Lista 3 Limites Calculo I Quimica

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Lista 3 de Exercícios – Limites – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti 
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Universidade Estadual de Maringá 
Centro de Ciências Exatas 
Departamento de Matemática 
 
Lista 3 de Exercícios – Limites 
8719 - Cálculo Diferencial e Integral I – Química – Turma 31 
Professor: Marcelo Augusto de Oliveira Alberti 
 
 
O Limite de Uma Função 
 
1.Para a função 𝑔 cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, 
explique por quê. 
(a) lim𝑥→0− 𝑔(𝑡) (b) lim𝑥→0+ 𝑔(𝑡) (c) lim𝑥→0 𝑔(𝑡) (d) lim𝑥→2− 𝑔(𝑡) 
(e) lim𝑥→2+ 𝑔(𝑡) (f) lim𝑥→2 𝑔(𝑡) (g) 𝑔(2) (h) lim𝑥→4 𝑔(𝑡) 
 
 
 
2.Para a função 𝑅, cujo gráfico é mostrado a seguir, diga quem são: 
(a) lim𝑥→2 𝑅(𝑥) (b) lim𝑥→5 𝑅(𝑥) (c) lim𝑥→3− 𝑅(𝑥) (d) lim𝑥→3+ 𝑅 𝑥 
(e) As equações das assíntotas verticais. 
 
 
 
 
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3.Para a função 𝑓 cujo gráfico é mostrado a seguir, determine p seguinte: 
(a) lim𝑥→−7 𝑓(𝑥) (b) lim𝑥→−3 𝑓(𝑥) (c) lim𝑥→0 𝑓(𝑥) 
(d) lim𝑥→6− 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→6+ 𝑓 𝑥 (f) As equações das assíntotas verticais. 
 
 
 
4. Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de 𝑎 para os quais lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe: 
 
a) 𝑓 𝑥 = 
1 + 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < −1
 𝑥2 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 1
2 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 b) 𝑓 𝑥 = 
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0
cos 𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 𝜋
 
 
5. Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se existir) por meio dos valores da função nos números 
dados (com precisão de seis casas decimais). 
 
a) lim𝑥→2
𝑥2 − 2𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 2
, 𝑥 = 2,5; 2,1; 2,05; 2,01; 2,005; 2,001; 1,95; 1,99; 1,995; 1,999; 
 
b) lim𝑥→−1
𝑥2 − 2𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 2
, 𝑥 = 0; −0,5; −0,9; −0,95; −0,99; −0,999; −2; −1,5; −1,1; −1,01; −1,001; 
 
c) lim𝑥→0
 𝑒𝑥 – 1 – 𝑥 
 𝑥2
, 𝑥 = ±1; ±0,5; ±0,1; ±0,05; ±0,01; 
 
d) lim𝑥→0+ ln 𝑥 + 𝑥
2 , 𝑥 = 1; 0,5; 0,1; 0,05; 0,01; 0,005; 0,001; 
 
6. Determine o limite infinito. 
 
a) lim𝑥→−3+
 𝑥 + 2 
𝑥 + 3
 b) lim𝑥→−3−
 𝑥 + 2 
𝑥 + 3
 
 
c) lim𝑥→1
2 − 𝑥
(𝑥 − 1)2
 d) lim𝑥→5−
𝑒𝑥
(𝑥 − 5)3
 
 
e) lim𝑥→3+ ln(𝑥
2 − 9) f) lim𝑥→1+
1
 𝑥3 – 1 
 
 
g) lim𝑥→1−
1
 𝑥3 – 1 
 h) lim𝑥→2−
𝑥2 − 2𝑥
 𝑥2 − 4𝑥 + 4 
 
 
i) lim𝑥→2+
 𝑥2 − 2𝑥 – 8 
𝑥2 − 5𝑥 + 6
 
 
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Cálculo do Limite usando propriedade 
 
7. Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que 
forem usadas. 
 
a) lim𝑥→−2(3𝑥
4 + 2𝑥2 − 𝑥 + 1) b) lim𝑥→−1(𝑥
4 − 3𝑥)(𝑥2 + 5𝑥 + 3) 
 
c) lim𝑡→−2
𝑡4 − 2
 2𝑡2 − 3𝑡 + 2 
 d) lim𝑢→−2 𝑢4 + 3𝑢 + 6 
 
e) lim𝑡→2 
𝑡2 − 2
 𝑡3 − 3𝑡 + 5 
 
2
 f) lim𝑥→2 
 2𝑥2 + 1 
3𝑥 − 2
 
 
 
8. Calcule o limite, se existir. 
 
a) lim𝑥→2
 𝑥2 + 𝑥 – 6 
𝑥 − 2
 b) lim𝑥→−4
 𝑥2 + 5𝑥 + 4 
𝑥2 + 3𝑥 − 4
 
 
c) lim𝑥→2
 𝑥2 − 𝑥 + 6 
𝑥 − 2
 d) lim𝑥→−1
𝑥2 − 4𝑥
 𝑥2 − 3𝑥 – 4 
 
 
e) lim𝑡→−3
𝑡2 − 9
 2𝑡2 + 7𝑡 + 3 
 f) lim𝑥→−1
 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 
 
 
g) lim𝑕→0
(−5 + 𝑕)2 − 25
𝑕
 h) lim𝑕→0
(2 + 𝑕)3 − 8
𝑕
 
 
i) lim𝑥→−2
𝑥 + 2
 𝑥3 + 8 
 j) lim𝑡→1
 𝑡4 − 1
 𝑡3 − 1 
 
 
k) lim𝑕→0
 9 + 𝑕 − 3
𝑕
 l) lim𝑢→2
 4𝑢 + 1 − 3
𝑢 − 2
 
 
m) lim𝑥→−4
 
 1 
4
 – 
 1 
𝑥
 
4 + 𝑥 
 n) lim𝑥→−1
 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
𝑥4 − 1
 
 
o) lim𝑡→0
 1+ 𝑡 − 1− 𝑡
𝑡
 p) lim𝑡→0 
 1 
𝑡
 − 
1
 𝑡2 + 𝑡 
 
 
q) lim𝑥→16
4 – 𝑥 
16𝑥 − 𝑥2
 r) lim𝑕→0
(3 + 𝑕)−1 − 3−1
𝑕
 
 
s) lim𝑡→0 
1
 𝑡 1 + 𝑡 
 − 
 1 
𝑡
 t) lim𝑥→−4
 𝑥2 + 9 − 5 
𝑥 + 4
 
 
u) lim𝑕→0
(𝑥 + 𝑕)3 − 𝑥3
𝑕
 v) lim𝑕→0
1
(𝑥 + 𝑕)2
 − 
1
 𝑥2
𝑕
 
 
 
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9.Demonstre que lim𝑥→0 𝑥
4 cos
2
 𝑥 
 = 0. 
 
10.Demonstre que lim𝑥→0 𝑥. 𝑒
𝑠𝑒𝑛 
𝜋
 𝑥 
 
= 0. 
 
11. Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. 
 
a) lim𝑥→3 2𝑥 + 𝑥 − 3 b) lim𝑥→−6
 2𝑥 + 12 
 𝑥 + 6 
 
 
c) lim𝑥→0,5−
2𝑥 − 1
 2𝑥3 − 𝑥2 
 d) lim𝑥→−2
 2 − 𝑥 
2 + 𝑥
 
 
e) lim𝑥→0− 
 1 
𝑥
 – 
 1 
 𝑥 
 f) lim𝑥→0+ 
 1 
𝑥
 – 
 1 
 𝑥 
 
 
12. Seja 𝑔 𝑥 = 
 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 3 𝑠𝑒 𝑥 = 1
 2 − 𝑥2 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 2
 𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 > 2 
 
 
(a) Determine as quantidades a seguir, se existirem. 
(i) lim𝑥→1− 𝑔(𝑥) (ii) lim𝑥→1 𝑔(𝑥) (iii) 𝑔(1) 
(iv) lim𝑥→2− 𝑔(𝑥) (v) lim𝑥→2+ 𝑔(𝑥) (vi) lim𝑥→2 𝑔(𝑥) 
 
(b) Esboce o gráfico de 𝑔(𝑥). 
 
