Exercícios - Equações Diferencias Parciais (com respostas)

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UEM-CCE-DMA- 5279- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – T1 E T 2 – 2014 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
 
 
1. Considere a condução do calor em um bastão de cobre ( )2 21,14 cm / sα = de 100 cm de 
comprimento cujos extremos são mantidas a 0º C para 0t > , enquanto que a superfície 
lateral da barra é isolada. Encontre uma expressão para a temperatura ( , )u x t na barra se a 
distribuição inicial de temperatura no bastão é dada por: 
 
a) ( ,0) 50, 0 100.u x x= < < 
b) , 0 50( ,0)
100 , 50 100.
x x
u x
x x
≤ <
= 
− ≤ ≤
 
c) 
0, 0 25
( ,0) 50, 25 75
0, 75 100.
x
u x x
x
≤ <

= ≤ ≤
 < ≤
 
 
 
2. As extremidades 0 e 10x x= = de uma barra delgada de alumínio ( )2 0,86α = são 
mantidas a 0º C para 0t > , enquanto que a superfície lateral da barra é isolada. Encontre 
uma expressão para a temperatura ( , )u x t na barra se inicialmente se tem: 
a) ( ,0) 70cos , 0 10.u x x x= < < 
b) 0, 0 3( ,0)
65, 3 10.
x
u x
x
< <
=  ≤ <
 
3. Aqueça um bastão de prata ( )2 1,71α = de 20 cm de comprimento a uma temperatura 
uniforme de 100º C. Suponha que, em 0t = , os extremos da barra sejam mergulhados num 
banho de gelo a 0º C e mantidos a essa temperatura para 0t > . Além disso, a superfície 
lateral da barra é isolada de modo que não haja transferência de calor através da mesma. 
a) Encontre uma expressão para a temperatura em qualquer ponto na barra em qualquer 
tempo. 
b) Use dois termos da expansão em série para a temperatura para determinar 
aproximadamente a temperatura no centro da barra no tempo 30t = s. 
c) Use dois termos da expansão em série para a temperatura para determinar 
aproximadamente o tempo que decorre para que o centro da barra se resfrie para uma 
temperatura de 25ºC. 
 
4. As extremidades e os lados de uma barra de cobre ( )2 1,14α = de comprimento 2 são 
isolados de tal maneira a não permitir passagem de calor através deles. Encontre a 
temperatura ( , )u x t em um ponto x na barra no instante t se no instante 0t = tem-se que: 
a) ( ,0) 65cos , 0 2.u x x xpi= ≤ ≤ 
b) ( ,0) 70sen , 0 2.u x x x= ≤ ≤ 
 
5. Problema de condução unidimensional do calor com condições de contorno não-
homogêneas (não-nulas): Suponha que uma barra de comprimento l, tenha um extremo da 
barra mantido a uma temperatura constante T1 e outro mantido a uma temperatura constante 
T2. A distribuição de temperatura, indicada por ( , )u x t satisfaz a equação diferencial do 
calor: 2 .t xxu uα= Então as condições de contorno são: 1 2(0, ) , ( , )u t T u l t T= = , 0.t > 
Além disso, a superfície lateral da barra é isolada de modo que não haja transferência de 
calor através da mesma. Seja ( )f x a temperatura inicial no ponto x da barra no instante t=0, 
ou seja, a condição inicial é ( ,0) ( )u x f x= . Fazendo uma apropriada modificação, o 
problema poderá ser resolvido diretamente pelo método de separação de variáveis. A técnica 
para fazer isso é sugerida pelo seguinte argumento físico. Após um longo tempo, isto é, 
quando t → ∞ , a distribuição de temperatura atinge um estado estacionário, que 
denotaremos por ( )v x , e que é independente do tempo t e das condições iniciais. Essa 
temperatura de estado estacionário, evidentemente deve satisfazer a equação do calor. 
Ou seja, 
 ''( ) 0v x = , 0 x l< < . 
Além disso, ( )v x deve satisfazer as condições de contorno 
1 2(0) , ( ) ,v T v l T= = mesmo quando t → ∞ . 
Exercício: Obtenha a solução de problema de contorno, ou seja a distribuição de 
temperatura de estado estacionário ( )v x . [ Observe que ela é linear]. 
 
