Servo Mecanismo I

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A estabilidade relativa e o desempenho de um sistema de controle a malha fechada estão diretamente relacionados com a localização das raízes da equação característica a malha fechada no plano-s. Frequentemente é necessário ajustar um ou mais parâmetros a fim de se obter o posicionamento adequado das raízes. Portanto, vale a pena determinar como as raízes da equação característica de um dado sistema se deslocam pelo plano-s à medida que um parâmetro tenha o seu valor modificado. A técnica do lugar das raízes é um método gráfico de esboçar, no plano-s, o lugar geométrico das raízes à medida que um parâmetro é variado. O método do lugar das raízes fornece ao engenheiro uma medida da sensibilidade das raízes do sistema a uma variação de um parâmetro sob consideração. A técnica do lugar das raízes pode ser usada com grande vantagem em conjunto com o critério de Routh-Hurwitz.
CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ
Este critério é um método algébrico que fornece informação sobre a estabilidade absoluta de um sistema linear invariante no tempo que possui uma equação característica com coeficientes constantes. O critério testa quando qualquer uma das raízes da equação característica encontra-se no semi-plano direito do plano-s, o número de raízes sobre o eixo jw e no semi-plano esquerdo.
Considere a equação característica de um sistema de n-ésima ordem, 
 
A condição necessária para estabilidade de Routh diz que todas as raízes da EC (equação característica) devem ter partes reais negativas, o que requer que todos os coeficientes {} sejam positivos.
PROVA: a EC pode ser escrita na forma:
 
Se esta equação é multiplicada, tem-se:
Conclusões: 
Os coeficientes têm todos o mesmo sinal e são todos não nulos, se todas as raízes tiverem partes reais negativas.
 A única maneira para qualquer dos coeficientes diferir no sinal de é se uma ou mais raízes tenha uma parte real positiva. Assim, o sistema é necessariamente instável se outros coeficientes não tiverem o mesmo sinal.
Todavia, esta condição não é suficiente, pois um sistema não é necessariamente estável se todos os coeficientes tiverem o mesmo sinal.
Para contornar esta situação foi criada uma metodologia baseada num arranjo triangular. Sua condição necessária e suficiente é que todos os elementos da primeira coluna do arranjo devem ser positivos.
Este método pode dizer quantos pólos do sistema em malha fechada estão no semi-plano da esquerda, no semi-plano da direita e sobre o eixo jw. O número de pólos em cada seção de plano pode ser determinado, porém suas coordenadas não podem ser obtidas.
O método é constituído de duas etapas: (1) gerar uma tabela de dados denominada de tabela de Routh e (2) interpretar a tabela para definir quantos pólos de sistema em malha fechada se situam no semi-plano esquerdo, direito e sobre o eixo jw.
Observe a função de transferência do diagrama de blocos a seguir. Uma vez que há interesse na determinação dos pólos, a atenção é concentrada no denominador.
 
Inicialmente, gera-se a tabela de Routh a seguir, começando por nomear as linhas com potências de s a partir da potência mais alta no denominador da função de transferência em malha fechada até . Em seguida, inicia-se com o coeficiente de potência mais alta de s no denominador e lista-se, horizontalmente, na primeira linha, cada um dos demais coeficientes. Na segunda linha lista-se, horizontalmente, começando-se com a próxima potência mais alta em s, cada coeficiente que foi pulado na primeira linha.
 
As entradas remanescentes são preenchidas da seguinte forma: cada entrada é igual ao valor negativo dos determinantes formados com os elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento da primeira coluna diretamente acima da linha que está sendo calculada.
A coluna à esquerda do determinante é sempre a primeira coluna das duas linhas anteriores, e a coluna à direita é constituída dos elementos da coluna acima e à direita.
A tabela se completa quando todas as linhas estiverem concluídas até .
 
Exemplo: Construa a tabela de Routh para o sistema da figura (a).
 
 
A primeira etapa é obter o sistema em malha fechada equivalente, como mostrado na figura (b). o critério de Routh será aplicado ao denominador desta função de transferência em malha fechada.
Inicialmente nomeia-se as linhas com potências de s desde em uma coluna vertical. Em seguida forme a primeira linha da tabela utilizando os coeficientes do denominador da função de transferência de malha fechada, começando com o de mais alta potência e salte todas as demais potências de s. Forme a segunda linha com os coeficientes do denominador saltados anteriormente. As linhas subsequentes são formadas com determinantes, conforme a figura a seguir.
 
“O critério de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes do polinômio que se situam no semiplano direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna”.
Logo, de acordo com o exemplo anterior, ocorre de 1 na linha para -72 na linha de . A segunda ocorre de -72 na linha para 103 na linha de . Assim, o sistema é instável, uma vez que existem dois pólos no semi-plano da direita.
 
CASO ESPECIAL: ZERO APENAS NA PRIMEIRA COLUNA
Se o primeiro elemento de uma linha é igual a zero, seria necessário uma divisão por zero para formar a próxima linha. Para evitar essa ocorrência atribui-se um valor épsilon, , em substituição ao zero na primeira coluna. Faz-se então este valor tender a zero por valores positivos ou negativos, após o que os sinais dos elementos na primeira coluna podem ser determinados.
Admita o exemplo a seguir.
Exemplo: Determine a estabilidade da função de transferência em malha fechada
 
Comece definindo a tabela de Routh abaixo da linha onde aparece um zero apenas na primeira coluna ( a linha de ). Em seguida substitua por um número pequeno , e complete a tabela.
 
Sendo escolhido como positivo, a tabela a seguir indicará uma mudança de sinal da linha para a linha , e haverá uma outra mudança de sinal da linha para a linha . Assim, o sistema é instável e possui dois pólos no semi-plano da direita. De modo alternativo, poderia ser escolhido como negativo, de acordo com a última coluna da tabela abaixo.
 
CASO ESPECIAL: LINHA COMPLETA COM ZEROS
Exemplo: Determine o número de pólos no semi-plano da direita referente à função de transferência
 
Inicia-se pela formação da tabela de Routh para o denominador da função de transferência T(s). Por conveniência, na segunda linha todos os termos são multiplicados por 1/7. Este processo é interrompido na terceira linha, uma vez que toda a linha é formada por zeros, e utiliza-se o procedimento descrito a seguir.
Inicialmente, retorna-se à linha imediatamente acima da linha de zeros e forma-se um polinômio auxiliar utilizando os elementos desta linha como coeficientes. O polinômio começa com a potência de s correspondente à linha imediatamente acima da linha de zeros e continua salteando, alternadamente, as demais potências de s. Assim, o polinômio formado por este exemplo é
 
Em seguida o polinômio é derivado em relação a s, e obtém-se
 
Finalmente, os coeficientes desta última equação são utilizados em substituição à linha de zeros. Novamente, por conveniência, a terceira linha é multiplicada por ¼ após a substituição dos zeros.
O restante da tabela é formado de modo direto seguindo-se a forma-padrão. Observa-se que todos os elementos da primeira coluna são positivos. Assim, não existem pólos no semi-plano da direita.Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 04 - 	Página 1