CIRCUITO RLC E FIGURAS DE LISSAJOUS RELATORIO

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Universidade federal do ABC 
 
 
Análise do circuito RLC submetido 
a uma tensão alternada 
 
 
 
 
 
Grupo: 
Deborah Fabri, RA 11012216 
João Pedro Vieira Garlippe, RA:11116416 
Victor Galante, RA 11013716 
Vitor Guimarães, RA 11003615 
Vitor Rocha, RA 11001716 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santo André, 3 de agosto de 2018 
 
1- INTRODUÇÃO 
 
Oscilações forçadas são osciladores harmônicos amortecidos que são 
submetidos a uma força externa periódica no sistema, a qual compensa a dissipação 
de energia causada pelas forças resistivas ao movimento, mantendo um movimento 
periódico no oscilador. 
O circuito RLC é um exemplo de uma oscilação forçada. Um circuito RLC opera 
no regime subcrítico de oscilações. Se deixarmos esse circuito oscilante evoluir 
livremente no tempo, após receber uma certa energia inicial, as oscilações terão sua 
amplitude diminuída até que toda a energia seja dissipada, fazendo com que o sistema 
pare de oscilar. Para mantermos a amplitude constante ao longo do tempo, deve-se 
constantemente fornecer energia de modo a compensar essa dissipação. Esse tipo de 
circuito também é conhecido com o circuito RLC forçado. 
Basicamente, um circuito RLC em série baseia-se em um circuito elétrico com 
gerador de tensão alternada com sinais senoidais com frequência ajustável. Nele, 
estão ligados em série um indutor, um capacitor, e um resistor. 
 
 
Figura 1: Esquema de um circuito RLC. 
 
Equacionando o problema, pela lei de Kirchhoff, tem-se a seguinte expressão: 
 
RV a = I + L dt
dI + qC 
 
A solução desta equação diferencial é da forma: 
 
eI = I0 iωt 
 
As tensões aplicadas a cada componente são: 
 
 ,ωLI e ωLIV L = L dt
dI = i 0 iωt = i 
 
onde definimos como reatância indutiva.XL = ωLi 
 
 
 
,V c dt I e= qC =
1
C ∫
 
 
I = iωC 0
iωt
 
 
 
 onde definimos como reatância capacitiva.Xc = iωC 
 
IV R = R 
 
onde definimos como reatância resistiva.XR = R 
 
I R (ωL )] IV a = Z = [ + i − 1ωC 
 
Definimos como a impedância do circuito. A impedância nada mais é do que a Z 
dificuldade imposta por um circuito elétrico à passagem de corrente elétrica, quando 
submetido a uma tensão. Podemos ver que a expressão acima é análoga a lei de Ohm 
V = RI, no qual o papel de Z é o mesmo papel de R, dificultar a passagem de corrente. 
O que reforça este sentido de dificuldade da corrente fluir pelo circuito. 
 
R (ωL )] Z = [ + i − 1ωC 
 
Esta expressão nos daria o vetor Z no plano complexo, porém utilizaremos a 
parte real da expressão. Faremos isso utilizando o módulo de Z. 
 
Z | Z = | = √ZZ* = √R2 + (ωL )− 1ωC 2 
 
Sob uma fonte de tensão alternada , um circuito resistivo possui (t) cos(ωt)V = V m 
uma corrente alternada com a mesma fase da tensão como pode-se ver na equação: 
 
, e(t) cos(ωt) RV = V m = I 
 
(t)I = R
V cos(ωt)m 
 
Portanto se a tensão possui uma fase então a corrente terá a mesma faseφ = 0 
.φ = 0 
Analisando em uma representação de vetores girantes obtém-se 
 
e, .(t) cos(ωt) e{V e }V = V m = R m iωt (t) e{ e }I = R
V cos(ωt)m = R R
V m iωt 
 
 
 
Representando graficamente obtemos: 
 
 
Figuras 2 e 3: A dois é um gráfico da tensão e corrente em função do tempo. A três é um gráfico de 
vetores girantes, o qual tem eixos coordenados que correspondem as componentes reais e imaginárias 
das grandezas. 
 
