AP1 ProbEst Est I 2013.1 Gabarito

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2013 
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) Considere 10 notas de alunos de Estatística, cuja média é 6,76 . 
 
9,6 X 6,8 7,3 5,8 8,0 7,9 8,3 6,2 6,2 
 
a) (1,0 pt) Determine o valor de X; 
b) (1,0 pt) Determine a moda e a mediana destes dados; 
 
Solução: 
 
*********** (ITEM a) ***************** 
a) Temos que 
 
E que e . Assim: 
 
 
 
Logo: 
 
 
Então: 
 
 
 
*********** (ITEM b) **************** 
 
b) Com o valor de X encontrado e colocando os dados em ordem, temos: 
 
1,5 5,8 6,2 6,2 6,8 7,3 7,9 8,0 8,3 9,6 
 
A moda é o valor de maior frequência, neste caso, 
Como n é par, então a mediana será a média entre os valores centrais em ordem 
crescente. Assim: 
 
 
Logo: 
 
 
 
2. (4,0 pontos) As idades de 50 executivos de algumas empresas estão dispostos na 
tabela abaixo: 
 
Idades Frequências( ) Ponto Médio ( ) 
[50; 55) 8 52,5 
[55; 60) 13 57,5 
[60; 65) 15 62,5 
[65; 70) 10 67,5 
[70; 75) 3 72,5 
[75; 80) 1 77,5 
Total 50 
 
a) (0,5 pt) Determine a média de idade destes 50 executivos; 
b) (0,5 pt) Determine a idade modal destes executivos; 
c) (0,5 pt) Determine a mediana da idade destes executivos; 
d) (1,0 pt) Determine o desvio padrão da idade destes executivos; 
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 
f) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
g) (0,5 pt) Construa o histograma desta distribuição; 
 
Solução: 
 
Para resolver este problema, vamos completar a tabela: 
 
Idades Frequências 
( ) 
Ponto Médio 
 ( ) 
 Freq. Acumulada 
[50; 55) 8 52,5 420,0 22.050,00 8 16(%) 
[55; 60) 13 57,5 747,5 42.981,25 21 42(%) 
[60; 65) 15 62,5 937,5 58.593,75 36 72(%) 
[65; 70) 10 67,5 675,0 45.562,50 46 92(%) 
[70; 75) 3 72,5 217,5 15.768,75 49 98(%) 
[75; 80) 1 77,5 77.5 6.006,25 50 100(%) 
Total 50 3.075 190.962,50 
 
************(ITEM a) *************** 
a) 
 
************(ITEM b) *************** 
 
b) A moda é o ponto médio da classe de maior frequência: Logo: 
 
************(ITEM c) *************** 
 
c) Segundo a frequência acumulada, a mediana está na classe [60; 65). Dentro 
desta classe há 72-42=30% dos dados. Dentro da classe até a mediana há: 50-
42=8%. Assim, podemos fazer uma proporção 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
************(ITEM d) *************** 
d) Desvio padrão: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
************(ITEM e) *************** 
 
e) Coeficiente de variação: 
 
 
 
************(ITEM f) *************** 
 
f) Coeficiente de assimetria: 
 
 
 
************(ITEM g) *************** 
 
g) Histograma: 
 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) Alguns dos homens e mulheres que trabalham em uma grande 
fazenda possuem ensino médio. O conjunto A consiste de todos os trabalhadores 
homens, o conjunto B de todas as trabalhadoras mulheres, C é o conjunto dos 
trabalhadores com ensino médio e D é formado por trabalhadores que não cursaram 
ensino médio. Explicite os eventos: 
a) (0,5 pt) ; 
b) (0,5 pt) ; 
c) (0,5 pt) ; 
d) (0,5 pt) . 
 
Solução: 
 
**************** (ITEM a) ******************** 
 
a) Está representado na figura abaixo: 
 
 A B 
C 
D 
 
Asssim: O evento é o conjunto que reúne os trabalhadores do sexo 
masculino que tem ensino médio. 
 
