fractais_progressao_e_serie_geometrica

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Fractais: progressão e série geométrica 
Uma metodologia de ensino 
 
Andrios Bemfica 
Graduado em Licenciatura Matemática na Faculdade Cenecista de Osório – FACOS 
2010/2 
Cassiana Alves 
Graduada em Licenciatura Matemática na Faculdade Cenecista de Osório – FACOS 
2010/2 
 
Resumo: O presente trabalho teve como foco o tema referente à Geometria Fractal que é uma nova 
maneira de ver e conceber o conhecimento geométrico. Buscamos apresentar o que são os fractais, 
como construir fractais em software matemático e através de dobraduras. Além disso, procuramos 
mostrar alguns dos fractais mais conhecidos como o Triângulo e Tapete de Sierpinsky e Conjunto de 
Cantor. Assim, na busca da aplicação da geometria fractal nos conceitos matemáticos, realizamos o 
cálculo da área e volume do Triângulo de Sierpinsky após n interações, cálculo da área do Tapete de 
Sierpinsky. Para realizarmos tal trabalho de calcular, fizemos uso dos conceitos de progressões e 
séries geométricas oriundos do cálculo, geometria e da álgebra. Com isso, buscamos abordar o tema 
não somente como uma curiosidade geométrica, mas também discutir as possibilidades do uso deste 
como uma metodologia para a matemática do ensino médio. 
 
Palavras-chave: Geometria Fractal, Séries Geométricas, Cálculos Algébricos, Progressões 
Geométricas. 
 
Abstract: This paper focuses on the subject on the Fractal Geometry is a new way of seeing and 
conceiving the geometric knowledge. We present what are fractals, how to build fractals in 
mathematical software and by folding. Furthermore, we show some more of fractals known as the 
Sierpinski Triangle and Carpet Set and Cantor. So, in seeking the application of mathematical 
concepts in fractal geometry, we calculate the area and volume of the Sierpinski Triangle after n 
interactions, calculating the area of the Sierpinski carpet. To make this work, to calculate, we use the 
concepts of geometric progressions and series from the calculation, geometry and algebra. With this, 
we address the issue not only as a geometrical curiosity, but also discuss the possibilities of using this 
as a methodology for high school math. 
 
Keywords: Fractal Geometry, Geometric Series, algebraic calculations, Geometric Progressions. 
 
Introdução 
 
O presente artigo vem mostrar um assunto ainda pouco utilizado como metodologia 
de ensino da matemática, os fractais, que em especial podem ser aplicados nos 
conteúdos de progressões geométricas do ensino médio. Mesmo sendo pouco 
utilizado é visto em diversas formas em nossas vidas cotidianas. 
 
7 
 
Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm surgido. No entanto, a noção 
que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida por Benoit 
Mandelbrot. De acordo com Sallum (2005): 
 
Um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, 
sendo cada um desses pedaços uma reprodução do todo. Não podemos ver 
um fractal porque é uma figura limite, mas as etapas de sua construção 
podem dar uma idéia da figura toda. Seu nome se deve ao fato de que a 
dimensão de um fractal não é um número inteiro. (Ibidem, p.1) 
 
Sendo assim, os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, 
com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área 
finita. Os fractais podem ser divididos em duas categorias: os fractais geométricos, 
que repetem continuamente um modelo padrão, e os aleatórios que são feitos 
através dos computadores. 
 
Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais apresentam 
determinadas características: auto-semelhança, dimensionalidade e complexidade 
infinita. A auto-semelhança é a simetria através das escalas, que consiste em cada 
pequena função do fractal, é tal qual uma réplica do original, porém numa escala 
menor. Esta propriedade pode ser vista em variados elementos da natureza 
(conforme anexo 1). 
 
A teoria do caos 
 
Muitos fenômenos não podem ser previstos por leis matemáticas, assim, os 
fenômenos ditos “caóticos” são aqueles onde não há previsibilidade. As variações 
climáticas, oscilações do coração, do cérebro e as oscilações da bolsa de valores 
são fenômenos ditos caóticos. Atualmente, com o desenvolvimento da matemática e 
das outras ciências, a teoria do caos surgiu com o objetivo de compreender e dar 
resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na natureza. 
 
