se algumas das grandezas são inversamente proporcionais à grandeza 
n, basta invertermos a posição dessa grandeza. Suponha, por exemplo, 
que a grandeza 2 é inversamente proporcional à grandeza n: 
.....2D.2C.1B.2A
.....1D.1C.2B.1A
2X
1X = 
 
6- Matemática financeira 
Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t é o tempo, C é o 
capital aplicado e M é o montante final (capital + juros). 
 
Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros. 
jCt.i.cCM
t.i.Cj
+=+=
=
 
 
JurosCompostos: após cada período, os juros são incorporados ao 
capital, proporcionando juros sobre juros. 
CMj
)i1.(CM t
−=
+=
 
 
BINÔMIO DE NEWTON 
 
Fatorial: Define-se o fatorial de um número natural n de maneira 
recursiva: 
0! 1
! ( 1)!, 1n n n n
=⎧⎨ = ⋅ − ≥⎩
 
Assim, ! ( 1) 3 2 1n n n= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅" . 
 
Exemplo: 5! 5 4 3 2 1 120= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . 
 
Número binomial: Dados dois números naturais n e k, definimos o 
número binomial 
! , se 
!( )!
0, se 
n n kn
k n k
k
n k
⎧ ≥⎛ ⎞ ⎪ −= ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ <⎩
 
 
Exemplo: 
3
0
5
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
 e 
4 4! 6
2 2!(4 2)!
⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠
 
 
Propriedade: 0 ou
n n
k p k p n
k p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≠ ⇒ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
 
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7 
 
Triângulo de Pascal: Colocando-se os números binomiais não-nulos 
de maneira organizada, segundo a qual os binomiais de mesmo termo 
superior estão na mesma linha, e os binomiais de mesmo termo 
inferior estão na mesma coluna, formamos o triângulo de Pascal. 
%####
14641
1331
121
11
1
 
 
Relação de Stifel: Se somarmos dois termos consecutivos numa 
mesma linha do triângulo de Pascal, o resultado dessa adição é o 
número binomial imediatamente abaixo da segunda parcela, ou seja, 
1
1 1
n n n
p p p
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Esta relação nos dá um método extremamente rápido e eficiente para 
construir o triângulo de Pascal até a linha desejada. 
 
Propriedade: A soma dos elementos da n-ésima linha do triângulo é 
igual a 2n, ou seja, vale a identidade: 
0
2
0 1
n
n
k
n n n n
k n=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ " 
 
Binômios de Newton: são todas as potências da forma ( )na b+ , com 
n natural. 
0
( )
n
n n k k
k
n
a b a b
k
−
=
⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 
 
Exemplo: 3 3 0 2 1 1 2 0 3
3 3 3 3
( )
0 0 0 0
a b a b a b a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
3 2 2 33 3a a b ab b+ + + 
 
Termo geral do binômio: 1
n k k
k
n
T a b
k
−
+
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
Exemplo: Se queremos o terceiro termo do desenvolvimento de 
4( )a b+ , fazemos k = 2 nessa fórmula para obter 
4 2 2 2 2
3
4
6
2
T a b a b−
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Permutações: 
!nP n= 
 
Exemplo: O número de anagramas da palavra UNICAMP é 7! = 5040. 
 
Permutações circulares: 
( 1)!nP n= − 
 
Exemplo: O número de maneiras distintas de dispor sete pessoas 
numa mesa circular é (7 – 1)! = 720 
 
Permutações com elementos repetidos: 
, , !
! !
a b
n
nP
a b
=" " 
 
Exemplo: O número de anagramas da palavra MACACA é: 
3,2
6
6! 60
3!2!
P = = 
 
Arranjos: Faz distinção tanto em relação à ordem quanto em relação 
à natureza dos elementos do conjunto. 
,
!
( )!n k
nA
n k
= − 
 
Exemplo: A quantidade de números de três algarismos que podemos 
formar com os elementos do conjunto {1, 3, 5, 7, 9} é 
5! 60
(5 3)!
=− 
 
Combinações: Faz distinção apenas em relação à natureza dos 
elementos, mas não leva em conta a ordem em que os mesmos são 
dispostos no problema. 
,
!
!( )!n k
n nC
k k n k
⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠
 
 
Exemplo: O número de maneiras de escolher 2 alunos dentre os 40 
presentes em uma sala de aula é dado por 
40
780
2
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
PROBABILIDADE 
 
Definição: A probabilidade de um evento E ocorrer é a razão entre o 
número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. 
( ) F
P
Np E
N
= 
Como 0 F PN N≤ ≤ , temos que 0 ( ) 1p E≤ ≤ . 
 
Exemplo: Ao lançarmos um dado com seis faces, vamos denotar os 
seguintes eventos: 
A – sair o número 2; 
B – sair um número ímpar; 
C – sair o número 7; 
D – sair um número menor que 10. 
Então: 1( )
6
p A = , 1( )
2
p B = , ( ) 0p C = e ( ) 1p D = 
 
Evento União: A probabilidade do evento união de dois eventos, A e 
B, é dada por ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B∪ = + − ∩ . 
 
 
A B 
S 
 
Quando ( ) 0p A B∩ = , temos que ( ) ( ) ( )p A B p A p B∪ = + , e nesse 
caso dizemos que os eventos A e B são disjuntos ou mutuamente 
exclusivos. 
 
Exemplo: No lançamento de um dado de seis faces, seja A o evento 
“número primo” e B o evento “número par”. Temos que {2,3,5}A = e 
{2,4,6}B = , de modo que {2}A B∩ = . Assim, a probabilidade do 
evento união é 1 1 1 5( ) ( ) ( ) ( )
2 2 6 6
p A B p A p B p A B∪ = + − ∩ = + − = . 
 
Probabilidade do Evento Complementar: Se um evento E tem 
probabilidade ( )p E de ocorrer, então seu evento complementar, 
denotado por CE , ocorre com probabilidade ( ) 1 ( )Cp E p E= − . 
 
Exemplo: Refazendo o exemplo anterior de outro modo, considere o 
evento E em que o número que sai no dado não é nem primo nem par. 
Temos que {1}E = , e CA B E∪ = , logo: 
1 5( ) ( ) 1 ( ) 1
6 6
Cp A B p E p E∪ = = − = − = 
 
Probabilidade Condicional: É a probabilidade de ocorrer um certo 
evento A, sabendo já ter ocorrido um outro evento B, ou seja, é a 
probabilidade de ocorrer o evento A, dado que ocorreu B. 
 
 
 
 
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8 
 
Essa probabilidade é denotada por ( | )p A B , e vale: 
( )( | )
( )
p A Bp A B
p B
∩= 
 
Exemplo: Ao lançarmos um dado de seis faces, a probabilidade de 
obtermos o número 2 (evento A), sabendo que saiu um número par 
(evento B) é: 
1
( ) 16( | ) 1( ) 3
2
p A Bp A B
p B
∩= = = . 
 
Olhando esse resultado sob outro aspecto, isso quer dizer que se já 
sabemos que saiu um número par, nosso espaço amostral não mais é 
o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mas sim o conjunto B = {2, 4, 6}, ou seja, o 
espaço amostral foi reduzido, e a probabilidade condicional nos indica 
a chance de obter a face com o número 2 não mais no espaço todo, 
mas no novo espaço amostral B. 
 
Exemplo: Tenho três moedas honestas e uma moeda com duas 
caras. Sorteio, ao acaso, uma dessas quatro moedas e verifico que o 
resultado é cara. Qual a probabilidade de eu ter sorteado uma das 
moedas honestas? 
Chamemos de A o evento sortear uma moeda honesta, e B o evento 
obter cara no lançamento de uma das moedas. Então: 
3 1
( ) 34 2( | ) 3 1 1( ) 51
4 2 4
p A Bp A B
p B
⋅∩= = =
⋅ + ⋅
 
 
Independência de Eventos: Quando o evento A independe da 
ocorrência do evento B, dizemos que A e B são eventos 
independentes. Nesse caso, temos ( | ) ( )p A B p A= , e portanto 
( ) ( ) ( )p A B p A p B∩ = ⋅ . 
 