Em um capacitor ligado a uma tensão alternada temos uma corrente alternada 
com uma diferença de fase igual a em relação a tensão como é possível ver a rad2
π 
seguir: 
 
; em que )VQ = C (t) cos(ωtV = V m 
 
I(t) − V sen(ωt) V cos(ωt )/ = dt
dQ = C m = C m + 2
π 
 
É evidente que a corrente possui uma defasagem em relação a tensão.φ = 2
π 
Analisando em uma representação complexa: 
 
; e (t) cos(ωt) e{V e }V = V m = R m iωt (t) cos(ωt ) e{CV e }I = CV m + 2
π = R m iωt+ 2
π 
 
 
 
 
Representando graficamente obtemos: 
 
 
Figuras 4 e 5: A quatro é um gráfico da tensão e corrente em função do tempo. A cinco é um 
gráfico de vetores girantes. 
 
 
Em um indutor ligado a uma tensão alternada há uma diferença de fase da − rad φ = 2
π 
corrente em relação a tensão como podemos ver a seguir: 
 
(t) os(ωt)V = c = L dt
dI 
 
(t) sen(ωt) cos(ωt )I = L
V m = L
V m − 2
π 
 
Pode-se observar que há uma defasagem .−φ = 2
π 
 
Analisando em uma representação complexa: 
 
;(t) cos(ωt) e{V e }V = V m = R m iωt 
 
e (t) cos(ωt ) e{ e }I = L
V m − 2
π = R L
V m iωt− 2
π 
 
 
 
 
Representando graficamente obtemos: 
Figuras 6 e 7: A seis é um gráfico da tensão e corrente em função do tempo. A sete é um gráfico de 
vetores girantes. 
 
Quando temos estes componentes ligados em série, a tensão total da fonte será 
a soma das tensões no resistor, indutor e capacitor. 
Segue assim que: 
 
V = V c + V R
 
 + V L 
 
De forma vetorial: 
 
V
︿
= V c
︿
 + V
︿
R
 
 + V
︿
L 
 
E como visto anteriormente o vetor corrente aponta para a mesma direção e I
︿
 
sentido de . A soma dos vetores de tensão resultaram num vetor resultante com V
︿
R 
argumento e o vetor I terá um argumento , onde é a diferença de fase tω t ω − ϕ ϕ 
entre a tensão aplicada e a corrente no circuito . 
Graficamente, em representação de vetores girantes, a soma vetorial das 
tensões é obtida no seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
Figuras 8 e 9: As duas imagens são gráficos de vetores girantes. Consideramos . Na oito temos V L > V C 
uma representação dos vetores das tensões e na nove efetua-se a soma vetorial das tensões resultando 
em uma tensão total e compara-se os argumentos da tensão e corrente. 
 
Como explicado anteriormente, temos uma expressão análoga a lei de Ohm 
para o caso de um circuito RLC que é ). Para uma uma indutância constante (t) I(tV = Z 
Z, ou seja, com uma frequência fixa, naturalmente obteremos uma tensão máxima ω 
quando tivermos uma corrente máxima, portanto .IV m = Z0 m 
Pela análise do gráfico acima, se tivermos uma tensão , a (t) sen(ωt)V = V m 
corrente será . Quando temos um circuito em que a característica (t) sen(ωt )I = Im − φ 
resistiva é predominante, vemos pelo gráfico que e , sendo que isso φ → 0 Z → R 
ocorre quando . Podemos obter este resultado de outra maneira deduzindo ω → ω0 
uma expressão para a carga em função do tempo, como mostrado a seguir: 
 
Pela lei de Kirchhoff: 
 
cos(ωt)L
dt2
d q2 + R dt
dq + qC = V 0 
 
Fazendo um paralelo com um sistema massa-mola, temos uma solução para este tipo 
de equação na forma , onde (t) (ω)cos(ωt )x = A − φ (ω) . A = F /m0
√(ω −ω ) +(ωγ) 2 20 2 2
 
Efetuando uma analogia de termos para um circuito RLC temos que: 
 
 ;ω20 =
1
LC ; q γ = L
R = γ
ω0 
 
Portanto: 
 
