Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
14/8/2011 1 Física II - OndulatóriaFísica II - Ondulatória Prof. Leônidas Melo Unidade 2 – Ondas Mecânicas e Acústica Subunidade 2. Mecânica Ondulatória Unidade 2 – Ondas Mecânicas e Acústica Subunidade 2. Mecânica Ondulatória Tópicos 1) Propagação de uma perturbação 2) Modelo de onda 3) Velocidade de ondas progressivas em cordas 4) Reflexão e transmissão de ondas em cordas 5) Taxa de transferência de energia por ondas em cordas 6) Princípio da superposição 7) Interferência de ondas 8) Ondas estacionárias 14/8/2011 2 Ondas na superfície da água. Denomina-se onda o movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um meio. 1. Propagação de uma perturbação Observe que a cortiça apenas oscila na superfície da água, mas não é arrastada pelas ondas. Uma onda transmite energia sem o transporte de matéria. 14/8/2011 3 Todas as ondas mecânicas requerem a) Alguma fonte de perturbação b) Um meio que possa ser perturbado c) Algum mecanismo físico pelo qual as partículas do meio possam influenciar umas as outras Pulso de onda se deslocando por uma corda esticada Perturbação Meio material 14/8/2011 4 Classificação das ondas a) Longitudinais: as partículas do meio perturbado se movem paralelamente à direção de propagação da onda. b) Transversais: as partículas do meio perturbado se movem perpendicularmente à direção de propagação da onda. 2. Modelo matemático de uma onda (a) pulso em t=0 (b) pulso no momento t )()0,( xfxy = )0,(),( vtxftxy −= 14/8/2011 5 O deslocamento y para todas as posições x e momentos t pode ser expresso como: vt)f(xt)y(x, −= A função y(x,t) é chamada função de onda e depende de duas variáveis x e t. A função y(x,t) representa a coordenada y de qualquer ponto P situado na posição x em qualquer momento t. 14/8/2011 6 Ondas em cordas Onda senoidal: Características A - Amplitude λ - Comprimento de onda T - Período 14/8/2011 7 )sen(, tkxAt)y(x ω−=Onda senoidal para t=0 = x λ π A)y(x 2 sen0, para t −= )( 2 sen, vtx λ π At)y(x Como o período T é o tempo que a onda leva para se deslocar a distância de um comprimento de onda l, temos: −= )( 2 sen, t T x λ At)y(x λpi T v λ = −= ) 22 sen, t T x λ At)y(x pipi 14/8/2011 8 obtemos: )sen(, tkxAt)y(x ω−= Se definirmos: T k pi ω λ pi 2 2 ≡ ≡ Número de onda agular (rad/m) Freqüência angular (rad/s) T k pi ω λ pi 2 2 ≡ ≡ kT v ωλ == Definindo a freqüência f como 1/T, temos: fvf .e.2 λpiω == 14/8/2011 9 Se para x=0 e t=0 tivermos y≠0 a equação de onda fica: )sen( φω +−= tkxAy(x) Onde φ é a constante de fase e depende das condições iniciais. Exemplo: Uma onda senoidal que se desloca no sentido positivo de x tem uma amplitude de 15,0 cm, um comprimento de onda de 40,0 cm e uma freqüência de 8,0 Hz. O deslocamento vertical do meio em t=0 e x=0 também é de 15,0 cm. (a) Encontre o número de onda, o período, a freqüência angular e a velocidade da onda. (b) Determine a constante de fase e escreva a expressão geral para a função de onda. 14/8/2011 10 Hz0,8,cm40,cm15 === fA λ rad/cm157,0 cm0,40 rad22 === pi λ pi k (a) s125,0 s8,0 11 1- === f T rad/s3,50)s0,8(22 1 === −pipiω f cm/s320)cm0,40)(s0,8( 1 === −fv λ solução (b) A = 15 cm, y=15 cm (x=0 e t=0) y(x,t) = A sen(kx-ωt-φ) ⇒y(0,0) = Asen(k.0 - ω.0 + φ) ⇒15 cm = 15 cm sen(φ) ⇒ φ=pi/2 y(x,t) = 15 cm sen(0,157x - 50,3t + pi/2) 14/8/2011 11 Equação da onda linear Observe a figura abaixo: 2 2 22 2 ),(1),( t txy vx txy ∂ ∂ = ∂ ∂ Se para t=0 a forma de onda for descrita na figura b a função de onda pode ser descrita como: )sen( tkxAy ω−= Onde y representa o deslocamento de uma partícula da corda na posição x no tempo t. 14/8/2011 12 Podemos determinar a velocidade vy(x,t) de um ponto P da corda. )cos(),( tkxA t y dt dy txv ctex y ωω −−=∂ ∂ == = A aceleração ay(x,t) do ponto P é dada por: )(sen),( 2 2 2 tkxA t y dt dv txa ctex y y ωω −−=∂ ∂ == = Portanto: )cos(),( tkxAtxvy ωω −−= )(sen),( 2 tkxAtxay ωω −−= Av MAXy ω=, Aa MAXy 2 , ω= Valores máximos da velocidade e aceleração transversal 14/8/2011 13 Se calcularmos a primeira e a segunda derivada da função y em relação a x temos: )cos( tkxkA x y dx dy ctet ω−= ∂ ∂ = = )(sen2 2 2 tkxAk x y ω−−= ∂ ∂ Resumindo, temos: = ∂ ∂ =−− 2 2 2 1 )(sen t y w tkxA ω)(sen2 2 2 tkxA t y ωω −−= ∂ ∂ )(sen2 2 2 tkxAk x y ω−−= ∂ ∂ 2 2 2 1 )(sen x y k tkxA ∂ ∂ =−− ω portanto .2 2 2 2 2 2 t y kx y ∂ ∂ = ∂ ∂ ω k v ω =Lembrando que temos: 2 2 22 2 1 t y vx y ∂ ∂ = ∂ ∂ Equação da onda Linear 14/8/2011 14 Exemplo: Um pulso de onda que se desloca para a direita ao longo do eixo x é representado pela função de onda: 1)0,3( 0,2 ),( 2 +− = tx txy Onde x e y são medidos em centímetros e t em segundos. (a) Desenhe graficamente a forma de onda em t=0, t=1s e t=2s. (b)Verifique que a função satisfaz a equação da onda linear Solução: (a) 0 1)( 0,2 )0,( 2 = + = tem x xy 1 1)3( 0,2 )1,( 2 = +− = tem x xy 2 1)6( 0,2 )2,( 2 = +− = tem x xy 14/8/2011 15 Solução: (b) 1)0,3( 0,2 ),( 2 +− = tx txy 32 2 2 2 ]1)0,3[( 4)3(12 +− −− = ∂ ∂ tx tx x y 32 2 2 2 ]1)0,3[( 36)3(108 +− −− = ∂ ∂ tx tx t y 2 2 2 2 9 1 t y x y ∂ ∂ = ∂ ∂ 3. Velocidade de ondas transversais em cordas θTθTFr 2sen2 ≈= θRµsµm 2∆ == R vθRµ θT R mv Fr 22 2 2 =→= µ T v = Sistema de referência com a mesma velocidade do pulso 14/8/2011 16 Velocidade de ondas transversais em cordas “A velocidade de uma onda depende somente das propriedades do meio na qual a onda se propaga”. Exemplo: Uma cabo uniforme tem uma massa de 0,30 Kg e um comprimento total de 6,0 m. A tensão é mantida no cabo pela suspensão de um corpo de massa 2,00 Kg por uma das extremidades do cabo. Encontre a velocidade de um pulso nesse cabo. Suponha que a tensão não é afetada pela massa do cabo. 14/8/2011 17 )6,19/8,9)(0,2( 2 NsmkgmgT === mKg m Kg l m µ 05,0 0,6 3,0 === sm µ T v 8,19 05,0 6,19 === Solução 4. Reflexão e transmissão de ondas Extremidade Fixa Extremidade Livre Pulso incidente Pulso incidente Pulso refletido Pulso refletido 14/8/2011 18 Pulso incidente Pulso incidente Pulso refletido Pulso refletido Pulso transmitido Pulso transmitido 5. Transferência de energia por ondas em cordas � Energia cinética: Devido ao movimento dos pontos da corda, definidos pela velocidade transversal vy. � Energia potencial: Devido ao fato da onda comprimir e esticar a corda periodicamente durante sua passagem. 14/8/2011 19 Potência transmitida Energia cinética 2. 2 1 yC vdmdE = µ=∆m/∆x → densidade linear de massa dxdmtkxAtxvy µωω =−−= e)cos(),( 2. 