Relatório 4 - Métodos Experimentais em Engenharia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC 
 
 
Andressa Francine Martins, 11104814. 
Calvin Souto Trubiene, 11183409. 
Júlia Nara Paulino, 21050912. 
Pedro Paulo Reis Gomes, 11093314. 
Kauanna Naguissa Hino, 21024612. 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Experimentais de Engenharia: 
Relatório 04 – Coeficiente de Restituição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO BERNARDO DO CAMPO - SP 
2016 
2 
 
RESUMO 
 
 
Usualmente, o Coeficiente de Restituição é utilizado para medir a habilidade de um 
material absorver energia quando é atingido. Este coeficiente pode ser calculado de várias 
formas, pode-se usar a altura ou a velocidade do movimento elástico de um material, por 
exemplo. A partir disso, neste experimento, foi montado um aparato experimental de plano 
vertical, que tornasse possível determinar este coeficiente utilizando-se de diferentes 
métodos e comparações. Já no projeto relacionado a esse experimento, o objetivo era calcular 
este mesmo coeficiente, utilizando outro tipo de aparato experimental, o qual, no caso, foi 
um plano inclinado, montado previamente pelo grupo. 
 
 
3 
 
SUMÁRIO 
 
 
EXPERIMENTO 4 – COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO 
1. MATERIAIS E EQUIPAMENTOS............................................................................... 4 
2. METODOLOGIA E CUIDADOS EXPERIMENTAIS ................................................ 4 
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................................. 7 
4. CONCLUSÃO ............................................................................................................. 13 
PROJETO DO EXPRIMENTO – OBTENÇÃO DO COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO 
UTILIZANDO UM PLANO INCLINADO 
1. OBJETIVO ................................................................................................................... 14 
2. RESPOSTA DE INTERESSE ..................................................................................... 14 
3. EQUAÇÕES ÚTEIS .................................................................................................... 14 
4. MATERIAIS E MÉTODOS ........................................................................................ 15 
4.1. Materiais Utilizados .............................................................................................. 15 
4.2. Metodologia .......................................................................................................... 15 
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ....................................................................... 16 
5.1. Dados Obtidos ....................................................................................................... 18 
6. CONCLUSÃO ............................................................................................................. 22 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 23 
APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO .................................................................................... 24 
APÊNDICE B – DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DO TEMPO DE QUEDA �0 .... 27 
APÊNDICE C – DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DO COEFICIENTE DE 
RESTITUIÇÃO QUE UTILIZA O TEMPO DE QUEDA ................................................. 28 
APÊNDICE D – DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DO COEFICIENTE DE 
RESTITUIÇÃO CALCULADO POR MEIO DA RAZÃO ENTRE DOIS INTERVALOS 
DE COLISÕES. ................................................................................................................... 29 
 
 
4 
 
EXPERIMENTO 4 – COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO 
 
 
1. MATERIAIS E EQUIPAMENTOS 
 
 Osciloscópio; 
 Circuito amplificador conectado a um microfone de eletreto; 
 Fonte de alimentação; 
 Multímetro digital; 
 2 cabos de conexão banana/banana; 
 2 cabos de conexão banana/jacaré; 
 Cilindro de plástico; 
 Base de granito; 
 Cronômetro; 
 Bola de aço; 
 Bola de ping-pong. 
 
2. METODOLOGIA E CUIDADOS EXPERIMENTAIS 
 
Parte 1 – Medida do coeficiente de restituição da esfera de aço. 
 
Primeiramente, montou-se o aparato experimental conforme ilustrado na figura 
abaixo. 
 
 
Figura 1 - Aparato para determinação do coeficiente de restituição. 
5 
 
Em posse do artefato montado, mediu-se a altura H do cilindro com uma régua, neste 
momento o cuidado necessário era garantir a perpendicularidade entre o cilindro e a base de 
granito para a realização da medida. 
O principal objetivo ao utilizar esta proteção, era induzir a esfera lançada a se 
deslocar verticalmente após cada impacto, minimizando assim irregularidades na superfície 
da base. Além da aferição da altura H, estimou-se também a incerteza relativa a esta medida. 
 Posteriormente, mediu-se, com o auxílio de um cronômetro, o tempo de queda ��, 
que foi o tempo que a esfera de aço ficou em queda livre até tocar a base pela primeira vez, 
para a obtenção de resultados mais fidedignos, o grupo tomou o devido cuidado para que o 
lançamento fosse sempre realizado de uma altura fixa. 
Para tal, utilizou-se como referência a altura H do cilindro. A fim de minimizar as 
incertezas e as grandezas de influência, cada integrante do grupo realizou, nesta etapa, três 
medidas consecutivas. 
Em posse do valor experimental ��, comparou-se este valor obtido 
experimentalmente com o valor teórico de �� (considerando suas respectivas incertezas), 
calculado através de equação que se segue: 
 
�� = �
2�
�
 (1) 
 
Onde: 
H – Altura do cilindro de plástico; 
g – Aceleração da gravidade. 
 
