Unidade 3 Problemas de Valores de Contorno em coordenadas retangulares2

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Problemas de valores de Contorno
Equações Diferenciais Parciais (EDP) Separáveis; 
EDP’s clássicas e Problemas de Valores de Contorno; 
Equação do Calor, da Onda e de Laplace. 
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Primeiramente vamos definir uma EDP linear geral de 2° ordem:
Dada uma função , uma EDP linear de 2° ordem tem a forma geral:
Onde A, B, C, ... ,D são funções de e de .
Quando , então a EDP linear é homogênea, se não é dita não-homogênea.
Solucionar uma EDP é encontrar uma função que satisfaça a EDP em uma determinada região do plano .
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Não é comum encontrar problemas práticos cujo modelo na forma de EDP tenha todas as componentes da forma geral de segunda ordem.
Por isso, não será tratada a solução geral para uma EDP linear de 2° ordem, mas sim a solução de casos mais práticos.
O principal método de solução será a separação de variáveis.
Basicamente trata-se de supor que é a composição de duas funções e na forma: .
Para substituir na EDP, temos:
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Exemplo 1: Determine a solução da EDP a seguir por meio da separação de variáveis.
Solução: Supondo que , podemos calcular as derivadas parciais e então substituir na EDP:
Dividindo os dois lados da igualdade por , temos:
Estamos supondo que o lado esquerdo não de pende de e que o lado direito não depende de .
Como são iguais, então estas não dependem nem de e nem de y.
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Exemplo 1: Solução: Isso significa dizer que as duas equações devem ser iguais a uma constante .
Por padrão vamos utilizar a constante .
Vamos agora analisar a resposta de EDP para os três possível valores da constante 
Caso 1: Quando , então as duas EDO ficam na forma:
Integrando duas vezes, chagamos a resposta:
Por multiplicação, temos:
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Caso 2: Quando , as duas EDO’s ficam na forma:
Resolvendo as duas EDO’s, temos as soluções gerais na forma:
Por multiplicação obtemos:
Caso 3: Quando , as duas EDO’s ficam na forma:
Resolvendo as duas EDO’s, temos as soluções gerais na forma:
Por multiplicação obtemos:
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Classificação das EDP’s
Vamos classificar as EDP’s em três tipos: Hiperbólica, parabólica e elíptica.
Dada a forma geral de uma EDP de 2° a seguir:
Onde A, B, C, D, E, F e G são constantes reais, então segue a classificação:
Exemplo 2: Classifique as seguintes EDP’s.
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Exemplo 2: Solução: a) escrevendo na forma padrão:
Podemos identificar .
Assim e A EDP é do tipo Parabólica.
b) escrevendo na forma padrão:
Podemos identificar .
Assim e A EDP é do tipo Hiperbólica.
c) escrevendo na forma padrão:
Podemos identificar .
Assim e A EDP é do tipo Elíptica.
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Exercício 1: Nos problemas a seguir, encontre por separação de variáveis as possíveis soluções produto das EDP’s.
Exercício 2: Classifique as seguintes EDP’s como Hiperbólica, parabólica ou elíptica.
Equações Diferenciais Parciais Separáveis
Exercício 3: Nos problemas a seguir, verifique se a EDP possui como solução a função produto indicada. 
Exercício 4: A EDP a seguir está na forma generalizada, visto que seus coeficientes são funções de . Desta forma, analise as regiões do plano em que esta pode ser classificada como Hiperbólica, parabólica ou elíptica.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Algumas EDP’s clássicas são apresentadas a seguir:
Equação do Calor Unidimensional:
Equação da Onda Unidimensional:
Equação de Laplace Bidimensional:
Estas EDP’s surgem com muita frequência em problemas práticos.
Para a dimensão do problema leva-se em consideração apenas a dimensão espacial.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Equação do Calor
Surge na teoria de fluxo de calor por condução que atravessa determinado material de difusividade térmica .
O problema unidimensional uma barra delgada ou um fio fino.
A função apresenta a temperatura ao longo da barra em função do tempo.
Para obter este modelo, algumas considerações são feita:
O fluxo de calor dentro da barra é tomado apenas na direção de .
A superfície lateral é isolada, isto é, nenhum calor escala nas laterais.