Assim, nas últimas décadas depois de um árduo trabalho de matemáticos e físicos, 
elaboraram teorias para explicar o caos. Hoje se sabe muito a respeito de 
fenômenos imprevisíveis, e já é possível ver os resultados. Por exemplo, em 
noventa e sete, dois americanos conseguiram encontrar uma fórmula para prever 
8 
 
aplicações financeiras e com isso ganharam o prêmio Nobel de economia, logo, 
caos tem aplicações em todas as áreas. 
 
Assim, podemos dizer que: 
 
Essa ciência trouxe consigo o ver ordem e padrões, onde anteriormente só 
se observava o irregular, o aleatório, o imprevisível, digamos mesmo o 
caótico. Entretanto, notasse que o Caos as colocou entre temas não 
relacionados justamente pelas suas irregularidades. (SALLUM, p.10, 2002). 
 
Desta forma, uma lei básica para a teoria do caos afirma que a evolução de um 
sistema dinâmico depende principalmente das suas condições iniciais. O 
comportamento do sistema dependerá então da sua situação “de início”. Se 
analisarmos o mesmo sistema, sob outras condições iniciais, logicamente ele 
assumirá outros caminhos e mostrar-se-á totalmente diferente do anterior. 
 
Um exemplo tradicional de caos no mundo cotidiano, e também conhecido como um 
provérbio é o “efeito borboleta”, que diz que: “uma borboleta bate as asas na China e 
causará um furacão na América”, por mais absurdo que pareça esta metáfora, os 
fenômenos climáticos são de comportamento caótico e de difícil previsibilidade. E 
também podemos citar as formas do litoral e das ilhas, umas são alongadas, outras 
circulares, diferem de tamanho, mas podem ser de formas análogas. São como 
fractais, a sua formação deve-se a um conjunto de forças complexas que resultaram 
num formato padrão, pois se observarmos a natureza não veremos ilhas quadradas. 
Aqui muitos outros exemplos poderiam ser citados, mas não nos esqueçamos que 
na natureza existem também fenômenos simples como a queda de um objeto, o 
som, o movimento dos astros e muitos outros. Nem tudo é caótico, quando falamos 
num sistema complexo não estamos nos referindo somente à complexidade 
operacional, mas também à complexidade de elementos. 
 
Geometria fractal 
 
Foi da necessidade de se calcular e descrever certos fenômenos da natureza ou 
objetos intricados que não possui forma definida, que surgiu a Geometria Fractal, 
uma geometria que apresenta estruturas geometricamente complexas e 
infinitamente variadas. Sua nomenclatura se origina do adjetivo em latim fractus. O 
9 
 
verbo latino corresponde frangere que significa “quebrado” ou “fraturado”: criar 
fragmentos irregulares. Caracterizam-se por repetir um determinado padrão com 
ligeiras e constantes variações. Como conseqüência dessa auto-similaridade, as 
diferentes partes de um fractal se mostram similares ao todo. Assim, os fractais têm 
cópias aproximadas de si em seu interior. 
 
Ainda podemos dizer que “os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente 
irregular ou fragmentada e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as 
escalas”. Porém somente há poucos anos, com o desenvolvimento e 
aperfeiçoamento dos computadores, a Geometria Fractal vem se consolidando. 
 
O matemático francês, Benoit Mandelbrot, escolheu a palavra fractal para nomear os 
estudos que ele se dedicou e trouxe mais conhecimentoa nós. Pois na verdade os 
fractais não foram descobertos nem criados por Mandelbrot, ele apenas os nomeou, 
visto que estes já eram conhecidos antes de sua descoberta. Existem indicações de 
que os fractais já existiam antes do século XX. Na época eram conhecidos como 
“monstros matemáticos”, na Grécia Homérica, Índia e China. Até mesmo Euclides, a 
mais de dois mil anos, observou que a areia da praia se assemelhava a uma espécie 
que é bidimensional, embora fosse constituída por pequenas partes tridimensionais. 
Mandelbrot ao definir os fractais se apoiou muito em matemáticos, cientistas, que já 
haviam se dedicado a este estudo sistemático dos fractais, mas não chegaram a ter 
uma conclusão exata dos seus estudos. Podemos citar: o Georg Cantor (1845-
1918), David Hilbert (1862-1943), Giusepe Peano (1858-1932), Helge von Koch 
(1870-1924), Waclaw Sierpinski (1882-1969), entre outros. 
 
Fractais como metodologia de ensino 
 
A sociedade em que vivemos está passando por muitas transformações, a 
globalização e as tecnologias têm mudado o nosso cotidiano. Estas evoluções têm 
provocado algumas mudanças também na educação. Atualmente, muito se tem 
discutido sobre a abordagem dos conteúdos em sala de aula e o uso das novas 
tecnologias no ensino. Nesta esteira de discussões é que o ensino de matemática se 
insere, tendo em vista que a preocupação é crescente no que diz respeito a 
10 
 
adaptação dos profissionais aos aparatos que a tecnologia disponibiliza. Estas 
novas abordagens vão de encontro ao perfil “moderno” do educando, que está cada 
vez interagindo mais com as novas tecnologias. 
 
As tecnologias no ensino são novas ferramentas que auxiliam tanto professores 
quanto alunos nas aulas de matemática, porém não são únicas. A prática escolar 
nos permite acreditar que a apresentação de novas formas de abordar conteúdos 
torna as aulas da disciplina de Matemática mais atraentes e produtivas. Nesse 
sentido, entendemos que as pessoas precisam sair das escolas, não sabendo 
somente calcular e escrever, tão pouco sabendo a capital de algum país do outro 
lado do mundo, precisam sair das salas de aula sabendo questionar, sabendo 
reconhecer, relacionar, criar. 
 
Para Barbosa (2002), a própria matemática 
 
[...] fornece ao matemático, ao professor, e é bom que ofereça ao 
educando, prazeres oriundos de várias formas de pensar e ver, ou de suas 
próprias ações. Muitas vezes eles emergem de superação de dificuldades; 
assim é, por exemplo, o estado prazeroso emergente da simples busca com 
sucesso das raízes na resolução de uma equação ou de uma situação-
problema numérica ou geométrica cuja solução leva a encontrar apenas 
alguns números ou determinados pontos de um plano. (BARBOSA, p. 13, 
2002) 
 
Seguindo estes princípios, a geometria fractal possui um vasto campo de aplicação 
dos conceitos matemáticos em suas diversas áreas, tais como álgebra, cálculo, 
geometria plana e espacial, e progressões. Cabe ao educador utilizar dos recursos 
dispostos pela escola, bem como dos conteúdos curriculares, para inserir este tema 
em suas aulas e cativar o aluno no aprendizado de conceitos. 
 
Segundo Nunes (2010): 
 
A exploração da geometria fractal, em contexto de sala de aula, proporciona 
o desenvolvimento das atitudes, dos valores e das competências dos 
alunos, na medida em que promove a curiosidade e o gosto de aprender, de 
pesquisar e de investigar; impulsiona a utilização da matemática na 
interpretação do real, reconhecendo formas e processos que envolvem 
conceitos matemáticos; ajuda na compreensão dos conceitos de perímetro, 
área e volume; promove a pesquisa de padrões e regularidades formulando 
em seguida generalizações em situações diversas, nomeadamente em 
contextos numéricos e geométricos. (Ibidem, 74) 
 
11 
 
Nesse sentido, podemos afirmar que esta área da geometria passa a ser uma 
importante e eficaz metodologia de ensino, visto que possibilita a abordagem e 
aplicação de vários conceitos, diversificando assim a prática do professor. Propor 
uma aula com situações novas, onde o educando possa descobrir e fazer relações 
entre o que visualiza e o que estuda, torna o acontecimento em sala de aula 
favorável a aprendizagem. Esta abordagem possibilitará ao educando a visualização 
do conteúdo trabalhado, não ficando apenas na formalidade que é própria da 
disciplina de matemática. Cremos que 
 
[...] para os fractais, em especial para a geometria fractal, faz-se necessário 
ao educador conseguir captar o educando com o transparecer de sua 
própria vibração, e talvez evidenciando o êxtase na complementação na 
beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer pelas informações e 
conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais. (BARBOSA, p. 14, 
2002) 
 
Além do campo extenso de aplicações dos fractais é necessário que o professor 
perceba a potencialidade que existe nesta área da geometria, podendo assim 
trabalhar conceitos de simetria, relacionando arte com matemática. 
 
