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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 3 do Caderno Dida´tico. Atenc¸a˜o!!! Esta e´ o gabarito do EP3. Na˜o estude apenas por ele, antes, leia a versa˜o de questo˜es do EP, que traz uma breve explicac¸a˜o de alguns pontos importantes da teoria desta aula. E lembre-se sempre que, antes de consultar os gabaritos das questo˜es, voceˆ deve tentar resolveˆ-las! Exerc´ıcio 1 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas: a) O Brasil fica na Ame´rica do Sul e a Inglaterra fica na A´frica. b) A China fica na Ame´rica do Sul ou o Canada´ fica na Ame´rica do Norte. c) A Argentina fica na Ame´rica do Sul ou o Chile fica na Ame´rica do Sul. d) A Coloˆmbia fica na A´frica e Portugal fica na Ame´rica do Sul. e) Cuba fica na Europa ou o Japa˜o fica na Ame´rica do Norte. Soluc¸a˜o: a) Falsa. O conectivo e´ a conjunc¸a˜o “e”. Logo, uma proposic¸a˜o composta e´ verdadeira se ambas as proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras. Como neste item, a segunda proposic¸a˜o envolvida e´ falsa segue que a proposic¸a˜o composta e´ falsa. b) Verdadeira. O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira. Como neste item, a segunda proposic¸a˜o envolvida e´ verdadeira, segue que a proposic¸a˜o com- posta e´ verdadeira. c) Verdadeira. O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira. Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira. d) Falsa. O conectivo e´ a conjunc¸a˜o “e”. Logo, uma proposic¸a˜o composta e´ verdadeira se ambas as proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras. Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o falsas segue que a proposic¸a˜o composta e´ falsa. Me´todos Determin´ısticos I EP3 2 e) Falsa. O conectivo e´ a disjunc¸a˜o “ou”. Logo, para que uma proposic¸a˜o composta seja verdadeira basta que uma das proposic¸o˜es envolvidas seja verdadeira. Como neste item, as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o falsas, segue que a proposic¸a˜o composta e´ falsa. Exerc´ıcio 2 Qual a negac¸a˜o das proposic¸o˜es abaixo: a) p: Hoje e´ sexta-feira b) q: O meu pai era paulista c) r: Amanha˜ na˜o sera´ sa´bado d) Antes de pensarmos em quantificadores ou coisa do tipo, tente, usando apenas sua intuic¸a˜o lo´gico-matema´tica, dizer qual e´ a negac¸a˜o da proposic¸a˜o abaixo: s: Ningue´m e´ forte o bastante para me deter! Antes que voceˆ diga que ∼ s: Todo mundo e´ forte o bastante para me deter! lembre-se de que a negac¸a˜o e´ o oposto lo´gico, na˜o o antoˆnimo no portugueˆs. Tente pensar o que precisa acontecer para que eu esteja mentindo ao fazer a afirmac¸a˜o p. Soluc¸a˜o: a) ∼ p: Hoje na˜o e´ sexta-feira b) ∼ q: O meu pai na˜o era paulista c) ∼ r: Amanha˜ sera´ sa´bado d) Ora, para que s seja falso, isto e´, para que seja mentira que Ningue´m e´ forte o bastante para me deter!, basta que exista pelo menos uma pessoa forte o bastante para me deter! Assim, ∼ s: Existe alguma pessoa forte o bastante para me deter! ou ainda ∼ s: Algue´m e´ forte o bastante para me deter! Entendido? Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 3 Exerc´ıcio 3 Surfo ou estudo. Fumo ou na˜o surfo. Velejo ou na˜o estudo. Ora, na˜o velejo. Assim, (A) Estudo e fumo. (B) Na˜o fumo e surfo. (C) Na˜o velejo e na˜o fumo. (D) Estudo e na˜o fumo. (E) Fumo e surfo. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova da ANEEL (Ageˆncia Nacional de Energia Ele´trica – Aneel – 2004 – Esaf) e e´ uma questa˜o t´ıpica em provas de racioc´ınio lo´gico. Como exemplo, vamos resolveˆ-la. Soluc¸a˜o: Nesse tipo de questa˜o, primeiro nos da˜o algumas proposic¸o˜es como “fatos”, isto e´, pro- posic¸o˜es que devemos considerar que sa˜o verdadeiras. Chamamos a essas proposic¸o˜es de premissas. Neste caso, as premissas sa˜o as seguintes: Premissas: Surfo ou estudo. Fumo ou na˜o surfo. Velejo ou na˜o estudo. Na˜o velejo. Geralmente as premissas sa˜o formadas por proposic¸o˜es compostas (como as treˆs primeiras acima). A partir delas temos que descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Ado- taremos o seguinte me´todo para resolver estas questo˜es: 1) Escrever as proposic¸o˜es simples e escolher uma letra diferente para designar cada proposic¸a˜o: Proposic¸o˜es: s: surfo e: estudo f : fumo v: velejo Nosso objetivo e´ determinar quais dessas proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. 