Não é gerado calor dentro fio fino;
EDP’s Clássicas e PCV’s
Para obter este modelo, algumas considerações são feita:
A barra possui distribuição de massa homogênea.
O calor específico e a condutividade térmica são constantes.
Deduzindo a EDP por leis empíricas:
Quantidade de calor por elemento de massa:
Onde é a temperatura do elemento.
A quantidade de calor total que a travessa a secção transversal de área depende de .
O sinal significa que o calor cresce a medida que a temperatura diminui.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Tomando apenas uma fatia do fio de até , a massa total é e a quantidade de calor da fatia é:
Fluxo de calor que atravessa a fatia:
Derivando a quantidade de calor total da fatia no tempo, encontraremos também o calor total que atravessa a fatia:
Igualando as duas equações anteriores, temos:
EDP’s Clássicas e PCV’s
No limite quando , temos a seguinte EDP
A constante é conhecida como difusividade térmica:
Quando há perda de calor para o ambiente pela lateral, o problema sofre a seguinte alteração
Onde é a temperatura do ambiente e é a constante de convecção do calor.
Em geral, é uma função que modela a convecção do calor na superfície do material.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Equação da Onda
Vamos tomar um fio de barbante de comprimento L, com extremidades fixas em e em .
O fio é perfeitamente flexível;
O fio possui distribuição de massa homogênea, isto é, é constante.
O deslocamento é pequeno se comparado ao comprimento L do fio.
Assuma que quando o fio começa a vibrar, esta vibração permanece no plano .
Sendo a posição de cada ponto do fio em função do tempo.
Para obter a EDP que rege a vibração da corda, vamos fazer algumas considerações:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Para obter a EDP que rege a vibração da corda, vamos fazer algumas considerações:
A tensão T age tangencialmente em cada ponto do fio e é a mesma em cada ponto ao longo do fio.
A tensão T é grande se comparada com a gravidade.
Nenhum outra força age sobre o fio.
Vamos separar uma secção do fio no intervalo .
A força total que age na vertical é aproximadamente:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Assumindo que 
E também que 		é a massa a secção de fio.
Então, pela segunda Lei de Newton, temos:
Quando e fazendo , temos:
Quando há forças externas:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Equação de Laplace
A Equação de Laplace pode ser interpretada como o modelo em regime permanente, isto é, quando não varia com o tempo.
Esta equação é utilizada para tratar de problemas de potencial como Eletrostático, Gravitacional e velocidade em fluidos mecânicos;
A equação de Laplace 2D também pode ser interpretada como a temperatura em uma placa em regime permanente.
A Equação de Laplace se utiliza do símbolo o qual é conhecido como Laplaciano.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Condições Iniciais
Para obter a solução de EDP’s em função do tempo é necessário se utilizar de condições inicial.
Quando , temos na verdade uma função que rege o comportamento inicial da vibração de uma corda ou mesmo a taxa de variação no tempo de cada ponto da corda:
 A figura ao lado mostra um exemplo de como ocorre uma condição inicial modelada anteriormente.
Podemos modelar o perfil da curva e sua derivada.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Condições de Contorno
Similar às condições iniciais, as condições de contorno nos permitem encontrar a solução particular para as funções de variáveis geométricas no decorrer do tempo.
Como por exemplo na equação da onda:
As extremidades do fio permanecem na posição pois são fixas para todo tempo.
Este tipo de condição de contorno é conhecida como condições de Dirichlet.Na equação do calor, esta CC significa que a temperatura permanece na extremidade .
EDP’s Clássicas e PCV’s
Outros tipos de CC como a condição de Neumann, a qual envolve a primeira derivada:
Na equação do calor, este CC significa que na extremidade não há fluxo de calor, isto é, esta extremidade é isolada.
A condição de Robin, envolve a primeira derivada e a própria função:
Na equação do calor, este CC significa que o fluxo de calor na extremidade é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre a barra e o ambiente.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Problema de Valor de Contorno