**************** (ITEM b) ******************** 
 
b) está representado na figura abaixo: 
 
 A B 
C 
D 
 
O evento é o conjunto de todas as mulheres e também todos os 
trabalhadores que não cursaram o ensino médio. Então podemos descrever 
de duas formas: 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5
Fr
eq
u
ê
n
ci
a 
ab
so
lu
ta
Ponto Médio das Classes
Idade dos Executivos (anos)
1) Conjunto de todas as mulheres trabalhadoras e dos homens trabalhadores que 
não cursaram o ensino médio OU 
 
2) Conjunto de todos os trabalhadores que não cursaram o ensino médio e das 
trabalhadoras mulheres que cursaram o ensino médio. 
 
**************** (ITEM c) ******************** 
c) está representado na figura abaixo: 
 
 A B 
C 
D 
 
O evento é o conjunto de todos os trabalhadores homens e todas as 
mulheres que tem ensino médio. 
 
B está representado na figura abaixo: 
 
 A B 
C 
D 
 
 
Ao fazer a interseção de com o conjunto das trabalhadoras 
mulheres (B), teremos então apenas a parte das mulheres com ensino médio. 
 
*O quadrado circulado é o único que aparece destacado nas duas figuras. 
 
Logo: é o conjunto das mulheres com ensino médio. 
 
 
**************** (ITEM d) ******************** 
d) está representado na figura abaixo: 
 
 A B 
C 
D 
 
A está representado na figura abaixo: 
 
 A B 
C 
D 
Logo: 
 será representado como na figura abaixo (basta unir os dois acima): 
 A B 
C 
D 
 
Logo: 
 
 pode ser descrito de duas formas: 
 
1) Conjunto de todos os homens trabalhadores e todas as mulheres que não 
cursaram ensino médio; OU 
 
2) Conjunto de todos os trabalhadores que não cursaram ensino médio e todos os 
homens que cursaram ensino médio. 
 
4. (1,0 pontos) Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais, 
são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes? 
 
Solução: 
 
Seja n o número de times. Como cada um dos n times enfrenta os outros (n-1), então 
teremos n(n-1) partidas. No entanto, se fizermos isso, estaremos contando cada partida 
duas vezes, pois se time A enfrenta o time B, este jogo já está na conta do time B, 
quando ele enfrenta A. Assim, o correto será considerar apenas a metade. 
Assim: 
 
Resolvendo a equação: 
 
 
 
 
Ou 
 
 
Como a quantidade de participantes é um valor positivo, então: 
 
 
 
 
 
5. (1,0 ponto) Quantos são os anagramas da palavra TRIANGULO tal que; 
a) (0,5 pt) A expressão TRI aparece junta e nesta ordem; 
b) (0,5 pt) As letras Te R não estão juntas. 
 
 
Solução: 
 
***************** ITEM a) ********************* 
 
a) A expressão TRI será considerada como uma única letra, assim teremos 7 letras 
para permutar: 
 
1 2 3 4 5 6 7 
TRI A N G U L O 
 
O número de anagramas em que as letras TRI aparecem juntas e nesta ordem será a 
permutação destas 7 “letras”. Ou seja: 
 
 
 
 
***************** ITEM b) ********************* 
 
b) Para o caso em que as letras T e R não estejam juntas, considere todos os casos 
e em seguida considere os casos em que as letras T e R estão juntas, daí subtrai-
se um caso do outro. 
O caso em que TR estão juntas, consideramos como no item (a), assim: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 
TR I A N G U L O 
 
Logo: teremos 8! Possibilidades considerando a ordem TR. 
Para a ordem RT, mais 8!. 
Assim, teremos 
 
Todos os anagramas da palavra TRIANGULO são: 9! Possibilidades: 
 
Subtraindo de todas as permutações, as que contém TR juntas obtemos as permutações 
que não contém T e R juntas: 
 
Assim: 
362.880-80.640=282.240. 
 
Logo: