Modulo 2 e Distribuicao de extremos

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Professor
 Jorge Luiz A. Ferreira
Confiabilidade Estrutural
Distribuicao de Valores Extremos
Universidade de Brasília
Departamento de Engenharia Mecânica
Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural
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Antes de introduzir o Conceito de Distribuição de Extremos vamos avaliar Comportamento de alguns fenômenos Físicos
 Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
 Distribuição de Extremos
Máximo anual de inundações do Danúbio em Viena, ao longo de 73 anos (Área de Estudo 100.000 km2 ((Blöschl e Montanari, 2010) 
Máximo anual de inundações do Danúbio em Viena, Série Completa de 180 anos (Área de Estudo 100.000 km2 ((Blöschl e Montanari, 2010) 
Qual a Chance do nível do rio ultrapassar uma determinada altura? 
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Antes de introduzir o Conceito de Distribuição de Extremos vamos avaliar Comportamento de alguns fenômenos Físicos
 Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
 Distribuição de Extremos
Evolução do Fundo de Investimento PIBB (Papéis do Índice Brasil Bovespa) comercializados na BOVESPA durante o período 05/2009 à 05/2010 (Lote de 1000 Ações).
Corrigindo o Comportamento “Tendencioso” da Evolução dos Preços das Ações e considerando algumas variáveis que ajudam na tomada de decisões apresentaremos os seguintes gráficos:
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 Distribuição de Extremos
Cotação na Abertura do Pregão (R$ por ação)
 Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
Cotação no Fechamento do Pregão (R$ por ação)
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 Distribuição de Extremos
Valor Mínimo da Ação durante o Pregão (R$ por ação)
 Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
Valor Máximo da Ação durante Pregão (R$ por ação)
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 Distribuição de Extremos
Valor do Retorno Diário – Max – Mín.
 Introdução - Comportamento de Alguns Fenômenos Físicos
 Quanto de Ganho ou Prejuízo podemos ter ao negociar este papel ? 
 Qual a melhor hora de Vender ? 
 Qual a melhor hora de Comprar ?
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Em muitas situações práticas, a previsão da ocorrência de eventos extremos é de vital importância para o planejamento de atividades sujeitas a seus efeitos. Invariavelmente a ocorrência de tais eventos estão ligados a situações catastróficas.
Introdução
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Exemplos
 Altura Máxima de ondas;
 Velocidade Máxima de Ventos;
 Profundidade de pits de corrosão;
 Comportamento das Falhas em materiais frágeis;
 Comportamento das Falhas resultantes do processo de fadiga e de Fratura;
 Amplitude máxima provocada por sismos;
 Vazão de águas pluviais;
 solicitações sobre Pontes devido ao tráfego
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Introdução
Ladislau Bortkiewicz
1868 - †1931
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
A Teoria dos Valores Extremos, TVE, tem sido usada em diversas áreas do conhecimento científico, como Economia, Finanças, Meteorologia, Astronomia e Biologia, desde o século XVII. Entretanto, somente no início do século XX, com os trabalhos de Bortkiewicz (1922) e Fisher e Tippett (1928) iniciou-se a formalização da TVE. A consolidação teórica, entretanto, só foi concluída em 1958 por Emil Gumbel (1891-1966).
Sir Ronald Aylmer Fisher
1890 - †1962
"um gênio que criou praticamente sozinho as fundações para a moderna ciência estatística"
Emil Julius Gumbel
1891 - †1966
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Distribuições Exatas de Valores Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Os valores máximo e mínimo de uma amostra de tamanho N de uma variável aleatória X, cuja Função de Distribuição Acumulada é conhecida e dada por FX(x), também são variáveis aleatórias e possuem distribuições de probabilidades próprias, as quais estão relacionadas à distribuição da variável original
{x1, x2, x3, ...xn} → FX(x)
“Prever o valor de xi antes de sua realização é impossível
Realizações da VA X
Processo Aleatório X
xi = ???
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 Distribuição de Probabilidade
A partir dessas considerações, a teoria de valores extremos visa determinar as distribuições de probabilidades do máximo
E do mínimo
de X.
Y5
Y7
Y14
Y30
Z6
Z10
Z18
Z30
Menores Valores Observados para X
Maiores Valores Observados para X
 Distribuição de Extremos
Distribuições Exatas de Valores Extremos
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 Distribuição de Probabilidade
A partir dessas considerações, a teoria de valores extremos visa determinar as distribuições de probabilidades do máximo
E do mínimo
de X.
Menores Valores Observados para X
Maiores Valores Observados para X
 Distribuição de Extremos
Distribuições Exatas de Valores Extremos
“Prever o valor de xi antes de sua realização é impossível
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 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Assim, a distribuição de Y pode ser deduzida do fato que, se
for menor ou igual a y, então todas as variáveis aleatórias Xi também devem ser menores ou iguais a y. Considerando que todas as variáveis Xi são independentes entre si e distribuídas conforme a função FX(x)
da variável original X, a distribuição de probabilidades acumuladas de Y pode ser deduzida do seguinte modo:
A função densidade de probabilidades de Y é, portanto,
Distribuições Exatas de Valores Extremos
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Distribuições Exatas de Valores Extremos – Exemplo: Comportamento da Distribuição dos Máximos e dos Mínimos de x~N(10, 3); 
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
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Distribuições Exatas de Valores Extremos – Exercício 
