PINOTTI_PROVA2_MecFlu7_UFMG

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Versão Outubro 2014
1 MecFlu7_UFMG
Considere estas Notas de Aula como um roteiro para estudo e acompanhamento das aulas de Mecânica 
dos Fluidos. O uso do livro texto é imprescindível para o aprendizado (conceitos, demonstrações e 
exercícios). Lembre-se de que estas Notas de Aula não substituem o livro texto. 
Ao longo do curso, serão valorizados exemplos práticos e os alunos serão estimulados a lerem artigos e 
textos adicionais, além do livro texto recomendado. Serão exploradas diversas aplicações da engenharia. 
Esta versão de 2014 traz um novo método intuitivo de aprendizado de Mecânica dos Fluidos. Os conceitos 
fundamentais serão apresentados e discutidos por meio das Notas de Aula, mas, no entanto, o conteúdo 
programático será estudado para a compreensão de dispositivos e equipamentos selecionados para 
auxiliar na tarefa didática. Procedendo desta forma, evita-se expor um conteúdo teórico aos alunos para 
depois encontrar exemplos práticos onde o conceito e/ou formulação se aplicam. No método intuitivo, que 
vamos trabalhar aqui, será apresentado um objeto, dispositivo ou equipamento e ao apresentar suas 
características e funcionamento, os conceitos e formulações da Mecânica dos Fluidos serão apresentados 
e estudados. Gostaria, assim, de dar chance aos alunos de Mecânica dos Fluidos de primeiro se 
aventurarem a elaborar hipóteses e buscar novos conhecimentos para compreenderem o funcionamento 
dos objetos a serem apresentados para somente depois ter os conceitos pertinentes devidamente 
formalizados. Neste contexto, vamos utilizar o Mapa de Aplicações e as Notas de Aula para este 
propósito. 
!
As imagens destas Notas de Aulas vieram de duas fontes: 
1. Elaboradas pelo autor e sua equipe (principalmente pela designer Cecília Berger e pela Maria 
Aparecida Fernandes); 
2.Capturadas da Internet.
2
Prof. Pinotti
Este arquivo é distribuído aos alunos da disciplina de Mecânica dos Fluidos do Curso de Graduação em 
Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Minas Gerais e não possui nenhuma finalidade 
comercial. 
O uso das imagens (elaboradas pelo autor e sua equipe) e do texto deste arquivo está autorizado desde 
que seja citada a fonte: 
!
“Pinotti, M. Notas de Aula de Mecânica dos Fluidos. Universidade Federal de Minas Gerais, 2014. 
MecFlu6_UFMG.pdf (consultado em: data da consulta). 
!
Em uma recente pesquisa no Google, encontrei versões mais antigas destas Notas de Aulas espalhadas 
em servidores das mais variadas instituições e universidades, de grupos de aerodesign a Petrobras. Isto 
significa que as informações aqui organizadas foram úteis a estudantes e profissionais. Além disso, já 
recebi mais de uma centena de emails de leitores espalhados pelo Brasil elogiando estas páginas. Isto me 
deixa muito feliz e aumenta minha responsabilidade na elaboração da versão 2014. Críticas e sugestões 
são sempre úteis para a contínua melhoria deste texto e devem ser endereçadas para o email do autor: 
pinotti@ufmg.br. Muito obrigado. 
!
Prof. Marcos Pinotti Barbosa 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Escola de Engenharia - Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG
3
Prof. Pinotti
Linha Piezométrica - Equação de Bernoulli
P1
ρ1g
+
V12
2g + z1 =
P2
ρ2g
+
V22
2g + z2 ρ1A1V1 = ρ2A2V2
P
ρg
V 2
2g
V 2
2g
P
ρg
4
Prof. Pinotti
 
Dinâmica 12 
Perda de Carga de Escoamentos em Tubos Circulares 
 
Equação de Bernoulli: 
 
 
 
 
Equação de Darcy-Weisbach 
 
 
 
Escoamento Laminar 
 
 fator de atrito para escoamento laminar 
 
Escoamento Turbulento 
 
 fator de atrito para escoamento turbulento 
 
Perda de 
Carga 
 
Dinâmica 12 
Perda de Carga de Escoamentos em Tubos Circulares 
 
Equação de Bernoulli: 
 
 
 
 
Equação de Darcy-Weisbach 
 
 
 
Escoamento Laminar 
 
 fator de atrito para escoamento laminar 
 
Escoamento Turbulento 
 
 fator de atrito para escoamento turbulento 
 
Perda de 
Carga 
 
Dinâmica 12 
Perda de Carga de Escoamentos em Tubos Circulares 
 
Equação de Bernoulli: 
 
 
 
 
Equação de Darcy-Weisbach 
 
 
 
Escoamento Laminar 
 
 fator de atrito para escoamento laminar 
 
Escoamento Turbulento 
 
 fator de atrito para escoamento turbulento 
 
Perda de 
Carga 
 
Dinâmica 12 
Perda de Carga de Escoamentos em Tubos Circulares 
 
Equação de Bernoulli: 
 
 
 
 
Equação de Darcy-Weisbach 
 
 
 