Ensaios de Bernoulli: Se um evento E tem probabilidade p de 
acontecer num determinado experimento, então ao realizarmos n 
experimentos idênticos, todos nas mesmas condições, a probabilidade 
de que o evento E ocorra exatamente k vezes é dada por: 
(1 )k n k
n
p p
k
−⎛ ⎞ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
Exemplo: Ao lançar um dado de seis faces três vezes seguidas, a 
probabilidade de que o número 6 saia exatamente uma vez é dada por 
1 23 1 5 25
1 6 6 72
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
Exemplo: Ao lançarmos um dado de seis faces três vezes seguidas, a 
probabilidade de que o número 6 saia pelo menos uma vez pode ser 
calculada de duas maneiras. A primeira é pensar que o número 6 sai 
pelo menos uma vez quando ele sai exatamente em uma das três 
vezes, ou quando ele sai exatamente em duas das três vezes, ou 
quando ele sai nos três lançamentos. Assim teríamos: 
1 2 2 1 3 03 3 31 5 1 5 1 5 91
1 2 36 6 6 6 6 6 216
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
A segunda maneira é pensar no evento complementar. O evento 
complementar de “sair o número 6 pelo menos uma vez” é o evento 
“não sair o número 6nenhuma vez”. A probabilidade deste último é 
dada por 
0 33 1 5 125
0 6 6 216
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. Logo, a probabilidade do evento 
complementar vale 125 911
216 216
− = 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Distância de dois pontos 
 
x
y
Ay
Ax Bx
−B Ax x
−B Ay y
By
B
A
d
( ) ( )= − + −2 2B A B Ad x x y y
( ) ( )= ++ +2 2d x you
 
 
Ponto médio 
 
x
y
Ay
Ax Bx
By
B
A
M
My
Mx
( ) + +⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠, ,2 2B A B AM M
x x y yM x y
 
 
Equações da reta 
 
( )
+ + =
− = −
= +
= +⎧⎪⎨ = +⎪⎩
0
.
.
A A
A
A
ax by c
y y m x x
y m x q
x x αt
y y βt
x
y
Ay
Ax Bx
By
B
A
θ
q
( ) −= = =−B AB A
y y βm tg θ
x x α
 (eq. geral) 
 
(eq. reduzida) 
(eq. paramétrica)
 
m: coeficiente angular q: coeficiente linear 
 
Distância de Ponto a Reta 
 
.
( )0 0,P x y ( )0r ax by c+ + =
0 0
, 2 2P r
ax by c
d
a b
+ += +
 
 
Posição relativa entre retas: 
 
- Retas paralelas: 
 r s
// r s
r s
r s
r s m m
m m
r s
q q
⇔ =
=⎧⎪= ⇔ ⎨ =⎪⎩
( ) ( )r s∩ = ∅
( ) ( )r s r s∩ = =
 
 
- Retas concorrentes (não perpendiculares) 
( ) ( ) { }
( )
1 .
r s
r s
r s P
m mtg
m m
θ
∩ =
−= +
r
s
θ
 
- Retas (concorrentes) perpendiculares 
 rs
. ( ) ( ) { }
. 1r s
r s P
r s m m
∩ =
⊥ ⇔ = −
 
 
 
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9 
 
Área do triângulo 
 y
B
A
C
Ay
Cy
By
Ax Bx Cx
x
1
1 1
2
1
ABC
A A
B B
C C
x y
S x y
x y
=+
 
 
Condição de alinhamento de três pontos 
A, B e C estão alinhados se, e somente se =
1
1 0
1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
 
 
Área de polígonos (triangularização de polígonos) 
Dado um polígono P qualquer, uma triangularização de P é uma 
divisão de P em n triângulos T1, T2, ..., Tn , desde que: 
- a união de todos os triângulos é igual ao polígono; e 
- a intersecção deles, dois a dois, seja vazia, uma reta ou um ponto. 
= + + + +1 2 3 ...P T T T TnS S S S S 
Exemplo: 
 
1A
2A
3A
4A
5A
6A
8A
7A
1T
2T
3T
4T
5T
6T
= + + + + +1 2 3 4 5 6P T T T T T TS S S S S S S
 
 
Equação Da Circunferência 
 y
Cy
Cx
x
r ( ) ( )2 2 2C Cx x y y r− + − =
 
Obs: uma equação na forma + + + + + =2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F 
representa uma circunferência de centro ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠,2 2
D E
A A
 e raio 
+ −=
2 2D E 4AFr
2A
, desde que = ≠ 0,A C = 0B e + − >2 2D E 4AF 0 
 
CÔNICAS 
 
ELIPSE: Dados dois pontos F1 e F2 distantes 2c. Uma elipse de focos 
em F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y) cuja soma das distâncias a 
F1 e F2 é constante e igual a 2a, com 2a > 2c. 
 
( )−1A a,0 ( )2A a,0( )−1F c,0 ( )2F c,0
( )1B b,0
( )−2B b,0
y
x
a a
O
= +2 2 2a b c
= <ce 1
a
 
O: centro F1, F2: focos A1, A2, B1, B2: vértices A1A2: eixo maior (2a) 
B1B2: eixo menor (2b) F1F2: distância focal (2c) e: excentricidade 
 
Equações reduzidas – centro em (x0, y0) 
- A1A2 // Ox: 
( ) ( )− −+ =
2 2
0 0
2 2
x x y y
1
a b
 
- A1A2 // Oy: 
( ) ( )− −+ =
2 2
0 0
2 2
y y x x
1
a b
 
 
HIPÉRBOLE: Dados dois pontos F1 e F2 distantes 2c. Uma hipérbole 
de focos em F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y) cujo módulo da 
diferença das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a, com 
2a<2c. 
( )−1A a,0 ( )2A a,0
( )−1F c,0 ( )2F c,0
( )1B b,0
( )−2B b,0c
x
y = +2 2 2c a b
= >ce 1
a
O
 
O: centro F1, F2: focos A1, A2: vértices e: excentricidade 
A1A2: eixo real (2a) B1B2: eixo imaginário ou conjugado (2b) 
F1F2: distância focal (2c) 
 
Equações reduzidas – centro em (x0, y0) 
- A1A2 // Ox: 
( ) ( )− −− =
2 2
0 0
2 2
x x y y
1
a b
 
- A1A2 // Oy: 
( ) ( )− −− =
2 2
0 0
2 2
y y x x
1
a b
 
 
PARÁBOLA: Dados um ponto F e uma reta d (F∉d). Uma parábola é 
o conjunto dos pontos P(x,y) eqüidistantes de F e d. 
 
x
y
V
d
( )F p 2,0
( )−p 2,0V '
= =
⊥
pV ' V VF 2
e d
e
 
F: foco V: vértice V’F: p – parâmetro e: eixo de simetria 
 
Equações reduzidas – centro em (x0, y0) 
- e // Ox: ( ) ( )20 0y y 2p x x− = − 
- e // Oy: ( ) ( )20 0x x 2p y y− = − 
 
RECONHECIMENTO DE UMA CÔNICA 
Dada uma equação do 2o grau redutível à forma 
( ) ( )
1
k
y-y
k
x-x
2
2
0
1
2
0 =+ 
k1 = k2 Circunferência 
k1>0, k2>0 e k1>k2 Elipse de eixo maior horizontal 
k1>0, k2>0 e k1<k2 Elipse de eixo maior vertical 
k1>0 e k2<0 Hipérbole de eixo real horizontal 
k1<0 e k2>0 Hipérbole de eixo real vertical 
 
Rotação de eixos 
As coordenadas de um ponto P(x,y) após a rotação de eixos de 
um ângulo θ são dadas por (x`,y`) tais que 
x = x`.cosθ - y`.senθ y = x`.senθ + y`.cosθ 
 
Interpretação de uma equação do 2o grau 
Dada a eq. geral do 2o grau: 
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 
é sempre possível eliminar o seu termo retângulo (2Bxy) através 
de um rotação de eixos de um ângulo θ tal que 
A = C Æ θ = π / 4 A ≠ C Æ tg 2θ = 2B/(A – C) 
 
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10 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Definição: são todos os números na forma z = a + b.i, com a,b ∈ IR e 
i é a unidade imaginária, com i2 = -1. Também são representados na 
forma z = (a, b), como um par ordenado de números reais. 
Obs: se b = 0, o número z é um número real; se a = 0 e b ≠ 0, o 
número z é chamado imaginário puro. 
 