Triângulo de Sierpinski 
 
O Triângulo de Sierpinski foi descoberto pelo matemático Waclav Sierpinski (1882-
1969). É obtido através de um processo iterativo de divisão de um triângulo 
equilátero em quatro triângulos semelhantes, visto que um destes triângulos está 
invertido, em relação ao original e é retirado do triângulo original sobrando apenas 
os outros três. Assim, repete-se no passo seguinte o mesmo procedimento em cada 
um dos três novos triângulos com a orientação original, e assim sucessivamente. 
O fractal obtido é estritamente auto-semelhante, ou seja, as partes da figura são 
cópias reduzidas de toda a figura. Pode-se generalizar o triângulo de Sierpinski para 
uma terceira dimensão, obtendo assim a Pirâmide de Sierpinski. 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura1. Triângulo de Sierpinski e suas interações. Fonte: Internet, 2010. 
 
O triângulo de Sierpinski e as séries geométricas 
 
Os fractais podem ser explorados no desenvolvimento de diversos conteúdos; como 
na álgebra, geometria, cálculo, modelagem matemática e números complexos, com 
o propósito de despertar o interesse dos educandos, pelas formas, cores e 
luminosidade que os mesmos apresentam ao serem criados tanto no computador 
como manualmente. 
 
Fazendo uso dos conceitos oriundos do cálculo mais especificamente, as séries 
geométricas, buscamos construir fórmulas para encontrar as áreas do Triângulo e do 
Tapete de Sierpinsky para n interações. 
 
Partindo primeiramente da análise do triângulo e sua primeira interação, vimos que a 
cada interação cada triângulo que compunha o Triângulo de Sierpinsky dava origem 
a quatro novos triângulos, sendo que destes quatro o do centro é removido. 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Triângulo de Sierpinski após várias interações. Fonte: Internet, 2010. 
 
Área do triangulo de Sierpinski 
 
O cálculo da área vazada do Triângulo de Sierpinski se dará pelo somatório das 
áreas dos triângulos para n interações, obtidas através de uma série geométrica 
convergente. 
Área do triangulo inicial: 
Área do triangulo da 1ª interação: 
Área do triangulo da 2ª interação: 
Área do triangulo da 3ª interação: 
 
Interações Nº de Triângulos 
retirados 
Área de um novo 
Triângulo 
 
0 
 
1 
 
 
14 
 
1 3 
 
2 
 
9 
 
3 
 
27 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
n 
 
 
 
 
Tabela 1. Cálculo da área do triangulo de Sierpinski após as interações. 
 
Logo, para descobrirmos a área que resta do triângulo original realizamoso seguinte 
cálculo: faremos a área do triângulo original pela fórmula da área do triângulo 
equilátero menos o somatório das áreas vazadas obtidas através da série 
geométrica. 
 
Série geométrica 
 
n
n
ll
3
416
3
4
3
0n
22
.
.




 
 
Para calcular a soma de uma série geométrica usamos: 
 
Neste caso temos: 
 
 
15 
 
 
Como verificamos ao montar a série geométrica que ela convergia, pois sua razão 
era menor que um, ao fazermos o cálculo da área restante no Triângulo de 
Sierpinsky provamos essa convergência para zero. Portanto, quando tivermos n 
interações no Triângulo de Sierpinsky a área restante converge para zero. 
 
Portanto a soma das áreas das n interações do Triângulo de Sierpinsky resultam na 
mesma área do triângulo inicial. Isso quer dizer que, se tivéssemos um triângulo e 
fossemos retirando os novos triângulos gerados pelas interações deste fractal a área 
resultante seria zero. 
 
Volume da pirâmide de Sierpinski 
 
O cálculo do volume restante da Pirâmide de Sierpinski se dará pelo somatório dos 
volumes dos octaedros para n interações, obtidas através de uma série geométrica 
convergente. 
Volume do tetraedro inicial: 
 
Volume do octaedro da 1ª interação: 
 
Volume do octaedro da 2ª interação: 
 
Volume do octaedro da 3ª interação: 
 
 
Interações Nº de Tetraedros 
Gerados 
Nº de Octaedros 
Retirados 
Volume de um novo 
Octaedro 
 
0 
 
4 
 
1 
 
16 
 
 
1 
 
16 
 
4 
 
2 
 
64 
 
16 
 
3 
 
256 
 
64 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
n 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2. Cálculo do volume do triângulo de Sierpinski após as interações. 
 