(t) (ω)cos(ωt )q = q0 − φ 
 
 
=(ω) q = V /L0
√(ω −ω ) +(ω ) 2 20 2 LR 2
= V 0
ω√R +(ωL− )2 1ωC 2
V 0
ωZ 
 Logo: 
 
(t) I = dt
dq = − V sen(ωt−φ)0
√R +(ωL− )2 1ωC 2
= Z
−V sen(ωt−φ)0 
 
Nota-se que, como previsto antes, quando , implica que e ω = ω0 = 1√LC ωL =
1
ωC
 
portanto . Dessa forma, a amplitude de oscilação é máxima. Esta frequencia Z = R 
é chamada frequência de ressonância.ω = ω0 
Outro resultado importante da frequência de ressonância é relacionado com a 
tensãoobtida nos dois extremos que o osciloscópio capta sinais. No canal 1 (CH1), 
temos uma tensão alternada , e no canal 2 (CH2), temos uma tensão cos(ωt)V 0 
.cos(ωt )V 0 + φ 
Para freqüências mais baixas a voltagem do CH2 se encontra adiantada em 
relação à voltagem da fonte (CH1). Para freqüências altas ocorre o contrário, a 
voltagem no CH2 fica atrasada em relação à voltagem da fonte. A freqüência de 
ressonância é aquela onde a diferença de fase é nula. Nesse caso o circuito se 
comporta com o puramente resistivo e φ = 0. Desse modo, variando-se a frequência 
podemos determinar com segurança a freqüência na qual a diferença de fase vai a 
zero. Essa é a freqüência de ressonância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- OBJETIVOS 
 
 
 
Este experimento teve como objetivo estudar a ressonância de um circuito RLC 
em série sob tensão alternante, bem como buscar sua relação com a impedância. 
Exploramos também a figura de Lissajous e mudanças na mesma. 
 
 
3- MATERIAIS UTILIZADOS 
 
Na montagem, utilizamos: 
 
● Resistência. 
● Indutor. 
● Capacitor 
● Gerador de sinais harmônicos de tensão de 1V pico-a-pico. 
● Placa de ​protoboard. 
● Osciloscópio de duas entradas. 
● Multímetro. 
 
Com o multímetro obtivemos para a resistência 0,989 kΩ, para o indutor, 0,81 mH, e 
para o capacitor, 3,31 nF. 
 
 
 
4- PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Conectamos o circuito na ​protoboard​, em série. A entrada 1 do osciloscópio foi 
colocada entre os terminais do capacitor, e a entrada 2 do osciloscópio foi colocada 
entre os terminais da fonte. 
Utilizando o gerador de funções, alteramos a frequência de uma das ondas e 
observamos o que ocorria com a diferença de fase e a diferença de potencial entre 
elas, de modo que pudéssemos determinar a frequência de ressonância do sistema e 
analisar a mudança que ocorre nas figuras de Lissajous. 
A partir dos valores indicados acima para a resistência, indutância e 
capacitância dos componentes do circuito, calculamos a frequência natural de 
ressonância esperada. 
 
 
Aumentando a frequência da onda de um dos canais, observamos uma 
diminuição da diferença de fase das duas ondas. A cada passo, aumentamos 20 kHz 
na frequência e observamos também uma diminuição na diferença de potencial das 
ondas. Esse padrão se manteve até atingirmos a frequência de ressonância. 
 
F(kHz) Δt(µs) 
20 9,2 
40 3,4 
60 1,3 
80 0,4 
100 0,2 
120 0,56 
140 0,68 
180 0,7 
220 0,8 
260 0,88 
 
Tabela 1: Dados coletados pelo procedimento descrito acima. 
 
Ao atingir a frequência de ressonância, observamos no osciloscópio o que 
ocorreu. Continuamos a aumentar a frequência, e agora observamos um aumento na 
diferença de fase e de potencial das ondas. 
Além disso, utilizamos um modo do osciloscópio que nos permitiu obter figuras 
de Lissajous, bem como analisar suas alterações. 
 