Trata-se de uma EDP cuja solução particular é obtida através de Condições de Contorno e Condições iniciais.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Exercício 5: Para as situações a seguir, considere uma barra delgada de comprimento no intervalo Monte as condições de contorno para o problema de temperatura .
A extremidade esquerda permanece à temperatura nula e a direita é isolada. A distribuição inicial da temperatura ao longo da barra é dada por .
A extremidade esquerda permanece à temperatura e a direita permanece na temperatura zero. Há perda de calor pela lateral da barra para o ambiente com temperatura de . A distribuição inicial da temperatura ao longo da barra é dada por .
As extremidades da barra são isoladas e há perda de calor pela lateral da barra para o ambiente com temperatura de . A temperatura inicial é 100 °C em toda a barra.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Exercício 6: Para as situações a seguir, considere fio de comprimento no intervalo Monte as condições de contorno para o problema da onda .
As extremidades do fio são presas no eixo . A posição inicial do fio é dada por .
As extremidades do fio são presas no eixo . A posição inicial do fio é dada por .
A extremidade esquerda é presa no eixo , mas a direita se move transversalmente de acordo com . A posição inicial dos demais pontos do fio é regida pela função . Para a vibração vertical do fio é amortecida por uma força que é proporcional à velocidade instantânea.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Solução da Equação do Calor
Vamos solucionar o seguinte PVC:
Usando a separação de variáveis, temos que .
Calculando as derivadas parciais e substituindo na EDP, temos:
Depois de resolver as EDO’s, vamos utilizar as condição de contorno:
O que nos leva a seguinte problema:
EDP’s Clássicas e PCV’s
As possíveis soluções da EDO de 2° ordem são:
Para as duas primeiras soluções, as condições iniciais resultam somente na solução trivial .
Por isso a terceira solução é a única que se aplica nesta situação.
Substituindo as condições iniciais temos:
Como não pode ser zero, então , ou ou mesmo .
EDP’s Clássicas e PCV’s
A solução da EDO a seguir deve ser tomada em termos de , os quais são conhecidos:
Os valores de são conhecidos como autovalores do problema e as funções que dependem dos mesmos são chamadas de autofunções.
Multiplicando as duas soluções, temos:
Estas soluções dependem de . A combinação linear das mesmas também é solução da EDO.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Substituindo a condição inicial , temos:
Esta expressão é idêntica à série de Fourier de uma função ímpar, onde:
Desta forma a solução particular da EDP é dada na forma:
Para o caso particular em que , e , temos:
EDP’s Clássicas e PCV’s
O Resultado gráfico pode ser realizado no MATLAB.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Exercício 7: Resolva a EDP do calor sujeita as seguintes condições.
Exercício 8: Suponha que no problema de propagação do calor em um fio fino, haja perda de calor pela superfície lateral para o ambiente em temperatura 0 °C. O modelo é dado na forma:
Sendo , e é uma constante. Determine a temperatura em cada ponto da barra sendo a distribuição inicial de temperatura e as duas barras são isoladas.
EDP’s Clássicas e PCV’s
Exercício 9: Suponha uma barra delgada definida no intervalo inicialmente no formato anelar, mas depois foi cortada para análise retangular. Esta situação satisfaz o seguinte PCV:
Determine a temperatura .
EDP’s Clássicas e PCV’s
Solução da Equação da Onda
Vamos solucionar o seguinte PVC:
Usando a separação de variáveis, temos que .
Calculando as derivadas parciais e substituindo na EDP, temos:
Para , temos:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Das três opções, apenas para as condições de contorno não provocam a solução trivial:
Substituindo as condições iniciais temos:
Como não pode ser zero, então , ou ou mesmo .
Assim os autovalores são,
A solução geral para :
EDP’s Clássicas e PCV’s
Por multiplicação temos:
Fazendo a combinação linear de todas as soluções:
Substituindo a condição inicial, temos:
Esta expressão é idêntica a série de Fourier da uma função ímpar, onde:
A última condição inicial necessita de calcular .
EDP’s Clássicas e PCV’s
Assim temos:
Esta expressão é idêntica a série de Fourier da uma função ímpar, onde:
Desta forma a solução geral é dada por:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Para o caso particular onde: , e
Os coeficientes An e Bn são dados por:
Resultados gráficos:
		
