SISTEMAS DE 2a ORDEM

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NOTA DE AULA – PROF MARCELO OLIVEIRA – SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
 
Sistemas de segunda ordem são aqueles cuja função de transferência possui dois pólos. 
Considere a seguinte FTMF de um sistema de controle de 2a ordem: 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
= 
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 
A equação diferencial que modela esse sistema é: 
 
Onde: 
ξ - fator ou razão de amortecimento (damped ratio) 
𝜔𝑛 - freqüência natural não amortecida (natural undamped frequency) 
A equação característica é: 
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 = 0 
Raízes (pólos da relação de controle): 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛√1 − 𝜉2 
 
A resposta do sistema depende da posição dos pólos no plano complexo. 
 
Fig 1 – Valores de ξ no plano complexo. 
 Quando ξ > 1, o sistema é classificado como SUPERAMORTECIDO. 
(pólos reais negativos e desiguais) 
 ξ = 1 => Sistema CRITICAMENTE AMORTECIDO. 
(pólos iguais negativos e reais) 
 0 < ξ < 1 => Sistema SUBAMORTECIDO. 
(pólos complexos conjugados e parte real negativa) 
 
NOTA DE AULA – PROF MARCELO OLIVEIRA – SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
 
𝜉 = cos 𝜃 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1𝜉 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛√1 − 𝜉2 = −𝜎 ± 𝑗𝜔𝑑 
𝜎 = −𝜉𝜔𝑛 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜉2 
 
Fig 2 – Relações entre as variáveis no plano complexo. 
 
Denomina-se 𝜔𝑑 como: frequência natural amortecida (damped frequency). 
 
A Fig Nr 3 apresenta os lugares geométricos considerando os parâmetros constantes. 
 
 
Fig 3 – LG para 𝜔𝑛 , 𝜔𝑑 𝑒 𝜉 constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESPOSTA AO DEGRAU: 
𝐶(𝑠) = 
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 𝑅(𝑠) 
Como a Transformada de Laplace da função degrau é: 
𝑅(𝑠) = 
1
𝑠
 
Logo: 
𝐶(𝑠) = 
𝜔𝑛
2
𝑠(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2)
 
 
 
Considerando os possíveis valores de ξ : 
 
 ξ = 0 => não há amortecimento. Neste caso 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 e a resposta oscila com a 
frequência natural 𝜔𝑛 (Fig 4a). 
 
 
Fig 4 – Respostas ao degrau de um sistema de segunda ordem 
 
 
 
 
 
 
 
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 0 < ξ < 1 => SUBAMORTECIDO. 
σ = - 𝜉𝜔𝑛 => amortecimento 
Quanto maior for o produto 𝜉𝜔𝑛 mais rapidamente decairá o transitório (caso subamortecido). 
A medida que ξ aumenta de valor de 0 a 1 (0 < ξ < 1), a oscilação vai sendo gradativamente 
amortecida (SUBAMORTECIDO). 
As Fig 4b e 4c ilustram esse caso, sendo que: 
- na Fig 4b: ξ = 0,1 e 𝜔𝑛= 2; e 
- na Fig 4c: ξ = 0,6 e 𝜔𝑛= 2. 
 
 
 ξ = 1 => CRITICAMENTE AMORTECIDO. 
 
𝑐(𝑡) = 1 + 𝜔𝑛𝑡𝑒
−𝜔𝑛𝑡 − 𝑒−𝜔𝑛𝑡 
 
Quando ξ = 1 , ocorre a transição para o desaparecimento da oscilação (AMORTECIMENTO 
CRÍTICO). 
 
 ξ > 1 => SUPERAMORTECIDO. 
𝑐(𝑡) = 1 + 
1
2√𝜉2 − 1(𝜉 + √𝜉2 − 1)
𝑒−(𝜉+√𝜉
2−1)𝜔𝑛𝑡
− 
1
2√𝜉2 − 1(𝜉 − √𝜉2 − 1)
𝑒−(𝜉−√𝜉
2−1)𝜔𝑛𝑡 
- A resposta inclui dois termos exponenciais decrescentes. 
 
Denominando s1 = (𝜉 + √𝜉2 − 1)𝜔𝑛 e s2 = (𝜉 − √𝜉2 − 1)𝜔𝑛 , tem-se: 
 
𝑐(𝑡) = 1 + 
1
2√𝜉2 − 1(𝜉 + √𝜉2 − 1)
𝑒−𝑠1𝑡 − 
1
2√𝜉2 − 1(𝜉 − √𝜉2 − 1)
𝑒−𝑠2𝑡 
 
- Se –s2 estiver muito mais próximo de jω, então é possível desprezar –s1. Note que se 
ξ>>1 então, para o mesmo valor de 𝜔𝑛, |𝑠1| ≫ |𝑠2| e portanto o efeito do pólo s1 sobre 
a resposta desaparece bem mais rápido que o efeito do pólo s2 que está mais próximo do 
eixo imaginário. Sendo assim para valores de ξ>>1 o sistema se torna extremamente 
lento. Um sistema de primeira ordem com um pólo s2 teria uma resposta parecida. 
 
- Quando ξ > 1 não ocorrem oscilações na resposta (SUPERAMORTECIDO). Essa 
resposta pode ser vista na Fig 4d, onde (ξ = 2 e 𝜔𝑛=2). 
 