 
 
 
 
5 - OBTENÇÃO DA FREQUÊNCIA DE RESSONÂNCIA 
 
5.1 - Valor esperado pela teoria: 
 
 
 
A partir da definição da frequência de ressonância,que é dada pela equação 
, ωo = 1√L·C 
onde é a frequência angular natural, ou frequência de ressonância do sistema, L é ωo 
o valor da indutância, e C é o valor da capacitância. 
A partir dos valores obtidos pelo multímetro para a indutância e para a 
capacitância, calculamos o valor esperado para a frequência de ressonância. 
O valor obtido foi 87,6 kHz. 
 
 
5.2 - Valor obtido experimentalmente: 
 
Com o aumento da frequência do canal 1, a diferença de fase entre as ondas 
diminuía. Mantendo esse processo, chegamos ao ponto em que a diferença de fase é 
nula ou muito próxima de zero. Este é o ponto em que a frequência do canal 1 se torna 
igual à frequência de ressonância do sistema. Dessa forma, determinamos a frequência 
de ressonância de forma experimental. 
 
 
 
Figura 10: Valor da frequência de ressonância no canal 1. 
 
5.3 - Valor obtido utilizando as medições com o multímetro: 
 
O valor da frequência de ressonância também foi obtido através do cálculo pela 
equação 
 ωo = 1√L·C 
 
com a utilização dos valores de indutância e capacitância medidos pelo multímetro. 
Este cálculo envolveu também a propagação de erros dos valores obtidos com o 
multímetro: 
 
Impedância (mH) Capacitância (nF) Resistência (k​Ω) 
0,8 ± 0,2 3,3 ± 0,3 0,99 ± 0,01 
Tabela 2: Valores medidos com o multímetro e suas respectivas incertezas. 
 
 
Com​ ​representando o erro do cálculo. σ ⍵ 0 = √ σ σ 41 C 2(LC) 3 2L + 41 L 2(LC) 3 2C 
Desta forma, obtivemos para a frequência natural o valor de 100 土 10 Hz. 
 
 
 
6 - FIGURAS DE LISSAJOUS 
 
Sabemos que o movimento harmônico simples pode ser descrito como uma 
projeção do movimento circular uniforme em que o ângulo e o raio nos indica a posição 
desejada. 
 
 
Figura 11: Relação entre uma senóide e o círculo trigonométrico. 
 
 
 
O movimento circular uniforme por sua vez pode ser descrito por dois 
movimentos harmônicos em direções perpendiculares. Consideramos então as 
seguintes equações: 
 
 
 
 
Como as funções x e y, são funções que diferem entre si por um ângulo de fase de 90º 
ou (​π/2 radianos). Logo, escrevendo x em função de y, teremos que: 
 
 
 
 
 
Em decorrência da equação anterior temos que a Amplitude, velocidade e 
aceleração do movimento resultante dessa combinação é descrito por: 
 
 
 
 
. 
 
Que nos comprova que o MCU é de fato uma combinação de dois MHS ocorrendo no 
plano (x,y) com amplitudes iguais e defasagem de ​π/2 radianos. O que nos interessa é 
o que o corre quando fazemos essa combinação com amplitudes e fases diferente 
descritas a partir das equações periódicas senoidais: 
 
 
 
 
A partir disso, podemos nos perguntar: o resultado seria uma circunferência? A 
trajetória continuaria sendo circular? Ou seria formas geométricas diferentes de acordo 
com a relação entre as amplitudes e fases? 
De acordo com nossos estudos e observações experimentais a resposta é sim 
para a terceira pergunta e demonstraremos a seguir: 
Voltando ao circuito RLC, ao tirar a varredura temporal do osciloscópio e alternar 
para a forma de sistemas de coordenadas (x,y) analisamos o que ocorre quando 
temos dois sinais distintos de forma perpendicular. Os osciladores harmônicos 
perpendiculares entre si formaram figuras cujas trajetórias possuem formas diferentes 
de acordo com a relação entre as amplitudes e as fases. 
Vamos, então, descrever as equações anteriores em função de nosso 
procedimento experimental, o que temos é uma voltagem senoidal da fonte do CH1 
que é o nosso eixo x e temos também a voltagem do resistor no CH2 que é o eixo y. 
Temos então as equações para cada sinal elétrico​: 
 
 
 
 
 
 
Em que Vx é a tensão do gerador, e Vy a tensão do resistor. Vemos então que há uma 
diferença de amplitude para cada sinal e que há também uma diferença de fase. 
 