 
13. Calcule lim𝑥→2
 6 − 𝑥 − 2
 3 − 𝑥 − 1
. 
 
 
 
A Definição Precisa de um Limite 
 
14. Demonstre cada afirmação usando a definição 𝜀, 𝛿 de limite. 
 
a) lim𝑥→1 2𝑥 + 3 = 5 b) lim𝑥→−2 
1
2
𝑥 + 3 = 2 
 
c) lim𝑥→−3 1 − 4𝑥 = 13 d) lim𝑥→−2 3𝑥 + 5 = −1 
 
e) lim𝑥→1
2 + 4𝑥
3
= 2 f) lim𝑥→0 𝑥
2 = 0 
 
g) lim𝑥→2 𝑥
2 − 4𝑥 + 5 = 1 h) lim𝑥→−2 𝑥
2 − 1 = 3 
 
 
 
 
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Continuidade 
 
15. Use a definição de continuidade e propriedades de limites para demonstrar que a 
função é contínua em um dado número 𝑎. 
 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 7 − 𝑥, 𝑎 = 4. 
 
b) 𝑓 𝑥 = (𝑥 + 2𝑥3)4, 𝑎 = −1. 
 
c) 𝑓 𝑡 =
2𝑡 − 3𝑡2
1+ 𝑡3
, 𝑎 = 1. 
 
16. Use a definição de continuidade e propriedades de limites para demonstrar que a 
função é contínua no intervalo dado. 
 
a) 𝑓 𝑥 =
2𝑥+3
𝑥−2
, (2,∞). 
 
b) 𝑔 𝑥 = 2 3 − 𝑥, (−∞, 3]. 
 
 
17. Explique porque a função é descontinua no número dado 𝑎. Esboce o gráfico da 
função. 
 
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥+2
 𝑎 = −2 
 
b) 𝑓 𝑥 = 
1
𝑥+2
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ −2
 1 𝑠𝑒 𝑥 = −2
 𝑎 = −2 
 
c) 𝑓 𝑥 = 
𝑒𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 𝑎 = 0 
 
d) 𝑓 𝑥 = 
𝑥2−𝑥
𝑥2−1
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
 1 𝑠𝑒 𝑥 = 1
 𝑎 = 1 
 
e) 𝑓 𝑥 = 
 cos𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 0 𝑠𝑒 𝑥 = 0 
1 − 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 > 0
 𝑎 = 0 
 
f) 𝑓 𝑥 = 
2𝑥2−5𝑥−3
𝑥−3
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3
 6 𝑠𝑒 𝑥 = 3
 𝑎 = 3 
 
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18. Como você “removeria a descontinuidade” de 𝑓? Em outras palavras, como você 
definiria 𝑓(2) no intuito de fazer 𝑓 contínua em 2? 
 
a) 𝑓 𝑥 =
𝑥2−𝑥−2
𝑥−2
 b) 𝑓 𝑥 =
𝑥3−8
𝑥2−4
 
 
19. Encontre os pontos nos quais 𝑓 é descontínua. Em quais desses pontos 𝑓 é contínua à 
direita, à equerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico de 𝑓. 
 
a) 𝑓 𝑥 = 
 1 + 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0 
 2 − 𝑥 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 2 
(𝑥 − 2)2 𝑠𝑒 𝑥 > 2 
 
 
b) 𝑓 𝑥 = 
 𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1 
 
1𝑥 
 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 3 
 𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 
 
 
c) 𝑓 𝑥 = 
𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 𝑒𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 2 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
 
 
 
20. Quais das seguintes funções 𝑓 têm descontinuidade removível em 𝑎? Se a 
descontinuidade for removível, encontre uma função 𝑔 que seja igual a 𝑓 para 𝑥 ≠ 𝑎 e seja 
contínua em 𝑎. 
 
a) 𝑓 𝑥 =
𝑥4−1
𝑥−1
 , 𝑎 = 1 b) 𝑓 𝑥 =
𝑥3−𝑥2−2𝑥
𝑥−2
 , 𝑎 = 2 
 
21. Quais das seguintes funções 𝑓 têm descontinuidade removível em 𝑎? Se a 
descontinuidade for removível, encontre uma função 𝑔 que seja igual a 𝑓 para 𝑥 ≠ 𝑎 e seja 
contínua em 𝑎. 
 