 Voltando ao problema original, representemos a distribuição de temperatura ( , )u x t por 
 ( , ) ( ) ( , )u x t v x w x t= + , 
em que ( )v x é a distribuição de temperatura de estado estacionário e ( , )w x t é a distribuição 
de temperatura (transiente) . 
Exercício: Substitua u v w= + na equação do calor e mostre que w satisfaz a equação 
do calor. E mais, que w deve satisfazer as condições de contorno: 
(0, ) 0 e ( , ) 0w t w l t= = . E ainda, que w deve satisfazer a condição inicial 
( ,0) ( ) ( ).w x f x v x= − Obtenha a expressão de ( , ),w x t como uma série infinita, 
admitindo que f satisfaça as condições suficientes que garantam que ( , )w x t é a única 
solução do problema e que satisfaça a condição inicial. 
 
 Sendo ( , ) ( ) ( , )u x t v x w x t= + , escreva a expressão de ( , )u x t . 
 
 
6. Considere uma barra delgada reta de ferro fundido ( )2 0,12α = medindo 30 cm, com 
distribuição inicial de temperatura dada por 20ºC, com a extremidade x = 0 resfriada a 0º e 
mantida assim para todo 0t > , enquanto o extremo 30x = esteja isolado de modo que o 
calor não o atravesse. A temperatura ( , )u x t no ponto x da barra e no instante t deve 
satisfazer o problema misto 
 (I) 
0,12
(0, ) 0, (30, ) 0 0 30, 0.
( ,0) 20
t xx
x
u u
u t u t x t
u x
=

= = < < >

=
 
a) Mostre, usando o método de separação de variáveis, que o problema (I) se 
transforma em dois problemas dados por EDO’s com condições de contorno e 
obtenha as soluções fundamentais: 
( )22 2 1
30000 (2 1)( , ) sen ; 1, 2,3,
60
n
t
n
n x
u x t e n
pi
pi
−
−
− 
= ⋅ = 
 
… 
 
b) Assumindo que ( ) 20f x = tenha uma expansão em série de Fourier em termos de 
(2 1)
sen ; 1,2,3,
60
n x
n
pi− 
= 
 
…, ou seja que 
1
(2 1)( ) sen ,
2n
n
n xf x b
l
pi∞
=
− 
=  
 
∑ onde 
para cada 1, 2,3,n = … 
0
2 (2 1)( )sen
2
l
n
n xb f x dx
l l
pi− 
=  
 
∫ , então obtenha a solução 
formal 
( )22 2 1
30000
1 1
(2 1)( , ) ( , ) sen
60
n
t
n n n
n n
n x
u x t b u x t b e
pi
pi
−
∞ ∞ −
= =
− 
= = ⋅  
 
∑ ∑ , calculando 
devidamente os bn’s. 
 
 
 
7. Resolva o problema o problema anterior supondo que a extremidade 30x = seja resfriada a 
0º e mantido assim para todo 0t > , enquanto a extremidade 0x = esteja isolada de modo 
que o calor não a atravesse. 
a)Mostre, usando o método de separação de variáveis, que as soluções fundamentais: 
 são 
( )22 2 1
30000 (2 1)( , ) cos ; 1,2,3,
60
n
t
n
n x
u x t e n
pi
pi
−
−
− 
= ⋅ = 
 
… 
b)Assumindo que ( ) 20f x = tenha uma expansão em série de Fourier em termos de 
(2 1)
cos ; 1, 2,3,
60
n x
n
pi− 
= 
 
… , ou seja que 
1
(2 1)( ) cos ,
2n
n
n xf x a
l
pi∞
=
− 
=  
 
∑ onde 
para cada 1, 2,3,n = … 
0
2 (2 1)( ) cos
2
l
n
n x
a f x dx
l l
pi− 
=  
 
∫ , então obtenha a solução 
formal 
( )22 2 1
30000
1 1
(2 1)( , ) ( , ) cos
60
n
t
n n n
n n
n x
u x t a u x t a e
pi
pi
−
∞ ∞ −
= =
− 
= = ⋅  
 
∑ ∑ , calculando 
devidamente os an’s. 
 