Por fim, para a obtenção do intervalo de tempo entre os dois primeiros impactos 
sucessivos (∆�� e ∆��), fez-se necessário a adaptação do aparato experimental, anexando 
componentes à estrutura previamente montada. Tais componentes foram: 
- Microfone de eletreto, que teve seu sinal amplificado por um circuito amplificador, 
que por sua vez era alimentado por uma fonte de alimentação fixa, e os sinais eram captados 
e processados por um osciloscópio. 
A montagem foi realizada conforme a ilustração abaixo. 
 
6 
 
 
Figura 2 - Aparato para a coleta do sinal acústico e interpretação do sinal elétrico amplificado. 
 
A conexão entre o microfone, amplificador, fonte e osciloscópio foi realizada com o 
auxílio do técnico de laboratório e do monitor da disciplina. Um ponto importante a ser 
destacado, é que no roteiro do experimento estava indicado que se deveria tomar cuidado ao 
alimentar o circuito amplificador, não ultrapassando a tensão de 3,5 V, que deveria ser 
ajustada com o multímetro, ou caso contrário, poderia ocasionar a despolarização do 
microfone. Entretanto, foi passada a orientação pelo técnico que deveria ser utilizado o canal 
fixo de 5 V da fonte. 
Para a obtenção do tempo entre os impactos, “congelou-se” a imagem obtida no 
osciloscópio e a leitura foi realizada com o auxílio dos cursores horizontais (X1 e X2). Para 
o ajuste de amplitude, utilizou-se a função automático (autoset) e a base de tempo foi 
ajustada de acordo com as necessidades de visualização do grupo. 
 
Parte 2 – Obtenção do coeficiente de restituição da bola de ping-pong a partir do 
gráfico (∆�� × �). 
 
Nesta segunda etapa, o aparato utilizado foi o mesmo do procedimento experimental 
anterior, e o objetivo era captar o intervalo de tempo entre os impactos da bola de ping-pong 
com a base de granito, onde no mínimo deveriam ser captados dez choques entre a bola e a 
base. 
Novamente tomou-se o cuidado de lançar a bola da altura de referência H, a fim de 
evitar as grandezas de influência, como resistência do ar ou até mesmo a energia cinética 
intrínseca ao movimento rotacional da bola durante a queda.7 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Parte 1 – Medida do coeficiente de restituição da esfera de aço. 
 
 Conforme descrito na seção de metodologia, montou-se o aparato com o cilindro 
plástico “guia” e mediu-se sua altura H com uma régua, desta forma o valor obtido foi: 
 
� = 500 ± 0,5 �� 
 
 Notou-se que a altura do cilindro era ideal para a realização do experimento, visto 
que, caso o lançamento fosse realizado de uma altura maior, grandezas de influência tal 
como a resistência do ar, não poderiam ser desprezadas nos cálculos, diminuindo assim, a 
confiabilidade e precisão dos valores obtidos. 
Os valores cronometrados por cada um dos integrantes, em três lançamentos consecutivos, 
da esfera de aço, estão contidos na tabela a seguir. 
 
Tabela 2 – Tempo da primeira colisão, medido com o cronômetro. 
Integrante �� (s) �� (ms) 
Andressa 
0,26 260 
0,31 310 
0,20 200 
Calvin 
0,37 370 
0,28 280 
0,18 180 
Júlia 
0,21 210 
0,21 210 
0,19 190 
Kauanna 
0,27 210 
0,24 240 
0,20 200 
Pedro Paulo 
0,31 310 
0,34 340 
0,35 350 
Média 0,26 261 
Desvio Padrão 0,06 63 
 
8 
 
Com base nos valores obtidos nos lançamentos e nos cálculos de média e desvio 
padrão explicitados na tabela anterior, converge-se no seguinte valor de �� experimental 
médio: 
 
��� = 261± 63 �� 
 
A partir da expressão (1) calculou-se o valor de �� teórico. 
 
