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Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 2
Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 2
Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes
julio.lombaldo@ufrgs.br
Semana 6: 12 - 16 de Novembro de 2012
Prof: Julio Cesar Lombaldo Fernandes julio.lombaldo@ufrgs.br Ca´lculo Nume´rico 2012/02 - Turma E1 - A´rea 2
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Derivac¸a˜o Nume´rica:
Consiste em aproximarmos dydx por
dpn
dx , onde evidentemente
y(x) ≈ pn(x).
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Caso de pontos igualmente espac¸ados:
Sabemos que neste caso a interpolac¸a˜o polinomial nos fornece
pn(x) = y0 +
4y0
1!h
(x − x0) + 4
2y0
2!h2
(x − x0)(x − x1) + ...
+
4ny0
n!hn
(x − x0)(x − x1)...(x − xn−1)
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
ou ainda que
pn(q) = y0+4y0q+4
2y0
2!
q(q−1)+...+4
ny0
n!
q(q−1)(q−2)...(q−n+1)
onde q = x−x0h .
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
enta˜o, ao derivarmos, teremos que
dpn
dx
(x) =
dpn
dq
dq
dx
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
como q = x−x0h , temos
dq
dx
=
1
h
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
assim...
dpn
dx
(x) =
dpn
dq
dq
dx
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
assim...
dpn
dx
(x) =
dpn
dq
dq
dx︸︷︷︸
1
h
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
assim...
dpn
dx
(x) =
dpn
dq
1
h
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
por outro lado, temos
dpn
dq
= 4y0 +42y0(q − 1
2
) +43y0(q
2
2
− q + 1
3
) + ...
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
por fim, a aproximac¸a˜o para a primeira derivada neste caso sera´
dada por
dpn
dx
=
1
h
[
4y0 +42y0(q − 1
2
) +43y0(q
2
2
− q + 1
3
) + ...
]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
e para derivadas de ordem maior?
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Caso queiramos aproximar a derivada de ordem 2, isto e´, d
2pn
dx2
(x),
faremos
d
dx
(
dpn
dx
)
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
que neste caso e´ ...
d2
dx2
pn =
d
dx
(
dpn
dx
)
=
d
dx
(
dpn
dq
dq
dx
)
=
(
d
dx
dpn
dq
)
dq
dx
+
dpn
dq
 ddx dqdx︸ ︷︷ ︸
=0

=
(
d
dq
dq
dx
dpn
dq
)
dq
dx
=
1
h2
(
d
dq
dpn
dq
)
=
1
h2
d2pn
dq2
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Assim, a aproximac¸a˜o para a segunda derivada sera´ dada por
d2pn
dx2
=
1
h2
[42y0 +43y0(q − 1)]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Exemplo 1:
Calcule o valor aproximado de f ′(5) e de f ′′(5) para o conjunto de
dados experimentais abaixo usando uma aproximac¸a˜o de terceira
ordem para a derivada.
xi 2 4 6 8 10
yi 1 2 5 4 8
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Neste caso, temos que
h = xi+1 − xi = 2
e para a primeira derivada, usando grau treˆs, temos
dpn
dq
= 4y0 +42y0(q − 1
2
) +43y0(q
2
2
− q + 1
3
)
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
A tabela de diferenc¸as simples neste caso fica
i xi yi 4yi 42yi 43yi
0 2 1 1 2 -6
1 4 2 3 -4
2 6 5 -1
3 8 4
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Substituindo os valores das diferenc¸as, temos como aproximac¸a˜o
para a primeira derivada...
p′3(q) =
1
h
[
4y0 +42y0(q − 1
2
) +43y0(q
2
2
− q + 1
3
)
]
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No´s equidistantes
Substituindo os valores das diferenc¸as, temos como aproximac¸a˜o
para a primeira derivada...