 
8. Resolva cada um dos seguintes problemas de valor na fronteira em que a EDP é a Equação 
da onda: 
a) 
2
(0, ) 0, (2 , ) 0
( ,0) cos 1, ( ,0) 0, 0 2 .
tt xx
t
u c u
u t u t
u x x u x x
pi
pi
 =

= =

= − = < <

 
b) 
2
, 0 1
(0, ) 0, (3, ) 0 ( ,0) 1, 1 2
( ,0) 0, 0 3 3 , 2 3
tt xx
t
u c u x x
u t u t u x x
u x x x x
 = ≤ ≤
 
= = = ≤ ≤ 
 
= ≤ ≤ − ≤ ≤
 
 
c) (0, ) 0, ( , ) 0
( ,0) 2 sen 5 , ( ,0) 0, 0 .
tt xx
t
u u
u t u t
u x x u x x
pi
pi
=

= =

= = < <
 
 
d) , 0 1(0, ) 0, (2, ) 0 ( ,0)
2 , 1 2.( ,0) 0, 0 2,
tt xx
t
u u
x x
u t u t u x
x x
u x x
=
≤ ≤
= = = 
− ≤ ≤
= < <9. Considerando o seguinte problema 
2
(0, ) 0, ( , ) 0, 0,
( ,0) ( ), ( ,0) ( ), 0 .
tt xx
x x
t
u c u
u t u l t t
u x f x u x g x x l
 =

= = >

= = < <

 
 
Use o método da separação de variáveis para transformar o problema acima nos seguintes 
problemas: (PC): '' 0
'(0) 0, '( ) 0
X X
X X l
λ+ =

= =
 (EDO) 2'' 0T c Tλ+ = 
 junto com as condições iniciais ( ,0) ( )( ,0) ( )t
u x f x
u x g x
=

=
 . 
 
Resolva (PC) e obtenha para 
• 00, ( ) (tome = 1).X x c cλ = = 
• 0, ( ) 0 (não interessa).X xλ < ≡ 
• 0, ( ) cos ,n
n xX x
l
piλ  > =  
 
 correspondentes aos autovalores 
2 2
2 , 1, 2,3, .n
n
n
l
piλ = = … 
 Para cada 0,1,2,3, ,n = … resolva a (EDO) obtendo : 
• n = 0, 0 ( ) ,T t a bt= + 
• 1n ≥ , cos senn n n
cn cnT a t b t
l l
pi pi   
= +   
   
 
 Logo, 
• 
0 0
0 ( , ) 2 2
a b
u x t t= + 
• ( , ) cos cos senn n n
n x cn cn
u x t a t b t
l l l
pi pi pi      
= +      
      
 . 
 
 Agora, assumindo que f(x) possua uma expansão em série de Fourier 
 
0
1
( ) cos
2 n
n
a n xf x a
l
pi∞
=
 
= +  
 
∑ e daí, 0
2 ( )cos , 0,1,2,3,ln
n x
a f x n
l l
pi 
= = 
 
∫ … e 
 que 0
1
( ) cos
2 n
n
b cn n xg x b
l l
pi pi∞
=
 
= +  
 
∑ , em que 0 0
2 ( )lb g x dx
l
= ∫ e 
 
0
2 ( )cos , 1,2,3,ln
n xb g x dx n
cn l
pi
pi
 
= = 
 
∫ … , teremos que a solução desse problema 
 da onda é dada por: 
 
0 0
1
( , ) cos cos sen
2 2 n n
n
a b n x cn cn
u x t t a t b t
l l l
pi pi pi∞
=
      
= + + +      
      
∑ . 
 Verifique que ( , ),u x t acima dada satisfaz as condições iniciais: 
 ( ,0) ( ) e ( ,0) ( ).tu x f x u x g x= = 
 
 
10. Resolva cada um dos seguintes problemas de Dirichlet, usando o método de separação de 
variáveis: (Determine as soluções fundamentais usando as três condições de fronteira nulas 
e assuma que a solução do problema é uma série infinita [combinação linear infinita dessas 
soluções fundamentais] e que satisfaz a condição de fronteira dada pela função f.) 
a) 
0
( ,0) 0, ( , ) 0, 0 ,
(0, ) ( ), ( , ) 0, 0 .
xx yyu u
u x u x b x a
u y f y u a y y b
+ =