Série Geométrica 
 
n
n
4
83
2
12
2
1
.
.





0n
33
aa
 
n
n
8
4
83
2
a
12
2a
0n
3
3
.
.




 
 
 
Como vimos anteriormente calculamos a soma de uma série geométrica a partir de: 
 
Neste caso temos: 
 r < 1 a série converge 
 
17 
 
 
Como verificamos ao montar a série geométrica que ela convergia, pois sua razão 
era menor que um, ao fazermos o cálculo do volume restante da Pirâmide de 
Sierpinsky provamos essa convergência para zero. Portanto, quando tivermos n 
interações na Pirâmide de Sierpinsky o volume restante converge para zero. 
 
Portanto a soma dos volumes das n interações da Pirâmide de Sierpinsky resultam 
no mesmo volume da pirâmide inicial. Isso quer dizer que, se tivéssemos uma 
pirâmide e fossemos retirando as novas pirâmides geradas pelas interações deste 
fractal o volume resultante seria zero. 
 
Tapete de Sierpinski 
 
Neste partimos de um quadrado, dividindo-o em nove pequenos quadrados 
congruentes, e eliminando o central. Em seguida, vamos aplicando esse mesmo 
procedimento em cada um dos oito quadrados restantes, e assim sucessivamente, o 
resultado é conhecido como Tapete de Sierpinski. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Tapete de Sierpinski após a segunda interação. Fonte: Internet, 
2010. 
 
Agora fazendo a verificação da área do Tapete de Sierpinski, começamos 
analisando como se formava esse fractal, o Tapete de Sierpinski é formado por um 
quadrado que posteriormente é dividido em nove quadrados menores onde 
retiramos o quadrado do centro. 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Tapete de Sierpinski após as interações. Fonte: Internet, 2010. 
 
Assim, com o intuito de demonstrarmos a área que restava após n interações para o 
Tapete de Sierpinski, realizamos o cálculo da área de um quadrado menos o 
somatório das áreas dos quadrados retirados para n interações obtidos através de 
uma série geométrica convergente, pois tal série para o Tapete de Sierpinski tem 
razão menor que um logo é convergente. 
 
Portanto, ao fazermos o cálculo da área que resta verificamos que tal área convergia 
para zero quando tivermos n interações, fato também verificado para o Triângulo de 
Sierpinski. 
 
Área do tapete de Sierpinski 
 
O cálculo da área vazada do Tapete de Sierpinski se dará pelo somatório das áreas 
dos quadrados para n interações, obtidas através de uma série geométrica 
convergente. 
Área do quadrado inicial = 
19 
 
Área do quadrado da 1ª interação = 
Área do quadrado da 2ª interação = 
Área do quadrado da 3ª interação = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 3. Cálculo da área do Tapete de Sierpinski após as interações. 
 
Série Geométrica 
 
 
 
 
 
Para calcular a soma de uma série geométrica usamos: 
 
Neste caso temos: 
 
 
Interações Nº de quadrados 
retirados 
Área de um novo 
quadrado 
0 1 
 
1 8 
 
2 64 
 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
n 
 
 
20 
 
 
 
Portanto a soma das áreas das n interações do quadrado de Sierpinski resultam na 
mesma área do quadrado inicial. Isso quer dizer que, se pegarmos um quadrado e 
retirarmos os novos quadrados gerados pelas interações deste fractal, a área 
resultante seria zero. 
 
Intervalos do conjunto de cantor 
___________________________ 
1____________ ____________ 
2_____ _____ _____ _____ 
3__ __ __ __ __ __ __ __ 
4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
A construção do Conjunto se faz por indução matemática. 
 
Indução matemática 
 
Indução Matemática é um método de prova matemática usado para demonstrar a 
verdade de um número infinito de proposições. Efeito dominó. 
Parte-se do intervalo 
No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo: 








 1,
3
2
3
1
,02A
 
No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo 
passo 1. 
