2) Escrever as premissas usando as letras que designam as proposic¸o˜es e os s´ımbolos dos conectivos lo´gicos (o s´ımbolo de “e” e´ ∧ e o de “ou” e´ ∨. A negac¸a˜o e´ representada por ∼.) Premissas: s ∨ e f ∨ ∼ s v ∨ ∼ e ∼ v 3) Analisar as premissas para descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas: Comec¸ando pela u´ltima premissa, sabemos que e´ verdade ∼ v (pois isso foi dado como premissa). Da´ı podemos concluir que v e´ falso (dizer que e´ verdade que na˜o velejo e´ o mesmo que dizer que e´ falso que velejo). Agora avaliando a penu´ltima premissa, sabemos que v∨ ∼ e e´ verdade. Mas isso significa que pelo menos uma das duas proposic¸o˜es elementares envolvidas deve ser verdadeira (pois ∨ significa “ou”). Ja´ sabemos que v e´ falsa (conclu´ımos isso acima). Logo, ∼ e tem que ser verdadeiro. Da´ı podemos Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 4 concluir que e e´ falso. Sabendo que e e´ falso, e olhando a primeira premissa, descobrimos que s e´ verdadeiro (pois se s fosse falso, a premissa na˜o seria verdadeira, e premissas sempre sa˜o verdadeiras). Finalmente, a segunda premissa nos garante que f e´ verdadeiro (pois ja´ vimos que ∼ s e´ falso). Observando as alternativas da questa˜o, conclu´ımos que a correta e´ a letra E: surfo e fumo. Exerc´ıcio 4 Leio jornal ou passeio. Passeio ou na˜o como fora. Como fora ou cozinho. Leio jornal e na˜o cozinho. a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa) e designe para cada uma delas uma letra diferente. b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas no enunciado. c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo: ( ) Leio jornal. ( ) Passeio. ( ) Como fora. ( ) Cozinho. Soluc¸a˜o: a) Proposic¸o˜es: l: leio jornal; p: passeio; f : como fora; c: cozinho; b) Premissas: 1) l ∨ p (Leio jornal ou passeio.) 2) p∨ ∼ f (Passeio ou na˜o como fora. ) 3) f ∨ c (Como fora ou cozinho.) 4) l∧ ∼ c (Leio jornal e na˜o cozinho.) c) Pela u´ltima premissa ja´ sabemos que l e´ verdadeira e c e´ falsa, isto e´, leio jornal e na˜o cozinho. Pela terceira premissa, como ja´ descobrimos que c e´ falsa, podemos deduzir que f e´ verdadeira, ou seja, como fora. Pela segunda premissa, como f e´ verdadeira, segue que ∼ f e´ falsa, o que implica que p tem que ser verdadeira (ou a premissa seria falsa). Portanto, passeio. Repare que mesmo sem usar a primeira premissa ja´ sabemos tudo o que desejamos: (V) Leio jornal. (V) Passeio. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 5 (V) Como fora. (F) Cozinho. Exerc´ıcio 5 Sou brasileiro ou sou engenheiro. Sou magro ou na˜o sou brasileiro. Sou engenheiro ou sou advogado. Na˜o sou magro ou na˜o sou engenheiro. Sou advogado ou sou pedreiro. Na˜o sou magro e na˜o sou pedreiro. a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas noenunciado acima (escreva-as na forma afirmativa) e designe para cada uma delas uma letra diferente. b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas no enunciado. c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo: ( ) Sou brasileiro. ( ) Sou engenheiro. ( ) Sou magro. ( ) Sou advogado. ( ) Sou pedreiro. d) Para resolver o item anterior voceˆ precisou usar todas as premissas? Soluc¸a˜o: a) Proposic¸o˜es: b: sou brasileiro; e: sou engenheiro; m: sou magro; a: sou advogado; p: sou pedreiro; b) Premissas: 1) b ∨ e 2) m∨ ∼ b 3) e ∨ a 4) ∼ m∨ ∼ e 5) a ∨ p 6) ∼ m∧ ∼ p c) Pela u´ltima premissa ja´ sabemos que m e p sa˜o falsas. Pela quinta premissa, como ja´ descobrimos que p e´ falsa, podemos deduzir que a e´ verdadeira. Pela segunda premissa, como m e´ falsa, segue que ∼ b e´ verdadeira, isto e´, b e´ falsa. Pela primeira premissa, como b e´ falsa, e tem que ser verdadeira. Logo, temos: (F) Sou brasileiro. (V) Sou engenheiro. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 6 (F) Sou magro. (V) Sou advogado. (F) Sou pedreiro. d) Na˜o. Foram utilizadas somente as premissas 1, 2, 5 e 6. Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 3} e B = {a, b}. Decida se sa˜o verdadeiras ou falsas as proposic¸o˜es a seguir. a) 3 ∈ A e a ∈ A; b) 1 ∈ A ou b ∈ A; c) 3 ∈ A e {a} ⊂ B; d) 1 6∈ A ou {b} ⊂ B Observac¸a˜o: Nesta questa˜o continua-se a trabalhar com os conectivos “e”e “ou”, e se reve as relac¸o˜es de pertineˆncia e inclusa˜o de conjuntos estudados na Semana 1. Soluc¸a˜o: a) Falsa Como a proposic¸a˜o 3 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o a ∈ A e´ falsa e a proposic¸a˜o composta e´ formada pelo conectivo “e”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ falsa; b) Verdadeira Como a proposic¸a˜o 1 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o b ∈ A e´ falsa e a proposic¸a˜o composta e´ formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira; c) Verdadeira Como a proposic¸a˜o 3 ∈ A e´ verdadeira, a proposic¸a˜o {a} ⊂ B e´ verdadeira e a proposic¸a˜o composta e´ formada pelo conectivo “e”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira; d) Verdadeira Como a proposic¸a˜o 1 6∈ A e´ falsa, a proposic¸a˜o {b} ⊂ B e´ verdadeira e a proposic¸a˜o composta e´ formada pelo conectivo “ou”, segue que a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira; Exerc´ıcio 7 Considere os conjuntos A = { −1 2 , −3 , −1 6 } , B = { −6 , −1 3 , 2 } e C = {6 , 10}. Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se elas sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. a) ∀ x ∈ A, 1/x ∈ B. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 7 b) ∃ x ∈ A | 1/x ∈ B. c) ∃ x ∈ B | ∀ y ∈ C, y/x e´ ı´mpar. d) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ C | ∃z ∈ A | x = yz. Soluc¸a˜o: a) Falsa. Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se que 1/x pertence ao conjunto B”. Desta forma, para que a proposic¸a˜o seja verdadeira, e´ necessa´rio que o inverso de todos os elemento do conjunto A pertenc¸am ao conjunto B. Isto e´ falso, pois existe um elemento que pertence ao conjunto A, tal que seu inverso na˜o pertence ao conjunto B. De fato, o elemento x = −1/2 ∈ A e´ tal que que 1/x = −2 6∈ B. Para mostrarmos que a proposic¸a˜o e´ falsa, observe que bastou encontrarmos um elemento de A, o elemento x = −1/2, tal que seu inverso na˜o pertence ao conjunto B. b) Verdadeira. Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto A, tal que 1/x pertence no conjunto B”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, devemos encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto A, de modo que 1/x pertenc¸a ao conjunto B. Isto e´ verdadeiro, pois, para x = −3 ∈ A, temos que 1 x = −1 3 ∈ B. Para mostrarmos que a proposic¸a˜o e´ verdadeira, observe que precisamos pegar apenas um dos elementos de A e mostrar que o inverso dele e´ um elemento de B. c) Verdadeira. Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que para todo y que pertence no conjunto C, temos que y/x e´ ı´mpar”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, devemos encontrar, pelo menos, um elemento do conjunto B, de modo que para todo elemento y do conjunto C, o quociente y/x e´ um nu´mero ı´mpar. Isto e´ verdadeiro. Os elementos do conjunto C sa˜o: 6 , 10. Se tomarmos o elemento x = 2 ∈ B , para y = 6 ∈ C, temos que y x = 6 2 = 3 e´ ı´mpar e para y = 10 ∈ C, temos que y x = 10 2 = 5 e´ ı´mpar. d) Falsa. Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto B, existe y que pertence no conjunto C e existe z que pertence no conjunto A, tal que x = yz”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, para todo elemento x do conjunto B, devemos en- contrar, pelo menos, um elemento y do conjunto C e, pelo menos, um elemento z do con- junto A, tal que x seja o produto de y com z. Isto e´ falso. Os elementos do conjunto A sa˜o: −1 2 , −3 , −1 6 , os elementos do conjunto B sa˜o: −6 , −1 3 , 2 e os elemen- tos do conjunto C sa˜o: 6 , 10. Se tomarmos, por exemplo, o elemento x = −6 ∈ B , temos que −6 6= 6 × ( −1 2 ) = −3, −6 6= 6 × (−3) = −18, −6 6= 6 × ( −1 6 ) = −1, −6 6= 10× ( −1 2 ) = −5, −6 6= 10× (−3) = −30, −6 6= 10× ( −1 6 ) = −5 3 . Para negarmos a proposic¸a˜o, observe que bastou encontramos um elemento de B, o elemento x = 6, tal que todas as combinac¸o˜es poss´ıveis de produtos envolvendo todos os elementos de C e todos os elementos de A, onde uma das parcelas e´ um elemento de C e a outra e´ um elemento de A, nunca gera Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 8 x = −6 como resultado. Exerc´ıcio 8 Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. a) ∀x ∈ Q; x > 1 b) ∃y ∈ Z | y + 1 = −3 c) ∃z ∈ Z | z + 3 = 1/3 d) ∀m ∈ N; m+ 1 > 3 e) ∀p ∈ Z; ∃q ∈ Z | p+ q = 0 f) ∃q ∈ Z | ∀p ∈ Z, p+ q = 0 Soluc¸a˜o: a) Para todo x racional, x e´ maior que 1. Falso, pois -1 e´ racional e na˜o e´ maior que 1. b) Existe y inteiro tal que y + 1 = −3. Verdadeiro: considere y = −4. c) Existe z inteiro tal que z + 3 = 1/3. Falso: para que z + 3 = 1/3, z teria que ser igual a −8/3, que na˜o e´ um nu´mero inteiro. d) Para todo m natural, m+ 1 > 3. Falso: para m = 1, m+ 1 = 2 < 3. e) Para todo p inteiro, existe q inteiro tal que p + q = 0. Verdadeiro. Para cada p inteiro, podemos tomar q = −p, enta˜o teremos p+ q = 0 (e q sera´ inteiro tambe´m). f) Existe q inteiro tal que para todo p inteiro p+q = 0. Falso, pois existe, por exemplo, q = 2 ∈ Z tal que nem todo elemento p de Z satisfaz p + 2 = 0. Considere, por exemplo, p = −3 ∈ Z. Note que escolhendo um outro valor para q ∈ Z, sempre se conseguira´ encontrar p ∈ Z tal que a soma p+ q na˜o seja igual a zero. Observac¸a˜o para os itens (e) e (f): e´ muito importante perceber que o simples fato de ter mudado a ordem dos quantificadores nos dois u´ltimos itens, muda totalmente o significado das proposic¸o˜es. Em (e) pergunta´vamos se para cada p existe um q que “o anula”, ja´ no item seguinte, pergunta´vamos se existe um mesmo q que “anula” todo e qualquer p. Exerc´ıcio 9 Escreva a negac¸a˜o das afirmativas abaixo: a) Toda casa tem um dono. b) Existe gato que gosta de a´gua. c) Existe cachorro que na˜o persegue gato. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 9 d) Toda menina baiana tem um jeito que Deus da´. e) Todo boteco que se preza diz que na˜o vende fiado. Soluc¸a˜o: a) Existe casa que na˜o tem um dono. b) Todo gato na˜o gosta de a´gua (ou nenhum gato gosta de a´gua, ou, ainda, na˜o existe gato que gosta de a´gua). c) Todo cachorro persegue gato. b) Existemenina baiana que na˜o tem um jeito que Deus da´. b) Existe boteco que se preza que na˜o diz que na˜o vende fiado. Exerc´ıcio 10 O conjunto A∪B pode ser descrito, por uma propriedade satisfeita por seus elementos, como A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}. Descreva, por meio de uma propriedade satisfeita por seus elementos (isto e´, na forma {x|...}), os conjuntos a) A ∩B b) A−B c) A ∩B ∩ C d) (A ∪B)− C Soluc¸a˜o: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos a) A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} b) A−B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B} ou ainda A−B = {x|x ∈ A∧ ∼ (x ∈ B)} c) A ∩B ∩ C = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C} d) (A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C} ou ainda (A ∪B)− C = {x|(x ∈ A ∨ x ∈ B)∧ ∼ (x ∈ C)} Exerc´ıcio 11 A proposic¸a˜o “A ⊂ B”pode ser escrita, utilizando quantificadores, como “∀x ∈ A, x ∈ B”. Note que as duas expresso˜es sa˜o equivalentes. Escreva, utilizando quantifi- cadores, expresso˜es equivalentes a a) A 6⊂ B Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 10 b) A ⊂ (B ∪ C) c) A−B = ∅ Soluc¸a˜o: Descrevendo cada conjunto por meio de uma propriedade, temos a) A 6⊂ B equivale a ∃x ∈ A|x /∈ B b) A ⊂ (B ∪ C) equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ∨ x ∈ C c) A−B = ∅ equivale a ∀x ∈ A, x ∈ B ou ainda @x ∈ A|x /∈ B Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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