Conjugado: i.baz −= 
 
Módulo: 22 ba|z| += 
Forma trigonométrica: 
)sen.i.(coszz α+α= 
Obs: o ângulo α é chamado 
argumento do número 
complexo, e é medido a 
partir do eixo real no sentido 
anti-horário. 
 
 
0
Im(z) 
b P (z a bi)= +
 θ 
a Re(z)
|z| 
 
 
Forma exponencial: α= ie.zz 
 
Operações com números complexos 
Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i: 
21
21
i).db()ca(zz
i).db()ca(zz
−+−=−
+++=+
 
22
21
2
1
21
z.z
z.z
z
z
i)bcad()bdac(zz
=
++−=
 
dica: use a propriedade distributiva na multiplicação 
 
Multiplicação e divisão na forma trigonométrica 
)sen.i(coszz
)sen.i(coszz
β+β=
α+α=
22
11 
)](sen.i).[cos(
z
z
z
z
)](sen.i).[cos(z.zz.z
β−α+β−α=
β+α+β+α=
2
1
2
1
2121
 
 
Potenciação e radiciação: se z = |z|.(cos θ+ i. sen θ) e n é um 
número inteiro então: 
θ+θ= )]n(sen.i)n[cos(zz nn
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+θ=
n
ksen.i
n
kcos.zz nn 22
 
Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo z é resolver a 
equação rn = z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes. 
Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equação acima, encontramos, 
para cada k, uma raiz diferente, formando um polígono regular de n 
lados no plano de Gauss. 
Exemplos: 
( ) ( )3
3
z 27 27. cos i.sen
2k 2k 2k 2kz 27 cos i.sen 3 cos i.sen
3 3 3 3
π π
π π π π π π π π
⎡ ⎤=− = +⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = +⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Com k = 0, 1, 2 
Im(z)
-3 
2
3
π 
2
3
π 
2
3
π
3
π
Re(z) 
 
[ ]6
6
z 1 1. cos( ) i.sen( )
2k 2kz 1. cos i.sen
6 6
k kz cos i.sen
6 3 6 3
π π
π π π π
π π π π
=− = +
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥= +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Com k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 
Im(z) 
Re(z)
3
π 
3
π 
3
π 3π 
3
π 
3
π 
6
π
1 
-1 
 
 
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
Definição de polinômio: seja n um número natural. Um polinômio de 
grau n é toda expressão do tipo 
n
nxaxaxaaxP ++++=...)( 2210 , 
onde os valores a0, a1, ..., an são constantes. 
Exemplos: 
1
2
2
3 2
3
2
4
2
5
2
2 3 1
2 12 24 16
2 2
2 1
= −
= − +
= − + −
= − +
= − −
P ( x ) x
P ( x ) x x
P ( x ) x x x
P ( x ) x x
P ( x ) x ix
 
 
Polinômios idênticos: dois polinômios são idênticos quando seus 
termos correspondentes são iguais. 
Exemplo: 
a
ax bx cx d x x b
c d
=⎧⎪+ + + = − ⇔ = −⎨⎪ = =⎩
3 2 3 2
1
1
0
 
 
Polinômio identicamente nulo: um polinômio é identicamente nulo 
quando P(x) = 0, independente do valor de x. Nesse caso, todos os 
coeficientes de P são nulos. 
Exemplo: 10 0 0 0−= + + + =n nP( x ) x x ... 
 
Equação polinomial ou algébrica: uma equação algébrica é um 
polinômio igualado a zero, ou seja: 
0...2210 =++++ nn xaxaxaa . 
Assim, resolver uma equação algébrica é o mesmo que encontrar as 
raízes de um polinômio. 
 
Teorema fundamental da álgebra: se P(x) é um polinômio de grau n 
então ele possui n raízes (reais ou complexas), e pode ser fatorado 
em: 
))...()(()( 21 nn rxrxrxaxP −−−= 
onde r1, ..., rn são as n raízes desse polinômio. 
Exemplos: 
2
2
3 2 3
3
12 3 1 2 1 2
2 12 24 16 2 2
= − + = − −
= − + − = −
P ( x ) x x ( x )( x )
P ( x ) x x x ( x )
 
 
 
 
 
 
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11 
 
Teorema das raízes complexas: se P(x) é um polinômio com 
coeficientes reais e o número complexo a + bi é raiz de P(x) então seu 
conjugado, a – bi, também é raiz. 
Exemplo: Relembrando o teorema fundamental da álgebra temos: 
( )( ) ( )( )P ( x ) x x x i x i= − + = − + − −24 2 2 1 1 
Note que o polinômio P ( x ) x ix= − −25 2 1 admite x i= como raiz, mas 
não admite seu conjugado, ( P ( i )− = −5 4 ). O Teorema das raízes 
complexas só é válido para polinômios com coeficientes reais. 
 
Divisão de polinômios: dividir um polinômio P(x) por um polinômio 
D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) 
que satisfaçam a condição P(x) = Q(x).D(x) + R(x). 
)( R(x) 
 D(x) )( 
xQ
xP
 
Nota: Sendo n, d, r e q o grau dos polinômios P(x), D(x), R(x) e Q(x), 
respectivamente. Temos que r d= −1 e n d q= + . 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: receita de bolo para a divisão 
de P(x) por (x-a): 
..... 1
011
−
−
+ nnn
nn
aaaa
aaaaa "
 
Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o 
esquema acima; 
Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente; 
Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o 
segundo coeficiente; 
Passo 4: faz-se a mesma coisa com o número obtido no passo 
anterior, até o último coeficiente; 
Passo 5: o último número obtido é o resto da divisão, enquanto os 
outros são os coeficientes do polinômio Q(x). 
 
Exemplos: Encontre Q(x) e R(x) da divisão de: 
a) 3P (x) ( )3 22x 12x 24x 16= − + − por 1P (x) ( )x 2= − . 
 
2 2 -12 24 -16
 2 -8 8 0 
2
3 2 2Q(x) 2x 8x 8 2x 12x 24x 16 (2x 8x 8).(x 2) 0
R(x) 0
⎫= − + ⎪⇒ − + − = − + − +⎬= ⎪⎭
 
b) 4P (x) ( )2x 2x 2= − + por (x 1)− 
 
1 1 -2 2 
 1 -1 1 
 
2Q(x) x 1 x 2x 2 (x 1).(x 1) 1
R(x) 1
= − ⎫⇒ − + = − − +⎬= ⎭ 
 
Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a). 
De fato, 3P (2) 0= e 4P (1) 1= . 
 
Generalizando: Na divisão de P(x) por um polinômio D(x) de grau n 
podemos obter R(x), de grau n −1, utilizando as raízes de D(x) na 
equação P( x ) D( x ).Q( x ) R( x )= + . Assim, para o obter os coeficientes 
0 1 n-1a ,a ,..., a do polinômio 
n
nR( x ) a a x ... a x
−
−= + + + 10 1 1 basta resolver 
o sistema linear: 
n n
R( x ) P( x )
R( x ) P( x )
R( x ) P( x )
=⎧⎪ =⎪⎨⎪⎪ =⎩
1 1
2 2
# onde 1 2 nx ,x ,...,x são raízes de D(x) 
 
Exemplo: Da divisão do polinômio P ( x )3 por ( )2 3 2− +x x , de raízes 
1 e 2, temos : 
( )23 3 2= − + +P ( x ) x x .Q( x ) R( x )
x P ( ) .Q( ) R( ) a b
R( x ) x
x P ( ) .Q( ) R( ) a b
= ⇒ = + + = −⎧⇒ ⇒ = −⎨= ⇒ = + + =⎩
3
3
1 1 0 1 1 2
2 4
2 2 0 2 2 2 0
 
 
Teorema das raízes racionais: seja P(x) um polinômio de grau n com 
coeficientes inteiros. Se P admite uma raiz racional p/q, com p e q 
primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an. 
Exemplos: As raízes de 22 2 3 1= − +P ( x ) x x são 1/2 e 1, pertencem a 
{ }1, 1 2,1 2,1− − . Já em 24 2 2= − +P ( x ) x x , nenhum dos valores 
possíveis (-2, -1, 1 e 2) zeram o polinômio, pois suas raízes (1 i,1 i)+ − 
não são racionais. 
 