 1,
9
8
9
7
,
9
6
9
3
,
9
2
9
1
,02A
 
 
No passo 3, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo 
2. Portanto, 
 
Interações Nº de segmentos 
retirados 
Comprimento do 
segmento retirado 
21 
 
 
0 
 
1 
 
 
1 
 
2 
 
 
2 
 
4 
 
 
3 
 
8 
 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
n 
 
 
 
 
Tabela 4. Cálculo dos Intervalos do Conjunto de Cantor. 
 
Série Geométrica 
 
 
 
 
 
Para calcular a soma de uma série geométrica usamos: 
 
Neste caso temos: 
 
22 
 
 
 
 
Podemos concluir que a soma dos intervalos gerados pelas n interações do 
Conjunto de Cantor, resultam no mesmo tamanho do intervalo inicial. Isso quer dizer 
que, se tivéssemos um segmento de reta e fossemos retirando novos intervalos 
gerados pelas interações deste fractal, o intervalo resultante seria zero. 
 
Curva de Koch 
 
A Curva de Koch recebeu esse nome devido ao fato de ser criada por Helge Von 
Koch, matemático polonês, por volta dos anos de 1904 a 1906. Essa curva é um 
belo exemplo de curva sem tangente, ela pode ser modificada com outras 
construções análogas e deve ter influenciado bastante Mandelbrot. 
 
A Curva de Koch tem seu início de construção a partir de uma reta, já para fazermos 
a construção das Ilhas de Koch partimos de um triângulo equilátero em vez de um 
segmento de reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Formaçãoda Curva de Koch. Fonte: Internet, 2010. 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uso do software Shapari na construção de fractais 
 
Shafari é uma ferramenta com uma linguagem de programação de fácil 
compreensão e que possibilita que o aluno desenvolva o raciocínio. É muito bom 
para o ensino de geometria e pode ser usado em todos os níveis escolares. 
 
Shapari é uma exploração do computador das formas e dos testes padrões. Fornece 
as ferramentas simples que podem ser usadas pelas crianças a partir dos 4 anos até 
os alunos de nível universitário para produzir uma variedade rica de testes padrões 
abstratos e fractal. Em vez de oferecer uma disposição larga das ferramentas que 
permitem que você crie o desenho, oferece um jogo limitado das ferramentas 
simples que podem ser usadas produzir uma escala simples diversa dos testes 
padrões. Pretende-se promover pensar abstrato e a exploração de conceitos 
matemáticos. 
 
Shapari oferece 5 níveis da operação. Os níveis são distinguidos primeiramente pela 
complexidade das manipulações da forma disponíveis. O Shapari armazena 
seleções niveladas individuais para todo o usuário e também fornece o 
armazenamento para os desenhos criados pelo usuário. 
 
Shapari é projetado para mentes curiosas de todas as idades. Os controles simples, 
diretamente acessíveis e permitem que os usuários os mais novos, usando o mouse, 
sintam um a possibilidade da coloração da alteração das formas. Os usuários 
avançados podem projetar seus próprios manipuladores da forma usando um editor 
gráfico e/ou umas descrições Matemáticas. Estes manipuladores podem então ser 
Figura 6. Formação da Ilha de Koch. Fonte: Internet, 2010. 
24 
 
aplicados iterativos para criar testes padrões fractal. Shapari oferece algo para 
apenas aproximadamente todos. Uma exploração clara de muitos conceitos 
matemáticos incluindo a forma, o tamanho, a contagem, a multiplicação, a simetria, 
as transformações, a periodicidade, a convergência, o crescimento exponencial, a 
recursividade e a geometria fractal. 
 
 
 
Referências : 
 
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal – para a sala de aula. 
Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2002. 
 
NUNES, Raquel Sofia Rabelo. Geometria Fractal e Aplicações. Dissertação de 
Mestrado. Departamento de Matemática Pura - Faculdade de Ciências da 
Universidade do Porto, 2006. Disponível em: 
Figura 7. Imagem Software Shapari. Fonte: Shapari, 2010. 
25 
 
http://www.fc.up.pt/pessoas/jfalves/Teses/Raquel.pdf. Acesso em: 6 de junho de 
2010. 
 
SALLUM, Élvia Mureb. Fractais no ensino médio. Revista do Professor de 
Matemática. Nº 57, 2ºquadrimestre de 2005.