FORMAÇÃO DE PREÇO DE TÍTULOS PÚBLICOS PRÉ E PÓS FIXADOS

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FORMAÇÃO DE PREÇO DE TÍTULOS PÚBLICOS PRÉ E PÓS FIXADOS
INTRODUÇÃO
Os títulos de renda fixa são documentos que comprovam um empréstimo feito pelo investidor ao emissor, que obriga este último agente ao pagamento de certa rentabilidade. São estabelecidas condições na operação: o prazo, a taxa de juros, a forma de pagamento dos juros, dentre outras.
Os títulos podem ser classificados:
Natureza do emissor – tanto o governo (federal, estadual e municipal), como instituições financeiras e não financeiras privadas emitem títulos. Exemplo:
Títulos Públicos:
LTN (Letras de Tesouro Nacional), NTN (Notas do Tesouro Nacional), CFT (Certificados Financeiros do Tesouro).
Títulos Privados emitidos por instituições financeiras:
DI (Depósito Interfinanceiro), CDB (Certificado de Depósito Bancário), Letras de Câmbio Financeiras.
Títulos privados emitidos por instituições não financeiras:
Debêntures; Commercial Papers; Letras de Câmbio Comerciais.
b) Prazo
Títulos de curto prazo são aqueles inferiores a 1 ano – exemplos: LTN CDB e commercial papers. Já os papéis com prazo superior a 1 ano são definidos com títulos de longo prazo - exemplo: NTN-C, cujo prazo mínimo é de 12 meses.
c) Forma de pagamento dos juros – podemos ter:
Títulos prefixados – títulos cujo rendimento é conhecido no momento da emissão. 
Exemplo: CDB de 30 dias remunerado a uma taxa de juro prefixada ou uma LTN.
Títulos pós - fixado – títulos cujo rendimento somente é conhecido na data do resgate. Exemplo: LFT, em que o valor nominal de resgate é corrigido pela taxa Selic.
2) Apreçamento de Títulos de Renda Fixa.
O preço de um título de renda fixa qualquer ( Pu ) é dado pelo somatório dos fluxos de pagamentos futuros ( Pf ), que ocorrem em ( t ) datas predeterminadas mais o valor de resgate ( Vr ), descontados para o valor presente por uma taxa de juros constante, ( i ) (também conhecida como taxa de desconto ou rentabilidade do título) expressa na mesma unidade de tempo dos períodos considerados. Ou seja:
OBS: Uma das características dos preços dos ativos de renda fixa é a relação inversa entre preço e a taxa de desconto. Sempre que a taxa de desconto (i) aumentar cairá o preço do título (o investidor faz um investimento inicial menor para obter o mesmo rendimento). E sempre que a taxa de desconto (i) diminuir aumentará o preço do título (o investidor precisa fazer um investimento inicial maior para obter o mesmo rendimento).
3) Títulos Públicos – Características e Formas de Apreçamento 
Os títulos públicos têm por objetivo geral captar recursos para financiar o déficit orçamentário. Outra possibilidade é sua emissão para financiar a dívida pública (alongar seu perfil, por exemplo). Os títulos públicos federais são os mais comuns, pois representam um tipo de investimento bastante seguro (risco reduzido).
Os principais títulos públicos federais são:
LTN (Letras do Tesouro Nacional); LFT (Letras Financeiras do Tesouro); NTN (Notas do Tesouro Nacional)
As características de cada um estão no quadro abaixo:
	
	Título
	Rendimento/Atualização do Valor Nominal
	LFT
	Letras Financeiras do Tesouro
	Rendimento pós-fixado definido pela taxa Selic. 
	LTN
	Letras do Tesouro Nacional
	Rendimento prefixado definido pelo deságio sobre o valor nominal.
	NTN-B
	Notas do Tesouro Nacional Série B 
	Juros de cupom e valor nominal atualizado pela variação do IPCA (Índice de preços ao Consumidor Ampliado calculado pelo IBGE).
	NTN-C
	Notas do Tesouro Nacional Série C
	Juros de cupom e valor nominal atualizado pela variação do IGP-M calculado pela FGV – Fundação Getúlio Vargas.
	NTN-D
	Notas do Tesouro Nacional Série D
	Juros de cupom e valor nominal atualizado pela variação da cotação de venda do dólar dos EUA (variação da taxa média de câmbio ponderada pelo volume de negociações da moeda estrangeira no decorrer do dia). 