�� = �
2 ∗0,5
9,80665
 
�� = 0,319 � 
�� = 319 �� 
 
 A incerteza de �� pode ser determinada a partir da equação (2) abaixo, que está 
demonstrada no apêndice. 
 
��� =
√2
2
∗
��
�� ∗�
 (2) 
 
 Desta forma: 
 
��� =
√2
2
∗
5 × 10��
�9,80665∗0,5
 ⟹ ��� = 2 �� 
 
 Por fim, com base na equação horária do movimento e sua respectiva incerteza 
estimada em cálculos de propagação, obtém-se o seguinte valor teórico para ��. 
 
�� = 319 ± 2 �� 
 
Que, por sua vez, é coerente com o valor de �� experimental adquirido pelos 
integrantes do grupo e tratado estatisticamente, quando associado a sua incerteza e demais 
grandezas de influência. 
9 
 
Acoplaram-se, então, os demais componentes ao aparato experimental (microfone de 
eletreto, circuito amplificador, fonte de tensão e osciloscópio) e os resultados obtidos para 
os intervalos de tempo ∆�� e ∆�� foram os seguintes: 
 
Bola de Aço 
∆�� (ms) ∆�� (ms) 
478 211 
 
Em posse de todos os valores, calculou-se então o valor do coeficiente de restituição 
do aço, a partir da expressão (3) explicitada abaixo. 
 
� = �
∆��
2��
�
 (3) 
 
 Utilizou-se então o valor de ∆�� e o valor de ��, obtido através da equação horária do 
movimento. Para este cálculo, em razão destes valores, apresentarem mais precisão. 
 
� = 
478
2 ∗319
 ⟹ � = 0,749 
 
 Estimou-se a incerteza do coeficiente de restituição através da propagação de 
incertezas, que resultou na expressão (4) que se segue, também demonstrada nos apêndices. 
 
�� = � ∗��
�∆��
∆��
�
�
+ �
���
��
�
�
 (4) 
 
 Tomou-se como incerteza da medida do intervalo de tempo, obtida com o 
osciloscópio, o valor de metade da menor divisão, que no presente experimento utilizou-se 
76 milissegundos por divisão. Portanto, 
 
�� = 0,749∗��
38
478
�
�
+ �
2
319
�
�
⟹ �� = 0,060 
10 
 
 Em posse do valor do coeficiente de restituição e de sua incerteza, comparou-se este 
valor experimental com valores descritos na literatura, que diziam respeito ao choque entre 
partículas de aço e granito, e para a seguinte condição, o valor descrito era de 0,809. 
 Conclui-se, então, que o valor obtido experimentalmente é totalmente coerente com 
o descrito na literatura, indicando que as grandezas de influência presentes durante a 
realização do experimento puderam ser minimizadas a ponto de ser possível a obtenção de 
um valor muito próximo do esperado. Sendo este, 
 
� = 0,749± 0,060 
 
 Conforme se estudou na fundamentação teórica, também é possível obter o 
coeficiente de restituição a partir da medida das alturas de dois choques sucessivos, bem 
como dos intervalos de tempo sucessivos envolvendo três choques. E, a partir da expressão 
(5) descrita a seguir, e em posse dos valores de ∆�� e ∆��, calculou-se de uma segunda 
maneira o valor do coeficiente de restituição para a colisão experimentada. 
 
� =
∆����
∆��
 (5) 
 
 Sendo assim: 
 
� = 
∆��
∆��
 
� = 
211
478
 
� = 0,441 
 
 Através da propagação de incerteza, tem-se que: 
 
�� = � ∗��
�∆��
∆��
�
�
+ �
�∆����
∆����
�
�
 (6) 
 
 E, portanto: 
11 
 
�� = 0,441∗��
38
478
�
�
+ �
38
211
�
�
⟹ �� = 0,087 
 
 Desta forma, o valor para o coeficiente de restituição obtido através do intervalo de 
tempo entre três choques consecutivos e sua respectiva incerteza, é: 
 
� = 0,441± 0,087 
 
 Aqui, tem-se que o valor obtido do Coeficiente de Restituição, ao ser comparado com 
o valor da literatura, está totalmente fora do esperado. Fatores que podem explicar essa 
determinação são os erros do operador, dos instrumentos de medição e até mesmo na 
montagem do aparato experimental. 
Ou seja, as grandezas de influência presentes durante a realização dessa etapa do 
experimento não puderam ser minimizadas, não sendo possível a obtenção de um valor 
próximo do esperado. 
 
Parte 2 – Obtenção do coeficiente de restituição da bola de ping-pong a partir 
do gráfico (∆�� × �). 
 
 Conforme descrito na seção de metodologia, lançou-se uma bola de ping-pong, e o 
objetivo principal era captar no mínimo 10 colisões entre a bola e a base de granito, os 
valores coletados estão explicitados na tabela abaixo. 
 
Tabela 3 – Intervalo de tempo entre colisões 
 ∆�� (ms) 
∆�� 550 
∆�� 470 
∆�� 410 
∆�� 375 
∆�� 345 
∆�� 315 
∆�� 310 
12 
 
∆�� 270 
∆�� 265 
∆��� 250 
∆��� 220 
∆��� 200 
 
 A partir dos valores da tabela anterior, plotou-se um gráfico no software LABFit, que 
ajustou aos pontos experimentais uma curva exponencial, como pode ser observado no 
gráfico a seguir. 
 
Figura 3 – Gráfico de ∆�� × � . 
 
 
 A função ajustada à curva experimental, pelo software, foi uma exponencial, que ao 
ser combinada com a expressão (3) derivada, tem-se: 
 
∆�� = 2���
� 
� = ���� 
 
13 
 
 Portanto, 
 
� = 2�� 
� = �� 
 
 Obtém-se, então, o valor para o coeficiente de restituição da bola de ping-pong, 
através do cálculo a seguir. 
 
� = ���,����� 
� = 0,915 
 
4. CONCLUSÃO 
 
 O coeficiente de restituição é muito importante para várias aplicações industriais, 
como no desenvolvimento de objetos aplicados ao campo esportivo, onde, se procura cada 
vez mais, a sua maior eficiência. Neste experimento, foi perceptível que o uso deste 
coeficiente precisa de uma análise altamente precisa e com existência mínima de erros na 
sua determinação. 
Assim, fatores como a velocidade de impacto, a altura adotada no experimento e a 
precisão do operador são importantes para a obtenção do seu valor experimental. A partir 
disso, acredita-se, que são necessários mais experimentos para o estudo do comportamento 
desse coeficiente, já que alguns dos resultados obtidos não se mostraram tão precisos. 
 
 
14 
 
PROJETO DO EXPRIMENTO – OBTENÇÃO DO COEFICIENTE DE 
RESTITUIÇÃO UTILIZANDO UM PLANO INCLINADO 
 
 
1. OBJETIVO 
 
O objetivo desse projeto é obter o valor do coeficiente de restituição (�) de uma bola 
de aço utilizando um aparato experimental. 
 
2. RESPOSTA DE INTERESSE 
 
Em colisões perfeitamenteelásticas o coeficiente de restituição é � = 1, 
considerando que, nesse experimento, o sistema é de colisão parcialmente elástica, portanto 
dissipa energia, o coeficiente encontrado deverá ser 0 < � < 1. 
 
3. EQUAÇÕES ÚTEIS 
 
Em um sistema de partículas livre de forças externas, o momento linear permanece 
constante, ou seja, é o mesmo antes e após a colisão: 
 
�� = �� (1) 
 
Entretanto nada podemos afirmar sobre o que ocorre com a energia cinética, isto 
porque esta pode se alterar (ou não) devido a ação de forças internas. Temos que o momento 
linear e a energia cinética são definidos, respectivamente, como: 
 
� = �� (2) 
 
�� =
1
2
��� (3) 
 
As colisões quando classificadas em termos do que ocorre com a Energia Cinética se 
classificam em: 
15 
 
a) Elásticas: A Energia Cinética do sistema de partículas se conserva; 
b) Inelásticas: A Energia Cinética do sistema de partículas não se conserva. 
 
O parâmetro utilizado para verificar qual tipo de colisão ocorre é o coeficiente de 
restituição. Matematicamente é a razão entre a velocidade relativa de afastamento entre os 
corpos e a velocidade relativa de aproximação. Para dois corpos teríamos: 
 
� = 
|(�2� – �1�) |
|(�2� – �1�) |
 (4) 
 
O problema, que implica em termos de determinar quatro valores de velocidades, 
simplifica-se em obtermos apenas dois valores quando um dos corpos permanece em 
repouso. Entretanto, no experimento, algumas suposições serão utilizadas para evitar 
medições das velocidades. 
 
4. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
4.1. Materiais Utilizados 
 
- Bolinha de aço; 
- Plano inclinado; 
- Mola de compressão; 
- Celular com câmera; 
- Régua; 
 
4.2. Metodologia 
 
A maneira escolhida para calcular o coeficiente de restituição (ε), baseou-se em soltar a 
bolinha de aço de uma determinada altura em um plano inclinado, que após colidir com a 
mola de compressão presente na base do plano com a superfície da bancada, tendeu a retornar 
a uma posição final no plano inclinado. Para obter os valores em mm correspondentes a 
posição após a colisão, utilizou-se a régua, e um vídeo em slow-motion, realizado pela 
câmera de celular, que facilitou a visualização. 
16 
 
Com os valores do comprimento de retorno da bolinha no plano inclinado, foi 
possível determinar Rn, que corresponde à altura da posição final para cada n teste 
experimental realizado, assim como o valor Ln(Rn). Graficando Ln(Rn) x n, e analisando a 
inclinação, foi determinado o valor de ε. 
 
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 A ilustração do aparato utilizado no experimento, pode ser verificada na Figura 1. 
Para possibilitar a determinação de um valor da média do ângulo α, foram considerados três 
pontos de referência durante a montagem do aparato, tal que as alturas e comprimentos da 
base até o ponto foram determinados utilizando uma régua. 
 
 
Figura 3 - Esquema do plano inclinado utilizado no experimento. 
 
α = sin��(�) 
� = ������ ������ ℎ���������⁄ 
(5) 
 
A partir da Figura 1 e da Equação 5, foi possível determinar o ângulo α do plano 
inclinado. A partir do ângulo α determinado, os comprimentos e as alturas das posições da 
17 
 
esfera de metal poderiam ser relacionados mais facilmente. A incerteza associada é calculada 
através das derivadas parciais, logo, utilizamos a seguinte equação: 
 
∆α =
1
√1− ��
∆� (6) 
 
Portanto, os cálculos dos ângulos α e de suas incertezas podem ser observados a 
seguir: 
 
Tabela 1 - Dados para cálculo do ângulo do plano inclinado. 
#α 
Cateto Oposto 
(mm) 
Cateto 
Adjacente (mm) 
x α (°) ∆� 
1 60,0 ± 0,5 186,0 ± 0,5 0,3226 ± 0,0028 18,82 0,17 
2 120,0 ± 0,5 345,0 ± 0,5 0,3478 ± 0,0015 20,25 0,09 
3 180,0 ± 0,5 520,0 ± 0,5 0,3462 ± 0,0013 20,35 0,08 
 
�� = 18,82° ± 0,17° 
�� = 20,25° ± 0,09° 
�� = 20,35° ± 0,08° 
�� = ��,��° ± �,��° 
 
 
Figura 4 – Experimento montado no laboratório. 
 
18 
 
Após o cálculo do ângulo α e da montagem do experimento, foi adquirido os dados 
da altura da posição em que a esfera de metal seria solta e a massa da mesma para referência. 
 
Tabela 2 - Dados iniciais do experimento. 
Altura h0 (mm) σ (h0) Massa da bolinha de aço σ (m) 
203 0,5 16,38 0,01 
 
*h0 = altura em que a bolinha foi solta. 
 
5.1. Dados Obtidos 
 
Para ilustrar o posicionamento das variáveis que foram consideradas no retorno da 
bolinha após a colisão com a mola, um esquema representativo pode ser visualizado abaixo. 
 
 
Figura 5 - Representação esquemática do plano inclinado. 
 
A Tabela 2 mostra os dados obtidos experimentalmente que correspondem à 
distância da base do plano inclinado até a posição final percorrida pela bolinha de aço após 
a colisão com a mola. Os valores médios e seus respectivos valores de desvio padrão, foram 
calculados utilizando a equação: 
 
� = 
1
� − 1
∗ ��(�� − ∆��)��
�/�
 (6) 
 
 
19 
 
Tabela 3 - Dados obtidos experimentalmente da posição máxima da bolinha após colisão. 
 Andressa Júlia Kauanna Pedro Calvin 
n cfinal (mm) cfinal (mm) cfinal (mm) cfinal (mm) cfinal (mm) 
1 58 55 60 56 49 
2 12 10 19 15 11 
3 2 1 3 1 1 
 
* Incerteza da régua = 0,5 mm. 
* cfinal = medido com régua. 
 
 Após a aquisição dos valores da distância, utilizou-se o ângulo α médio característico 
do plano inclinado para calcular os valores da altura da base até a posição final da esfera de 
metal. 
 
�� = ������ ∗sin � (7) 
 
A Equação 7 mostra como a altura da posição máxima da esfera de metal após a 
colisão foi obtida. 
 