a) 𝑥4 + 𝑥 − 3 = 0, ( 1 , 2 ) 
 
b) 𝑥
3
= 1 − 𝑥 , ( 0 , 1 ) 
 
c) 𝑒𝑥 = 3 − 2𝑥 , ( 0 , 1 ) 
 
d) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥, ( 1 , 2 ) 
 
 
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Limites no Infinito; Assíntotas Horizontais 
 
 
21. Para a função 𝑓, cujo gráfico é dado, diga quem são: 
 
(a) lim𝑥→2 𝑓 𝑥 (b) lim𝑥→−1− 𝑓 𝑥 (c) lim𝑥→−1+ 𝑓 𝑥 
 
(d) lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) (e) lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) (f) As equações das assíntotas 
 
 
 
 
22. Para a função g, cujo gráfico é dado, diga quem são: 
 
(a) lim𝑥→∞ 𝑔 𝑥 (b) lim𝑥→−∞ 𝑔 𝑥 (c) lim𝑥→3 𝑔 𝑥 
 
(d) lim𝑥→0 𝑔(𝑥) (e) lim𝑥→−2+ 𝑔(𝑥) (f) As equações das assíntotas 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23. Encontre o limite ou demonstre que não existe. 
 
a) lim𝑥→∞
1
 2𝑥 + 3 
 b) lim𝑥→∞
3𝑥 + 5
 𝑥 − 4 
 
 
c) lim𝑥→−∞
1 − 𝑥 − 𝑥2
 2𝑥2 − 7
 d) lim𝑦→∞
2 − 3𝑦2
 5𝑦2 + 4𝑦 
 
 
e) lim𝑡→∞
 𝑡 + 𝑡2
 2𝑡 − 𝑡2 
 f) lim𝑥→∞
𝑥2
 𝑥4 + 1
 
 
g) lim𝑥→∞
(2𝑥2 + 1)2
 𝑥 − 1 2(𝑥2 + 𝑥) 
 h) lim𝑥→−∞
 9𝑥6 − 𝑥
 𝑥3 + 1
 
 
i) lim𝑥→∞
 9𝑥6 − 𝑥
 𝑥3 + 1
 j) lim𝑥→−∞ 𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥 
 
k) lim𝑥→∞ 9𝑥6 − 𝑥 − 3𝑥 l) lim𝑥→∞ 𝑥2 + 1 
 
m) lim𝑥→∞
𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥
 𝑥3− 𝑥 + 2
 n) lim𝑥→∞(𝑒
−𝑥 + 2 cos 3𝑥) 
 
o) lim𝑥→−∞(𝑥
4 + 𝑥5) p) lim𝑥→−∞
1 + 𝑥6
 𝑥4 + 1 
 
 
q) lim𝑥→∞
1 − 𝑒𝑥
 1 + 2𝑒𝑥 
 r) lim𝑥→∞
𝑒3𝑥 − 𝑒−3𝑥
 𝑒3𝑥 + 𝑒−3𝑥 
 
 
s) lim𝑥→∞
3𝑥2 − 𝑥 + 4
2𝑥2 + 5𝑥 − 8 
 t) lim𝑥→∞ 
12𝑥3 − 5𝑥 + 2
 1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 
 
 
24. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. 
 
a) 𝑦 =
2𝑥 + 1
𝑥 − 2
 b) 𝑦 =
𝑥2 + 1
2𝑥2 − 3𝑥 − 2
 
 
c) 𝑦 =
2𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
 d) 𝑦 =
1 + 𝑥4
𝑥2 − 𝑥4
 
 
e) 𝑦 =
𝑥3 − 𝑥
𝑥2 − 6𝑥 + 5
 f) 𝑦 =
2𝑒𝑥
𝑒𝑥 − 5
 
 
g) 𝑦 =
 4𝑥2 + 1
𝑥 + 1
 h) 𝑦 =
− ln 𝑥 + 7
5 ln 𝑥
 
 
i) 𝑦 =
𝑥 + 1
𝑥2 − 1
 
 
 
 
 
Bons EstudoS