ListaPre-Prova2-2014-2 Prof Adriana

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MAT0361 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – PROFA: ADRIANA M. ADAMI 
PERÍODO 2014-2 - LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 2 
 
SEGUNDA PROVA PARCIAL – PARTE 1 – SEÇÕES 15.1 E 15.2 
SEÇÃO 15.1 – PÁG. 1024 
 Seção “Exercícios” : exercícios 2, 4, 6, 8, 10, 16, 20 e 29 
 Resposta do exercício 2: 16 
 Resposta do exercício 6: 
 
 
 
 
 
 
 Resposta do exercício 8: 20 
 Resposta do exercício 10: -2 
 Resposta do exercício 16: 
 
 
 
 Resposta do exercício 20:
 
SEÇÃO 15.2 – PÁG. 1033 
 Seção “Exercícios” : exercícios 4, 10, 14, 18, 23, 37, 45, 47, 49, 52 
 Resposta do exercício 4: 
 
 
 Dica para este exercício: reescreva a expressão 
 
 
 como 
 
 
 
 . 
 Resposta do exercício 10: 
 
 
 
 Resposta do exercício 14: 
 
 Resposta do exercício 18: 31/10 Resposta do exercício 52: sen(1) 
 
 
2 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS DA PARTE 1 
1. Faça o esboço e calcule o volume do sólido delimitado abaixo pelo retângulo D = [-1, 1] x [0,1] e acima 
pelo cilindro : 
Resposta: 4/3 
 
2. A carga elétrica é distribuída sobre uma região triangular R de vértices (0,0), (1,0) e (1,1), e cuja 
densidade de carga em qualquer ponto (x,y) de R é dada por Coulomb/cm2. 
Calcule a carga total na região R sabendo que esta é dada por : 
 Resposta: carga total é 1/72 Coulomb. 
3. Uma placa fina de metal no plano xy é aquecida de tal forma que a temperatura no ponto (x,y), em graus 
centígrados, é dada por . Determine a temperatura média em uma região retangular da 
placa para a qual e : 
Dica: a fórmula para calcular o valor médio de uma função f(x,y) numa região R é dada na pág. 1035 do 
livro-texto. 
Resposta: aproximadamente 2,84 C 
4. Um edifício deve ter um teto curvo e uma base retangular. Em relação a um sistema retangular de 
coordenadas, a base é a região retangular R = [-30, 30] x [-20, 20], onde x e y são dados em metros. A 
altura do teto acima de cada ponto (x,y) da base é dada por . 
a) Calcule o volume do prédio: b) Calcule a altura média do telhado: 
 Respostas: a) 25.040 m3 b) Aproximadamente 10, 43 m. 
 
Massa e centro de massa de uma lâmina não-homogênea: quando interpretamos o integrando f(x,y) 
como uma função densidade (massa por unidade de área), e a região R do plano xy como uma 
lâmina (placa fina) não-homogênea, a massa total M da placa pode ser calculada através da integral dupla 
 
 
. 
As coordenadas do centro de massa da lâmina podem ser calculadas através das seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas definições resolva os exercícios 5) e 6): 
5. Determine a massa de uma placa metálica R limitada por y = x e y = x2 e cuja densidade é 
 kg/m2 : Resposta: massa m = 5/24 kg 
3 
 
6. Uma lâmina triangular de vértices (0,0), (0,1) e (1,0) tem função densidade Calcule sua 
massa total e as coordenadas do centro de massa: 
Resposta: massa m = 1/24 unidades de massa, centro de massa 
 
 
 
 
 
 . 
 
SEGUNDA PROVA PARCIAL – PARTE 2– SEÇÃO 15.3 
 
SEÇÃO 15.3 – PÁG. 1041 
 Seção “Exercícios” : exercícios 2, 4, 24, 28, 30, 33, 45 
 Resposta do exercício 2: 
 
 
 
 Resposta do exercício 4: 
 
 
 
 Resposta do exercício 24: 
 
 
 
 Resposta do exercício 28: 
 Resposta do exercício 30: 
 
 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS DA PARTE 2 
1. Escreva a integral polar equivalente à integral cartesiana e, a seguir, calcule a 
integral polar, onde R é o anel delimitado por x² + y² = 16 e x² + y²=25. Deixe a sua resposta final exata e 
simplificada ao máximo: 
Resposta: 
 2. Utilizando coordenadas polares, calcule , onde R é dada por: 
 a) Círculo centrado na origem e de raio a, onde a > 0: 
 b) Círculo centrado no ponto (a,0) e de raio a, onde a > 0: 
 c) Círculo centrado no ponto (0,a) e de raio a, onde a > 0: 
 Respostas: 
 a) 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 c)