Tabela 4 - Valores de Rn e ln(Rn). 
 Andressa Júlia Kauanna Pedro 
n Rn (mm) Ln(Rn) Rn (mm) Ln(Rn) Rn (mm) Ln(Rn) Rn (mm) Ln(Rn) 
1 19.66 2.98 18.64 2.93 20.33 3.01 18.98 2.94 
2 4.07 1.40 3.39 1.22 6.44 1.86 5.08 1.63 
3 0.68 -0.39 0.34 -1.08 1.02 0.02 0.34 -1.08 
 
 A partir dos dados obtidos na Tabela 4, foi possível montar gráficos para cada 
operador e o gráfico geral, o qual foi utilizado para obtenção do coeficiente de restituição. 
É possível observar que as colisões se sucedem, sai de R1 e voltando a R2; sai de R2 
volta em R3. Dessa forma, escreveu-se �� em termos das distâncias percorridas para 
20 
 
encontrar uma expressão matemática que relacionava Rn como função de R0, ε e n (número 
de colisões). A equação deduzida foi: 
 
�� = �� ∗�
�� (8) 
 
Gráfico 1 - Ln(Rn) pelo Número da Colisão (n), Andressa. 
 
 
Gráfico 2- Ln(Rn) pelo Número da Colisão (n), Julia. 
 
 
Gráfico 3- Ln(Rn) pelo Número da Colisão (n), Kauanna. 
 
y = -1,6836x + 4,6981
R² = 0,9986
-1,50
-0,50
0,50
1,50
2,50
3,50
1 2 3
L
n(
R
n)
Número da Colisão (n)
y = -2,0037x + 5,0286
R² = 0,9926
-1,50
-0,50
0,50
1,50
2,50
3,50
1 2 3
L
n(
R
n)
Número da Colisão (n)
y = -1,4979x + 4,6262
R² = 0,9823
-1,50
-0,50
0,50
1,50
2,50
3,50
1 2 3
L
n
(R
n)
Número da Colisão (n)
21 
 
Gráfico 4- Ln(Rn) pelo Número da Colisão (n), Pedro. 
 
 
Os coeficientes angulares de cada gráfico estão listados abaixo: 
 
�� = 1,6836 
�� = 2,0037 
�� = 1,4979 
�� = 2,0127 
�̅ = 1,7995± 0,2188 
 
Porém, este número é totalmente incoerente com o experimento realizado. Desta 
forma, foram plotados todos os pontos calculados num total de doze posições: 
 
Gráfico 5 – Ln(Rn) por R(n). 
 
y = -2,0127x + 5,1878
R² = 0,9617
-1,50
-0,50
0,50
1,50
2,50
3,50
1 2 3
L
n(
R
n)
Número da Colisão (n)
y = 0,4252x - 1,4774
R² = 0,9443
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,000,34 0,34 0,68 1,02 3,39 4,07 5,08 6,44 18,64 18,98 19,66 20,33
L
n
(R
n
)
R(n)
22 
 
O reta de tendência traçada possui um coeficiente angular de 0,4252± 0,0639. 
Desta forma, utilizando na Equação 8, temos [2]: 
 
�� = 203,32∗(0,4252)
�� 
 
Para as colisões primeira, segunda e terceira: 
 
�� = 203,32∗(0,4252)
�(�) = 36,76 �� 
�� = 203,32∗(0,4252)
�(�) = 6,65�� 
�� = 203,32∗(0,4252)
�(�) = 1,20 �� 
 
Comprando os valores acima com o da Tabela 4, é possível observar uma certa 
discrepância. Entretanto, comparando com os dados obtidos pelo Experimento 4, através do 
cronômetro, um coeficiente de restituição muito próximo também foi obtido. 
 
6. CONCLUSÃO 
 
O experimento encontrou um coeficiente de restituição a partir da medida das alturas 
de dois choques sucessivos, bem como dos intervalos de tempo sucessivos envolvendo três 
choques de: � = 0,441± 0,087 . 
 Enquanto o projeto proposto da rampa inclinada encontrou um coeficiente de 
restituição de: � = 0,4252± 0,0639 . 
 Mesmo sendo próximos, o coeficiente de restituição encontrado no projeto 
proposto ainda está longe do valor empregado pela literatura, que é de: 
 
ε��ó���� = 0,809 
 
 Portanto, incertezas associadas às medições ocorreram, além do problema do atrito e 
da modelagem da mola utilizada no sistema. Dessa forma, uma alternativa para o projeto 
seria otimizá-lo através do cálculo do coeficiente de restituição pela conservação do 
momento linear: velocidades antes e pós-colisão. 
 