	NTN-F
	Notas do Tesouro Nacional Série F
	Rendimento prefixado definido pelo deságio sobre o valor nominal. Existe pagamento semestral de cupom, diferenciando-se da LTN. 
	NTN-H
	Notas do Tesouro Nacional Série H
	Juros de cupom e valor nominal atualizado pela Taxa Referencial – TR (obtida a partir da TBF, Taxa Básica Financeira, por meio de um redutor definido pelo BACEN).
Títulos Públicos mais negociados
Neste tópico, analisaremos alguns títulos mais negociados, de forma a entender quais as suas características e como são apreçados.
LTN (Letras do Tesouro Nacional)
Criadas em 1970, as Letras do Tesouro Nacional – LTN são títulos prefixados de curto prazo, pelo prazo mínimo de 28 dias, cuja rentabilidade é dada pela diferença entre o seu preço de negociação ( Pu ) e o valor nominal de resgate ( Vr ), igual a R$ 1.000,00. Note, portanto, que são negociados com deságio sobre o valor de face.
Veja a representação gráfica do fluxo de caixa de uma operação comeste título.
Fluxo de Caixa para o Comprador de uma LTN
	 R$ 1.000,00
				 1 2 3 ....... n dias úteis 
	 Pu
Observe que o preço ( Pu ) de uma LTN, também denominado preço unitário, é calculado ao trazer a valor presente o valor de face do título (igual a R$ 1.000,00), considerando certa taxa de desconto.
Fórmula:
 Assim: 
Onde:
Pu = preço unitário do título (truncado na segunda casa decimal);
 = rentabilidade anual, considerando duas casas decimais;
du = prazo do título em dias úteis;
R$ 1.000,00 = valor de face ou resgate.
Nas LTN, somente existe pagamento do principal no vencimento do título, não havendo pagamentos de juros (cupons) em datas intermediárias. Além disso, o valor de face (ou resgate) não sofre nenhuma correção.
Importante:
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Exemplo:
Qual é o preço de uma LTN de 84 dias úteis adquirida por uma taxa de desconto de 12,5 % ao ano?
Resolução: 	
O investidor adquire uma LTN com o preço de R$979,89, com 43 dias úteis para o seu vencimento. A rentabilidade anual auferida nessa operação é de:
Resolução:
 Assim:
O tesouro nacional anunciou por intermédia de Portaria que estará ofertando Letras do Tesouro Nacional de 182 dias corridos com 125 dias úteis, em 28.02.2007, com as seguintes características:
Data de emissão: 01.03.2007; Data de liquidação: 03.03.2007; Data de vencimento: 01.09.2007; Data de resgate: 01.09.2007
Sabemos ainda que as cotações do DI futuro para os meses compreendidos entre março e setembro são apresentadas na tabela abaixo:
	VENCIMENTO
	PU do DI
	03.03.2007
	99.913
	01.04.2007
	98.318
	02.05.2007
	96.742
	02.06.2007
	95.199
	01.07.2007
	93.680
	01.08.2007
	92.186
	01.09.2007
	90.717
Determine: 
A taxa efetiva projetada para o período do título (curva do papel). – 10,14% a.p
A partir da taxa efetiva a taxa over mês correspondente. – 2,32% a.m.o 
A taxa anual projetada para o período do título a partir da taxa efetiva. – 21,50% a.a
O preço unitário (PU). 907,919788
EXERCÍCIOS:
1. Determine o preço unitário de uma LTN de 110 dias úteis adquirida por uma taxa de desconto de 1,664295% ao mês over. 940,816439
2. Determine a taxa anual e o preço unitário e de uma LTN de 92 dias úteis, sabendo que taxa efetiva projetada para o período do título foi 9,49%. 28,19% a.a; 913,323593.