 
Escrevendo y em função de x encontraremos: 
 
 
 
Estudando a equação vemos que todas as combinações dos movimentos oscilatórios 
dos sinais em direções perpendiculares formarão trajetórias elípticascujas formas 
dependerão da razão das amplitudes e da diferença da fase. 
 
Observação importante: em nosso experimento a razão das frequências dos sinais era 
de 1:1 ⍵ então serão esses casos que iremos estudar. Mas é importante ressaltar que 
frequências diferentes produzirão movimentos e trajetórias mais complicadas, os 
movimentos resultantes só serão periódicos se a razão das frequências for tal que esta 
é um número racional​. 
 
A partir dessa equação podemos estudar alguns casos: 
 
1- Se φ = 0 (ou 360º), ao eliminar a fase dessas equações obtemos : 
 
 
 
 
Que nos dá a equação de uma reta passando pela origem e de inclinação R/Z. No caso 
em que R = Z a reta faz um ângulo de 45º com o eixo x e Vy e Vx atingem seus 
máximos e mínimos ao mesmo tempo pois estão em fase, em outras palavras, nessa 
 
 
situação o sistema está em ressonância e Vy = Vx. 
 
 
Gráfico 1: Movimento harmônico simples perpendicular em que a defasagem é nula e R = Z. 
 
2) Para φ = 90º ou φ = 270º 
Temos que a equação reduzida é a equação de uma elipse com eixos maior e menor 
descritos pela equação a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Podemos analisar a equação das seguintes maneiras, primeiramente observamos que 
nos casos em que a razão R/Z = 1 teremos a equação de uma circunferência com 
centro em (0,0) e raio Vo: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, em resumo retornaremos ao movimento circular uniforme quando a 
defasagem dos dois sinais senoidais que fazem 90º entre si for exatamente 90º (ou 
270º) como podemos observar na plotagem gráfica a seguir: 
 
 
Gráfico 2: Trajetória circular formada pela combinação dos sinais perpendiculares com defasagem de 90º 
e R=Z. 
 
Podemos notar que para valores diferentes da fase a elipse se torna excêntrica, 
com excentricidade máxima quando a defasagem é nula e a trajetória da figura 
observada é uma reta. 
Em resumo, o que temos é uma elipse que quando φ varia de 0º à 90º o 
movimento é modelado por uma reta até a formação de uma circunferência por meio de 
uma elipse. 
 
 
 
Exemplos de plotagem gráfica para 0º<φ<90º 
 
 
Gráfico 3: Trajetórias elípticas formada pela combinação dos sinais perpendiculares com diferentes 
defasagens e R=Z. 
 
Essas figuras construídas pela trajetória do movimento resultante são chamadas de 
Figura de Lissajous e as propriedades matemáticas dessas curvas foram estudadas 
por Jules Antoine Lissajous (1822 – 1870) 
Experimentalmente obtivemos as figuras: 
 
Figura 12: Reta obtida quando a defasagem é nula e o sistema se encontra em ressonância. 
 
 
 
Figura 13: Trajetória elíptica do movimento resultante dos sinais elétricos perpendiculares. 
 
 
Figura 14: Circunferência obtida quando φ=90º. 
 
 
 
 
 
 
5- RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Gráfico 4: Impedância em função da Frequência. 
 
 
O experimento realizado permitiu vericar o comportamento da impedância em 
função da frequência aplicada ao circuito. Notamos que numa frequência de 
aproximadamente 88 kHz o circuito apresenta mínima impedância. O valor para a 
frequência de ressonância obtida experimentalmente com seu respectivo erro cobriu o 
valor esperado teoricamente, a imprecisão pode ser pelo fato do circuito possuir maior 
resistência que o observado. Logo os resultados experimentais apresentaram-se 
satisfatórios, pois corroboram com o fundamento teórico