Relações de Girard 
 
a) 2ax bx c 0+ + = 
1 2
cx .x
a
=1 2 bx x a+ = − 
 
b) 3 2ax bx cx d 0+ + + = 
 
1 2 3
bx x x
a
+ + = − 1 2 1 3 2 3 cx .x x .x x .x a+ + = 1 2 3
dx .x .x
a
= −
 
 
c) n n 1n n 1 1 Oa x a x ... a x a 0
−
−+ + + + = 
 
Sendo Sp a soma de todos os possíveis produtos das n raízes p a p. 
 n 1
1
n
aS
a
−= − n 22
n
aS
a
−= ( )p n pp
n
a
S 1 .
a
−= − ( )n On
n
aS 1
a
= −... ... 
 
 
 
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APOSTILA DE REVISÃO 
MATEMÁTICA – FRENTE 3 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
Retas paralelas cortadas por uma transversal 
a b
c d
f
h
e
g
r
s
t
//
a d e h
r s
b c f g
= = =⎧⇒ ⎨ = = =⎩
 
 
Teorema de Tales 
 
2 3 1 31 2
1 2 2 3 1 3
A A A AA Ak
B B B B B B
= = =
ba
3r
2r
1r
2B
3B
1B1A
2A
3A
1 2 3r // r // r
 
k: constante de proporcionalidade 
 
Ângulos na circunferência 
 
α β
φ
A
B
D
C
θ
p
p
p p
p p
2
2
2
AB
AB
AB CD
AB CD
β
α γ
θ
ϕ
=
= =
-=
+
=
ϕ
 
α: ângulo inscrito β: ângulo central Φ: ângulo do segmento 
 θ: ângulo excêntrico externo φ: ângulo excêntrico interno 
 
Potência de pontos 
 
G
F
E
D
C
B
A
H
2
AB AC
AB AD.AE
=
=
AD.AE AF.AG
HC.HG HD.HE
=
= 
Polígonos 
 
Soma dos ângulos internos: aiS 180º.(n 2)= − 
Soma dos ângulos externos: aeS 360º= (polígonos convexos) 
Número de diagonais: n(n 3)nd
2
−= 
Ângulos internos de um polígono regular: ai 180º.(n 2) n= − 
Obs: Todo polígono regular é inscritível e circunscritível. 
Triângulo 
Pontos notáveis 
 
- Ortocentro(O): encontro das alturas(h). 
A
C
AH
BH
CH
AhBh
Ch
O•
a
bc
.
.
.B
 
 
- Incentro(I): encontro das bissetrizes(b) e centro do círculo inscrita no 
triângulo 
.
.
.
A
B C
•
c b
a
Ab
Bb Cb
I
 
 
- Circuncentro(Ci): encontro das mediatrizes(m) e centro do círculo 
circunscrito ao triângulo 
.
.
.
A
C
c b
a
Am
Bm
Cm
Ci•
B
 
- Baricentro (Ba): encontro das medianas(M) que se dividem na razão 
2:1. Também conhecido por centro de gravidade do triângulo. 
A
C
c b
a
AM
BMCM
B
•Ba
 
 
Semelhança de Triângulos 
 1A
2B1C
1c 1b
1a
1h
2A
2C
1B
2a2b
2c
2h
.
.
 
Se 1ˆ ˆA A ,= 1ˆ ˆB B= e 1ˆ ˆC C= ,então os triângulos ABC e A1B1C1 são 
semelhantes de razão 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
a b c h a b ck ...
a b c h a b c
+ += = = = = =+ + 
(k: razão entre linha homólogas) 
 
Teorema fundamental e Base do triângulo médio 
A
CB
PO
A
CB
NM
OP//BC ABC ~ AOP⇒ Δ ΔHJJG HJJG MN//BCAM MB
BCAN NC MN
2
⎧=⎧ ⎪⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩
HJJG HJJG
 
 
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13 
 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 A
C
c b
a
h
B
. nm
2 2 2
2
2
2
a b c
b a.n
c a.m
b.c a.h
h m.n
⎧ = +⎪ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪ =⎩
.
 
 
Área do Triângulo 
( ) ( ) ( )
( )
a.hS
2
a.c.sen(θ)S2
S p. p a . p b . p c
a.b.cS
4R
a b c .r
S p.r
2
=
=
= − − −
=
+ += =
a b cp
2
+ +=
A
C
c b
a
h
B .
θ
R
r
Área do triângulo eqüilátero: 23S
4
= A 
 
Quadriláteros 
Trapezóide: quadrilátero que não possui lados paralelos. 
Paralelogramo: quadrilátero que possui lados opostos paralelos. 
 
AB CD,AC BD
AB // CD ˆˆ ˆ ˆA D,B C,A B 180º
AC//BD AM MD,CM MB
= =⎧⎧ ⎪⎪ ⇒ = = + =⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ = =⎩
HJJG HJJG
HJJG HJJG
S b.h=
C D
A B
M
b
h
.
 
Retângulo: paralelogramo que possui os quatro ângulos congruentes. 
 .
. .
.A B
C D
M
h
b
S b.h
ˆˆ ˆ ˆA B C D 90º
AM BM CM DM
=
= = = =
= = =
 
Losango: paralelogramo que possui os quatro lados congruentes. 
 
.
.
A B
C D
MDd
M
h
A
A
A
A
MD .dS .h
2
AB AC BD CD
AD BC
= =
= = = =
⊥
A
AHJJG HJJG
 
Quadrado: paralelogramo que possui os quatro lados e os quatro 
ângulos congruentes (Retângulo e Losango). 
 . .
. .
.
A B
C D
M
A
A
A A
2S
AB AC BD CD
ˆˆ ˆ ˆA B C D 90º
AD BC d 2.
AD BC
2AM BM CM DM .
2
=
= = = =
= = = =
= = =
⊥
= = = =
A
A
A
A
 
Trapézio: quadrilátero que possui um par de lados paralelo. 
 Escaleno: AD BC≠ 
Isósceles: ,AD BC= ˆ ˆA B= e ˆ ˆC D= 
Retângulo: ˆ ˆ 90ºA C= = ou ˆ ˆ 90ºB D= = 
Base Média: AM MC
BM MD
=
= ⇔
// //
2
AB MN CD
AB CDMN += 
A B
C D
M N
 
 
Circunferência, círculo e suas partes: 
 
 
r
2.S rπ=
2C rπ=
 
 
C: comprimento da circunferência 
 
Coroa Circular: 
R
r
( )2 2.S R rπ= -
 
 
Setor Circular: 
L rθ= 
2
2
rS θ= ou 
2. ;
360º
S rθ π= θ em graus
r
r
θ L
 
L: comprimento do arco 
 
Áreas de Figuras Semelhantes: Se, em duas figuras semelhantes, a 
razão entre as linhas homólogas é igual a k, a razão entre as áreas é 
igual a k2. 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Trigonometria no triângulo retângulo: 
 
 opostocatetoseno
hipotenusa
= , 
 cos cateto adjacenteseno
hipotenusa
= 
oposto
 
catetotagente
cateto adjascente
= 
 
 
Trigonometria em um triângulo qualquer: 
 
 
Lei dos Senos 
2a b c R
sen A senB senC
∧ ∧ ∧= = = 
Lei dos Cossenos 
a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A
∧
 
b2 = a2 + c2 – 2ac . cos B
∧
 
c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C
∧
 
 
 
 
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14 
 
Principais relações trigonométricas 
α α+ =2 2cos 1sen 
cos
sentg αα α= , 
1 coscotg
tg sen
αα α α= = 
1cossec
sen
α α= , 
1sec
cos
α α= 
( ) cos cos .sen sen senα β α β α β± = ⋅ ± ⋅ 
( ) cos cos .cos sen senα β α β α β± = ⋅ ⋅∓ 
( )
1
tg tgtg
tg tg
α βα β α β
±± = ⋅∓ 
2 cos
2 2
p q p qsen p senq sen ±⎛ ⎞ ⎛ ⎞± = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∓ 
2 cos cos
2 2
p q p qcos p cosq + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
cos cos 2
2 2
p q p qp q sen sen+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
Arcos e Ângulos: Considerando a circunferência abaixo de centro 
O e raio R e os pontos A e B, temos: 
 
O 
B 
• A 
 A 
α 
 • 
 • 
 
R
α = A . 
 