2 1 yC vdmdE = )(cos))(( 2 1 22 tkxAdxdEC ωωµ −−= )(cos))(( 2 1 22 tkxA dt dx dt dEC ωωµ −= A taxa na qual a energia cinética é transportada é: 14/8/2011 20 )(cos))(( 2 1 22 tkxA dtdx dt dEC ωωµ −= )(cos))(( 2 1 22 tkxAv dt dEC ωωµ −= )(cos))(( 2 1 22 tkxAv dt dEC ωωµ −= 2))(( 4 1 Av dt dEC ωµ= A taxa média na qual a energia cinética é transportada é, portanto A taxa média na qual a energia potencial é transportada também é dada pela expressão acima. Deste modo a potência média é: dt dE P C2= 2))(( 2 1 AvP ωµ= 14/8/2011 21 6. Princípio da superposição “Se duas ou mais ondas progressivas estão se movendo em um meio e se combinam em um dado ponto, o deslocamento resultante nesse ponto é a soma dos deslocamentos das ondas individuais”. ),(),(),( 21 txytxytxy += Conseqüência do princípio da superposição: “Duas ondas progressivas podem se cruzar sem ser destruídas ou mesmo alteradas” 14/8/2011 22 7. Interferência de ondas Sejam duas ondas, y1 e y2, com mesmo comprimento de onda e mesma amplitude, mas com fase diferente )sen(e)sen( 21 φωω +−=−= tkxAytkxAy +− = 2 sen 2 cos2 φ ω φ tkxAy )]sen()[sen(21 φωω +−+−=+= tkxtkxAyyy + − =+ 2 sen 2 cos2sensen baba baUsando a relação: 14/8/2011 23 Interferência de ondas +− = 2 sen 2 cos2 φ ω φ tkxAy Dependendo da diferença de fase entre y1 e y2, o ângulo φ, as ondas poderão dobrar a amplitude se estiverem em fase, ou se neutralizar mutuamente se estiverem completamente fora de fase. φ =0 (Interferência construtiva) φ =pi (Interferência destrutiva) φ =pi/3 (Amplitude entre 0 e 2A ) 14/8/2011 24 8. Ondas estacionárias )sen(e)sen( 21 tkxAytkxAy ωω +=−= Sejam as ondas: )sen()sen(21 tkxAtkxAyyy ωω ++−=+= A soma das ondas y1 e y2 é: abbaba cossencossen)sen( ±=± Usando a relação: )sen()sen(21 tkxAtkxAyyy ωω ++−=+= Temos: )cos()sen2( tkxAy ω= 14/8/2011 25 )cos()sen2( tkxAy ω= Onda estacionária Onda estacionária é um padrão de oscilação que resulta de duas ondas que se propagam em sentido contrário. O termo cos(ωt) indica que todas as partículas da corda descrevem movimentos harmônicos simples de mesma freqüência. Padrões de ondas estacionárias em diversos instantes produzidos por ondas de mesma amplitude propagando- se em sentidos opostos. 14/8/2011 26 O máximo de amplitude ocorre quando a coordenada x satisfaz a condição: senkx=1, ou ,... 2 5 , 2 3 , 2 pipipi =kx Como k=2pi/λ, as posições de máxima amplitude, chamadas antinodos, são: 4 ,..., 4 3 ,, 4 λλλλ nx = 4 ,... 4 3 ,, 4 λλλλ nx == Os antinodos estão separados por uma distância de λ/2. 14/8/2011 27 Similarmente, o mínimo de amplitude ocorre quando a coordenada x satisfaz a condição: senkx=0, ou ...,3,2, pipipi=kx Como k=2pi/λ, as posições de mínimo de amplitude, chamadas nodos, são: 2 ,..., 2 3 ,, 2 λλλλ nx = Os nodos estão separados por uma distância de λ/2. 2 ,... 2 3 ,, 2 λλλλ nx == Os nodos estão separados por uma distância de λ/2. 14/8/2011 28 8. Ondas estacionárias em cordas (a) Uma corda de comprimento L fixa nas extremidades. Os modos normais de vibração formam uma séries harmônica. (b) a freqüência fundamental, (c) segundo harmônico, e (d) o terceiro harmônico. Primeiro modo de vibração 2 1λ =L L.21 =λou 14/8/2011 29 2λ=L Segundo modo de vibração De um modo geral ,...)3,2,1( 2 == n n L nλ Lembrando que: λ v f = ,...)3,2,1( 2 === nv L nv f n n λ A velocidade da onda em uma corda é dada por: → → = massadelinearDensidade corda na TensãoT onde µµ T v ,...)3,2,1( 2 == n T L n fn µ 14/8/2011 30 µ T L f 2 1 1 = A freqüência fundamental
Compartilhar