Cálculo III 12-2-2

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Aplicadas
Ca´lculo Diferencial e Integral III - 2012/2
Engenharia Ele´trica
2a Prova - 01/02/2013
Professor E´den Amorim
Arte integral tripla
1. (Ca´lculo de Integrais Triplas)
Calcule as integrais triplas abaixo:
(a) (4pts)
∫∫∫
B
(zy + 2xey) dV , onde B = [0, 2]× [1, 2]× [0, 1].
(b) (4pts)
∫∫∫
E
z dV , onde E e´ o so´lido limitado pelo cone z =
√
3x2 + 3y2 e a esfera x2+y2+z2 = 4.
2. (Volume do elipsoide)
Considere a transformac¸a˜o
T :

x = au
y = bv
z = cw
,
com a, b, c > 0, que leva o espac¸o descrito em coordenadas (u, v, w) no espac¸o descrito por coorde-
nadas (x, y, z).
Considere tambe´m o elipsoide de equac¸a˜o E : x
2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1.
(a) (2pts) Verifique que, mediante essa transformac¸a˜o, o elipsoide E corresponde a` esfera de raio 1
centrada na origem em coordenadas (u, v, w);
(b) (2pts) Calcule o Jacobiano da transformac¸a˜o T ;
(c) (3pts) Usando integrais triplas e a tranformac¸a˜o T , calcule o volume do elipsoide E.
3. (Expressando volume de so´lidos por integrais triplas)
Retomando a questa˜o da avaliac¸a˜o anterior...
Considere o so´lido de revoluc¸a˜o S, limitado pelo plano de equac¸a˜o z = 0 e a superf´ıcie z = cos(x2+y2),
esboc¸ado abaixo:
Figura 1: So´lido S, sob o gra´fico de z = cos(x2 + y2)
(5pts) Expresse o volume desse so´lido atrave´s de integrais triplas e calcule.