3. O investidor adquire uma LTN com o preço de R$ 982,259565, com 52 dias úteis para o seu vencimento. Determine a rentabilidade anual e over mensal auferida nessa operação. 9,06% a.a – 1,03% a.m.o 
4. O tesouro nacional anunciou por intermédia de Portaria que estará ofertando Letras do Tesouro Nacional de 220 dias corridos com 182 dias úteis, em 28.02.2007, com as seguintes características:
Data de emissão: 01.03.2007; Data de liquidação: 03.03.2007; Data de vencimento: 01.09.2007; Datade resgate: 01.09.2007
Sabemos ainda que as cotações do DI futuro para os meses compreendidos entre março e setembro são apresentadas na tabela abaixo:
	VENCIMENTO
	PU do DI
	03.03.2007
	99.955
	01.04.2007
	98.318
	02.05.2007
	97.125
	02.06.2007
	96.205
	01.07.2007
	95.025
	01.08.2007
	93.598
	01.09.2007
	91.365
Determine: 
a) A taxa efetiva projetada para o período do título (curva do papel). – 9,40% a.p
b) A partir da taxa efetiva a taxa over mês correspondente. – 1,48% a.m.o 
c) A taxa anual projetada para o período do título a partir da taxa efetiva. – 13,25% a.a
d) O preço unitário (PU). 914,055158
LFT (Letras Financeiras do Tesouro)
As Letras Financeiras do Tesouro são títulos pós-fixados (prazo máximo de 15 anos), sendo adquiridas a um preço unitário Pu onde o agente receberá na data de vencimento o valor nominal do título corrigido pela taxa SELIC acumulada.
 								 VNA corrigido pela
									 SELIC
 1 2 3 ............... n dias úteis 
	PU
Exemplo:
Considere uma LFT, com data do leilão de 21/ 06/ 2007 e posterior liquidação do negócio no dia 22/06/2007. O vencimento do título será em 07/03/2012. O valor nominal atualizado (VNA), no dia 22/06/2007, foi igual a 3.114,73. Ou seja, verificou-se, nesta data, que o fator de correção SELIC foi de 3,13473 sobre o valor nominal de R$1.000.
O fator de correção é dado por:
As negociações desses títulos, no entanto, não são feitas pelo VNA e, sim, mediante uma cotação que representa um percentual do VNA. Essa cotação reflete a taxa de ágio ou deságio que se deseja no título, ou seja:
COT = cotação do título com quatro casas decimais;
I = taxa de ágio ou deságio, expressa em base anual com 252 dias úteis;
n = quantidade de dias úteis entre a data de liquidação (inclusive) e a data de vencimento (exclusive). 
Para calcularmos o preço de compra (Po), também denominado de preço unitário (Pu). Para obtê-lo, basta multiplicar a cotação (COT) pelo valor nominal atualizado no momento da compra (VNA0).
EXEMPLO:
Considerem uma LFT, com a data de leilão em 21/06/2007 e a data de liquidação da compra em 22/06/2007. Como o vencimento é em 07/03/2012, observa-se um prazo de 1.183 dias úteis. Caso o agente queira um deságio de 0,05% ao ano, qual será valor da oferta de compra (COT) é o Preço Unitário (PU), sabendo que o valor nominal do título é R$ 1.000,00 e o fator de correção da SELIC no dia 22/06/2007 foi de 3,13473:
Resolução:
Curiosidade 
________________________________________________________________
Ao contrário das LTN que têm rendimento pré-fixado, as LFT são títulos pós-fixados, característica que os torna mais atrativos em um cenário de alta nas taxas de juros da economia._____________________________________________________________
EXERCÍCIOS
Qual o preço de compra em 07/05/2007 de uma LFT, com vencimento em 14/03/2008 (215 dias úteis), supondo que o fator acumulado da taxas SELIC desde a data-base do título até dia da liquidação da compra e de 3,122360 e o deságio pretendido é de 0,25% ao ano? – 3.115,7156
Considerem uma LFT, com a data de leilão em 21/06/2006 e a data de liquidação da compra em 22/06/2006. Como o vencimento é em 07/03/2016, observa-se um prazo de 1.521 dias úteis. Caso o agente queira um deságio de 0,15% ao ano, qual será valor da oferta de compra (COT) é o Preço Unitário (PU), sabendo que o valor nominal do título é R$ 1.000,00 e o fator de correção da SELIC no dia 22/06/2006 foi de 3,224589: - 3.195,5484
Qual o preço de compra em 12/05/2007 de uma LFT, com vencimento em 14/03/2009 (432 dias úteis), supondo que o fator acumulado da taxas SELIC desde a data-base do título até dia da liquidação da compra e de 3,125893 e o deságio pretendido é de 0,50% ao ano? – 3.099,2803
NTN (Notas do Tesouro Nacional)
São títulos, cujo valor de resgate (também chamado de valor nominal) é atualizado por quatro tipos de indexadores (IPCA, IGP-M, TR e variação cambial).
