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1 MAT0361 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – PROFA: ADRIANA M. ADAMI PERÍODO 2014-2 - LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 3 TERCEIRA PROVA PARCIAL – PARTE 1 – SEÇÃO 16.1 E MATERIAL EXTRA (SEÇÕES 1 A 6) SEÇÃO 16.1 – PÁG. 1110 Exercícios 2, 4, 8 e 12. Resposta do exercício 2: 2a) é o campo vetorial I pois todos os vetores do campo são iguais. 2b) é o campo vetorial II pois são vetores unitários apontando no sentido oposto à origem. Resposta do exercício 4: Todas as sentenças são falsas. 4a) é falsa pois todos os vetores tem módulo igual a 1. Em 4b), o vetor não aponta para cima pois, no caso em que o ponto está sobre o eixo x, o valor de y será zero. Em 4c), o vetor não aponta para a a direita pois, no caso em que o ponto está sobre o eixo y, o valor de x será zero. Em cada caso, desenhe um vetor do campo caso você não consiga justificar as sentenças apenas interpretando a lei do campo vetorial. Resposta do exercício 8: Resposta do exercício 12: a) Portanto, F é um campo conservativo para todo x e para todo y. b) EXERCÍCIOS EXTRAS – PARTE 1 1. Desenhe a curva no espaço definida pela parametrização x = cos(t), y = sen(t), z = t, 0 t 2 . Desenhe “flechas” na curva para indicar o sentido no qual o caminho é percorrido: Resposta: a curva realiza uma espiral (no sentido anti-horário) em torno do cilindro à medida que t aumenta. A curva está mostrada na figura a seguir, e é conhecida como hélice circular reta. 2 2. Escreva as equações paramétricas e represente no espaço tridimensional os seguintes caminhos: a) O caminho C no espaço tridimensional dado pelo arco de circunferência no plano yz, centrado na origem, que une os pontos (0,0,-2) a (0,0,2) nesse sentido e com y≥0: b) O caminho C no plano dado pelo trecho do gráfico da hipérbole xy=4 que une os pontos (4,1) a (2,2) nesse sentido: Resposta: a) b) ou 3. Dadas as equações paramétricas do caminho C abaixo, determinar a equação cartesiana correspondente, e faça um esboço: Resposta: o caminho C representa uma circunferência que é dada pela intersecção do cilindro circular x2+y2=4 e o plano z = 5. 4. O campo vetorial aproxima o campo de velocidades da água que ocorre quando se puxa um tampão em uma canalização. Represente graficamente alguns vetores representativos desse campo: Resposta: 3 5. Para cada um dos campos vetoriais a seguir, liste 2 características importantes de cada campo desenhando alguns vetores representativos do campo se necessário: a) b) Respostas: a) Os vetores deste campo são vetores horizontais e cujo comprimento aumenta à medida que os vetores se afastam da origem. b) Os vetores deste campo são vetores unitários, e este campo não está definido na origem. 6. Determine a função potencial dos campos vetoriais a seguir caso ela existir: a) b) c) d) e) f) Respostas: a) b) c) d) O campo não é conservativo e, portanto, não existe uma função potencial associada a ele. f) TERCEIRA PROVA PARCIAL – PARTE 2 – SEÇÕES 16.2, 16.3 E MATERIAL EXTRA (SEÇÕES 7 A 10) SEÇÃO 16.2 – PÁG. 1126 Exercícios: 4, 29, 30, 37, 39 e 41. Resposta do exercício 4: a integral de linha é igual a zero pois os vetores do campo são perpendiculares ao caminho de integração. Resposta do exercício 30: SEÇÃO 16.3 – PÁG. 1137 Exercícios: 1, 3, 5, 19, 24 e 32 a). 4 Resposta do exercício 24: Como todos os vetores do campo são iguais, o campo é do tipo , onde a e b são constantes. Logo, a função potencial é e, portanto, o campo é conservativo. Resposta do exercício 32 a): e EXERCÍCIOS EXTRAS – PARTE 2 1. Determine o trabalho realizado pelo campo de força para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide , : Resposta: 2. Seja C a curva fechada que é fronteira da região do ℝ2 limitada pelos gráficos de y = x2 e , percorrida no sentido anti-horário. Encontre o trabalho que uma partícula do campo realiza ao deslocar-se ao redor de C: Resposta: 3. Seja . Calcule sendo o caminho C determinado pela hélice x = cos( t), y = sen( t) e z = t, de (1,0,0) até (-1,0,1): Resposta: 4. Dado o campo vetorial e um caminho qualquer C unindo os pontos (1, 0, 1) a nesse sentido: a) Calcule a função f tal que : b) Utilize a função calculada no item a) para calcular Respostas: a) f é a função potencial associada ao campo vetorial , e é dada por . b) Pelo teorema fundamental das integrais de linha . 5. Verificar se é um campo conservativo. Em caso afirmativo, calcular sendo que a notação significa a integral de linha de ao longo de qualquer caminho que une os pontos (1,0) a (1,1): Resposta: e2 – e 6. Calcule o trabalho realizado pelo campo para deslocar uma partícula, em linha reta, do ponto P(1,2) até Q(3,4): Resposta: ln(6) unidades de trabalho 7. Calcule o trabalho realizado pelo campo para deslocar uma partícula no caminho poligonal que une o ponto A(1,0,0) ao ponto B(0,2,2), passando por D(1,1,0): 5 Resposta: 25/6 unidades de trabalho 8. Calcule a integral ao londo do caminho C mostrado nas figuras a seguir: (a) (b) Respostas: a) b) 9. Calcule o trabalho realizado pelo campo para deslocar uma partícula ao longo da curva , no caminho que une o ponto A(-1,-2,0) ao ponto B(-2,-1,0). Esse trabalho é maior, menor ou igual ao trabalho realizado pelo mesmo campo para deslocar a partícula em linha reta de A até B? Resposta: o trabalho é igual à 1, e é independente da trajetória pois o campo é conservativo.
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