 
 
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EXEMPLO Nr 1: Encontre os valores de ξ e ωn para o sistema de segunda ordem (circuito 
RLC) apresentado na Fig 5. 
 
 
Fig 5 – Circuito RLC. 
 
 
A Função de Transferência do sistema é dada por: 
𝐹(𝑠) = 
1
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
 
 Por comparação: 
 
𝐹(𝑠) = 
1
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
=
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 
 
Logo: 
𝜔𝑛
2 =
1
𝐿𝐶
 ; 2𝜉𝜔𝑛 =
𝑅
𝐿
 => 𝜉 =
𝑅
2
√
𝐶
𝐿
 
 
OBS.: 
- a taxa de amortecimento ξ depende linearmente do valor da resistência, que é o elemento 
que dissipa energia; 
- Num sistema sem amortecimento, isto é R=0 e portanto ξ=0, a resposta oscila com a 
frequência natural do sistema. Este é o caso da Fig 3a; e 
- o valor de ωn depende dos valores da capacitância e da indutância, que são os elementos 
responsáveis pelas oscilações da resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO Nr 2: Considerando, no mesmo sistema apresentado na Fig 5, que a saída 
não é mais a tensão no capacitor e sim a corrente da malha, e os seguintes valores dos 
componentes: R=.50 Ω, L=2mH e C=1μF. A FT é: 
𝐺(𝑠) =
𝐼(𝑠)
𝑉(𝑠)
= 
1
𝐿 𝑠
𝑠2 +
𝑅
𝐿 𝑠 + 
1
𝐿𝐶
 
Comparando a equação característica da FT do circuito com a da forma canônica: 
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 = 𝑠2 +
𝑅
𝐿
𝑠 + 
1
𝐿𝐶
 
Logo: 
𝜔𝑛
2 =
1
𝐿𝐶
 => 𝜔𝑛 =
1
√𝐿𝐶
 => A frequência de oscilação depende dos componentes que 
 armazenam energia, L e C. 
2𝜉𝜔𝑛 =
𝑅
𝐿
 => 𝜉 =
𝑅
2
√
𝐶
𝐿
 => amortecimento diretamente proporcional a R. 
Substituindo os valores dos componentes: 
𝐺(𝑠) = 
100𝑠
𝑠2 + 5000𝑠 + 108 
 
 
𝜔𝑛 =
1
√𝐿𝐶
=
1
√10−210−6
 = 104 
 
𝜉 =
𝑅
2
√
𝐶
𝐿
= 
50
2
√
10−6
10−2
 = 0,25 
 
Da equação característica, obtem-se os pólos: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛√1 − 𝜉2 = 2500 ± j9682,45 
 
Considerando outros valores de resistência: 
R = 200 => 𝜉 = 1 => pólos reais iguais 
R = 100 => 𝜉 = 0,5 => pólos complexos 
R = 50 => 𝜉 = 0,25 => pólos complexos 
R = 0 => 𝜉 = 0 => pólos imaginários 
A Figura Nr 6 ilustra as posições dos pólos no plano complexo, obtidas para esses 
diferentes valores de resistência. 
 
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Fig 6 – Posições dos pólos e valores de 𝜉. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO 
1. RELACIONADAS À RAPIDEZ DA RESPOSTA 
a. Tempo de subida, tr (RISING TIME) 
É o tempo para a resposta passar de 0% a 100% do seu valor final 
(SUBAMORTECIDO). Para sistemas superamortecidos, o critério tem seus limites 
alterados para 10% e 90%. 
𝑡𝑟 = =
𝜋 − 𝜃
𝜔𝑑
 
 
b. Tempo de pico, tp (PEAK TIME) 
𝑡𝑝 = =
𝜋
𝜔𝑑
 
 
Fig 7 – Especificações de desempenho de um sistema subamortecido 
 
 
2. RELACIONADAS À PROXIMIDADE DA RESPOSTA A VALORES 
DESEJADOS 
 
a. Ultrapassagem máxima, MP (OVERSHOOT) 
𝑀𝑝 = 𝑒
− 
𝜉𝜋
√1−𝜉2 
Valor percentual: 
𝑀𝑝(%) = 100 𝑒
− 
𝜉𝜋
√1−𝜉2 
 
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b. Tempo de acomodação, tS (SETTLING TIME) 
É o tempo necessário para a curva de rsposta alcançar e permanecer dentro de uma faixa 
em torno do valor final. (erros de ±2% e ±5% são valores usuais). 
 
Fig 5 – Ultrapassagem máxima e tempo de acomodação.
A envoltória da resposta subamortecida comporta-se como uma função exponencial, que 
possui as seguintes características: 
 
Fig 6 – Função exponencial. 
 
 
 
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t 
TABELA 
𝒆−𝝎𝒏𝒕 
 
ERRO (%) 
1T 0,368 36,8 
2T 0,135 13,5 
3T 0,050 5,0 
4T 0,018 1,8 
5T 0,007 0,7 
 
Para erro de ± 2%: 
𝑡𝑠 = 4𝑇 = 
4
|𝜎|
= 
4
𝜉𝜔𝑛
 
 
Para erro de ± 5%: 
𝑡𝑠 = 3𝑇 = 
3
|𝜎|
= 
3
𝜉𝜔𝑛