CÁLCULO VETORIAL LISTA DE EXERCÍCIOS 09

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Cálculo Vetorial
 9ª Lista de Exercícios - Prof. Caitano Cintra
Pense no que disse o grande matemático húngaro George Polya (1887 – 1985): 
”... A Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser apreciada e 
aprendida sem a participação ativa do aluno... E a primeiríssima coisa, quando se 
trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais...”
1) Calcule ∬
R
sen(x 2+ y 2)dxdy , onde R é a região dada por x2+ y2⩽1 y⩾0
2) Considere a região R do plano Oxy limitada por duas circunferências com centro na 
origem e raios 2 e 3.
 a) Desenhar no plano (r ,θ) a região S obtida de R pela mudança em coordenadas 
 polares;
 b) Calcule ∬
R
√ x2+ y2dxdy
3) Considere a região R no primeiro quadrante do plano Oxy , limitada pelos arcos de 
circunferências x2+ y2=a2 e x2+ y2=b2 com b>a .
 a) Esboce a região S no plano (r ,θ) , isto é, usando as mudanças para coordenadas 
polares.
 b) Calcule ∬
R
(x+ y )dR
4 ) Sejam R1 o quadrante da circunferência de raio a , R2 o quadrado de lado a e
R3 o quadrante da circunferência de raio √2a . Considere a função f (x , y )=e−(x
2+ y2) . 
Mostre que
 a) ∬
R1
f (x , y)dxdy=π
4
(1−e−a
2
) ; ∬
R3
f (x , y )dxdy=π
4
(1−e−2a
2
)
 b) ∬
R2
f (x , y )dxdy=(∫
0
a
e−x
2
dx)
2
; e que ∫
0
+∞
e− x
2
dx=√π
2
5) Considere o paralelepípedo no espaço Oxyz limitado por 1⩽x+2y+ z⩽2 ;
0⩽x+ y− z⩽π
4
 e 0⩽z⩽1
 a) Calcule ∭
V
sen( x+ y−z )
x+2y+z
dxdydz , usando a mudança u=x+ y− z ; v= x+2y+z e
w=z
 b) Calcule o volume desse paralelepípedo 
6) Calcule a massa da esfera x2+ y2+z 2⩽1 considerando que sua densidade em cada ponto
( x , y , z ) é igual a distancia desse ponto à origem. Sugestão considere a mudança de 
coordenadas dadas por {x=rsenϕ cosθy=rsenϕ senθz=rcosϕ 
7) Calcule o volume do sólido limitado por z=x2+ y2 e x2+ y2=4
8) Calcule ∭
V
√ x2+ y2+z2dV , sendo V o sólido x2+ y2+z2≤1 
9) Calcule ∭
V
√ x2+ y2+z2dV , sendo V o sólido limitado por x2+ y2≤1 e 0≤z≤1 
10) Calcule o volume do sólido limitado por x2+ y2=4 ; 0≤z≤4 ; x≥0 e y≥0
11) Calcule o volume do sólido limitado por z=x2+ y2 e z=4
12) Calcule ∭
V
1
√x2+ y2+z2
dV , sendo V o sólido limitado por x2+ y2+z2=4 ; x≥0 ;
y≥0 e z≥0