Pagam juros semestrais (chamados cupons) sobre o valor nominal atualizado (VNA). A cotação (COT), utilizada na fórmula do apreçamento, resulta em descontar o fluxo de pagamentos previstos (cupons periódicos mais o resgate final a serem pagos) pelo título. Assim como as LFT, podem ser adquiridas ao par, com ágio ou deságio em relação ao valor de face de R$ 1.000,00. 
Importante; Juros Semestrais: são calculados multiplicando a taxa de cupom prefixada pelo valor de face atualizado. Assim temos:
NTN – D 
Indexador: variação cambial
Taxa do cupom anual é nominal (taxa semestral = taxa anual ÷ por dois)
Prazo mínimo de três anos
Título Pós-fixado
Emitido pelo Tesouro Nacional para cobertura de déficit orçamentário, bem como para realização de operações de crédito por antecipação de receita.
NTN – B 
Indexador: IPCA
Taxa do cupom anual é efetiva (Taxa semestral é calculada exponencialmente)
Emitido pelo Tesouro Nacional para cobertura de déficit orçamentário, bem como para realização de operações de crédito por antecipação de receita.
NTN – C
Indexador: IGP-M
Taxa do cupom anual é efetiva (Taxa semestral é calculada exponencialmente)
Emitido pelo Tesouro Nacional para cobertura de déficit orçamentário, bem como para realização de operações de crédito por antecipação de receita.
NTN – H 
Indexador: TR
Taxa do cupom anual é efetiva (Taxa semestral é calculada exponencialmente)
Emitido pelo Tesouro Nacional para cobertura de déficit orçamentário, bem como para realização de operações de crédito por antecipação de receita
Representação gráfica do fluxo de caixa de uma operação com este título.
 						VNA corrigido pelo indexador + Cupom
 				Cupom calculado sobre VNA
																												 1	 2	 3 ........... n semestres
 PU
NTN-B (Notas do Tesouro Nacional série B)
As Notas do Tesouro Nacional série B rendem uma taxa de juro estipulada no momento da negociacao mais uma variacao do IPCA (Índices de Precos ao Consumidor Amplo), calculado pelo IBGE.
Estes papeis pagam cupons (C) semestrais calculados à taxa (ic) de 6% a.a (ou 2,9563% ao semestre) sobre o Valor Nominal Atualizado (VNA), sendo a correção feita pela variação do IPCA (para atualização do valor nominal do título, usa-se como referencia a data base de 15/07/2000, quando se considera que seu valor nominal era igual a R$ 1.000,00). Portanto, os cupons em certa data t são calculados por:
 
 
A data de pagamento de cada cupom é obtida pela contagem de forma retroativa de seis em seis meses a partir da data de vencimento do título. Vale observar que, na data de vencimento, existe pagamento do cupom e o resgate do principal.
CÁLCULO:
A negociação deste papel é feita por meio de uma cotação (COT), calculada como o valor presente do fluxo futuro dos cupons e descontado por uma taxa que expressa à rentabilidade desejada (r) para o papel. O valor presente assim calculado determinará o ágio ou deságio pretendido sobre o VNA, título. Observe na figura a seguir que, a cada semestre, existe um cupom de 2,9563% e no vencimento, caso o título seja negociado ao par , o investidor resgata 100% do valor de face.
Fluxo de Caixa para o Comprador de uma NTN-B
									100% + 2,9563%
 2,9563%
	 1 2 3 ................. n semestres
 PU
	Assim, para obter a cotação do papel, calcula-se o valor presente de um título cujo valor de resgate é 100 (no vencimento) e que paga juros semestrais de 6,0% ao ano (ou 2,9563 em cada semestre), como mostra a fórmula a seguir:
Onde:
Ct (t = 1, 2, ....., n) = é o valor do cupom.
Pn = é o valor de resgate novencimento do título.
dut = é o numero de dias úteis compreendidos entre a data de liquidação (da compra do papel), inclusive, e a data de pagamento do cupom, exclusive.
Sendo as casas decimais da cotação truncada em quatro casas decimais.