= = < <

= = < <
 
b) 
0
( ,0) ( ), ( , ) 0, 0 ,
(0, ) 0, ( , ) 0, 0 .
xx yyu u
u x f x u x b x a
u y u a y y b
+ =

= = < <

= = < <
 
c) 
0
( ,0) 0, ( , ) 0, 0 ,
(0, ) 0, ( , ) ( ), 0 .
xx yyu u
u x u x b x a
u y u a y f y y b
+ =

= = < <

= = < <
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
1. 
2 2 2 2/
1
( , ) sen ;n t ln
n
n x
u x t c e
l
pi α pi
∞
−
=
= ∑ ( )2 21,14 cm / s ; 100 cmlα = = 
 a) 100(1 cos )n
n
c
n
pi
pi
−
= ; b) ( )2 2
400sen / 2
;n
n
c
n
pi
pi
= 
c) ( ) ( )100 cos / 4 cos 3 / 4 .n n nc
n
pi pi
pi
−  
= 
 
2. 
2 2 2 2/
1
( , ) sen ;n t ln
n
n x
u x t c e
l
pi α pi
∞
−
=
= ∑ ( )2 0,86 ; 10lα = = 
 a) 
( )
2 2
2 1 1 cos10
100
n
n
n
c
n pi
 
− −
 
=
−
; b) 
( ) 3130 1 cos
10
n
nc
n
pi
pi
 
− − −  
= 
 
3. a) 2 2 2(2 1) / 400
1
400 1 (2 1)( , ) sen ;
2 1 20
n t
n
n x
u x t e
n
pi α pi
pi
∞
− −
=
−
=
−
∑ b) (10,30) 35,7º Cu ≃ ; 
c) 38,7t ≃ s. 
 
4. a) 21.14( , ) 65 costu x t e xpi pi−= ; 
b) 2 2(1,14) / 4
1
( , ) 35(1 cos 2) cos
2
n t
n
n
n x
u x t a e pi
pi∞
−
=
= − +∑ em que 
( )
2 2
280 1 cos 2 1
4
n
na
n pi
 
− −
 
=
−
; 
 
5. 
2 2 2 2/
1
( , ) senn t ln
n
n x
w x t b e
l
pi α pi
∞
−
=
= ∑ , onde 2 1 10
2 ( ) ( ) sen .ln
x n xb f x T T T dx
l l l
pi 
= − − −  
∫ 
A solução do problema original com condições de fronteira não-homogêneas é 
2 1 1( )
xT T T
l
− − ( , )u x t = 2 2 2 2/2 1 1
1
( , ) ( ) senn t ln
n
x n x
u x t T T T b e
l l
pi α pi
∞
−
=
= − + +∑ , onde os nb são 
das acima. 
 
 
8 a) ( )20
4 2 1 1( , ) sen (2 1) cos (2 1) ;
2 1 2 22 1 4n
n x ct
u x t n n
nnpi
∞
=
 +     = − + +   +     + − 
∑ 
 
8 b) 
2
3
2 2
1
12( , ) sen sen cos
3 3
n
n
n x n ct
u x t
n
pi pi pi
pi
∞
=
     
= ⋅ ⋅           
∑ 
 
8 c) ( , ) 2 sen 5 cos5u x t x t= ⋅ ⋅ 
 
8 d) ( )( )
1
2 2
0
18( , ) sen cos
2 22 1
n
n
n x n t
u x t
n
pi pi
pi
+∞
=
−    
= ⋅ ⋅   
   +
∑ 
 
10) a) ( )
1
( , ) senh sen ,n
n
n x a n y
u x y c
b b
pi pi∞
=
−   
=    
  
∑ 0
2 ( )sen .
senh
b
n
n y
c f y dy
n a bb
b
pi
pi
−  
=  
   
 
 
∫ 
b) ( )
1
( , ) sen senh ,n
n
n y bn x
u x y c
a a
pipi∞
=
−  
=   
   
∑ 0
2 ( )sen .
senh
a
n
n x
c f x dx
n b a
a
a
pi
pi
−  
=  
   
 
 
∫ 
c) 
1
( , ) senh sen ,n
n
n x n y
u x y c
b b
pi pi∞
=
   
=    
   
∑ 0
2 ( )sen .
senh
b
n
n y
c f y dy
n a bb
b
pi
pi
 
=  
   
 
 
∫