	
	
EDP’s Clássicas e PCV’s
Resultados gráficos:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Solução da Equação de Laplace
Vamos solucionar o seguinte PVC:
Usando a separação de variáveis, temos que .
Calculando as derivadas parciais e substituindo na EDP, temos:
Para , temos:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Das três opções, apenas para as condições de contorno não provocam a solução trivial:
Substituindo as condições de contorno, temos:
Como não pode ser zero, então , ou ou mesmo . Desta forma:
Assim os autovalores são,
A solução geral para :
EDP’s Clássicas e PCV’s
Condições de contorno para :
Quando :
Por multiplicação temos: 
Fazendo a combinação linear de todas as soluções:
Substituindo a condição de contorno em (), temos:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Esta expressão é idêntica a série de Fourier da uma função par, onde:
Para o caso particular onde: e 
Os coeficientes e da série são:
EDP’s Clássicas e PCV’s
EDP’s Clássicas e PCV’s
Problema de Dirichlet
Ocorre quando as condições de contorno delimitam condições para toda a região do espaço analisado. Por exemplo, no caso do PCV a seguir:
Note que nenhuma derivada é utilizada para as condições de contorno, apenas os valores da solução nos limites do espaço analisado. 
A solução é dada na forma:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Para o caso particular em que , e , temos:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Princípio da Superposição
Quando um PVC apresenta todas as condições de contorno não nulas, a solução pode ser obtidas separando o problema em dois mais simples. 
O PVC acima pode ser analisado como os dois PCV’s a seguir:
EDP’s Clássicas e PCV’s
Obtêm-se então a solução para os dois PVC’s simplificados e, pelo princípio da superposição, a solução final é dada pela soma.
Solução do 1° PCV: 
EDP’s Clássicas e PCV’s
Solução do 2° PCV: 
Para o caso particular: e:
EDP’s Clássicas e PCV’s
0123456
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Deslocamento u(c,t) m
Tempo s
 
 
x=0 m
x=0.39 m
x=0.787 m
x=1.177 m
x=1.574 m
x=1.964 m
x=2.355 m
x=2.751 m
x=3.142 m
00.511.522.53
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Deslocamento u(x,c) m
Ponto da corda x (m)
 
 
t=0 s
t=0.762 s
t=1.587 s
t=2.348 s
t=3.173 s
t=3.935 s
t=4.697 s
t=5.522 s
t=6.283 s
Tempo (seg)
Ponto da corda x (m)
 
 
0123456
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1.5-1-0.500.511.5
Coordenanda y (m)
Coordenanda x (m)
 
 
00.20.40.60.81
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0102030405060708090
00.20.40.60.81
0
20
40
60
80
100
Temperatura u(x,c) m
Pontos x da placa (m)
 
 
y=0 m
y=0.2 m
y=0.4 m
y=0.6 m
y=0.8 m
y=1 m
00.20.40.60.81
0
20
40
60
80
100
Temperatura u(c,y) m
Pontos y da placa (m)
 
 
x=0 m
x=0.2 m
x=0.4 m
x=0.6 m
x=0.8 m
x=1 m
Coordenanda y (m)
Coordenanda x (m)
Isotermas
00.20.40.60.81
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Coordenanda y (m)
Coordenanda x (m)
Isotermas
 
 
00.511.52
0
0.5
1
1.5
2
102030405060708090100
00.511.52
0
20
40
60
80
100
Temperatura u(c,y) m
Pontos y da placa (m)
 
 
x=0 m
x=0.2 m
x=0.4 m
x=0.6 m
x=0.8 m
x=1 m
00.511.52
0
20
40
60
80
100
Temperatura u(x,c) m
Pontos x da placa (m)
 
 
y=0 m
y=0.2 m
y=0.4 m
y=0.6 m
y=0.8 m
y=1 m