Física Experimental I (incertezas)

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Física Experimental I
Professor: Renato Alves dos Santos
Leis de Newton
Um dos objetivos da Física é
criar modelos, testados
experimentalmente, para
descrição e previsão de
fenômenos na natureza,
auxiliando o desenvolvimento
de novas tecnologias.
(Halliday) vol. 1
Construção 
de GráficosAlgarismos 
significativos Erros, Incertezas
Introdução ao Laboratório de Física
Ementa:
Erros, desvios e incertezas. Construção de gráficos. Composição de forças.
Movimento com aceleração constante. Segunda Lei de Newton. Colisões. Dinâmica
da rotação e momento de inércia.
Co-requisito: Física Teórica I
Bibliografia Básica:
 Fundamentos de Física (Vol. 1) – Halliday e Resnick
 Física 1 (Vol. 1) – Sears e Zemansky
 Introdução ao Laboratório de Física-João J. Piacentini
Bibliografia Complementar:
 Curso de Física Básica (Vol. 1) – H. Moysés Nussenzveig
 Pasta compartilhada no google driver:
https://drive.google.com/drive/folders/1y6JwpsReZPtPhh-MlW2Mmx2822z5uBQb?usp=sharing
Apresentação da ementa e metodologias, método científico, modelo de relatório.
Primeira Prática (Erros e Medidas)
Segunda Prática (Estudo do movimento retilíneo. Gráficos, ajustes e linearização)
 Entrega de relatório (orientações)
Terceira Prática (Composição de Forças)
Quarta Prática (Método dos Mínimos Quadrados [MMQ] e aplicações)
Quinta Prática (Plano Inclinado e Forças de Atrito)
Sexta Prática (Rotação e Momento de Inércia)
Avaliação Escrita
AVALIAÇÃO FINAL. (Escrita)
Programa
1. INTRODUÇÃ (1,0)
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA (2,0)
3. MATERIAIS E MÉTODOS (1,0)
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO (3,0)
5. CONCLUSÃO (2,0)
6. REFERÊNCIAS (1,0)
Pontuação em cada item 
Relatório
..\Física Experimental III\relatório modelo.doc
O QUE É FÍSICA?
Método Científico
Observação pergunta
Modelagem, resposta provisória- previsões
Laboratório confirma? Ok
Laboratório não confirma?
A física busca regularidades, pois elas estão associadas a LEIS FÍSICAS
Introdução
Grandezas Físicas: São propriedades de um ente físico as quais podemos atribuir um
valor numérico obtido por comparação com um VALOR PADRÃO chamado de
unidade da grandeza.
Exemplos: Corrente elétrica, força, massa, altura e etc.
Medida = (número  incerteza).unidade
Forma completa de representar a
medida de uma grandeza física.
Quantifica a 
confiabilidade da 
medida.
Instrumento
Número de 
medidas
Método de 
medida
Medida Direta e Medida Indireta 
Direta: É aquela obtida por meio da leitura de um instrumento de medida como 
régua, amperímetro e etc.
Ex.: balança digital, régua para medir comprimento.
Indireta: É resultado da aplicação de uma relação matemática, que relaciona a 
grandeza medida a outras diretamente mensuráveis. 
Ex.: temperatura, balança de molas.
Algarismos Significativos
É aceitável a avaliação de décimos da menor escala.
A medida na figura foi feita com uma régua graduada em milímetros ( menor divisão
é 1𝑚𝑚). Certamente o comprimento medido está compreendido entre 11𝑐𝑚 e
12𝑐𝑚, assim podemos representar a medida como 11,65 cm.
Os três primeiros algarismos foram lidos com certeza já o último (5) foi avaliado e é
duvidoso.
OBS.: Os zeros a esquerda do número não são significativos
0,034cm→ Dois algarismos significativos.
0,234cm→ Três algarismos significativos.
0,000.500.000m→ Seis algarismos significativos.
OBS.:O resultado de uma transformação de unidades deve ser escritos
com a mesma quantidade de algarismos da medida original.
Ex.: converter 4.000 cal em joule
1,0 cal = 4,18 J; 4.000 cal = 16.720 J =
Algarismos significativos são os
algarismos que se tem certeza mais o
primeiro algarismo duvidoso.
Ex.: Após operar com valores de 
grandezas medidas com precisão 
de 4 algarismos significativos 
um aluno encontrou o resultado: 
48,8898397𝑘𝑔
A
p
roxim
ação
48,89𝑘𝑔
Critérios de arredondamento
Ao realizar qualquer operação matemática com grandezas é necessário
expressar o resultado com apenas um algarismo duvidoso. Por isso é
preciso arredondar o resultado obtido.
1- Se os números que vierem a direita do primeiro algarismo duvidoso
formarem números superiores a 5, 50, 500, 5000, etc., aumenta-se de
uma unidade do primeiro algarismo duvidoso e desprezam-se os
demais.
Exemplo: 897,456 m ⇨
126,76 g ⇨
Deve-se evitar arredondar 
os valores dos cálculos em 
etapas intermediárias, para 
evitar distorções nos 
resultados finais.
2- Se os números que vierem a direita o primeiro algarismo duvidoso
formarem números inferiores a 5, 50, 500, 5000, etc., preservas-se o
primeiro algarismo duvidoso e desprezam-se os demais.
Exemplo: 407,4 34 m ⇨
0,07 48 g ⇨
3- Se os números que vierem a direita o primeiro algarismo duvidoso
formarem números iguais a 5, 50, 500, 5000, etc., Faz-se com que o
primeiro duvidoso fique par somando a ele uma unidade.
Exemplo: 608,4 5 m ⇨
0,13 50 g ⇨
Tratando-se de 
incertezas deve-
se aproximar 
para mais nas 
terminações 5, 
50,500,...
Operações com Algarismos 
Significativos
Soma e subtração: O resultado deve conter o número de casas decimais igual ao da parcela com
menor número de casas decimais.
Ex.: 3,75 + 2,6 = ≃
Ex.: 127,36 – 68,297 = ≃ 
Multiplicação e Divisão: O resultado deve conter o número de algarismos significativos igual ao do
fator com menor número de algarismos significativos.
Ex.: 2,69 x 3,57 =
Ex.: (63,72m/ 23,1s) = 2,758441558 m/s
é necessário 
expressar o resultado 
com apenas um 
algarismo duvidoso
OBS.: Demais operações como
potenciação, radiciação e
logaritmação, efetua-se a
operação e mantém-se o número
de significativos da grandeza
operada.
Resumo Algarismos significativos
Soma e subtração: O resultado deve conter o número de casas decimais igual ao da
parcela com menor número de casas decimais.
Multiplicação e Divisão: O resultado deve conter o número de algarismos
significativos igual ao do fator com menor número de algarismos significativos.
Por favor não errem 
isso nos relatórios!São os corretos mais o primeiro duvidoso!
De olho nas casas 
decimais
De olho nos algarismos 
significativos
Por que Existem Erros?
Os sistemas físicos reais sempre se afastam do comportamento ideal previstos
pelos modelos matemáticos que os tentam descrever.
Um dos objetivos da física experimental é minimizar os erros por meio de
tratamento de dados.
Erro = |Valor medido − Valor absoluto|
Classificação dos Erros
Erros grosseiros: Imperícia ou distração do operador.
Erros Sistemáticos: Causados por fontes identificáveis e podem ser
eliminados.
Erro de escala: (desvio avaliado) erro máxima aceitável comedido pelo
operador devido a limites na resolução do instrumento.
Erros Aleatórios ou Acidentais: São provocados por flutuações nas
medidas e condições ambientais ocorrem ao acaso.
Procurem 
evitar!
DEFINIÇÕES
Valor Absoluto: É o valor que se encontraria ao se realizar uma medida perfeita.
(para a maioria das grandezas física esse valor é quase impossível de ser medido).
Valor Mais provável: É a média aritmética do conjunto de medidas.
Valor Teórico: É o valor que mais se aproxima teoricamente do valor absoluto.
Desvio Avaliado (incerteza do instrumento)
Pode ser tomado como a metade da precisão
(menor divisão da escala do medidor) para os
aparelhos analógicos.
Desvio avaliado = ½(precisão do instrumento)
Desvio avaliado (σ) é uma medida da limitação do aparelho.
Pode ser tomado como mais ou menos uma
unidade na última casa decimal para os
aparelhos digitais.
Ex.: Régua milimetrada
• σ =
1
2
1,0𝑚𝑚 = 0,5𝑚𝑚 =
0,05𝑐𝑚
Ex.: Cronômetro digital 00:00:00,0000:07:08,53= (7𝑥60 + 8,53)𝑠 = 428,53𝑠
σ = 0,01𝑠
𝑡 = 428,53 ± 0,01 𝑠
Precisão e 
Exatidão
Alta precisão os valores estão 
próximos uns dos outros.
Alta exatidão os valores estão 
próximos do valor teórico.
Tratamento Estatístico de 
Medidas com Erros Aleatórios
Exemplo (1): O tempo de queda de uma esfera do alto 
de um prédio. 
QUAL VALOR É O CORRETO?
O valor mais 
provável para o 
tempo de queda é 
a média das 
medidas! 
t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t6(s) t7(s) t8(s) T9(s) T10(s)
8,23 8,25 9,24 7,89 7,40 8,89 7,05 9,52 8,88 8,15
Média Aritmética ou Valor Mais Provável
Devido aos erros é mais conveniente trabalhar com a média
𝑁―› número total de medidas
𝑥𝑖 ―› valor da i-ésima medida
Quanto maior for N mais precisa será a média
 𝑥 =
1
𝑁
 
𝑖
𝑁
𝑥𝑖
t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t6(s) t7(s) t8(s) T9(s) T10(s)
8,23 8,25 9,24 7,89 7,40 8,89 7,05 9,52 8,88 8,15
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
t(s)
𝑀é𝑑𝑖𝑎
8,35𝑠
𝑑 = 𝑥 − 𝑥
Desvio
Quando os valores se afastam muito da média ela é pouco precisa. (Alta dispersão)
Quando os valores estão concentrados em torno da média, temos alta precisão na
média. (Baixa dispersão)
Δ𝑥 = σ =
1
𝑁 − 1
 
1
𝑁
𝑥𝑖 − 𝑥 2
Desvio Padrão para um Conjunto 
Finito de Medidas:
Na 
calculadora
𝑥σ𝑛 − 1
Desvio Padrão da Média (Incerteza)
Agora podemos expressar o resultado com sua 
respectiva incerteza.
𝑀 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚é𝑑𝑖𝑜 ± 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
Δ 𝑥 = σ𝑚 =
Δ𝑥
𝑁
O erro aleatório provável (𝐸𝑎) é
proporcional ao desvio padrão da média.
𝐸𝑎 = ± σ𝑚
𝐸𝑎 ∝ σ𝑚 → 𝐸𝑎 = 𝑘. σ𝑚
𝑘 = 1
𝑘 = 2
𝑘 = 3
68,3% das medidas estão entre (𝑥𝑚 − σ𝑚) 𝑒 (𝑥𝑚 + σ𝑚)
95,5% das medidas estão entre (𝑥𝑚 − 2σ𝑚) 𝑒 (𝑥𝑚 + 2σ𝑚)
97,7% das medidas estão entre (𝑥𝑚 − 3σ𝑚) 𝑒 (𝑥𝑚 + 3σ𝑚)
EX.:(1) 𝑥𝑚 = 2,772𝑐𝑚 𝑒 σ𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,02𝑐𝑚
EX.:(2) 𝑦𝑚 = 625,5𝑐𝑚
2 𝑒 σ𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑐𝑚
2
(i) O valor médio e a incerteza devem conter a mesma
quantidade de casas decimais.
(ii) As incertezas (exceto o erro percentual) devem conter
apenas um algarismo significativo. (embora existam exceções)
(ii) O número de algarismos significativos no resultado de uma
medida é determinado pela sua incerteza.
𝑥 = 2,77 ± 0,02 𝑐𝑚
𝑦 = 626 ± 2 𝑐𝑚2
Erro Percentual Relativo
Δ 𝑥 𝑟 =
𝑥 − 𝑋
 𝑋
. 100
Podemos também expressar a incerteza em percentual 
Onde 𝑋 é o valor teórico e 𝑥 valor medido.
OBS.: Diferente de incerteza comum o desvio percentual não possui unidade. 
Propagação de Incertezas
Ao realizar medidas indiretas podemos trabalhar com grandezas mensuráveis 
carregadas de incertezas afetando assim a nossa medida.
σ𝑤 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
σ𝑥
2
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
σ𝑦
2
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
σ𝑧
2
𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)
É possível fazer uma analogia
entre os erros (desvios) e as
variações em 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑑𝑤 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑑𝑧
Exemplo: Calcule a incerteza propagada 
ao calcular o volume de um cilindro.
𝐷 = (2,00 ± 0,01)cm
𝐿 = (5,00 ± 0,02)cm
𝑉 =
π𝐷2𝐿
4
𝑉 = 15,7 ± 0,2 𝑐𝑚3
Incerteza Total 
(Incerteza Combinada)
σ𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = σ𝑖𝑛𝑠 2 + σ𝑚 2
σ𝑇 =incerteza total
σi𝑛𝑠 = incerteza do instrumento.
σ𝑚 =desvio padrão da média.
Em alguns casos σ𝑇
coincide com a incerteza 
de maior valor, ou seja, 
podemos considerar σ𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
igual a incerteza maior. 
Calculadora Científica
É possível determinar o desvio padrão usando uma máquina de calcular
𝑀𝑂𝐷𝐸 → 𝑀𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑡𝑖𝑐𝑜 (𝑆𝐷)
Escolher o modo estatístico (SD)
Opções
Inserindo os dados (𝑥𝑖 → 𝑡𝑒𝑐𝑙𝑎 𝑀
+)
𝑆𝐻𝐼𝐹𝑇 → (𝑆 − 𝑉𝐴𝑅)
a[ 𝑥] → valor médio
b[𝑥𝜎𝑛] → desvio padrão da população
c[𝑥𝜎𝑛 − 1] → desvio padrão da amostra
Usando a opção (c) encontramos o
desvio padrão, dividindo por
𝑛 chegamos ao desvio padrão da média
Limpar os dados da 
calculadora
SHIFT → CLR → (ALL) 
Paquímetro
Paquímetro
Uma Polegada 
Ou
2,54 centímetros
1 centímetro 
ou 
10 milímetros
Fornece a 
leitura de 
centésimos 
de 
milímetro
A distância entre o zero da escala fixa
inferior (mm) e o zero da escala
móvel inferior mostra a medida
diametral externa.
Escala fixa
Escala móvel
1 Décimo 
de 
milímetro
1,00𝑚𝑚Exemplo: Medida do diâmetro de um parafuso.
0,05 
centésimos 
de 
milímetro
Procure o 
alinhamento!
Centímetros
Procure o 
alinhamento!
Paquímetro
4 + 0,4 + 0,05 𝑚𝑚 = 4,45𝑚𝑚
Régua 4,4𝑚𝑚
precisão
Exemplo: Medida do diâmetro de um parafuso.
64,35 mm = 64 mm e 35 centésimos
34,55 𝑚𝑚
Mudança de Unidade
 Conversão em cadeia 
Nesse método multiplica-se o valor original por um fator de conversão (razão entre
unidades equivalentes) para cancelar unidades indesejáveis.
Ex.: (1) Converter 1m/s em km/h
Ex.: (2) Converter 1km/min em m/s
Referências
 Fundamentos de Física (Vol. 1) – Halliday e Resnick
 Física 1 (Vol. 1) – Sears e Zemansky
 Introdução ao Laboratório de Física-João J. Piacentini
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