Escoamento Laminar 
 
 fator de atrito para escoamento laminar 
 
Escoamento Turbulento 
 
 fator de atrito para escoamento turbulento 
 
Perda de 
Carga 
 
Dinâmica 12 
Perda de Carga de Escoamentos em Tubos Circulares 
 
Equação de Bernoulli: 
 
 
 
 
Equação de Darcy-Weisbach 
 
 
 
Escoamento Laminar 
 
 fator de atrito para escoamento laminar 
 
Escoamento Turbulento 
 
 fator de atrito para escoamento turbulento 
 
Perda de 
Carga 
 
Equação de Darcy-Weisbach 
 
g
V
D
LfHl 2
2
� 
 
Escrevendo a equação de Darcy-Weisbach em função da vazão: 
 
5
2
D
QKfLHl � 
 
Observa-se que a perda de carga em uma tubulação varia 
linearmente com o comprimento L, varia quadraticamente 
com a vazão Q e inversamente com o diâmetro elevado a 
quinta potência. 
 
Diâmetro da tubulação, D 
Custo 
Ponto ótimo de 
equilíbrio entre custo de 
instalação e operação 
Custo de instalação 
Custo de operação 
 
Dinâmica 45 
 
Equação de Darcy-Weisbach 
 
g
V
D
LfHl 2
2
� 
 
Escrevendo a equação de Darcy-Weisbach em função da vazão: 
 
5
2
D
QKfLHl � 
 
Observa-se que a perda de carga em uma tubulação varia 
linearmente com o comprimento L, varia quadraticamente 
com a vazão Q e inversamente com o diâmetro elevado a 
quinta potência. 
 
Diâmetro da tubulação, D 
Custo 
Ponto ótimo de 
equilíbrio entre custo de 
instalação e operação 
Custo de instalação 
Custo de operação 
 
Dinâmica 45 
Prof. Pinotti
Equações de Balanço
Balanço de energia (Bernoulli) - Equação que contabiliza, em um volume de controle, o balanço de 
energia que entrou, saiu e que se acumulou (ou se consumiu).
P1
ρ1g
+
V12
2g + z1 =
P2
ρ2g
+
V22
2g + z2 + h1,2 Equação para fluido real
6
Prof. Pinotti
Linha Piezométrica - Equação de Bernoulli
P1
ρ1g
+
V12
2g + z1 =
P2
ρ2g
+
V22
2g + z2 ρ1A1V1 = ρ2A2V2
V 2
2g
P
ρg
7
Prof. Pinotti
Fórmulas Empíricas para Determinação de Perda de Carga
Escoamento de Água em Tubo Circular
 
Dinâmica 13 
Fórmulas Empíricas para Determinação da Perda de Carga 
Escoamento Turbulento de água em tubos circulares 
 
Fórmula de Flammant (século XIX) 
 
 
 
Fórmula de Hazen-Williams (1903) 
 
 
 
Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao (1930) 
 
Para tubos de até 50 milímetros 
 
Água fria em tubo galvanizado : 
 
Água fria em tubo de cobre : 
 
Água quente em tubo de cobre : 
 
 
Dinâmica 13 
Fórmulas Empíricas para Determinação da Perda de Carga 
Escoamento Turbulento de água em tubos circulares 
 
Fórmula de Flammant (século XIX) 
 
 
 
Fórmula de Hazen-Williams (1903) 
 
 
 
Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao (1930) 
 
Para tubos de até 50 milímetros 
 
Água fria em tubo galvanizado : 
 
Água fria em tubo de cobre : 
 
Água quente em tubo de cobre : 
 
Prof. Pinotti
 
Dinâmica 16 
Equação de Darcy-Weisbach 
 
 
 
Escrevendo a equação de Darcy-Weisbach em função da vazão: 
 
 
 
Observa-se que a perda de carga em uma tubulação varia 
linearmente com o comprimento L, varia quadraticamente 
com a vazão Q e inversamente com o diâmetro elevadoa 
quinta potência. 
 
 
Diâmetro da tubulação, D 
Custo 
Ponto ótimo de 
equilíbrio entre custo de 
instalação e operação 
Custo de instalação 
Custo de operação 
Prof. Pinotti
L. F. Moody publicou em 1944 os dados de fator de atrito em função do número de Reynolds e da 
rugosidade relativa. Moody organizou estes dados em um gráfico. A utilidade deste gráfico em aplicações 
práticas é inestimável, pois, ao contrário de fórmulas empíricas que são específicas a determinados fluidos, 
o Diagrama (ou Ábaco) de Moody relaciona o fator de atrito para qualquer fluido em qualquer tubo.
 
Dinâmica 15 
Prof. Pinotti
Escoamento em dutos circulares
Experimento de Osborne Reynolds
Re = ρUL
µ
Forcasde Inercia = ρU 2L2
ForcasViscosas = µUL
11
Prof. Pinotti
 
Dinâmica 15 
 
Dinâmica 21 
Exercício proposto 1 
Dois metros cúbicos por hora de um óleo, de viscosidade 
cinemática igual a 10-4 m2s-1, escoam através de uma canalização 
de diâmetro igual a 25 mm e rugosidade aparente igual a 0,1 mm. 
Determinar a perda de carga unitária. 
 
