P2 Álgebra Linear - UFRGS 2017/2 Prof. Farina

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Álgebra Linear I-A 2017/2 - Prova 2 - Turma C1
UFRGS - Porto Alegre
Nome: Cartão:
A resposta final deve ser escrita a caneta. Serão consideradas apenas as respostas das questões 3 a 7.
1 2,0 pontos Calcule o determinante da seguinte matriz. A =
 1− a 1 11 1− a 1
1 1 1− a

[Sugestão: use operações elementares em linhas e em colunas]
2 2,0 pontos Seja A =
[
1 2
2 4
]
.
(a) Encontre matrizes P e D que diagonalizam A ortogonalmente.
(b) Encontre um vetor unitário b que maximiza o valor de x>Ax sujeita à restrição x>x = 1.
.
3 1,0 ponto Se todos os autovetores de A forem múltiplos de
(1, 5), a matriz A certamente
(a) não tem inversa
(b) não é diagonalizável
(c) é diagonalizável
(d) é ortogonal
(e) é simétrica
4 1,0 ponto Marque abaixo a solução geral de mínimos
quadrados de
x+ 3y = 1
x+ 3y = 4.
(a) (5/2, 0) + s(−3, 1), s ∈ R
(b) (5/2, 0) + s(3, 1), s ∈ R
(c) (5/2, 0) + s(−3,−1), s ∈ R
(d) (5, 0) + s(−3, 1), s ∈ R
(e) (2, 0) + s(3, 1), s ∈ R
5 1,0 ponto A forma quadrática x21 + 4x22 + 4x1x2 é
(a) positiva definida
(b) negativa definida
(c) indefinida
(d) positiva semidefinida
(e) negativa semidefinida
6 1,0 ponto Se a decomposição QR de A é tal que QTb =
(2, 1) e R =
[
5 1
0 3
]
, a solução de mínimos quadrados de
Ax = b é
(a) (-3, 1/3)
(b) (1/3, 1)
(c) (1, 1/3)
(d) (1/3, 3)
(e) (1/3, 1/3)
7 2,0 pontos Marque V ou F.
( ) Um plano pode ser o complemento ortogonal de
outro plano no R3
( ) Uma forma quadrática indefinida é positiva
semidefinida ou negativa semidefinida