p′3(q) =
1
h
[
1 + 2(q − 1
2
)− 6(q
2
2
− q + 1
3
)
]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Substituindo o valor do espac¸amento h = 2, temos
p′3(q) =
1
2
[
1 + 2(q − 1
2
)− 6(q
2
2
− q + 1
3
)
]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Queremos aproximar em x = 5, logo
q =
x − x0
h
⇒ q = 5− 2
2
=
3
2
= 1.5
Assim,
p′3(q)|q=1.5 = p′3(x)|x=5
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Enta˜o,
p′3(1.5) =
1
2
[
1 + 2(1.5− 1
2
)− 6((1.5)
2
2
− 1.5 + 1
3
)
]
=
13
8
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Agora, substituindo os valores das diferenc¸as, temos como
aproximac¸a˜o para a segunda derivada...
p′′3 (q) =
1
h2
[42y0 +43y0(q − 1)]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Substituindo os valores das diferenc¸as, temos como aproximac¸a˜o
para a segunda derivada...
p′′3 (q) =
1
h2
[2− 6(q − 1)]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Substituindo o valor do espac¸amento h = 2, temos
p′3(q) =
1
22
[2− 6(q − 1)]
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No´s equidistantes
Queremos aproximar em x = 5, logo
q =
x − x0
h
⇒ q = 5− 2
2
=
3
2
= 1.5
Assim,
p′′3 (q)|q=1.5 = p′′3 (x)|x=5
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Enta˜o,
p′′3 (1.5) =
1
22
[2− 6(1.5− 1)]
=
−1
4
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Exemplo 2:
Aproxime f ′(1.45) e de f ′′(1.45) para o conjunto de dados
experimentais abaixo usando uma aproximac¸a˜o de terceira ordem
para as derivadas.
xi 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
yi 3.3201 4.0551 4.9530 6.0496 7.3890
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Neste caso, temos que
h = xi+1 − xi = 0.2
e para a primeira derivada, usando grau treˆs, temos
dpn
dq
= 4y0 +42y0(q − 1
2
) +43y0(q
2
2
− q + 1
3
)
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
A tabela de diferenc¸as simples neste caso fica
i xi yi 4yi 42yi 43yi
0 1.2 3.3201 0.7350 0.1629 0.0358
1 1.4 4.0551 0.8979 0.1987
2 1.6 4.9530 1.0966
3 1.8 6.0496
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No´s equidistantes
Substituindo os valores das diferenc¸as, temos como aproximac¸a˜o
para a primeira derivada...
p′3(q) =
1
h
[
4y0 +42y0(q − 1
2
) +43y0(q
2
2
− q + 1
3
)
]
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No´s equidistantes
Substituindo os valores das diferenc¸as, temos como aproximac¸a˜o
para a primeira derivada...
p′3(q) =
1
h
[
0.735 + 0.1629(q − 1
2
) + 0.0358(
q2
2
− q + 1
3
)
]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Substituindo o valor do espac¸amento h = 2, temos
p′3(q) =
1
0.2
[
0.735 + 0.1629(q − 1
2
) + 0.0358(
q2
2
− q + 1
3
)
]
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No´s equidistantes
Queremos aproximar em x = 1.45, logo
q =
x − x0
h
⇒ q = 1.45− 1.2
0.2
= 1.25
Assim,
p′3(q)|q=1.25 = p′3(x)|x=1.45
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Enta˜o,
p′3(1.25) =
1
0.2
[
0.735 + 0.1629(1.25− 1
2
)
+ 0.0358(
1.252
2
− 1.25 + 1
3
)
]
= 4.2616
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No´s equidistantes
Substituindo os valores das diferenc¸as, temos como aproximac¸a˜o
para a segunda derivada...
p′′3 (q) =
1
h2
[42y0 +43y0(q − 1)]
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No´s equidistantes
Substituindo os valores das diferenc¸as, temos como aproximac¸a˜o
para a segunda derivada...
p′′3 (q) =
1
h2
[0.1629 + 0.0358(q − 1)]
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No´s equidistantes
Substituindo o valor do espac¸amento h = 0.2, temos
p′3(q) =
1
0.22
[0.1629 + 0.0358(q − 1)]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Queremos aproximar em x = 1.45, logo
q =
x − x0
h
⇒ q = 1.45− 1.2
0.2
= 1.25
Assim,
p′′3 (q)|q=1.25 = p′′3 (x)|x=1.45
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No´s equidistantes
Enta˜o,
p′′3 (1.25) =
1
0.22
[0.1629 + 0.0358(1.25− 1)]
= 4.2962
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
No entanto, neste segundo exemplo, estamos tratando de uma
func¸a˜o conhecida. Pois a tabela
xi 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
yi 3.3201 4.0551 4.9530 6.0496 7.3890
representa dados da func¸a˜o
f (x) = ex
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Portanto aqui, podemos analisar o erro. Como
f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex ⇒ f ′′(x) = ex
enta˜o ...