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Suponha que, em uma dada região, o tempo entre episódios de chuva seja uma variável exponencialmente distribuída, com média de 4 dias, e que seja válida a hipótese de independência entre os tempos consecutivos que separam tais episódios. Com o fim de planejar os turnos de rega entre os meses de Abril e Junho, sob condições críticas, os irrigantes da região necessitam conhecer o máximo tempo entre episódios de chuva. Se, nesses meses, espera-se ter 16 episódios de chuva, calcule a probabilidade de que o tempo máximo entre eles seja maior do que 10 dias. (adap. de Haan, 1977)
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
A utilidade prática do estudo estatístico de extremos é grandemente aumentada pela teoria assintótica de valores extremais, cujo foco principal é a determinação das formas limites de FY(y) e FZ(z) , ou de suas respectivas densidades, quando N , sem o completo conhecimento da forma exata da distribuição FX(x), da variável original.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Vamos supor que {X1, X2, ... , Xn} represente um conjunto de n variáveis aleatórias independentes, com distribuição FX(x). Particularizando, por exemplo, para o máximo ou mínimo anual, n pode ser interpretado como o número de observações de X, em instantes de tempo eqüidistantes entre si, ao longo de um período fixo de 1 ano.
Admitindo novamente que:
E considerando as seguintes transformações lineares:
onde, an e bn são constantes de escala e posição respectivamente.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Com base nestas idéias, Fisher e Tippett (1928) teorizaram, sem demonstrar, que os limites:
Convergem para três formas funcionais básicas, que dependem fortemente do comportamento da cauda da distribuição da variável original. Gumbel (1958) classificou essas três formas assintóticas em
Distribuição Assintótica Tipo I
A forma dupla exponencial - quando X é ilimitado e sua densidade decai de modo exponencial na direção do extremo
Para Máximos
Para Mínimos
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Distribuição Assintótica Tipo II
A forma exponencial simples - quando X é ilimitado e sua densidade decai de modo polinomial na direção do extremo
Para Máximos
Para Mínimos
Distribuição Assintótica Tipo I
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Distribuição Assintótica Tipo III
A forma exponencial com limite superior para máximos ou inferior para mínimos - quando X é limitado na direção do extremo
Para Máximos
Para Mínimos
Distribuição Assintótica Tipo II
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Obs:  é uma constante positiva
Distribuição Assintótica Tipo III
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Conforme comentado anteriormente, o comportamento da cauda da distribuição da variável original, na direção do extremo, determina para qual das três formas assintóticas a distribuição dos máximos ou dos mínimos irá convergir.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
No caso de máximos, a convergência será para a distribuição 
do Tipo I, se FX(x) for, por exemplo, exponencial, ou Gama, ou Normal, ou Log-Normal, ou a própria distribuição de máximos do Tipo I; 
do Tipo II, se FX(x) for, por exemplo, a distribuição Gama dos logaritmos da variável (Log-Gama), ou a distribuição t-Student ou a própria distribuição de máximos do Tipo II; e 
(c) do Tipo III, se FX(x) for, por exemplo, uniforme, ou Beta, ou a própria distribuição de máximos do Tipo III.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
No caso de mínimos, a convergência será para a distribuição do 
Tipo I, se FX(x) for, por exemplo, Normal, ou a própria distribuição de mínimos do Tipo I; 
Tipo II, se FX(x) for, por exemplo, a distribuição t-Student ou a própria distribuição de mínimos do Tipo II; e 
Tipo III, se FX(x) for, por exemplo, uniforme, ou exponencial, ou Beta, ou Log-Normal, ou Gama, ou a própria distribuição de mínimos do Tipo III.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo I
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
A distribuição de valores extremos do Tipo I recebeu as seguintes outras denominações: distribuição de Gumbel, Fisher-Tippet tipo I e dupla exponencial. No caso de valores máximos, a função de probabilidades acumuladas é dada por:
onde a representa o parâmetro de escala e b o parâmetro de posição (b é a moda de Y). A função densidade da distribuição de Gumbel é:
A média, a mediana, a variância e o coeficiente de assimetria de Y são, respectivamente:
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo I
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Média Aritmética:
Variância:
Coeficiente de Assimetria:
Mediana:
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo I
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
No caso de valores mínimos, a distribuição de Gumbel refere-se à forma assintótica limite para um conjunto de n V.A. {X1,X2,...,Xn}, independentes e igualmente distribuídas conforme um modelo FX(x) de cauda inferior exponencial. Sendo sua função de probabilidades acumuladas dada por 
onde a e b tem representação semelhantes à descrita anteriormente. A função densidade de probabilidade é:
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo I
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Média Aritmética:
Variância:
Coeficiente de Assimetria:
A média, a mediana, a variância e o coeficiente de assimetria de Z são, respectivamente:
Mediana:
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos - Gumbel
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Gumbel Padrão
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Distribuição Assintótica Tipo I – Gumbel - Aplicação
 A distribuição de Gumbel (máximos)é a distribuição extremal mais usada na análise de freqüência de variáveis hidrológicas, com inúmeras aplicações na determinação de relações intensidade-duração-frequência de precipitações intensas e estudos de vazões de enchentes,
A distribuição de Gumbel (mínimos) é uma distribuição extremal bastante usada na análise de freqüência de eventos hidrológicos mínimos anuais.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Distribuição Assintótica Tipo I – Gumbel (Exercicio)