 
Exercício proposto 2 
Deseja-se escoar 3 metros cúbicos por segundo de água através de 
um duto de concreto, de seção quadrada de lado igual a 1,5 m, 
funcionando a seção plena. Admitindo, para o concreto, a 
rugosidade aparente 0,1 mm, determine a perda de carga unitária. 
 
 
Exercício proposto 3 
Uma canalização, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e 
cuja extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar 400 litros 
por segundo por gravidade. Sabendo-se que o desnível existente 
entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 50 m, e 
desprezando-se as perdas de carga localizadas, determine o 
diâmetro desta canalização. 
 
Exercício resolvido 1
Prof. Pinotti
Exercício resolvido 2
 
Dinâmica 21 
Exercício proposto 1 
Dois metros cúbicos por hora de um óleo, de viscosidade 
cinemática igual a 10-4 m2s-1, escoam através de uma canalização 
de diâmetro igual a 25 mm e rugosidade aparente igual a 0,1 mm. 
Determinar a perda de carga unitária. 
 
 
Exercício proposto 2 
Deseja-se escoar 3 metros cúbicos por segundo de água através de 
um duto de concreto, de seção quadrada de lado igual a 1,5 m, 
funcionando a seção plena. Admitindo, para o concreto, a 
rugosidade aparente 0,1 mm, determine a perda de carga unitária. 
 
 
Exercício proposto 3 
Uma canalização, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e 
cuja extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar 400 litros 
por segundo por gravidade. Sabendo-se que o desnível existente 
entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 50 m, e 
desprezando-se as perdas de carga localizadas, determine o 
diâmetro desta canalização. 
 
Prof. Pinotti
Perda de carga em singularidades 
!
A perda de carga que ocorre em tubos (determinada por fórmulas empíricas ou 
pelo diagrama de Moody) é conhecida como “perda de carga distribuída” ou 
“perda de carga contínua” porque ocorre ao longo do tubo. 
Quando o escoamento em uma tubulação passa pelas chamadas singularidades, 
existe uma perda adicional de energia (irreversível) devido à geometria das 
singularidades e/ou às mudanças de trajetórias a que o fluido foi submetido. A 
perda de carga devido às singularidades é conhecida como “perda de carga 
localizada”. Existem dois métodos de se determinar este tipo de perda de carga:
Método do Coeficiente de Perda hs = K
V 2
2
Método do Comprimento Equivalente hs = f
Leq
D
V 2
2g
Prof. Pinotti
Método do Coeficiente de Perda
hs = K
V 2
2g
determinado experimentalmente
Prof. Pinotti
Método do Coeficiente de Perda
hs = K
V 2
2g
determinado experimentalmente
Prof. Pinotti
Método do Coeficiente de Perda
Prof. Pinotti
Método do Comprimento Equivalente
hs = f
Leq
D
V 2
2g
Prof. Pinotti
hs = f
Leq
D
V 2
2g
Prof. Pinotti
hs = f
Leq
D
V 2
2g
Prof. Pinotti
 
Dinâmica 18 
 
Pressão 
Válvula 
gaveta Bomba 
Prof. Pinotti
 
Dinâmica 19 
 
PERDA DE CARGA EM DUTOS NÃO CIRCULARES 
 
Pode-se aplicar as correlações empíricas para escoamentos em 
dutos não circulares, desde que a razão de aspecto (medida da 
deformação em relação a uma seção transversal regular) não seja 
muito grande nem muito pequena. 
 
Definição de razão de aspecto para um duto retangular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conceito de diâmetro hidráulico (a ser definido a seguir) pode ser 
aplicado na faixa aproximada de 
 
h 
b 
Prof. Pinotti
 
Dinâmica 20 
Definição de Diâmetro hidráulico, Dh: 
 
 
 
Onde A é a área da seção transversal e P é o perímetro molhado 
(comprimento da parede em contato com o fluido). 
 
Para um duto retangular de largura b e altura h: 
 
 
 
 
 
 
Prof. Pinotti
 
Dinâmica 21 
Exercício proposto 1 
Dois metros cúbicos por hora de um óleo, de viscosidade 
cinemática igual a 10-4 m2s-1, escoam através de uma canalização 
de diâmetro igual a 25 mm e rugosidade aparente igual a 0,1 mm. 
Determinar a perda de carga unitária. 
 
 
Exercício proposto 2 
Deseja-se escoar 3 metros cúbicos por segundo de água através de 
um duto de concreto, de seção quadrada de lado igual a 1,5 m, 
funcionando a seção plena. Admitindo, para o concreto, a 
rugosidade aparente 0,1 mm, determine a perda de carga unitária. 
 
 
Exercício proposto 3 
Uma canalização, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e 
cuja extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar 400 litros 
por segundo por gravidade. Sabendo-se que o desnível existente 
entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 50 m, e 
desprezando-se as perdas de carga localizadas, determine o 
diâmetro desta canalização. 
 
Prof. Pinotti