23 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
[1] Imre, B., Rabsamen, S., Springman, S. M. A coefficient of restitution of rock materials. 
Disponível em: <http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1332464> Acesso em: 
10/05/2016. 
 
 
[2] Departamento de Física e Química. Aulas Práticas de Física Experimental l: Colisões - 
Coeficiente de Restituição. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
- PUCMinas. Abril de 2012. Acessado em 9 de maio de 2016. Disponível em: 
http://www.dfq.pucminas.br/cronograma/cronograma_fis1.htm 
 
24 
 
APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO 
 
 
1) Como vocês esperam que variem as medidas de t0 (tempo de queda até o primeiro 
impacto), obtidas para as diversas bolas. Em teoria, estes valores deveriam ser 
diferentes? Comente. 
 
Os valores de �� teórico são iguais para todos os modelos de bola, portanto os valores 
de �� experimental também deveriam ser iguais, pois o tempo de queda é independente da 
massa do objeto e estes são liberados da mesma altura H. Em teoria a bola esta sendo 
abandonada no vácuo, e nessa situação não há dissipação da energia cinética, porém em uma 
situação real isso não ocorre, nesse experimento os corpos sofrem resistência do ar no 
movimento, e o tempo medido tem uma incerteza associada ao tempo que a pessoa leva para 
disparar e parar o cronômetro. Podendo, desta forma, causar diferentes valores para ��. 
 
2) Comente sobre as principais fontes de incertezas nos procedimentos de medição do 
coeficiente de restituição. 
 
As principais fontes de incertezas nos procedimentos de medição do coeficiente de 
restituição são: as medidas efetuadas pelos operadores no momento do disparo do 
cronômetro; apesar do cuidado para que as medidas fossem feitas em um local que se 
aproximasse do ideal, pode-se mencionar a resistência do ar como um fator a interferir nas 
medidas; outro ponto seria altura em que foram soltas as bolinhas, que apesar de serem 
próximas entre as medidas, não eram iguais; a trajetória feita pelo objeto não perfeitamente 
retilíneo; por último, as incertezas associadas aos instrumentos utilizados no procedimento 
experimental. 
 
3) Comente o efeito da base de granito no ensaio. Ela afeta os resultados? Sua massa 
afeta os resultados? 
 
A base de granito apresenta um coeficiente de restituição elevado, próximo a um, 
garantindo uma mínima dissipação da energia e uma colisão aproximadamente elástica. 
Desta forma, praticamente toda a energia com que a bolinha colide com a base de granito, 
25 
 
voltará para ela causando uma altura maior no quique (isto irá variar de acordo com o 
coeficiente de restituição da bolinha). As imperfeições da superfície também podem 
interferir nos resultados, pois após a colisão com uma superfície irregular, a bolinha pode ter 
sua direção desviada, alterando a altura posterior ao impacto e consequentemente, o tempo 
de subida. 
 Para o procedimento experimental, é necessário que a massa da base de granito não 
se mova após o choque com a bolinha, portanto a massa da base de granito deve ser muito 
maior que a massa das bolinhas. 
4) Pesquise na literatura valores para os coeficientes de restituição dos materiais 
avaliados, e comente eventuais diferenças entre estes valores e aqueles obtidos no 
experimento. 
 
Bola ����� ������������� 
Aço 0,809 0,749 
Ping-pong 0,870 0,915 
 
 Pode-se justificar a discrepância dos valores como resultado das grandezas que 
influenciam o experimento, como os erros de operação dos equipamentos, incertezas 
associadas a todas as medidas feitas e que nem sempre são levadas em consideração, o erro 
causado pelo movimento de lançamento feito pelo integrante do grupo, dentre diversas 
outras características intrínsecas a um experimento. 
 
5) Descreva três exemplos de aplicações industriais para o procedimento descrito neste 
experimento. 
 
Crash Test 
 
O car crash test, consiste em um teste onde um veículo em movimento colide com 
uma barreira indeformável ou deformável. Esse teste avalia qual a resistência dos materiais 
do carro quando sujeito a um impacto frontal e como esse choque é transferido aos 
passageiros do veículo. Muitos países possuem legislação específica que designa um valor 
mínimo de desempenho do carro, no crash test, para que esse possa ser comercializado. Esse 
procedimento tem grande relevância, uma vez que além de avaliar a segurança dos veículos 
26 
 
automotivos, simula uma situação real de acidente de trânsito que pode acabar com a intrusão 
de compartimentos do carro contra os passageiros, sendo assim um dos tipos mais graves de 
acidentes automotivos. Atualmente, existem softwares que simulam testes como esse 
utilizando o conhecimento dos materiais empregados na composição do carro bem como do 
material que será impactado. 
 
