calculo 3

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo III - GEX 108
Lista 3
1. Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.
(a)
∫ 3pi
4
pi
4
∫ 2
1
rdrdθ (b)
∫ pi
pi
2
∫ 2senθ
0
rdrdθ
2. Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
(a)
∫∫
D
x2ydA, onde D é a metade superior do disco com centro na
origem e raio 5
(b)
∫∫
R
sen(x2+y2) dA, onde R é a região do primeiro quadrante entre
os círculos com centro na origem e raio 1 e 3
(c)
∫∫
D
e−x
2−y2 dA, onde D é a região limitada pelo semicírculo x =
√
4− y2
e o eixo y
(d)
∫∫
R
arctg(y/x) dA, onde R = {(x, y)| 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x }
3. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
(a) Abaixo do cone z =
√
x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 4
(b) Limitado pelo hiperboloide −x2 − y2 + z2 = 1 e pelo plano z = 2
(c) Uma esfera de raio a
4. Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas pola-
res.
(a)
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
sen(x2 + y2) dydx
(b)
∫ a
0
∫ 0
−
√
a2−y2
(x2y) dxdy
(c)
∫ 1
0
∫ √2−y2
y
(x+ y) dxdy
(d)
∫ 2
0
∫ √2x−x2
0
√
x2 + y2 dydx
1
RESPOSTAS
1. (a) 3pi4
(b) pi2
2. (a) 12503
(b) (pi/4)(cos1− cos9)
(c) (pi/2)(1− e−4)
(d) 364pi
2
3. (a) 163 pi
(b) 43pi
(c) 43pia
3
4. (a) 12pi(1− cos9)
(b) a
5
15
(c) 2
√
2/3
(d) 169
2