Curso MecMat Parte II
112 pág.

Curso MecMat Parte II


DisciplinaPropriedade Mecânica dos Materiais32 materiais88 seguidores
Pré-visualização4 páginas
FLEXÃO
Prof. Luiz Abreu, D.Sc.
luiz.abreu.iprj@gmail.com
luiz.abreu@iprj.uerj.br
Seção 6.1
Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor
FLEXÃO - 6.1
\u2022 Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo
longitudinal são denominados vigas.
\u2022 Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas:
\u2022 é suportada por um apoio fixo em uma
extremidade e um apoio móvel (ou rolete)
na outra extremidade
\u2022 é uma viga na qual uma ou ambas as
extremidades ultrapassam livremente os
apoios.
\u2022 é engastada em uma extremidade e livre na
outra;
FLEXÃO - 6.1
Em geral, as funções de cisalhamento interno e momento fletor
obtidas em função de x são descontínuas ou seu declive é descontínuo
nos pontos em que a carga distribuída muda ou onde estão
aplicadas forças concentradas ou conjugados.
FLEXÃO - 6.1
\u2022 As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos
denominados diagramas de força cortante e momento fletor.
\u2022 Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a
força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário.
Exemplo 6.1
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga dada.
Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo. A aplicação das 
equações de equilíbrio produz
( )
0; 0 (3)
2 2
 0; (4)
2 2 2
y
P P
F P V V
L P P
M M P x x M L x 
\uf0ad = \u2212 \u2212 = \uf0de = \u2212
\uf0e6 \uf0f6
= + \u2212 \u2212 \uf0de = \u2212\uf0e7 \uf0f7
\uf0e8 \uf0f8
\uf0e5
\uf0e5
\uf0e5
\uf0e5
==\uf0ad+
==\uf0ad+
(2) 
2
 ;0
(1) 
2
 ;0
x
P
MM
P
VFy
Segmento esquerdo da viga se estende até a distância x na região BC.
Exemplo 6.1
O diagrama tensão representa as equações 1 e 3 \u2794
O diagrama de momento representa as equações 2 e 4 \u2794
Exemplo 6.1
Exemplo 6.2
Exemplo 6.2
Exemplo 6.2
Exemplo 6.4
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga dada.
A carga distribuída é substituída por sua força resultante. L
w
xw
L
w
x
w 00 =\u2192=
( )
( )\uf0e5
\uf0e5
=+\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
+\u2212=+
\u2212=\uf0de=\u2212\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\u2212=\uf0ad+
(2) 0
3
1
2
1
23
 ;0
(1)
2
0
2
1
2
 ;0
00
2
0
22000
Mxx
L
xw
x
LwLw
M
 xL
L
w
VVx
L
xwLw
Fy
A intensidade da cargar triangular na seção é determinada por cálculo proporcional:
A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o diagrama:
Exemplo 6.4
O diagrama de força cortante representa a equação 1 \u2794
Momento fletor representa a equação 2 \u2794
Exemplo 6.4
Exemplo 6.6
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga dada.
( ) (2) kNm 8075,5075,580 ;0
(1) kN 75,5075,5 ;0
m, 50
11
1
+=\uf0de=+\u2212\u2212=+
=\uf0de=\u2212=\uf0ad+
\uf03c\uf0a3
\uf0e5
\uf0e5
xMMxM
VVF
x
y
( ) ( )
( )
( ) (4) kNm 5,9275,155,2 
0
2
5
55)5(1575,580 ;0
(3) kN 575,150551575,5 ;0
m, 10m 5
2
2
2
2
222
22
1
++\u2212=
=+\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \u2212
\u2212+\u2212+\u2212\u2212=+
\u2212=\uf0de=\u2212\u2212\u2212\u2212=\uf0ad+
\uf03c\uf0a3
\uf0e5
\uf0e5
xxM
M
x
xxxM
xVVxF
x
y
Exemplo 6.6
\u2022 Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem
as funções de cisalhamento e momento da viga inteira.
O diagrama de força cortante
representa as equações 1 e 3 \u2192
O momento fletor das equações 2 e 4 \u2192
Exemplo 6.6
Seção 6.2
Método Gráfico
FLEXÃO - 6.2
\u2022 Nos casos em que a viga esteja sujeita a várias cargas diferentes,
determinar \ud835\udc49(\ud835\udc65) e \ud835\udc40(\ud835\udc65) como funções de \ud835\udc65 e depois
esquematizar graficamente essas equações é cansativo.
\u2022 Será apresentado um método baseado em duas relações
infinitesimais que existem entre carga distribuída, cisalhamento e
momento.
FLEXÃO - 6.2
A carga distribuída foi
substituída pela força resultante
\ud835\udc64 \ud835\udc65 = \u394\ud835\udc65 que atua a uma
distância fracionária \ud835\udc58\u394\ud835\udc65 a partir
da extremidade direita, onde
\ud835\udc42 < \ud835\udc58 < 1 ( por exemplo, se
\ud835\udc64(\ud835\udc65) for uniforme, \ud835\udc58 = 1/2).
+\u2191 \u3a3\ud835\udc39\ud835\udc66 = 0; \ud835\udc49 \u2212 \ud835\udc64 \ud835\udc65 \u394\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc49 + \u394\ud835\udc49 = 0
\u394\ud835\udc49 = \u2212\ud835\udc64 \ud835\udc65 \u394\ud835\udc65
+\u21ba \u3a3\ud835\udc40\ud835\udc5c = 0;\u2212\ud835\udc49\u394\ud835\udc65 \u2212\ud835\udc40 +\ud835\udc64 \ud835\udc65 \u394\ud835\udc65 \ud835\udc58\u394\ud835\udc65 + \ud835\udc40 + \u394\ud835\udc40 = 0
\u394\ud835\udc40 = \ud835\udc49\u394\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc64 \ud835\udc65 \ud835\udc58 \u394\ud835\udc65 2
FLEXÃO - 6.2
Dividindo-se por \u394\ud835\udc65 e calculando-se o limite quando \u394\ud835\udc65 \u2192 0, as duas equações 
anteriores tornam-se:
\ud835\udc51\ud835\udc49 \ud835\udc65
\ud835\udc51\ud835\udc65
= \u2212\ud835\udc64(\ud835\udc65)
\ud835\udc51\ud835\udc40 \ud835\udc65
\ud835\udc51\ud835\udc65
= \ud835\udc49 \ud835\udc65
Declive do diagrama de 
cisalhamento em cada 
ponto
Cisalhamento 
em cada ponto
Declive do diagrama de 
momento em cada ponto
-intensidade da carga 
distribuída em cada ponto
FLEXÃO - 6.2
Dividindo-se por \u394\ud835\udc65 e calculando-se o limite quando \u394\ud835\udc65 \u2192 0, as duas equações 
anteriores tornam-se:
\ud835\udc51\ud835\udc49 \ud835\udc65
\ud835\udc51\ud835\udc65
= \u2212\ud835\udc64(\ud835\udc65)
\ud835\udc51\ud835\udc40 \ud835\udc65
\ud835\udc51\ud835\udc65
= \ud835\udc49 \ud835\udc65
\u2022 A mudança de força cortante entre os
pontos C e D é igual à área (negativa) sob a
curva da carga distribuída entre esses dois
pontos.
\u2022 A mudança de momento entre C e D é igual
à área sob o diagrama de força cortante na
região de C a D.
\u394\ud835\udc49 = \u2212\udb1\ud835\udc64 \ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65
\u394M x = \udb1\ud835\udc49 \ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65
Assim, quando F atua de cima para baixo sobre a viga, \u394V é
negativo de modo que a força cortante 'salta' para baixo. Da
mesma maneira, se F atua para cima, o 'salto' \u394V será para
cima.
Se M0 for aplicado no sentido horário, \u394M será positivo, de
modo que o diagrama de momento 'saltará' para cima.
Quando M0 atuar no sentido anti-horário, o 'salto' \u394M será
para baixo.
FLEXÃO - 6.2
FLEXÃO - 6.2
Exercício
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga dada.
Seção 6.3
6.3 Deformação por flexão de um elemento reto
6.3 \u2013 Flexão Simétrica
\u2022 Quando uma viga prismática homogênea, é submetida à flexão em torno de
um eixo z perpendicular ao eixo de simetria da sua seção transversal, a parte
inferior estica-se e a parte superior comprime-se. Existe uma superfície
neutra entre elas, que não sofre variação de comprimento.
\u2022 A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se
deforma por flexão. Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e
uma tensão de compressão do outro lado.
6.3 \u2013 Flexão Simétrica
\u2022 Quando uma viga prismática homogênea, é submetida à flexão em torno de
um eixo z perpendicular ao eixo de simetria da sua seção transversal, a parte
inferior estica-se e a parte superior comprime-se. Existe uma superfície
neutra entre elas, que não sofre variação de comprimento.
\u2022 A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se
deforma por flexão. Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e
uma tensão de compressão do outro lado.
6.3 \u2013 Flexão Simétrica
Portanto, considerando que:
o As seções transversais permanecem planas.
o Deformações nas seções são desprezíveis. 
o A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro.
6.3 \u2013 Flexão Simétrica
Uma vez que a lei de Hooke se aplica quando o material é
homogêneo, a deformação normal (\u3b5) é função linear ao longo de y:
onde: \u394\ud835\udc65 = \u394\ud835\udc60 = \ud835\udf0c\u394\ud835\udf03 e \u394\ud835\udc60\u2032 = \ud835\udf0c \u2212 \ud835\udc66 \u394\ud835\udf03
6.3 \u2013 Flexão Simétrica
Considerando que a Lei de Hooke de aplica, a variação linear da
deformação vista anteriormente, é causada por uma variação linear
na tensão normal.
Seção 6.4
6.4 Fórmula da Flexão
6.3 \u2013 Flexão Simétrica
Considerando que a Lei de Hooke de aplica, a variação linear da deformação vista
anteriormente, é causada por uma variação linear na tensão normal.
Como \ud835\udf0e\ud835\udc5a\ud835\udc4e\ud835\udc65/\ud835\udc50 \u22600, então:
\ud24\ud835\udc66 =
\u5ec \ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc34
\u5ec \ud835\udc51\ud835\udc34
, então se \u5ec\ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc34 = 0, \ud24\ud835\udc66 = 0
6.3 \u2013 Flexão Simétrica
A fórmula da flexão
O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela
distribuição linear da tensão