Unidade_1_Ondas_Mecanicas

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14/8/2011
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Física II - OndulatóriaFísica II - Ondulatória
Prof. Leônidas Melo
Unidade 2 – Ondas Mecânicas e Acústica
Subunidade 2. Mecânica Ondulatória
Unidade 2 – Ondas Mecânicas e Acústica
Subunidade 2. Mecânica Ondulatória
Tópicos
1) Propagação de uma perturbação
2) Modelo de onda
3) Velocidade de ondas progressivas em cordas
4) Reflexão e transmissão de ondas em cordas 
5) Taxa de transferência de energia por ondas em cordas
6) Princípio da superposição
7) Interferência de ondas
8) Ondas estacionárias
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Ondas na superfície da água. 
Denomina-se onda o movimento causado por uma
perturbação que se propaga através de um meio.
1. Propagação de uma perturbação
Observe que a cortiça apenas oscila na superfície
da água, mas não é arrastada pelas ondas.
Uma onda transmite energia sem o transporte de
matéria.
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Todas as ondas mecânicas requerem
a) Alguma fonte de perturbação
b) Um meio que possa ser perturbado
c) Algum mecanismo físico pelo qual as
partículas do meio possam influenciar
umas as outras
Pulso de onda se deslocando por uma corda esticada
Perturbação
Meio 
material
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Classificação das ondas
a) Longitudinais: as partículas do meio perturbado se
movem paralelamente à direção de propagação da onda.
b) Transversais: as partículas do meio perturbado se movem
perpendicularmente à direção de propagação da onda.
2. Modelo matemático de uma onda
(a) pulso em t=0 (b) pulso no momento t
)()0,( xfxy = )0,(),( vtxftxy −=
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O deslocamento y para todas as posições x e
momentos t pode ser expresso como:
vt)f(xt)y(x, −=
A função y(x,t) é chamada função de onda e
depende de duas variáveis x e t.
A função y(x,t) representa a coordenada y de
qualquer ponto P situado na posição x em
qualquer momento t.
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Ondas em cordas
Onda senoidal: Características
A - Amplitude
λ - Comprimento de onda 
T - Período
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)sen(, tkxAt)y(x ω−=Onda senoidal
para t=0






= x
λ
π
A)y(x
2
sen0,
para t






−= )(
2
sen, vtx
λ
π
At)y(x
Como o período T é o tempo que a onda leva para
se deslocar a distância de um comprimento de onda
l, temos:






−= )(
2
sen, t
T
x
λ
At)y(x
λpi
T
v
λ
=






−= )
22
sen, t
T
x
λ
At)y(x
pipi
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obtemos:
)sen(, tkxAt)y(x ω−=
Se definirmos:
T
k
pi
ω
λ
pi
2
2
≡
≡ Número de onda agular (rad/m)
Freqüência angular (rad/s)
T
k
pi
ω
λ
pi
2
2
≡
≡
kT
v
ωλ
==
Definindo a freqüência f como 1/T, temos:
fvf .e.2 λpiω ==
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Se para x=0 e t=0 tivermos y≠0 a equação de onda
fica:
)sen( φω +−= tkxAy(x)
Onde φ é a constante de fase e depende das 
condições iniciais.
Exemplo:
Uma onda senoidal que se desloca no sentido positivo de
x tem uma amplitude de 15,0 cm, um comprimento de
onda de 40,0 cm e uma freqüência de 8,0 Hz. O
deslocamento vertical do meio em t=0 e x=0 também é
de 15,0 cm.
(a) Encontre o número de onda, o período, a freqüência
angular e a velocidade da onda.
(b) Determine a constante de fase e escreva a expressão
geral para a função de onda.
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Hz0,8,cm40,cm15 === fA λ
rad/cm157,0
cm0,40
rad22
===
pi
λ
pi
k
(a)
s125,0
s8,0
11
1-
===
f
T
rad/s3,50)s0,8(22 1 === −pipiω f
cm/s320)cm0,40)(s0,8( 1 === −fv λ
solução
(b) A = 15 cm, y=15 cm (x=0 e t=0)
y(x,t) = A sen(kx-ωt-φ) 
⇒y(0,0) = Asen(k.0 - ω.0 + φ)
⇒15 cm = 15 cm sen(φ) ⇒ φ=pi/2
y(x,t) = 15 cm sen(0,157x - 50,3t + pi/2) 
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Equação da onda linear
Observe a figura abaixo: 2
2
22
2 ),(1),(
t
txy
vx
txy
∂
∂
=
∂
∂
Se para t=0 a forma de onda for descrita na figura b a
função de onda pode ser descrita como:
)sen( tkxAy ω−=
Onde y representa o deslocamento de uma partícula da
corda na posição x no tempo t.
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Podemos determinar a velocidade vy(x,t) de um ponto P da
corda.
)cos(),( tkxA
t
y
dt
dy
txv
ctex
y ωω −−=∂
∂
==
=
A aceleração ay(x,t) do ponto P é dada por:
)(sen),( 2
2
2
tkxA
t
y
dt
dv
txa
ctex
y
y ωω −−=∂
∂
==
=
Portanto:
)cos(),( tkxAtxvy ωω −−=
)(sen),( 2 tkxAtxay ωω −−=
Av MAXy ω=,
Aa MAXy
2
, ω=
Valores máximos da
velocidade e aceleração
transversal
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Se calcularmos a primeira e a segunda derivada da função y
em relação a x temos:
)cos( tkxkA
x
y
dx
dy
ctet
ω−=
∂
∂
=
=
)(sen2
2
2
tkxAk
x
y
ω−−=
∂
∂
Resumindo, temos:
=
∂
∂
=−−
2
2
2
1
)(sen
t
y
w
tkxA ω)(sen2
2
2
tkxA
t
y
ωω −−=
∂
∂
)(sen2
2
2
tkxAk
x
y
ω−−=
∂
∂
2
2
2
1
)(sen
x
y
k
tkxA
∂
∂
=−− ω
portanto .2
2
2
2
2
2
t
y
kx
y
∂
∂
=
∂
∂ ω
k
v
ω
=Lembrando que
temos:
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
∂
∂
=
∂
∂ Equação da onda Linear
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Exemplo:
Um pulso de onda que se desloca para a direita ao longo
do eixo x é representado pela função de onda:
1)0,3(
0,2
),(
2 +−
=
tx
txy
Onde x e y são medidos em centímetros e t em segundos.
(a) Desenhe graficamente a forma de onda em t=0, t=1s e
t=2s.
(b)Verifique que a função satisfaz a equação da onda
linear
Solução: (a)
0
1)(
0,2
)0,(
2
=
+
= tem
x
xy
1
1)3(
0,2
)1,(
2
=
+−
= tem
x
xy
2
1)6(
0,2
)2,(
2
=
+−
= tem
x
xy
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Solução: (b)
1)0,3(
0,2
),(
2 +−
=
tx
txy
32
2
2
2
]1)0,3[(
4)3(12
+−
−−
=
∂
∂
tx
tx
x
y
32
2
2
2
]1)0,3[(
36)3(108
+−
−−
=
∂
∂
tx
tx
t
y
2
2
2
2
9
1
t
y
x
y
∂
∂
=
∂
∂
3. Velocidade de ondas transversais em cordas
θTθTFr 2sen2 ≈=
θRµsµm 2∆ ==
R
vθRµ
θT
R
mv
Fr
22 2
2 =→=
µ
T
v =
Sistema de referência com a 
mesma velocidade do pulso 
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Velocidade de ondas transversais em cordas
“A velocidade de uma onda depende somente das 
propriedades do meio na qual a onda se propaga”.
Exemplo: Uma cabo uniforme tem uma massa de 0,30 Kg e
um comprimento total de 6,0 m. A tensão é mantida no cabo
pela suspensão de um corpo de massa 2,00 Kg por uma das
extremidades do cabo. Encontre a velocidade de um pulso
nesse cabo. Suponha que a tensão não é afetada pela massa do
cabo.
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)6,19/8,9)(0,2( 2 NsmkgmgT ===
mKg
m
Kg
l
m
µ 05,0
0,6
3,0
===
sm
µ
T
v 8,19
05,0
6,19
===
Solução
4. Reflexão e transmissão de ondas
Extremidade Fixa Extremidade Livre
Pulso incidente
Pulso incidente
Pulso refletido
Pulso refletido
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Pulso incidente
Pulso 
incidente
Pulso 
refletido
Pulso 
refletido
Pulso 
transmitido
Pulso 
transmitido
5. Transferência de energia por ondas em cordas
� Energia cinética: Devido ao movimento dos pontos
da corda, definidos pela velocidade transversal vy.
� Energia potencial: Devido ao fato da onda
comprimir e esticar a corda periodicamente durante sua
passagem.
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Potência transmitida
Energia cinética
2.
2
1
yC vdmdE =
µ=∆m/∆x → densidade linear de massa
dxdmtkxAtxvy µωω =−−= e)cos(),(
2.
2
1
yC vdmdE =
)(cos))((
2
1 22 tkxAdxdEC ωωµ −−=
)(cos))((
2
1 22 tkxA
dt
dx
dt
dEC ωωµ −=
A taxa na qual a energia cinética é transportada é:
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)(cos))((
2
1 22 tkxA
dtdx
dt
dEC ωωµ −=
)(cos))((
2
1 22 tkxAv
dt
dEC ωωµ −=
)(cos))((
2
1 22 tkxAv
dt
dEC ωωµ −=
2))((
4
1
Av
dt
dEC ωµ=
A taxa média na qual a energia cinética é transportada é,
portanto
A taxa média na qual a energia potencial é transportada
também é dada pela expressão acima. Deste modo a
potência média é:
dt
dE
P C2= 2))((
2
1
AvP ωµ=
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6. Princípio da superposição
“Se duas ou mais ondas progressivas estão se movendo
em um meio e se combinam em um dado ponto, o
deslocamento resultante nesse ponto é a soma dos
deslocamentos das ondas individuais”.
),(),(),( 21 txytxytxy +=
Conseqüência do princípio da superposição:
“Duas ondas progressivas podem se cruzar sem ser
destruídas ou mesmo alteradas”
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7. Interferência de ondas
Sejam duas ondas, y1 e y2, com mesmo comprimento de
onda e mesma amplitude, mas com fase diferente
)sen(e)sen( 21 φωω +−=−= tkxAytkxAy