As “vazões médias diárias máximas anuais”, denotadas pela variável aleatória, X, em um certo local possui, E[X] = 500 m3/s e E[X2] = 297025 (m3/s)2. Admita que o comportamento desta V.A. siga o modelo de Gumbel e determine: 
determine os parâmetros da distribuição; 
dado que a vazão média diária máxima anual já alcançou 600 m3/s, qual a probabilidade de X ser superior a 800 m3/s.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo II
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
A distribuição de valores extremos do Tipo II recebeu as seguintes denominações: distribuição de Frechet e Log-Gumbel. A distribuição foi usada pela primeira vez na análise de freqüência de vazões de enchentes por Fréchet (1927) No caso de valores máximos, a função de probabilidades acumuladas é dada por:
Onde y0 e q representam, respectivamente, os parâmetros de escala e de forma. A função densidade de probabilidade é:
Maurice René Fréchet
1878 - †1973
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo II
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Média Aritmética:
Variância:
Coeficiente de variação:
O valor esperado, a variância e o coeficiente de variação de Y são, respectivamente:
Mediana:
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Distribuição Assintótica Tipo II – Frechet - Aplicação
 Análise da distribuição extremal de eventos hidrológicos máximos,
 Velocidades máximas de ventos, temperaturas máximas e mínimas
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos - Frechet
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Frechet Padrão
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Distribuição Assintótica Tipo II – Frechet (Exercício)
Resolva o problema anterior assumindo que a distribuição de probabilidade do fenômeno segue a distribuição de Frechet com coeficiente de assimetria da variável aleatória seja g = 1,40
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo III
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
A distribuição de extremos mínimos do Tipo III recebeu a denominação de distribuição de Weibull por ter sido usada pela primeira vez pelo engenheiro sueco Waloddi Weibull (1887-1979) que em 1939 apresentou o modelo de planejamento estatístico sobre fadiga de material. A função de probabilidades acumuladas da distribuição de Weibull é:
Ernst Hjalmar Waloddi Weibull
1887 - †1979
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo III
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Onde z0, q , e b representam, respectivamente, os parâmetros de Vida Mínima ou “Confiabilidade Intrínseca”, escala ou “Vida Característica” e de forma. A função densidade de probabilidade é:
Vida Mínima ou Confiabilidade Intrínseca, z0, é o tempo de operação o qual o equipamento passa a apresentar falhas, ou seja, intervalo de tempo que o equipamento não apresenta falhas)
Vida Característica ou Parâmetro de Escala, q, é o intervalo de tempo entre “z0" e “z" no qual ocorrem 63,2% das falhas, restando portanto, 36,8% de itens sem falhar.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo III
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Média Aritmética:
Desvio padrão:
A média, a mediana, a variância e o coeficiente de variação de Z são, respectivamente:
Mediana:
Coeficiente de Variação:
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos – Tipo III
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Média Aritmética:
Variância:
A média, a mediana, a variância e o coeficiente de variação de Z quando a vida mínima é zero são, respectivamente:
Mediana:
Coeficiente de Assimetria:
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Distribuição Assintótica Tipo III – Weibull - Aplicação
Análise da resistência à fadiga, resistência a tração de materiais frágeis
Análise do tempo de vida de mancais, rolamentos, componentes eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos Modelagem de eventos hidrológicos mínimos
Velocidades máximas de ventos, temperaturas máximas e mínimas
Magnitude de terremotos
Dinâmica de biomassa
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos - Weibull
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
Distribuição Assintótica Tipo III – Weibull (Exercício)
 A distribuição de Weibull é empregada extensivamente, para expressar a confiabilidade de mancais de rolamento de contato. Se representarmos a vida dos mancais, L, de forma adimensinalizada como x = L/Ll0, onde L10 é a vida nominal admitida pelo fabricante como a vida em que 10% dos mancais falharam (90% de confiabilidade). Construa as propriedades distribucionais da vida de um mancal de esfera de ranhura profunda de 02-30 mm, se os seus parâmetros da distribuição de Weibull forem x10 = 0,0200, q = 4,459 e b = 1,483. Encontre a média, a mediana, L90 e o desvio-padrão.
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Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
 Distribuição de Extremos
 Distribuição de Probabilidade
DistribuiçãoAssintótica Tipo III – Weibull (Exercício)
 Alguns estados brasileiros adotam como vazão de referência, para a outorga de direito de uso da água, a vazão média mínima anual de 7 dias de duração e de tempo de retorno 10 anos, geralmente representada por Q7,10; para um dado ano de registros fluviométricos, o valor Q7 anual corresponde à menor média de sete vazões consecutivas ocorridas naquele período. Suponha que as Q7 anuais sejam denotadas pela variável aleatória Z e que, em um dado local, E[Z] = 28,475 m3/s e
s[Z] = 7,5956 m3/s. Calcule a vazão Q7,10 pelo modelo de Weibull.
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Gráf2
	14.4258058551
	11.1711676962
	9.1689310264
	10.5587082796
	16.2041090132
	14.3390809878
	17.6890864875
	8.993087047
	6.5199344842
	13.5567563827
	5.9390470394
	13.3859805626
	8.209483465
	9.5894177118
	8.875748588
	6.8957831697
	8.9245952747
	14.7483945309
	4.3386683299
	8.8112301708
	14.2172814574
	9.0786352555
	11.5916884877
	9.2029790974
	10.3169475349
	8.3557540872
	8.971450168
	17.1902650234
	10.8913377769
	10.7176493
n
x
Plan1
	