Ciclo trigonométrico (centro na origem e raio 1): 
 O 
• 
P 
P1
 P2 
 sen(x) 
 A • 
• 
A’ 
 B’ 
 B 
 x 
 cos(x) 
 
 
Funções trigonométricas: 
As funções trigonométricas são todas periódicas. As funções básicas, 
y=sen(x), y=cos(x), y=sec(x) e y=cosec(x) têm período 2π , enquanto 
as funções básicas y=tg(x) e y=cotg(x) têm período π . 
 
Esboço: y = sen(x) 
2
π−
2
3π
2
π 2π
2
3π− 
 -π 
2
5π
 3π 2
7π
 4π
2
9π
 
-1 
+1 
 x 
 x 
• •
 y 
 x π ••
 x •
 
 
 
 
 
 
Esboço: y = cos(x) 
2
π−
2
π
-2π 
2
5π
 3π
2
7π
 4π
2
3π3
2
π−
-1
+1
 x
 x 
• •
 y 
0
 x 
-π 
• • •
π 2π 
 
 
Esboço: y = tg(x) 
2
3π
2
5π
2
3π−
2
π−
2
π 
 y 
• • x • X X XXX
-π 
• 0 
 π 2π 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
Prismas 
 
Cubo 
a
a
a
d
=
=
=
=
2
L
2
T
3
d a 3
S 4a
S 6a
V a
 
SL: área lateral 
ST: área total 
V: volume 
 
Paralelepípedo reto retângulo 
 
a
b
c
d ( )
= + +
= +
= + +
=
2 2 2
L
T
d a b c
S 2a b c
S 2(ab ac bc)
V abc
 
SL: área lateral 
ST: área total 
V: volume 
 
Prisma qualquer 
( )= Lh a .sen θ
LaLa
La
θ ( )
=
= +
= =
L Base L
T L Base
Base Base L
S P .a
S S 2S
V S .h S .a .sen θ
 
SL: área lateral ST: área total V: volume PBase: perímetro da base 
aL: aresta lateral h: altura θ: ângulo entre aL e Base 
 
Prisma reto: 
=⎧⎪= ⇒ ⎨ =⎪⎩
L
L Base
h a
θ 90º
S P .h
 
 
 
 
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15 
 
Prisma regular: prisma reto, cujas bases são polígonos regulares. 
 
Cilindro 
 
g
h
θ
R ( )
( )
=
= + = +
=
=
L
T L B
2
S 2πRg
S S S 2πR R g
V πR h
h g.sen θ
( )
=⎧⎪= ⇒ = ⇒ ⎨ = +⎪⎩
L
T
S 2πRh
θ 90º h g
S 2πR R h
cilindro reto: 
 
g: geratriz R: raio da base h: altura θ: ângulo entre geratriz e base 
 
Cilindro eqüilátero: =h 2R 
 
Piramides 
 
 
A
aO
.
h
= +
=
T B L
B
S S S
S .hV
3
Pirâmide regular: 
= +
=
2 2 2
L
A h a
S p.A
 
 
h: altura O: centro da base A: apótema da pirâmide = altura da face 
a: apótema da base SB, SL e ST: área da base, lateral e total 
p: semiperímetro da base 
 
Pirâmide regular: a base é um polígono regular e a projeção 
ortogonal do vértice sobre a base é o centro da mesma. 
 
 
Tetraedros notáveis 
 
...
 
Tetraedro tri-retângulo 
 
 Tetraedro regular 
 
 
Cone 
 
Cone reto 
 
 
( )
= +
=
= +
=
2 2 2
L
T
2
g h R
S πRg
S πR R g
πR hV
3
g
h
R.
 
g: geratriz h: altura R: raio da base 
 
Cone qualquer: em um cone não reto ( ou oblíquo) não faz sentido 
falar em geratriz, temos, portanto, apenas a fórmula do volume. 
=
2πR hV
3
 
 
Esfera 
 
 
=
=
2
E
3
E
S 4πr
4V πr
3
 
 
 
 
Sólidos semelhantes 
São sólidos que possuem lados homólogos (correspondentes) 
proporcionais. A razão de semelhança k entre esses sólidos é a razão 
entre dois elementos lineares homólogos. Assim: 
2 31 1
2 2
A Vh k k k
H A V
= = =
 
Onde: 
h, A1, V1 – altura, área, volume do menor sólido; 
H, A2, V2 – altura, área, volume do maior sólido. 
 
Relação de Euler: V – A + F = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 
 
APOSTILA DE REVISÃO 
FÍSICA – PARTE 1 
 
CINEMÁTICA 
 
PREFIXOS DE GRANDEZAS MATEMÁTICAS 
 
Diminutivos Aumentativos 
Nome: Símbolo: Valor: Nome: Símbolo: Valor: 
deci d 10-1 deca da 101 
centi c 10-2 hecto h 102 
mili m 10-3 quilo k 103 
micro µ 10-6 mega M 106 
nano n 10-9 giga G 109 
pico p 10-12 tera T 1012 
femto f 10-15 peta P 1015 
atto a 10-18 exa E 1018 
 
CONSTANTES FUNDAMENTAIS DA FÍSICA 
 
Nome: Símbolo: Valor: 
Velocidade da Luz no vácuo c 3,0.108 m/s 
Carga Elementar e 1,6.10-19C 
Constante Gravitacional G 6,67.10-11m3/s2kg 
Constante Universal dos Gases R 8,31 J/mol.K 
Número de Avogadro NA 6,02.1023mol-1 
Aceleração da Gravidade na 
Superfície Terrestre 
g 9,8 m/s2 
 
UNIDADE DE GRANDEZAS NO SI 
 
Referência: Nome: Símbolo: 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
ForçaNewton N 
Pressão Pascal Pa 
Energia Joule J 
Temperatura Kelvin K 
Carga Coulomb C 
Corrente Ampère A 
Ângulo radianos rad 
Potência Watt W 
Resistência Ohm Ω 
Potencial Elétrico Volt V 
Capacitância Farad F 
Freqüência Hertz Hz 
 
CONVERSÃO DE UNIDADES PARA O SI 
 
Nome da unidade: Símbolo: Valor no SI 
centímetro quadrado cm2 10-4 m2 
centímetro cúbico cm3 10-6 m3 
litro L ou l 10-3 m3 
grau º π/180 rad 
grama g 10-3 kg 
tonelada ton 103 kg 
grama por centímetro cúbico g/cm3 103 kg/m3 
kilometros por hora km/h 1/3,6 m/s 
kilograma-força kgf || gG . N ≈ 9,8 N 
atmosfera atm 1,0.105 Pa 
centímetro de mercúrio cmHg 1333 Pa 
caloria cal 4,186 J 
quilowatt-hora kW.h 3,6.106 J 
elétron-volt eV 1,6.10-19 J 
cavalos (Horse Power) HP 745,7 W 
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 
Para se escrever um numero N em notação cientifica este deve estar 
num intervalo tal que: 1 ≤ N < 10 e estar acompanhado de uma 
potência de dez. Exemplos: 
75 → 7,5 . 101 
910 → 9,10 . 102 
10 → 1,0 . 101 
SISTEMA REFERENCIAL 
 
Movimento e repouso: Movimento e repouso são conceitos relativos, 
pois dependem do referencial adotado. 
Um sistema referencial bem definido, com uma, duas ou três 
dimensões, é importante não apenas para se observar o movimento 
ou repouso de um corpo, mas principalmente para orientar e organizar 
as grandezas envolvidas. Uma grandeza é positiva quando o vetor ao 
qual ela se refere (ou sua componente) aponta no sentido crescente 
do eixo referencial e negativa quando aponta no sentido oposto. 
Assim, temos movimento: 
Progressivo: 0v > 
Retrógrado: 0v < 
Acelerado: . 0v a > (o | v | aumenta) 
Retardado: . 0v a < (o | v | diminui) 
 
Exemplos de Sistemas Referenciais: 
 
 
CINEMÁTICA ESCALAR 
 
a) Movimento Retilíneo Uniforme - M.R.U. 
O que caracteriza o M.R.U. é o corpo apresentar: 
v =Constante 0≠ 
0a = 
m
Sv v
t
Δ= = Δ 
Conversão de velocidade: 
1 0 0 0 11
3 6 0 0 3 , 6
1 3 , 6
k m m m
h s s
m k m
s h
= =
⇒ =
 
 
Equação Horária do MRU: 
0 0.( )
Sv S S v t t
t
Δ= ⇒ = + −Δ 
 
b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – M.R.U.V. 
Apresentam MRUV corpos sujeitos a uma aceleração constante e não 
nula na direção do movimento: 
a =Constante 0≠ ; 0
0
m
v vva a
t t t
−Δ= = =Δ − 
Equações do MRUV: 
0 0.( )v v a t t= + − (V x t) 
2
0
0 0 0
.( ).( )
2
a t tS S v t t −= + − + (S x t) 
2 2
0 2. .v v a S= + Δ (V x S) 
 
Para obter dados a partir dos gráficos use: 
 
Obtém-se: Método: Gráfico: Método: Obtém-se: 
 sG x t tgα 
 
Velocidade 
Instantânea 
Variação do 
Espaço ÁREA 
 
vG x t tgα 
 
Aceleração 
instantânea 
20Variação 
da 
Velocidade 
ÁREA 
 
aG x t 
c) Gráfico do MRU e MRUV: 
g 
x
Vy Vy é positivo 
g é positivo 
Vx é nulo 
Vy
Vy é positivo 
Vx é positivo 
g é negativo 
Vx
Vx y 
y
 
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2 
 
 
M.R.U. M.R.U.V. 
t 
t 
t 
t 
t 
t 
a 
v 
s s 
v 
a 
α 
α 
 
 
VETORES 
 
Adição de dois ou mais vetores: Graficamente podemos usar a 
Regra do paralelogramo ou o Método Poligonal para visualizarmos o 
Vetor soma: 
 
 Regra do Paralelogramo Método Poligonal 
 
Para calcular o módulo desta soma devemos observar o valor do 
ângulo Θ. Se: 
Θ = 0º → S A B= +G G G 
Θ = 180º → S A B= −G G G 
Θ = 90º → 222 |B||A||S|
GGG += 
Θ ≠ 0º, 90º ou 180º → 2 2 2| | | | | | 2. | | . | | .cosS A B A B= + +G G G G G θ 
OBS: Neste último caso atente à mudança no sinal do termo que 
acompanha o cosseno. Cuidado para não usar o sinal negativo como 
se faz em triângulos na LEI DOS COSSENOS. 
 
Caso especial: 
Se Θ = 120º e |B||A|
GG = , então: |B||A||S| GGG == 
 
MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES 
 
Princípio de Galileu: Quando um corpo realiza um movimento em 
várias direções simultaneamente podemos estudar o movimento de 
cada direção separadamente como se os demais não existissem. 
yV
G
 
xV
G
 
V
G
 
θ 
.cos
.
x
y
V V
V V sen
θ
θ
=
=
G G
G G 
 
 
Velocidade Relativa 
Seja AV
G
 a velocidade de um corpo A em relação a um referencial 
qualquer e BV
G
 a velocidade de um corpo B em relação ao mesmo 
referencial. Então a velocidade de A em relação a B ABV
G
 pode ser 
descrita como: AB A BV V V= −
G G G
, ou A AB BV V V= +
G G G
 
Exemplo: barco com velocidade relativa em relação ao rio: 
 
 
 
LANÇAMENTOS 
 
Vertical: No lançamento vertical deve-se dar atenção ao referencial 
adotado. Temos duas situações possíveis: 
 
Lançamento Vertical para cima: Onde V0y e g apresentam, 
obrigatoriamente sinais opostos. No caso abaixo: 
 
 
 
Lançamento Vertical para baixo: V0y e g apresentam, 
obrigatoriamente mesmos sinais. No caso a seguir: 
 
 
 
Horizontal: Trata-se de um lançamento em duas dimensões onde a 
velocidade inicial do corpo apresenta componente não nula apenas na 
direção horizontal e ainda, o movimento na direção vertical será 
acelerado enquanto o horizontal é uniforme. Desta forma: 
 
 
Lançamento Obliquo: Assim como o lançamento horizontal, é uma 
composição de M.R.U.V na direção vertical e M.R.U., na horizontal 
com 0 0V ≠ em ambas as direções. A trajetória, sem resistência do ar, 
deve ser parabólica. 
 
 
2
0vA sen 2θ
g
= 
 
 
 
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 
 
BARCO-RIOV
G
BARCO-TERRAV
G
RIOV
G 
Trajetória do barco em 
relação à Terra 
0 0xV ≠ =constante 
0 0yV = (M.R.U.V.) 
V0 > 0 
 
g > 0 
V0 > 0 
 
g < 0 
s
G
 
a
G
 b
G
 
c
G
 
 
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3 
 
Trata-se de um movimento com velocidade v
G
constante em módulo, 
mas que apresenta uma aceleração cpa
G
 de módulo constante e 
direção perpendicular a esta velocidade. Assim, em um Movimento 
Circular, temos: 
 
 
cpa
G 
cpa
G 1 1T f
f T
= → = 
22 f
T
πω π= = 
 
0 .tθ θ ω= + 
2
2| | | | .cp
Va R
R
ω= =
GG G
 .S RθΔ = Δ 
.v Rω= 
 
 
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO 
 
Ocorre quando a aceleração vetorial não é perpendicular nem paralela 
ao vetor velocidade tangencial do móvel. Assim, esta pode ser 
decomposta nestas componentes tangencial e radial, de tal forma que 
a soma destas acelerações se definem: 
 
 
MOVIMENTO RETILÍNEO X MOVIMENTO CIRCULAR 
 
As equações destes movimentos são análogas e estão resumidas na 
tabela abaixo: 
Movimento Retilíneo Movimento Circular 
0 .S S V t= + 0 .tθ θ ω= + 
2
0 0. 2
aS S V t t= + + 20 0. 2
tat tθ θ ω= + +
G
 
0 .V V a t= + 0 .ta tω ω= + G 
2 2
0 2. .V V a S= + Δ 2 20 2. .taω ω θ= + ΔG 
 
MOVIMENTO CIRCULAR: POLIAS E ENGRENAGENS 
 
1º CASO: VELOCIDADES ESCALARES IGUAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 • •
R1 
R2 
A 
B 
•
•
ω1 ω2 •
R1 
A 
ω1
•
R2
B
ω2
 
Sistemas de polias compartilhando correias ou engrenagens 
conectadas devem apresentar mesma velocidade tangencial. Assim: 
2. . . 2. . .
. ou .
A B A A B B
B A
A B A B
A B
V V R f R f
R Rf f T T
R R
π π= ⇒ =
= = 
Duas engrenagens A e B quaisquer, com número total NA e NB de 
dentes (proporcional ao comprimento) pode ter seu movimento 
observado contando o respectivo Nx em uma volta completa (2.π.Rx). 
Assim, teremos: 
( ) ( )2. . . 2. . .
. . . ou .
A B A A B B
B A
A A B B A B A B
A B
V V R f R f
N NN f N f f f T T
N N
π π= ⇒ =
= → = = 
 
2º CASO: FREQÜÊNCIAS IGUAIS 
 
ω
ω1
ω2 
R1 
R2 
 
Discos compartilhando o mesmo eixo central para rotação devem 
apresentar mesma velocidade angular. Destaforma: 
.A B AA B A B
A B B
V V RV V
R R R
ω ω= ⇒ = ⇒ = 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
 
O M.H.S. pode ser definido como um sistema que apresenta uma 
força resultante diretamente proporcional à distância em relação a um 
ponto, em torno do qual ocorre oscilação. As equações do M.H.S. são: ( )t.cos.AX ω+θ= 0 ( )t.sen..AV ω+θω−= 0 
( )2 20. .cos . .a A t xω θ ω ω= − + = − 
Assim, temos que 2 2. . . .R
CF m a C x m x
m
ω ω= ⇒ − = − ⇒ = , com C a 
constante de proporcionalidade entre a distância em relação ao ponto 
de oscilação e a força resultante. 
 