+−





=
2
sen
2
cos2
φ
ω
φ
tkxAy
)]sen()[sen(21 φωω +−+−=+= tkxtkxAyyy





 +





 −
=+
2
sen
2
cos2sensen
baba
baUsando a relação:
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Interferência de ondas






+−





=
2
sen
2
cos2
φ
ω
φ
tkxAy
Dependendo da diferença de fase entre y1 e y2, o ângulo
φ, as ondas poderão dobrar a amplitude se estiverem em
fase, ou se neutralizar mutuamente se estiverem
completamente fora de fase.
φ =0 
(Interferência construtiva)
φ =pi
(Interferência destrutiva)
φ =pi/3
(Amplitude entre 0 e 2A )
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8. Ondas estacionárias
)sen(e)sen( 21 tkxAytkxAy ωω +=−=
Sejam as ondas:
)sen()sen(21 tkxAtkxAyyy ωω ++−=+=
A soma das ondas y1 e y2 é: 
abbaba cossencossen)sen( ±=±
Usando a relação:
)sen()sen(21 tkxAtkxAyyy ωω ++−=+=
Temos: )cos()sen2( tkxAy ω=
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)cos()sen2( tkxAy ω= Onda estacionária
Onda estacionária é um padrão de oscilação que resulta de 
duas ondas que se propagam em sentido contrário.
O termo cos(ωt) indica que todas as partículas da corda 
descrevem movimentos harmônicos simples de mesma 
freqüência.
Padrões de ondas estacionárias em diversos instantes
produzidos por ondas de mesma amplitude propagando-
se em sentidos opostos.
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O máximo de amplitude ocorre quando a coordenada x
satisfaz a condição: senkx=1, ou
,...
2
5
,
2
3
,
2
pipipi
=kx
Como k=2pi/λ, as posições de máxima amplitude,
chamadas antinodos, são:
4
,...,
4
3
,,
4
λλλλ nx =
4
,...
4
3
,,
4
λλλλ nx ==
Os antinodos estão separados por uma distância de λ/2.
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Similarmente, o mínimo de amplitude ocorre quando a
coordenada x satisfaz a condição: senkx=0, ou
...,3,2, pipipi=kx
Como k=2pi/λ, as posições de mínimo de amplitude, 
chamadas nodos, são: 
2
,...,
2
3
,,
2
λλλλ nx =
Os nodos estão separados por uma distância de 
λ/2.
2
,...
2
3
,,
2
λλλλ nx ==
Os nodos estão separados por uma distância de λ/2.
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8. Ondas estacionárias em cordas
(a) Uma corda de comprimento L fixa nas extremidades.
Os modos normais de vibração formam uma séries
harmônica. (b) a freqüência fundamental, (c) segundo
harmônico, e (d) o terceiro harmônico.
Primeiro modo de vibração
2
1λ
=L L.21 =λou
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2λ=L
Segundo modo de vibração
De um modo geral
,...)3,2,1(
2
== n
n
L
nλ
Lembrando que: λ
v
f =
,...)3,2,1(
2
=== nv
L
nv
f
n
n λ
A velocidade da onda em uma corda é dada por: 



→
→
=
massadelinearDensidade
corda na TensãoT
 onde
µµ
T
v
,...)3,2,1(
2
== n
T
L
n
fn µ
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30
µ
T
L
f
2
1
1 =
A freqüência fundamental