Na liquidação financeira do título, utiliza-se o preço de compra (com duas casas decimais), o qual é calculado pela multiplicação entre o VNA e a cotação – ou seja:
EXEMPLO:
Um investidor comprou uma NTN-B no dia 12/06/2007, com liquidação do negócio no dia 13/06/2007. O vencimento do título será em 15/11/2009. A tabela abaixo mostra os fluxos do investidor, sendo a cotação obtida pelo valor presente de tais fluxos, considerando uma taxa de desconto (rentabilidade desejada) igual a 7% ao ano.
O fator de correção do IPCA no período foi de 1,648346018 e o título possui um valor nominal de R$ 1.000,00.
	
	Data
	Fluxo de rendimento (%)
	Dias úteis até o pagamento
	Dias úteis ÷ 252
	Fluxo descontado (a 7% a.a)
	Liquidação
	13/06/07
	-
	-
	-
	-
	1º Cupom
	15/11/07
	2,9563
	108
	0,4286
	2,8718
	2º Cupom
	15/05/08
	2,9563
	230
	0,9127
	2,7793
	3º Cupom
	15/11/08
	2,9563
	361
	1,4325
	2,6832
	4º Cupom
	15/05/09
	2,9563
	483
	1,9167
	2,5967
	5º Cupom + Resgate
	15/11/09
	
	611
	2,4246
	87,3794
	Cotação (COT) =
	98,3104
EXERCÍCIOS:
Um investidor comprou uma NTN-B em um leilão do Tesouro Nacional. A tabela abaixo mostra os fluxos do investidor, sendo a cotação obtida pelo valor presente de tais fluxos, considerando uma taxa de desconto (rentabilidade desejada) igual a 12% ao ano. O fator de correção do IPCA no período foi de 1,743275288 e o título possui um valor nominal de R$ 1.000,00. Pede-se:
Preencha a tabela abaixo:
	
	Fluxo de rendimento (%)
	Dias úteis até o pagamento
	Dias úteis ÷ 252
	Fluxo descontado (a 7% a.a)
	Liquidação
	-
	-
	-
	-
	1º Cupom
	2,9563
	115
	0,4563
	2,8073
	2º Cupom
	2,9563
	243
	0,9643
	2,6503
	3º Cupom
	2,9563
	347
	1,3770
	2,5292
	4º Cupom
	2,9563
	469
	1,8611
	2,3941
	5º Cupom 
	2,9563
	591
	2,3452
	2,2663
	6º Cupom
	2,9563
	719
	2,8532
	2,1395
	7º Cupom + Resgate
	102,9563
	859
	3,4087
	69,9652
	Cotação 
	84,7519
Determine a cotação do papel – COT (84,7519)
Determine o Valor Nominal Atualizado – VNA (1.743,275288)
Determine o preço unitário – PU ($ 1.477,46)
A compra de uma NTN-B apresentou as seguintes características:
Valor nominal: $ 1.000,00
IPCA no período: 1,385845231
Cupom de 6% ao ano, pago semestralmente
Dias úteis até o vencimento: 130, 232, 378, 432, 560, 627.
Taxa de retorno exigido pelo investidor: 8% ao ano.
Determine:
A taxa semestral – 2,9563% a.s
O Valor Nominal Atualizado – VNA (1.385,845231)
A cotação do papel – COT (98,3260)
O preço unitário – PU ($ 1.632,65)
NTN-F (Notas do Tesouro Nacional série F)
A NTN-F é um título pré-fixado, em que não existe atualização do valor nominal – ou seja, o valor de resgate no vencimento é igual a R$ 1.000,00.
Além disso, prevê pagamento de um cupom semestral (C), sendo este calculado à taxa de 10% ao ano sobre o valor nominal de R$ 1.000,00. Como a taxa do cupom está ao ano, é preciso transformá-la para semestral para, calcular o montante a ser recebido pelo investidor. Verifique:
Para definição das datas de pagamento do cupom, observa-se a data de vencimento do papel e volta-se retrospectivamente no calendário, de seis em seis meses. Por exemplo, uma NTN-F com vencimento no dia 01/07/2010, tem pagamentos de cupom nos dias 02/01 01/07 dos anos que esteja em vigor. No vencimento do papel, o investidor recebe o pagamento de cupom, além de resgatar o valor nominal do título (igual a R$ 1.000,00).
Verifique seu fluxo de caixa baixo. 