	
	
		1	14.4258058551
		2	11.1711676962
		3	9.1689310264
		4	10.5587082796
		5	16.2041090132
		6	14.3390809878
		7	17.6890864875
		8	8.993087047
		9	6.5199344842
		10	13.5567563827
		11	5.9390470394
		12	13.3859805626
		13	8.209483465
		14	9.5894177118
		15	8.875748588
		16	6.8957831697
		17	8.9245952747
		18	14.7483945309
		19	4.3386683299
		20	8.8112301708
		21	14.2172814574
		22	9.0786352555
		23	11.5916884877
		24	9.2029790974
		25	10.3169475349
		26	8.3557540872
		27	8.971450168
		28	17.1902650234
		29	10.8913377769
		30	10.7176493
Plan1
	
n
x
Plan2
	
Plan3
	
Gráf2
	14.4258058551
	11.1711676962
	9.1689310264
	10.5587082796
	16.2041090132
	14.3390809878
	17.6890864875
	8.993087047
	6.5199344842
	13.5567563827
	5.9390470394
	13.3859805626
	8.209483465
	9.5894177118
	8.875748588
	6.8957831697
	8.9245952747
	14.7483945309
	4.3386683299
	8.8112301708
	14.2172814574
	9.0786352555
	11.5916884877
	9.2029790974
	10.3169475349
	8.3557540872
	8.971450168
	17.1902650234
	10.8913377769
	10.7176493
n
x
Plan1
	
	
	
		1	14.4258058551
		2	11.1711676962
		3	9.1689310264
		4	10.5587082796
		5	16.2041090132
		6	14.3390809878
		7	17.6890864875
		8	8.993087047
		9	6.5199344842
		10	13.5567563827
		11	5.9390470394
		12	13.3859805626
		13	8.209483465
		14	9.5894177118
		15	8.875748588
		16	6.8957831697
		17	8.9245952747
		18	14.7483945309
		19	4.3386683299
		20	8.8112301708
		21	14.2172814574
		22	9.0786352555
		23	11.5916884877
		24	9.2029790974
		25	10.3169475349
		26	8.3557540872
		27	8.971450168
		28	17.1902650234
		29	10.8913377769
		30	10.7176493
Plan1
	
n
x
Plan2
	
Plan3
	
Gráf1
	7.4945762915
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	6.8721613186
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	8.219346935
	11.4463694242
	12.2820222512
n
x
Plan1
	
	
			1	7.4945762915
			2	14.0290569814
			3	6.8721613186
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			5	12.5654503588
			6	12.9656371225
			7	8.7306102867
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			27	10.530478701
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			29	11.4463694242
			30	12.2820222512
Plan1
	
n
x
Plan2
	
Plan3