Oscilador massa-mola: É dado por um corpo oscilando 
exclusivamente devido à força de restituição elástica. 
k
m
ω = 
2. . mT
k
π= 
.F k X= − 
 
 
2 2 2. . .
2 2 2M elást cin
k X m v k AE E E= + = + = 
Pêndulo Simples: Um corpo oscilando no ar (sem resistência) 
caracteriza um pêndulo simples. Para pequenos ângulos ( 5 )o< 1θ , 
tem-se um M.H.S. e as equações podem ser escritas como: 
g
l
ω = 
2. . lT
g
π= 
 
 
DINÂMICA 
 
Leis de Newton: 
 
Primeira Lei – Inércia: A lei da inércia prevê que todo corpo que 
apresenta Resultante de Forças Externas nula deve preservar sua 
velocidade vetorial constante, seja esta nula (V=0) ou não (MRU). 
Segunda Lei – Princípio Fundamental da Dinâmica: “Um ponto 
material submetido à ação de forças cuja resultante é não nula adquire 
uma aceleração de mesma direção e sentido da resultante sendo seu 
módulo diretamente proporcional ao módulo da força resultante”. 
A segunda lei mostra que a resultante das forças externas aplicada 
sobre um corpo pode ser nula ou, quando existe aceleração: FR=m.a. 
Terceira Lei – Ação e Reação: Declara que para toda força aplicada 
(ação) por um corpo A sobre um corpo B, surgirá uma outra força 
(reação) de mesma intensidade, na mesma direção, mas em sentido 
oposto ao da ação, e esta última é aplicada por B em A. Por estarem 
aplicadas em corpos diferentes, uma ação não anula sua reação 
correspondente. 
 
 
-A A
 
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4 
 
Tipos de Força: São conhecidos quatro tipos de força na natureza 
dos quais estudaremos apenas dois (as outras são a Força Forte e a 
Força Fraca, tipos de força que estão relacionadas à Física Nuclear): 
 
a) Forças de Campo: São forças que podem ser aplicadas mesmo 
quando não existe contato direto entre os corpos do sistema. Exemplo: 
força peso, força elétrica, força magnética. 
 
b) Forças de Contato: Quando existe contato entre corpos. Podem 
sempre ser decompostas em uma componente normal e outra 
tangencial. Usualmente são particularizadas estas decomposições: 
Normal: Força de reação ao contato entre superfícies, sempre 
perpendicular ao plano tangente às superfícies. 
Força de Atrito: A força de atrito se opõe localmente (na região de 
contato entre as duas superfícies) ao movimento ou à tendência do 
movimento de cada corpo. O máximo módulo da força de atrito 
estático pode ser calculado por .eFat Nμ= , onde μe é o coeficiente de 
atrito estático, e N é o módulo da força normal entre os corpos em 
contato. O módulo da força de atrito dinâmica é sempre calculado por 
.dFat Nμ= , onde μd é o coeficiente de atrito dinâmico. 
 
0 F 
Fat 
μe.N 
μd.N 
 
Gráfico de um corpo 
sujeito a uma força 
externa F e o 
comportamento da força 
de atrito (crescente até 
uma força de atrito 
estático máximo, quando 
inicia-se o movimento, 
com uma força de atrito 
dinâmico constante) 
Tração: É a força existente nos fios e cordas quando estes são 
esticados/tracionados/tensionados. 
Força Elástica: A força elástica é uma força de restituição, isto é, ela 
sempre é oposta a deformação x causada no corpo em questão. Esta 
força respeita a lei de Hooke: .F k x= − onde k é a constante elástica 
da mola (ou elástico) e deve ser medido em N/m, no SI. 
 
Obs.: Associação de Molas: Molas associadas irão distribuir ou 
transimitir as forças de entre elas. Para encontrar a constante de um 
mola equivalente com keq usamos: 
 
Série: ...
kkkeq
++=
21
111
 
 
 
Paralelo: ...kkkeq ++= 21 
 
PLANO INCLINADO 
 
Plano inclinado: O eixo X e Y saem de seu padrão horizontal e 
vertical, respectivamente, para acompanhar a inclinação do plano 
(conservando a perpendicularidade entre ambos). Assim, pode-se 
realizar a decomposição da força Peso em duas componentes: 
 
.xP P senα= 
.cosyP P α= 
Onde α é o ângulo de inclinação 
do plano. 
 
No caso mais simples, ocorre movimento apenas na nova direção X. 
Devemos atentar que nesta situação a Força Normal deve ser 
aplicada na nova direção do eixo Y, tornando, no caso mais simples, 
| | | |yN P=
G G
. Assim, sempre que precisarmos do módulo da Normal 
(para calcular Fat, por exemplo), deveremos tomar o valor correto. 
BLOCOS 
 
Para resolver exercícios envolvendo blocos com sucesso devemos 
seguir os seguintes passos: 
1º: Desenhe todos os corpos envolvidos separadamente, para melhor 
visualizar as Forças externas atuantes; 
2º: Faça o diagrama de Forças para cada corpo identificando todas 
elas; 
3º: Aplique a 2ª Lei de Newton em cada corpo separadamente 
obtendo uma equação para cada um deles; 
4º: Resolva o sistema de equações obtido de forma a encontrar as 
variáveis desejadas. 
 
DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR 
 
Sempre em um Movimento Circular Uniforme, deve existir uma Força 
Resultante Centrípeta responsável pelo surgimento da aceleração 
centrípeta, que apresenta módulo dado por: 
2
2.. . .Tcp cp
m v
F m a m R
R
ω= = = 
A direção é radial, no sentido do centro da curva de raio R. 
Devemos nos lembrar do fato desta força ser uma resultante de 
forças, isto é, não existe uma força efetivamente centrípeta e sim 
resultado da soma de forças atuando no corpo. Desta forma, todas as 
forças estudadas (Forças de Campo e de Contato) serão utilizadas 
para resolver estes exercícios. 
No caso do Movimento Circular Uniformemente Variado, a força 
resultante pode ser decomposta em uma componente radial (Fcp) e 
outra tangencial (Ft). Ainda assim, a equação acima é válida para Fcp, 
embora o valor de vT varie com o tempo. Observe que, nesse caso, o 
módulo de Fcp também varia com o tempo. 
 
GRAVITAÇÃO 
Leis de Kepler 
Lei de Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas em 
torno do Sol, o qual ocupa um dos focos da elipse. 
 
Sol 
Planeta2 
Planeta1 
F2 F1 
 
 
Lei das Áreas: O vetor raio que une o sol a um planeta varre áreas 
iguais no plano da órbita em tempos iguais. 
 
Portanto: Área varrida A é proporcional ao tempo Δt , ou seja: 
1,2 1,2
3,4 3,4
A t
A t
Δ= Δ 
 
Lei dos Períodos: Os quadrados dos períodos de revolução dos 
planetas em torno do Sol são proporcionais aos cubos dos raios 
médios de suas órbitas. 
2 3.T k R= ou 
2
3
T k
R
= 
Onde:
2
máx mínR RR += , e 
24.
.
k
G M
π= (utilizando gravitação de Newton) 
 
 
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Sol 
acelerado 
retardado 
Rmin Rmáx 
Vmin Vmáx 
 
Observação: 
 
A constante K é uma 
constante característica 
de cada sistema solar. 
 
Gravitação Universal de Newton: 
Qualquer partícula no universo atrai outra partícula segundo a 
equação: 
2
. .
G
G M mF
R
= 
 
Campo gravitacional: 
É uma propriedade do espaço em torno de um corpo de massa M que 
provoca uma força de atração (peso) em qualquer outro corpo de 
massa m próximo. 
A aceleração gravitacional g
G
 depende inversamente da distância 
entre os centros de massa dos corpos: 
É sempre comum relacionar a força de atração universal de Newton 
com Peso ou com uma Resultante centrípeta. Nestes casos temos: 
 
hGravitação e Peso: 
 
2
.G Mg
R
= 
 
Gravitação e Resultante Centrípeta: 
 
R
M.Gv = 
 
Onde: TerraR R h= + 
 
ESTÁTICA 
 
1) Equilíbrio do ponto material 
A condição necessária e suficiente para o equilíbrio dinâmico de um 
ponto material é que a força resultante sobre ele seja nula: 
 
 
 
 
 
 
1F
2F
3F
0FFFR 321 =++= 
1F 
2F 
3F
 
Sendo a força resultante nula, o polígono de forças é fechado. Nesse 
caso, temos o estado de repouso ou de M.R.U. 
Se a velocidade resultante também é nula, o corpo está em equilíbrio 
estático. 
 