 	Fluxo de Caixa para o Comprador de uma NTN-F
									1.000 + 48,81
 Cupom semestral de R$ 48,81
	 1 2 3 ................. n semestres
 Pu
Veja, mediante reserva vagem, a rentabilidade desse título é dada pela taxa interna de retorno associada aos frutos de pagamentos futuros. 
Exemplo
Em 21/06/2007, um investidor comprou um NTN-F com vencimento em 01/07/2010 visando um rendimento de 10,54% a.a. Nessas condições, o preço (Po) a ser pago no dia da liquidação (22/06/2007) será igual ao valor presente dos fluxos futuros de caixa do título, descontados a taxa de 10,54% ao ano., considerando o prazo de pagamento de cada cupom, du ( calculada pela quantidade de dias úteis entre a data de liquidação, inclusive, e a data de vencimento deste cupom, exclusive). 
Resolução:
	
	Data
	Fluxo de Caixa (FC) em R$
	Dias úteis até o pagamento
	Fluxo descontado (a 10,54% a.a)
	Liquidação
	22/06/2007
	-
	-
	-
	1º Cupom
	01/07/2007
	48,81
	5
	48,71
	2º Cupom
	01/01/2008
	48,81
	131
	46,35
	3º Cupom
	01/07/2008
	48,81
	254
	44,15
	4º Cupom
	01/01/2009
	48,81
	385
	41,93
	5º Cupom 
	01/07/2009
	48,81
	507
	39,96
	6º Cupom
	01/01/2010
	48,81
	635
	37,99
	7º Cupom + Resgate
	01/07/2010
	1048,81
	758
	777,78
	Preço de Compra =
EXERCÍCIOS:
Um investidor comprou um NTN-F visando um rendimento de 9,85% a.a. Nessas condições, o preço (Po) a ser pago no dia da liquidação (22/06/2007) será igual ao valor presente dos fluxos futuros de caixa do título, descontados a taxa de 9,85% ao ano., considerando o prazo de pagamento de cada cupom, �u ( calculada pela quantidade de dias úteis entre a data de liquidação, inclusive, e a data de vencimento deste cupom, exclusive).
	
	Data
	Fluxo de Caixa (FC) em R$
	Dias úteis até o pagamento
	Fluxo descontado (a 9,85% a.a)
	Liquidação
	22/06/2007
	-
	-
	-
	1º Cupom
	01/07/2007
	48,81
	9
	48,64
	2º Cupom
	01/01/2008
	48,81
	231
	44,78
	3º Cupom
	01/07/2008
	48,81
	354
	42,78
	4º Cupom
	01/01/2009
	48,81
	485
	40,74
	5º Cupom 
	01/07/2009
	48,81
	607
	38,93
	6º Cupom
	01/01/2010
	48,81
	735
	37,11
	7º Cupom + Resgate
	01/07/2010
	1048,81
	858
	761,70
	Preço de Compra
	R$ 1.014,68
A compra de uma NTN-F apresentou as seguintes características:
Valor nominal: $ 1.000,00
Cupom de 10% ao ano, pago semestralmente
Dias úteis até o vencimento: 130, 232, 378, 432, 560, 627.
Taxa de retorno exigido pelo investidor: 9% ao ano.
Determine:
A taxa semestral – 4,8808% a.s
O cupom do papel – C ($ 48,81)
O preço unitário – PU ($ 1.063,48)
Retorno Esperado até o Vencimento ou YTM, “yield to maturity”.
 YIELD TO MATURITY - Taxa de retorno até o vencimento de um título de renda fixa, que leva em consideração o total dos pagamentos periódicos de juros, o preço de compra, o valor de resgate e o tempo que falta até o prazo de vencimento da obrigação. É o indicador de rendimento mais utilizado para títulos de renda fixa.
Alguém poderia perguntar: se eu comprar uma obrigação X por R$800,00, quanto obterei de rendimento? A resposta é a Yield to Maturity, que é a taxa interna de retorno do fluxo de caixa correspondente à obrigação. Também podemos dizer que é a taxa que, se utilizada para descontar o fluxo de caixa, apura um valor presente líquido igual a zero.
Como estender esta análise:
Exemplo 1: Dadas as taxas anuais à vista, o quanto deve custar um bônus com prazo de dois anos, cupom de 5% e valor de face R$1.000? 
