Prova 2 Ketty 1s2014

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1. (1.0 pontos)
Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias em torno de x0 = 0 da func¸a˜o
x2
(1 + x3)2
Sugesta˜o:
d
dx
1
1 + x3
2. (3.0 pontos)
(a) (1.5) Para o seguinte sistema linear homogeˆneo de e.d.o.’s:
x0(t) =
 
3 �4
4 3
!
x(t)
i. Prove que os autovalores sa˜o 3± 4i e encontre os autovetores.
ii. Encontre a soluc¸a˜o geral (real) do sistema linear homogeˆneo de e.d.o.’s
(b) (1.5) Encontre a soluc¸a˜o geral (real) do sistema linear na˜o-homogeˆneo utilizando o
me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros (indicando claramente a matriz fundamental)
Note que o sistema homogeˆneo associado esta´ descrito acima na parte (a) desta
questa˜o.
x0(t) =
 
3 �4
4 3
!
x(t) +
 
e3t
5e3t
!
3. (3.0 pontos)
(a) (0.5) Mostre que x = 0 e´ um ponto ordina´rio para a equac¸a˜o
y00 � x2y0 � 3xy = 0
(b) (0.8) Prove que c2 = 0 e que a fo´rmula de recorreˆncia da equac¸a˜o em (a) e´
cn+3 =
cn
(n+ 2)
para n � 0.
(c) (0.8) A partir da relac¸a˜o de recorreˆncia determine a fo´rmula para o coeficiente
geral da soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
(d) (0.4) Identifique as duas soluc¸o˜es em se´ries de poteˆncias em torno de x = 0, lin-
earmente independentes e determine um raio mı´nimo de convergeˆncia. Justifique.
(e) (0.5) Encontre a soluc¸a˜o com os dados iniciais y(0) = 2 e y0(0) = 3.
2
4. (3.0 pontos)
(a) (0.3) Apresente a extensa˜o par e perio´dica de per´ıodo P = 2 da func¸a˜o f(x) = 1
onde 0 < x < 1 e esboce o gra´fico no intervalo �1 < x < 1.
(b) (0.7) Encontre a se´rie de Fourier da func¸a˜o acima.
(c) (2.0) Usando separac¸a˜o de varia´veis encontrar a soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o do
calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema8><>:
ut = uxx, 0 < x < 1, t > 0
ux(0, t) = 0, ux(1, t) = 0, t � 0
u(x, 0) = f(x), 0  x  1
onde f e´ a func¸a˜o definida no item (a).
3
1. (1.0 pontos) Encontre o intervalo de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias (teste os ex-
tremos):
1X
n=1
(�1)n
n3n
(x� 2)2n.
2. (3.0 pontos)
(a) (1.0) Para o seguinte sistema linear homogeˆneo de e.d.o.’s:
x0(t) =
 
1 2
2 �2
!
x(t)
i. Prove que os autovalores sa˜o �3 e 2 e encontre os autovetores.
ii. Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema linear homogeˆneo de e.d.o.’s
(b) (1.5) Encontre a soluc¸a˜o geral (real) do sistema linear na˜o-homogeˆneo utilizando o
me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros (indicando claramente a matriz fundamental)
Note que o sistema homogeˆneo associado esta´ descrito acima na parte (a) desta
questa˜o.
x0(t) =
 
1 2
2 �2
!
x(t) +
 
5e2t
5e3t
!
(c) (0.5) Encontre a soluc¸a˜o do sistema na˜o-homogeˆneo com dado inicial
x(0) =
 
1
1
!
3. (3.0 pontos)
(a) (0.5) Mostre que x = 0 e´ um ponto singular regular para a equac¸a˜o
2xy00 � y0 � y = 0
(b) (0.3) Determine as ra´ızes da equac¸a˜o indicial.
(c) (0.7) Prove que a fo´rmula de recorreˆncia e´:
an =
an�1
(n+ r)(2n+ 2r � 3)
para n � 1.
(d) (0.8) A partir da relac¸a˜o de recorreˆncia encontre a fo´rmula para o coeficiente geral
da soluc¸a˜o da equac¸a˜o correspondente a` maior raiz. Escreva a soluc¸a˜o em se´rie
de Frobenius, correspondente a` maior raiz, em torno de x = 0.
(e) (0.3) Qual o raio mı´nimo desta soluc¸a˜o?
(f) (0.4) Escreva os quatro primeiros termos na˜o-nulos da soluc¸a˜o correspondente a`
maior raiz.
2
4. (3.0 pontos)
(a) (0.3) Apresente a extensa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo P = 2 da func¸a˜o f(x) = 1
onde 0 < x < 1 e esboce o gra´fico no intervalo �1 < x < 1.
(b) (0.7) Encontre a se´rie de Fourier da func¸a˜o acima.
(c) (0.2) Esboce o gra´fico (no intervalo �3 < x < 3) da func¸a˜o para a qual a se´rie de
Fourier converge. (Sugesta˜o: Use o Teorema de Covergeˆncia de Fourier).
(d) (1.8) Usando separac¸a˜o de varia´veis encontrar a soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o do
calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema8><>:
ut = uxx, 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t � 0
u(x, 0) = f(x), 0  x  1
onde f e´ a func¸a˜o descrita no item (a).
3
1. (1.0 pontos)
(a) (0.7) Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias em torno de a = 0 da
func¸a˜o x5 arctan x2. Sugesta˜o: arctanx =
R 1
1+x2 .
(b) (0.3) Qual e´ o raio de convergeˆncia desta se´rie? Explique.
2. (3.0 pontos)
(a) (1.5) Para o seguinte sistema linear homogeˆneo de e.d.o.’s:
x0(t) =
 
1 �3
3 7
!
x(t)
i. Prove que o autovalor e´ 4 com multiplicidade dois.
ii. Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema linear homogeˆneo de e.d.o.’s
(b) (1.5) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema linear na˜o-homogeˆneo utilizando o
me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros (indicando claramente a matriz fundamen-
tal) Note que o sistema homogeˆneo associado esta´ descrito acima na parte (a)
desta questa˜o.
x0(t) =
 
1 �3
3 7
!
x(t) +
 
(t2 + 4t)e4t
(t3 � 1)e4t
!
3. (3.0 pontos)
(a) (0.5) Mostre que x = 0 e´ um ponto ordina´rio para a equac¸a˜o
(x2 � 1)y00 � 6xy0 + 12y = 0
(b) (0.8) Prove que a fo´rmula de recorreˆncia da equac¸a˜o em (a) e´
an+2 =
(n� 4)(n� 3)an
(n+ 2)(n+ 1)
para n � 0.
(c) (0.8) A partir da relac¸a˜o de recorreˆncia determine a fo´rmula para o coeficiente
geral da soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
(d) (0.4) Identifique as duas soluc¸o˜es por se´ries em torno de x = 0 que sa˜o linearmente
independentes e determine um raio mı´nimo de convergeˆncia. Justifique.
(e) (0.5) Encontre a soluc¸a˜o com os dados iniciais y(0) = 2 e y0(0) = 3.
2
4. (3.0 pontos)
(a) (0.5) Apresente a extensa˜o par e perio´dica de per´ıodo P = 4 da func¸a˜o
f(x) =
(
x, 0  x < 1
0, 1 < x < 2
(b) (1.5) Encontre a se´rie de Fourier da func¸a˜o acima.
(c) (1.0) Utilize a se´rie de Fourier em (b) e encontre a soma da seguinte se´rie:
1X
k=1
k impar
1
k2
. (Sugesta˜o: use o Teorema de Convergeˆncia de Fourier em x = 1.)
3