2) Momento de uma força F em relação a um ponto O 
Momento (ou Torque) de uma Força: É o efeito de rotação causado 
por uma Força: 
0| | | | | | senM F d F θ= ⋅ = ⋅ ⋅
G G G
A , que é o produto da força F pelo braço d 
de aplicação. 
 0 
d 
F 
M = ± F d 
A 
 
O sinal do Momento depende de uma convenção arbitrária. 
Por exemplo: Quando a força F
G
tende a girar o corpo no sentido anti-
horário o momento é considerado positivo. 
 
3) Equilíbrio de um corpo extenso 
Para o equilíbrio estático de um corpo extenso temos três condições: 
a) Força resultante nula 0extF∑ =
G
; 
b) A soma dos momentos, em relação a qualquer ponto, deve ser nula 
0 0M∑ =
G
; 
c) As velocidades de rotação e de translação devem ser nulas. 
 
HIDROSTÁTICA 
 
Densidade: É a razão entre a 
massa e o volume de um corpo: 
 
m
V
μ = 
Pressão: Quando aplicamos uma 
força F sobre uma superfície de 
área A exercemos uma pressão p 
sobre esta igual a: 
Fp
A
= 
 
Pressão de uma coluna de liquido (ou efetiva): Devido ao peso do 
liquido acumulado sobre uma superfície, ele exercerá uma pressão 
sobre esta: 
. .liqp g hμ= onde: h = altura da coluna do liquido. 
Em caso de a coluna estar exposta à atmosfera aberta, então a 
pressão total (ou absoluta) sobre o ponto imerso sob a coluna será: 
. .liq atmp g h pμ= + 
 
 
 
Princípio de Pascal: O acréscimo de pressão dado ao ponto a 
transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido. Assim: 
 
 
Empuxo: Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num líquido 
recebe uma força vertical, de baixo para cima, denominada empuxo, 
cujo módulo é igual ao peso da porção de líquido deslocada pelo 
corpo. 
 
 
E = μL . VDESL . g 
 
TRABALHO 
 
Trabalho: É uma expressão de energia dada por: 
. .cosW F d θ= 
 
(W: Work = trabalho) 
 
Esta expressão somente pode 
ser usada no caso de a força F 
ser constante. 
 
No caso de F não ser constante, o trabalho por de ser calculado pela 
área do gráfico F x d: 
WArea
N= 
 
Casos particulares: 
a) Trabalho da força peso 
A força peso é sempre vertical e dirigida para baixo não tendo portanto 
componente horizontal. 
E 
líquido 
 A1 
 F1 
 F2 
 A2 
2
2
1
1
A
F
A
F =
 
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Desta forma, independentemente 
da trajetória seguida pelo corpo, 
o trabalho da força peso é 
expresso por: W AB
P = – PΔy 
 
b) Trabalho da força elástica 
 
 A B 
2 1 2 1( )( )
2
N F F x xW A + −= = = 
=
2 2
2 22 1
1 2( )2 2 2
kx kx k x x− + = − 
 
Trabalho de um sistema de forças 
Quando um sistema de forças atuar em um corpo cada força realiza 
trabalho independente das outras. Como o trabalho é uma grandeza 
escalar, o trabalho total corresponde à soma dos trabalhos de cada 
uma das forças atuantes no corpo, isto é 
1
N
S I
I
W W
=
= ∑ 
Teorema da energia cinética 
O trabalho da resultante das forças entre A e B é a variação da 
energia cinética entre esses pontos. 
WAB = cEΔ , onde é definida 
2.
2C
m vE = 
ENERGIA POTENCIAL 
 
A energia gasta ao levantar um corpo desde o solo até uma altura h 
fica retida no campo gravitacional. Pode-se observar este fato notando 
que ao soltarmos o corpo ele entra em movimento acelerado 
aumentando, deste modo, a energia cinética. Assim, define-se então a 
energia potencial gravitacional (Epgravit.) de um corpo como sendo o 
trabalho realizado contra a força gravitacional ao deslocá-lo desde o 
solo (ponto de referência) até a altura considerada. Da mesma forma 
define-se a energia potencial elástica Epelast. como o trabalho realizado 
ao se deformar a mola de um valor x. Então: 
Epgravit. = mgh e Epelast. = 
2
2
kx 
O trabalho para estas forças independe da trajetória. Nesses casos só 
interessa a posição inicial e final. 
WAB = -ΔEp onde WAB é o trabalho das forças que serão chamadas de 
conservativas (quando seu trabalho entre dois pontos independe da 
trajetória). 
 
ENERGIA MECÂNICA 
 
Energia Mecânica: É definida como a soma entre as energias cinética 
e potenciais do corpo ou sistema estudado. Assim: 
 
M C PE E E= + 
 
Sistema Conservativo: Em um sistema conservativo a energia 
mecânica total não se dissipa, isto é: 
0MEΔ = , ou FinalInicial MM EE = 
Daí pode-se concluir que: 
C PE EΔ = −Δ 
 
Sistema Não-Conservativo: Em um sistema não conservativo parte 
da energia mecânica total se dissipa, isto é: 
M DisE EΔ = , ou DisMM EEE FinalInicial += 
 
Teorema da Energia Cinética: É válido para um sistema conservativo 
ou não, onde as forças envolvidas realizam um trabalho total 
equivalente à variação da energia cinética. 
Re tanC sul teE WΔ = 
Observe que se somarmos os trabalhos de cada força ou se 
encontrarmos a força resultante vetorialmente e calcularmos o 
trabalho dessa força, o efeito é o mesmo, embora não se possam 
somar os trabalhos vetorialmente: 
 
Re tansul teFi F
i
W W=∑ 
 
 
POTÊNCIA E RENDIMENTO 
 
Potência: Pode ser definida pela quantidade de energia utilizada 
(transformada) em um determinado intervalo de tempo. 
Se a energia transformada é um trabalho W (motor ou resistente), 
temos a relação: 
W EP
t t
= =Δ Δ 
Como em um sistema real a energia total ET de um sistema nunca é 
convertida integralmente em trabalho havendo sempre uma dissipação 
ED, podemos calcular o rendimento observando a parcela de energia 
útil EU efetivamente convertida em trabalho. 
U U
T T
E P
E P
η = = 
DUT EEE += logo, T U DP P P= + 
 
IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
Centro de Massa: É o ponto onde pode ser supostamente 
concentrada toda a massa de um sistema de corpos, para que certas 
análises possam ser feitas. Suas coordenadas podem ser dadas por: 
. . . ...
...
A A B B C C
CM
A B C
X M X M X MX
M M M
+ + += + + + 
. . . ...
...
A A B B C C
CM
A B C
Y M Y M Y MY
M M M
+ + += + + + 
. . . ...
...
A A B B C C
CM
A B C
Z M Z M Z MZ
M M M
+ + += + + + 
Lembrando que em corpos homogêneos (densidade uniforme) e 
simétricos, o centro de massa é o centro geométrico. 
 
Quantidade de movimento: A quantidade de movimento de um corpo 
está relacionada a sua massa inercial. Assim: 
.Q m v=G G 
A quantidade de movimento de um sistema pode ser calculada como a 
soma das quantidades de movimento de cada corpo de sistema. 
Assim: 
( )
1
.
n
SIST i i i CM
i
Q m V m V
=
= =∑ ∑G G G 
 
Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento: “A 
quantidade de movimento de um sistema isolado (sem forças 
externas) é invariável”. 
 
Impulso: Quando aplicamos uma força sobre um corpo ou sistema de 
corpos durante um intervalo de tempo, provocamos uma variação na 
quantidade de movimento deste: 
I Q= Δ GG onde: 
.I F t= ΔG G 
 
Colisões: Considera-se o sistema isolado (o impulso das forças 
externas é desprezível) 
0
Antes Depois
Q
Q Q
Δ =
=
G
G G 
 F1 
 F2 
 x 
 F 
 x1 x2 
 W 
A 
B 
zero 
+ 
 y1 
 y2 
 
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