Determinação do coeficiente de restituição aplicada a calçados esportivos 
 
A tecnologia está intimamente ligada à confecção e produção de calçados de alto 
desempenho. A análise da atividade física realizada e o impacto que essa causa fornece dados 
para que se possa produzir calçados e palmilhas com materiais específicos que absorvam 
mais energia e consequentemente amorteçam o impacto que é transferido aos membros 
inferiores. 
 
Dimensionamento de estruturas 
 
O projeto de estrutura de qualquer edificação, máquina ou outro elemento qualquer 
é um estudo através do qual a estrutura em si e suas partes componentes são dimensionadas 
de forma que tenham resistência suficiente para suportar os esforços para as condições de 
uso a que serão submetidas. 
Este processo envolve a análise de tensões das partes componentes da estrutura e 
considerações a respeito das propriedades mecânicas dos materiais. A análise de tensões, 
esforços e as propriedades mecânicas dos materiais são os principais aspectos da resistência 
dos materiais. 
A determinação dos esforços e as deformações da estrutura quando as mesmas são 
solicitadas por agentes externos são os principais aspectos da análise estrutural. 
Com base em um coeficiente de segurança desejável e na análise estrutural chega-se às 
dimensões dos elementos estruturais.27 
 
 
APÊNDICE B – DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DO TEMPO DE QUEDA �� 
 
 A equação do tempo de queda (1) é descrita como: 
�� = �
2�
�
 
 
 Determina-se sua incerteza através do método de propagação de incertezas, por 
derivadas parciais, desta forma: 
 
��� = �(
���
��
∗��)
� 
 
 Que ao ser derivada, obtém-se: 
 
���
��
= �
2
�
∗
1
2√�
 
 
 Substituindo, chega-se a: 
 
��� = �(�
2
�
∗
1
2√�
∗��)� 
 
 Por fim, simplifica-se, chegando a expressão (2): 
 
��� =
√2
2
∗
��
�� ∗�
 
 
 
 
 
28 
 
APÊNDICE C – DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DO COEFICIENTE DE 
RESTITUIÇÃO QUE UTILIZA O TEMPO DE QUEDA 
 
 
 A equação (3) do coeficiente de restituição que utiliza o tempo de queda: 
� = �
∆��
2��
�
 
 Como se utilizou apenas o intervalo ∆��, pode se simplificar a equação anterior da 
seguinte forma: 
� =
∆��
2��
 
 
 Utilizando se o método de derivadas parciais, obtém-se: 
 
�� = ��
��
�∆��
∗�∆���
�
+ �
��
���
∗����
�
 
 
 Realizando as derivadas parciais, chegam-se as seguintes expressões: 
 
��
�∆��
=
1
2��
=
�
∆��
 
��
���
= −
∆��
2��
� = −
�
��
 
 
 Ao substituir, nota-se que: 
�� = ��
�
∆��
∗�∆���
�
+ �−
�
��
∗����
�
 
 
 Por fim ao simplificar-se a expressão a cima, deriva-se a expressão (4): 
 
�� = � ∗��
�∆��
∆��
�
�
+ �
���
��
�
�
 
29 
 
APÊNDICE D – DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DO COEFICIENTE DE 
RESTITUIÇÃO CALCULADO POR MEIO DA RAZÃO ENTRE DOIS 
INTERVALOS DE COLISÕES. 
 
 
 Para o respectivo caso a expressão (5) utilizada foi: 
 
� =
∆����
∆��
 
 
 A incerteza dessa medida será calcula também pelo método de propagação de 
incertezas. 
�� = ��
��
�∆��
∗�∆���
�
+ �
��
�∆����
∗�∆�����
�
 
 
 Realizando as derivadas parciais chega-se as seguintes expressões: 
 
��
�∆��
= −
∆����
∆��
� =
�
∆��
 
��
�∆����
=
1
∆��
=
�
∆����
 
 
 Substituindo: 
 
�� = ��
�
∆��
∗�∆���
�
+ �
�
∆����
∗�∆�����
�
 
 
 Finalmente, ao ser simplificada: 
 
�� = � ∗��
�∆��
∆��
�
�
+ �
�∆����
∆����
�
