Lei de Hooke

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FÍSICA GERAL​ ​E​ ​EXPERIMENTAL​ ​I
 
 
EXPERIMENTO​ ​3:​ ​LEI​ ​DE​ ​HOOKE 
 
 
 
	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.​ ​INTRODUÇÃO​ ​TEÓRICA 
A lei de Hooke, desenvolvida pelo físico inglês Robert Hooke, descreve materiais elásticos que apresentam deformação diretamente proporcional a uma força elástica, resistente ao alongamento produzido, considerando que cada mola possui uma constante elástica (k) e até o seu limite a Lei de Hooke é válida, a mola pode ser comprimida ou alongada, retornando a uma mesma posição de equilíbrio, caso o limite da constante não seja obedecido, a deformação​ ​na​ ​mola​ ​será​ ​permanente. 
A constante elástica da mola varia por conta de fatores como: natureza do material de fabricação da mola, dimensões e do tipo de força aplicada. Sua unidade mais usual é o N/m (newton por metro). O material é chamado de elástico quando recupera a sua forma original, após a remoção da força externa aplicada sobre ele, com isto, temos de determinar a constante elástica de uma mola helicoidal através do método estático; constante elástica de uma mola helicoidal através do método dinâmico; linearizando as equações trabalhadas, representando graficamente os dados experimentais e utilizar regressão linear para a determinação da grandeza estudada. 
Quando uma “mola ideal” é submetida a uma deformação (distensão ou compressão), uma força elástica restauradora é gerada de acordo com a lei de 
Hooke,​ ​que​ ​se​ ​representa​ ​com​ ​a​ ​equação: 
​ ​F​ ​=​ ​-​ ​kx .​ ​Δx ​ ​Equação​ ​1. 
Onde:
F é a força elástica;
k é a constante elástica da mola; 
Δx é a deformação, alongamento ou encurtamento da mola. 
 Na prática, uma “mola real” obedece a lei de Hooke até certo valor de deformação que chamamos de limite elástico. A partir deste valor, a deformação​ ​da​ ​mola​ ​se​ ​torna​ ​permanente. Com o fato da força restauradora de uma mola ser proporcional a sua deformação para medir forças em situações estáticas, um dinamômetro, portanto, nada mais é do que uma mola com suas deformações “calibradas” para uma escala de​ ​forças. 
1 
No presente experimento, procuramos observar a obediência da mola utilizada à Lei de Hooke, de forma que ela retorne à sua posição inicial (X​o)​ ou permaneça​ ​deformada​ ​após​ ​a​ ​adição​ ​de​ ​corpos​ ​com​ ​diferentes​ ​pesos. 
Para minimizar a existência do erro aleatório é necessário obter o valor verdadeiro da medida, onde soma-se todos os dados e divide pela quantidade de repetições, o valor mais provável da grandeza pode ser obtido pelo cálculo do valor médio, isso ​pode​ ​ser​ ​observado​ ​na​ ​equação​ ​2​ ​. 
 
Equação​ ​2 
Como sabemos da existência das incertezas associadas, para cada medida obtida, é preciso conhecer o quanto ela se afasta do seu valor médio calculado. Para isso consideramos o cálculo do desvio padrão, através da equação 3. Usando o desvio padrão da medida mostrará a dispersão entre os dados coletados do valor médio​ ​nas​ ​medições, ​​o​ ​desvio​ ​padrão​ ​será​ ​encontrado​ ​pela​ ​seguinte​ ​fórmula: 
	 	 Equação​ ​3 
Alguns materiais foram utilizados neste experimento com intuito de demonstrar como funciona a Lei de Hooke. Contudo, faz-se necessário conhecer cada um destes materiais e sua utilização de modo a facilitar o entendimento sobre os procedimentos​ ​que​ ​serão​ ​explanados​ ​neste​ ​relatório. 
As molas helicoidais, em geral são feitas de arame de aço em forma cilíndrica ou cônica. Seu funcionamento pode dar-se de três formas distintas: por compressão, ​​tração​ ​ou​ ​por​ ​torção. ​Abaixo​ ​segue​ ​ilustração​ ​na​ ​figura​ ​1. 
 Figura 1: ​ Mola​ ​helicoidal. 
Já sobre o conjunto de massas, este nada mais é do que o conjunto de pesos que são acoplados ao suporte. Os pesos utilizados neste experimento são feitos de aço. Abaixo segue ilustração deste​ ​objeto​ ​na​ ​figura​ ​2. 
 
Figura​ ​2:​ ​Conjunto​ ​de​ ​massas​ ​(pesos). 
O tripé com suporte é utilizado para os objetos que serão medidos possam ser fixados. No experimento aqui desenvolvidos serão afixados ao tripé as molas helicoidais​ ​que​ ​terão​ ​sua​ ​distensão​ ​aferida.​ ​Segue​ ​a​ ​ilustração​ ​do​ ​tripé​ ​na​ ​figura​ ​3. 
 
Figura​ ​3:​ ​Tripé​ ​com​ ​suporte​ ​e​ ​perfil​ ​com​ ​escala​ ​milimetrada. 
Os suportes para associação de molas são suporte utilizados para que molas possam ser afixadas em paralelo. A seguir é apresentado o esquema de um suporte na​ ​figura​ ​4.
 
Figura​ ​4:​ ​Suporte​ ​para​ ​associação​ ​de​ ​molas. 
A régua milimetrada é um instrumento de medição. Sua menor divisão de escala é um milímetro. Neste experimento ela foi utilizada para medir o comprimento da mola, com e sem distensão. A seguir há uma ilustração acerca desta régua na figura​ ​5. 
 
Figura​ ​5:​ ​Régua​ ​milimetrada. 
 
O dinamômetro é um instrumento de medição de forças mecânicas. Sua unidade de medida é lida em newtons (N). Tal instrumento também é utilizado para medir​ ​a​ ​massa​ ​de​ ​objetos.​ ​Abaixo​ ​segue​ ​ilustração​ ​deste​ ​instrumento​ ​na​ ​figura​ ​7. 
 
Figura​ ​7:​ ​Dinamômetro 
 
 
2.​ ​OBJETIVOS 
 
2.1​ ​OBJETIVO​ ​GERAL 
 
● Identificar o alongamento de molas helicoidais, adquiridos com a aplicação de uma força deformadora, por meio da utilização de massas aferidas, determinando a constante elástica de uma mola helicoidal, destrinchando as equações​ ​trabalhadas, ​​representando​ ​graficamente​ ​os​ ​dados​ ​experimentais. 
 
2.2​ ​OBJETIVOS​ ​ESPECÍFICOS 
 
Obter​ ​a​ ​constante​ ​de​ ​elasticidade​ utilizando-se​ ​​da​ ​lei​ ​de​ ​Hooke; 
Calcular​ ​a​ ​deformação​ ​causada​ ​pela​ força​ ​​exercida​ ​sobre​ ​um​ ​corpo; 
Construir​ ​o​ ​gráfico​ ​distensão​ ​versus​ ​força; 
Demonstrar a Lei de Hooke de diversas formas, como para molas separadas, molas​ ​em​ ​série​ ​e​ ​molas​ ​em​ ​paralelo. 
 
 
 	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.​ ​MATERIAIS​ ​UTILIZADOS 
 
Molas​ ​helicoidais. 
Conjunto​ ​de​ ​massas. 
Porta​ ​peso​ ​para​ ​o​ ​conjunto​ ​de​ ​massas. 
Tripé​ ​com​ ​suporte​ ​e​ ​perfil​ ​com​ ​escala​ ​milimetrada. 
Suportes​ ​para​ ​associação​ ​de​ ​molas. 
Régua​ ​milimetrada. 
Dinamômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.​ ​PROCEDIMENTO​ ​EXPERIMENTAL 
Anterior ao início do procedimento foi requerido uma familiarização com os instrumentos de medida, de modo que pudesse ser determinado seu estado de uso e sua menor divisão de escala. Feito isto, foi requerido também que tal escala, sua menor divisão e o erro associado a cada instrumento de medidas fossem anotados na folha de dados. Tais procedimentos foram realizados e então foi iniciado o procedimento​ ​experimental​ ​de​ ​fato. 
Parte​ ​1​ ​–​ ​Molas​ ​Diferentes 
Colocou-se duas molas suspensas e, sem nenhuma força externa aplicada, determinou-se a posição da extremidade da mola na escala definindo-a como seu 
Xo​ ​(posição​ ​inicial). 
Em seguida, foram adicionados 4 ​pesos diferentes, juntos com o porta-pesos, e foram medidas as deformações, para cada peso, cinco vezes sempre respeitando o limite​ ​elástico​ ​da​ ​mola. 
Ao retirar as massas, observou se a posição da extremidade da mola estava sem deformação, ou seja, se Xo sofreu alguma variação. A Figura abaixo ilustra o procedimento​ ​para​ ​esta​ ​parte​ ​do​ ​experimento: 
	 	 
Esquema​ ​ilustrativo​ ​do​ ​procedimento. 
Parte​ ​2​ ​-​ ​Molas​ ​em​ ​Série​ ​e​ ​em​ ​Paralelo 
Para molas em série e em paralelo o procedimento foi o mesmo ao realizado anteriormente, com a mesma frequência. Todos os valores obtidos foram registrados em tabelas que se encontram em resultados e discussões para posteriores​ ​cálculos. 
Na Figura abaixo está esquematizada a montagem do sistema de mola em série​ ​(​ ​A)​ ​e​ ​em​ ​paralelo​ ​(B): 
 
Esquema​ ​ilustrativo​ ​do​ ​procedimento. 
5.​ ​RESULTADOS​​E​ ​DISCUSSÃO 
Solicitou-se a suspensão de uma mola na haste de sustentação de modo que seu comprimento inicial, ​L​0​, pudesse ser aferido através da régua milimetrada. Requisitou-se também que fossem obtidos separadamente os valores de massa para o porta peso e para as diferentes associações de pesos. Para cada associação de peso foi adotada uma nomenclatura de acordo a quantidade de pesos. De modo a facilitar a visualização disto segue na Tabela 1, nos quais estão dispostas​ ​as​ ​quantidades​ ​de​ ​pesos​ ​e​ ​sua​ ​respectiva​ ​nomenclatura. 
 Tabela​ ​1:​ ​Nomenclatura​ ​adotada​ ​para​ ​cada​ ​associação​ ​de​ ​pesos. 
	Quantidade​ ​de​ ​pesos 
	Nomenclatura 
		 	
	Peso​ ​I
	
	Peso​ ​II
	
	Peso​ ​III
	
	 Peso​ ​IV
De posse desta resolução partiu-se a aferição dos valores de massa dos respectivos pesos. Para tanto utilizou-se como instrumento de medida o dinamômetro, o qual forneceu os dados apresentados na tabela​ ​2: 
 Tabela​ ​2:​ ​Massa​ ​das​ ​associações​ ​de​ ​pesos​ ​e​ ​do​ ​porta​ ​peso​ ​obtida​ ​com​ ​o​ ​dinamômetro. 
	
	
	Massa​ ​(kg) 
	
	 Medidas
	Peso​ ​I 
	Peso​ ​II 
	Peso​ ​III 
	Peso​ ​IV 
	1ª​ ​Medida 
	0,55​ ​±​ ​0,01 
	5,05​ ​±​ ​0,01 
	6,50​ ​±​ ​0,01 
	7,01​ ​±​ ​0,01 
	2ª​ ​Medida 
	0,55​ ​±​ ​0,01 
	5,06​ ​±​ ​0,01 
	6,50​ ​±​ ​0,01 
	7,04​ ​±​ ​0,01 
	3ª​ ​Medida 
	0,54​ ​±​ ​0,01 
	5,05​ ​±​ ​0,01 
	6,60​ ​±​ ​0,01 
	7,01​ ​±​ ​0,01 
	4ª Medida
	0,54​ ​±​ ​0,01
	5,06​ ​±​ ​0,01
	6,50​ ​±​ ​0,01
	7,02 ​±​ ​0,01
	5ª Medida
	0,55​ ​±​ ​0,01
	5,05​ ​±​ ​0,01
	6,50​ ​±​ ​0,01
	7,02​ ​±​ ​0,01
	Média 
	0,55​ ​±​ ​0,01 
	5,05​ ​±​ ​0,01 
	6,50​ ​±​ ​0,01 
	7,02​ ​±​ ​0,01 
 
Para cada instrumento de medida, foi determinando a sua menor divisão de escala e o erro associado a cada instrumento de medida. Com a mola pendurada na haste de sustentação e ajuste da régua foram obtidos a posição da extremidade da​ ​mola​ ​e​ ​o​ ​comprimento​ ​inicial​ ​L​0.​ ​ ​(Tabela​ ​3) 
Com o porta peso pendurado na mola, obtivemos o valor do comprimento final da mola (Tabela 3) esse procedimento é feito com mais cinco repetições, para obter​ ​um​ ​valor​ ​médio​ ​do​ ​comprimento​ ​final​ ​L​f.​ 
Conforme explicitado pela tabela, os valores médios encontrados para cada comprimento final de acordo as associações de molas foram utilizados para encontrar a elongação média das molas, subtraindo-os dos comprimentos iniciais da mola sendo que o ​L​0 foi​ de 120,0mm. Os valores médios encontrados para o comprimento final foram subtraídos na seguinte fórmula 
∆L=L​f​ -​ ​L​0​,​ ​de​ ​modo​ ​a​ ​encontrar​ ​a​ ​elongação​ ​média​ ​da​ ​mola. 
​ Tabela​ ​3:​ ​Tabela​ ​dos​ ​dados​ ​coletados​.
	
	Mola​ ​1 
	
	Massa​ ​do​ ​Porta​ ​Peso​ ​(kg):​ ​±​ ​​0,05 
	Comprimento​ ​Inicial​ ​(mm)​ ​L​0:​ ​ ​120,0 
	
	 
Massa (Kg) 
	Comprimento​ ​Final​ ​(mm)​ ​Lf 
	Elongação ​ Média​​ (​ mm)
Δ​L​ ​=​ ​L​f​ ​ ​-​ ​L​0
	
	
	1ª​ ​Medida 
 
	2ª​ ​Medida 
 
	3ª​Medida 
 
	4ª​Medida 
 
	5ª​Medida
	 Valor Médio 
	
	Mola 1
	0,05
	149,0​±0,005
	143,0±0,005​
	148,0±0,005
	147,0±0,005
	149,0±0,005
	147,2±0,005
	27,20​±0,577
	Mola 2
	5,05
	175,0±​0,005
	175,0​±0,005
	176,0​±0,005
	175,0​±0,005
	174,0​±0,005
	175,0​±0,005
	55,00​±0,577
	Mola3 
	6,50
	203,0±​,005​ ​
	203,0±0,005
	204,0±0,005
	204,0±0,005
	204,0±0,005
	203,6​±0,005
	83,60​±0,577
	Mola4
	7,02
	231,0±0,005​
	230,0​±0,005
	232,0​±0,005
	232,0​±0,005
	231,0​±0,005
	231,2​±0,005
	111,20±0,577
 
Realizados tais procedimentos solicitou-se a realização dos mesmos processos para a associação de molas em série e em paralelo. No primeiro caso foram​ ​utilizadas​ ​duas​ ​molas​ ​em​ ​série. 
De posse destes valores iniciais foi solicitado o comprimento final das molas em série com a adição dos diferentes pesos. ​Os​ ​valores​ ​auferidos​ ​estão​ ​expostos​ ​na​ ​tabela​ ​4. 
 
 
Tabela​ ​4:​ ​Tabela​ ​dos​ ​dados​ ​coletados​ ​com​ ​a​ ​mola​ ​1​ ​e​ ​2​ ​em​ ​série. 
	Molas​ ​em​ ​Série 
	Massa​ ​do​ ​Porta​ ​Peso​ ​(kg):​ ​0,05 
	Comprimento​ ​Inicial​ ​(mm)​ ​L​0:​ ​ ​253,6 
	 
Massa (Kg) 
	Comprimento​ ​Final​ ​(Lf​ ​)​ ​(mm) 
	 
Elongação ​ Média​	 ​ (​ mm) 
Δ​L​ ​=​ ​L​f​ ​ ​-​ ​L​0 
	
	1ª​ ​Medida 
	2ª​ ​Medida 
	 3ª​ ​Medida 
	4ª​ ​Medida 
	5ª​ ​Medida
	 Valor Médio 
	
	0,05 
	308,0±0,005 
	309,0±0,005 
	307,0±0,005 
	307,0±0,005 
	308,0±0,005 
	307,8±0,005 
	54,2​±0,577
	5,05 
	363,0​±0,005
	364,0​±0,005
	363,0​±0,005
	360,0​±0,005 
	364,0​±0,005 
	362,8​±0,005 
	109,2​±0,577 
	6,50 
	416,0​±0,005
	417,0​±0,005 
	415,0​±0,005
	416,0​±0,005
	418,0​±0,005
	416,4​±0,005
	162,8​±0,577
	7,02 
	474,0​±0,005 
	475,0​±0,005 
	474,0​±0,005 
	468,0​±0,005
	472,0​±0,005
	472,6​±0,005 
	219,0​±0,577 
 
Realizado tal procedimento com as molas em série, partiu-se a realização do mesmo procedimento para as molas em paralelo​. Tal procedimento foi realizado por​ ​cinco​ ​vezes, o comprimento inicial ​L​0 ​foi de 120 mm, a partir daí foram adicionadas diferentes associações de pesos para estas molas em paralelo. Na tabela 5 tem os resultados obtidos para as molas em paralelo, dos valores auferidos juntamente com o cálculo da elongação​ ​média.
Tabela​ ​5:​ ​Tabela​ ​dos​ ​dados​ ​coletados​ ​com​ ​a​ ​mola​ ​1​ ​e​ ​2​ ​em​ ​paralelo. 
	
	Molas​ ​em​ ​Paralelo 
	
	Massa​ ​do​ ​Porta​ ​Peso​ ​(kg):​ ​0,05 
	Comprimento​ ​Inicial​ ​(L​0):​ ​ ​120 
	
	 
Massa (Kg) 
	Comprimento​ ​Final​ ​(mm)Lf 
	 
Elongação ​ Média​	 ​ (​ mm) 
Δ​L​ ​=​ ​L​f​ ​ ​-​ ​L​0 
	
	
	1ª​ ​Medida 
	2ª​ ​Medida 
	 3ª​ ​Medida 
	4ª​ ​Medida 
	5ª​ ​Medida
	 Valor Médio 
	
	Mola 1
	0,05​​0,005
	134,0±0,005
	134,0±0,005
	134,0±0,005 
	134,0±0,005 
	135,0±0,005 
	134,2​±0,005 
	14,2​±0,577 
	Mola 2
	5,05±0,005 
	148,0​±0,005
	147,0​±0,005 
	148,0​±0,005 
	148,0​±0,005 
	148,0​±0,005
	147,8​±0,005 
	27,8​±0,577 
	Mola3
	6,50​±0,005
	161,0​±0,005 
	162,0​±0,005
	161,0​±0,005 
	161,0​±0,005 
	162,0​±0,005 
	161,4​±0,005
	41,4​±0,577
	Mola4
	7,02​±0,005 
	175,0​±0,005 
	174,0​±0,005 
	174,0​±0,005 
	174,0​±0,005 
	175,0​±0,005
	174,4​±0,005
	54,4​±0,577 
 
 No que concerne ao tratamento dos dados auferido, solicitou-se primeiramente a obtenção do valor médio do comprimento final das molas para cada peso adicionado e sua respectiva elongação média. Nas duas molas em série, a força F atua em ambas e o alongamento de uma é independente do da outra, já nas duas molas em paralelo, a força F aplicada é distribuída nas duas e o alongamento de uma é igual ao da outra.
O próximo passo solicitado é a determinação do módulo da força peso exercido sobre o sistema. O valor adotado para a gravidade é de 9,78 ​m/s​2​. Assim temos​ ​que: 
P→ =​ ​m.​ ​g→
Onde m é a massa aferida para cada uma das associações de massa e g é o valor da gravidade adotado. Desse modo os valores da força peso (N) para cada uma das molas​ ​e​ ​de​ ​suas​ ​associações​ ​de​ ​massas​ ​seguem​ ​nas​ ​tabelas​ ​abaixo: 
​ Tabela​ ​6:​ ​Módulo​ ​da​ ​força​ ​peso​ ​exercida​ ​no​ ​sistema. 
	 
	Peso​ ​I 
	Peso​ ​II 
	Peso​ ​III 
	Peso​ ​IV 
	P→ ​= ​ ​m.​ ​g→ 
	5,379​ ​N 
	49,389​ ​N 
	64,059​ ​N 
	68,656​ ​N 
 
Determinado o valor do módulo da força peso exercida no sistema, pediu-se então a construção de gráficos com os dados experimentais obtidos para a força peso e para a elongação da mola para as configurações das molas em série e molas em paralelo. Neste caso a variável dependente ​y é a elongação da mola​ ​e​ ​a​ ​variável​ ​independente​ x​​ ​a​ ​força​ ​peso. 
A partir dos dados obtidos foram feitos os cálculos para a constante elástica das molas em estudo, através do Método dos Mínimos Quadrados, onde foram determinados os valores dos coeficientes angulares da reta, estes representando as constantes​ ​elásticas​ ​das​ ​molas, ​ ​obtendo​​as​ ​equações​ ​da​ ​reta. 
Fez-se uma análise das constantes das molas por meio da equação 1, os resultados estão descritos na Tabela 7. ​As incertezas são explicadas devidas ao próprio experimento, aos aparelhos utilizados para as medidas e também aos condutores do experimento, ​ ​demonstrando​ ​assim​ ​a​ ​eficiência​ ​do​ ​método​ ​utilizado. 
 ​Os resultados para as constantes elásticas das molas estudadas foram significativos, quando se fez a comparação através da fórmula K​série =​ K​1K​ ​2 /​ K​1+​ K2​,​ das constantes determinadas das molas individuais em relação às molas em série e em paralelo aplicando na fórmula K​paraleo =​ K​1+​ K​2,​ dados demonstrados na Tabela 7,​ ​observando​ ​que​ ​as​ ​incertezas​ ​ficaram​ ​dentro​ ​dos​ ​valores​ ​aceitáveis. 
Tabela​ ​7​ ​–​ ​Constantes​ ​das​ ​molas​ ​estudadas​ ​no​ ​experimento. 
	
	Constantes​ ​das​ ​molas 
	
	K1​ 
	K​2 
		Ksérie​	​ ​=​ K1​ ​K​2​/K​1+​ K​2 
		Kparaleo​	​ ​=​ K1​ ​+K2​ 
	0,677 
	0,682 
	0,339 
	1,359 
 
Os ajustes lineares dos dados obtidos das equações da reta estão demonstrados nos gráficos, facilitando a compreensão dos resultados e observando​ ​sua​ ​linearidade.
6.​ ​CONCLUSÃO 
 
Diante do exposto, conclui-se que o método adotado para obtenção das constantes das molas, através da definição da Lei de Hooke e do método estatístico dos mínimos quadrados, sejam elas isoladas, em série, em paralelo ou individual e em conjunto, se mostraram eficientes e de fácil procedimento para atingir o objetivo geral do experimento em relação ao aprendizado prático dos alunos para com a disciplina. Através dos resultados alcançados observa a relação coerente das constantes obtidas das molas, dessa forma se torna uma prática de aprendizado a ser​ ​mantida​ ​para​ ​determinação​ ​da​ ​capacidade​ ​de​ ​elasticidade​ ​de​ ​molas. 
 
 
 
 
 
 
7.​ ​REFERÊNCIAS​ ​BIBLIOGRÁFICAS 
JEWETT JR, J. W.; SERWAY, R. A. ​Física para Cientista e Engenheiros: Mecânica. ​8. ed.​ ​São​ ​Paulo:​ ​Cengage​ ​Learning,​ ​2012.​ ​v.1. 
HALLIDAY, D; RESNICK, WALKER, J. ​Fundamentos de Física Mecânica. 9. ed. 
Rio​ ​de​ ​Janeiro:​ ​LTC,​ ​2012.​ ​v.​ ​1. 
NUSSENZVEIG, H. M. ​Curso de Física Básica: Mecânica. 4 ed. São Paulo: 
Edgard​ ​Blücher,​ ​2002.​ ​v.1. 
Sears & Zemansky – ​Young & Freedman, Física 1 – Mecânica, 12ª edição - 
Editora​ ​Pearson.
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