Como calcular uma única taxa para todo o título? Esta taxa é chamada de Taxa de Retorno Esperado até o vencimento ou YTM, “yield to maturity”. 
O procedimento para encontrar o retorno esperado até o vencimento é: 
A partir das taxas à vista, encontre o VP do título,
2) A partir do valor do título encontrado no passo anterior considere uma única taxa de juros para descontar todos os fluxos futuros e calcule o retorno esperado até o vencimento. O fluxo de caixa de um títulodesses é mostrado a seguir: 
 																8%	 50		 1050														 															0		1		2						
					 10%							
Calculamos o Valor Presente do título:					
A partir do preço do título que acabamos de calcular, resolvemos a equação que representa o fluxo de caixa considerando a existência de apenas uma taxa em todos os prazos. 
Geralmente a YTM tem que ser obtido iterativamente. Note que YTM nada mais é que a TIR (taxa interna de retorno) do título. Note que o retorno esperado até o vencimento é uma espécie de média ponderada das taxas à vista, e o peso da ponderação depende da proporção de dinheiro em cada período futuro. Logo, neste caso notamos que o retorno esperado até o vencimento está bem próximo da taxa à vista para dois anos, pois a maior parte dos pagamentos ocorrerá no instante 2. 
Exemplo 2:
Considere as mesmas taxas à vista que no exemplo 1. Encontre o retorno esperado até o vencimento de um título com prazo de dois anos, valor de face R$ 1.000 e cupom de 12%. 
Solução: O primeiro passo é calcular o preço do título dado às taxas à vista. 
Em seguida usamos o preço deste título para encontrar o YTM.
	Acabamos de ver que: Dois títulos com o mesmo prazo de vencimento geralmente terão retornos esperados (“yields”) diferentes caso seus cupons sejam diferentes!
Exemplo 3:
Um título negociado no mercado tem as seguintes características:
Valor de face: R$ 1.000,00
Prazo de vencimento: 2 anos 
Cupons de 8% ao ano, pagos proporcionalmente ao semestre (4% ao semestre)
Valor Presente: R$ 752,36
DETERMINE:
A YTM
EXERCÍCIOS:
1) Um Bond disponível no mercado possui as seguintes características:
• Valor de Face: R$1.000,00; • Prazo de vencimento: 5 anos;
• Cupons de 12% ao ano, pagos semestralmente (4% por semestre);
a) Calcule o preço de mercado dessa obrigação para as seguintes taxas de retorno exigidas semestralmente: 8%, 10% e 6%.
Calcule o YTM para cada preço de mercado.
2) Uma obrigação de logo prazo paga cupom de 12% a.a com rendimentos proporcionais semestrais. A maturidade do título é de 10 anos. O preço de negociação do título no mercado é de R$ 1.015,20, e seu valor de face é de R$ 1.000,00. Determine a rentabilidade efetiva (YTM) desse título. 5,87% a.s
3) Dadas as taxas anuais à vista, o quanto deve custar o bônus (PV) e a rentabilidade efetiva (YTM) desse título com prazo de cinco anos, cupom de 13% e valor de face R$1.000? 
Ano 1: 8%; Ano 2: 15%; Ano 3: 12%; Ano 4: 10%; Ano 5: 9%
DETERMINE A YTM
Um título negociado no mercado tem as seguintes características:
Valor de face: R$ 1.000,00; Prazo de vencimento: 2 anos 
Cupons de 8% ao ano, pagos proporcionalmente ao semestre (4% ao semestre)
Valor Presente: R$ 752,36
Um título público está sendo negociado com um deságio de 34% em relação ao seu valor de face (R$ 1.000). O título foi emitido pagando juros semestrais de 5%, e tem ainda uma duração de três anos até o seu vencimento. Calcular a rentabilidade efetiva (YTM) oferecida ao investidor deste título no semestre e no ano.
Admita um título com valor de face de R$ 1.000, maturidade de 2 anos, e cupom igual a 13% a.a com pagamento semestral de juros. Este título está negociado no mercado atualmente por R$ 1.019,27. Determine o retorno auferido pelo investidor se levar o título até o vencimento (YTM).
Por serem títulos pré-fixados, as LTNs são alternativas de investimento bastante atrativas em cenários de queda das taxas de juro. Note que quanto menor a taxa de juro, maior será o preço do título.