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
Ao aproximarmos f ′(1.45), tivemos como resultado
p′3(1.45) = 4.2616
e paraao aproximarmos f ′′(1.45), tivemos como resultado
p′′3 (1.45) = 4.2962
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s equidistantes
O erro nestes casos enta˜o sera´ de
|p′3(1.45)− e1.45| = |4.2616− 4.2631| ≈ 0.0015
|p′′3 (1.45)− e1.45| = |4.2962− 4.2631| ≈ 0.03308
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Derivac¸a˜o Nume´rica
Estimativa de Erro
Estimativa de Erro por truncamento:
Como consideramos o erro da aproximac¸a˜o de ordem n por
En(x) = f (x)− pn(x)
Vamos considerar o erro da aproximac¸a˜o da primeira derivada de
ordem n por
E ′n(x) = f
′(x)− p′n(x)
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Derivac¸a˜o Nume´rica
Estimativa de Erro
Sabemos que
f (x)− pn(x) = q(q − 1)(q − 2)...(q − n)hn+1 f
(n+1)(ξ)
(n + 1)!
para ξ ∈ (x0, xn).
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Derivac¸a˜o Nume´rica
Estimativa de Erro
Sendo assim, o erro referente a derivada e´
f ′(x)− p′n(x)︸ ︷︷ ︸
E ′n(x)
=
1
h
d
dq
[
q(q − 1)(q − 2)...(q − n)hn+1 f
(n+1)(ξ)
(n + 1)!
]
para ξ ∈ (x0, xn).
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Derivac¸a˜o Nume´rica
Estimativa de Erro
Ou ainda que
f ′(x)− p′n(x)︸ ︷︷ ︸
E ′n(x)
=
hn+1
h
1
(n + 1)!
d
dq
[
q(q − 1)(q − 2)...(q − n)f (n+1)(ξ)
]
para ξ ∈ (x0, xn).
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Derivac¸a˜o Nume´rica
Estimativa de Erro
Ou ainda que
f ′(x)− p′n(x)︸ ︷︷ ︸
E ′n(x)
=
hn+1
h
1
(n + 1)!
d
dq
[
q(q − 1)(q − 2)...(q − n)f (n+1)(ξ)
]
para ξ ∈ (x0, xn).
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Derivac¸a˜o Nume´rica
Estimativa de Erro
Ou ainda que
f ′(x)− p′n(x)︸ ︷︷ ︸
E ′n(x)
=
hn
(n + 1)!
d
dq
[
q(q − 1)(q − 2)...(q − n)f (n+1)(ξ)
]
para ξ ∈ (x0, xn).
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Estimativa de Erro
Ou ainda que
E ′n(x) =
hn
(n + 1)!
d
dq
[
q(q − 1)(q − 2)...(q − n)f (n+1)(ξ)
]
=
hn
(n + 1)!
[
d
dq
{q(q − 1)(q − 2)...(q − n)}f (n+1)(ξ)
+ q(q − 1)(q − 2)...(q − n) d
dq
f (n+1)(ξ)
]
para ξ ∈ (x0, xn).
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Derivac¸a˜o Nume´rica
Estimativa de Erro
Caso queiramos aproximar em algum dos no´s de interpolac¸a˜o,
teremos que o erro sera´
E ′n(x) =
hn
(n + 1)!
d
dq
[
q(q − 1)(q − 2)...(q − n)f (n+1)(ξ)
]
=
hn
(n + 1)!
[
d
dq
{q(q − 1)(q − 2)...(q − n)}f (n+1)(ξ)
+ q(q − 1)(q − 2)...(q − n) d
dq
f (n+1)(ξ)
]
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Estimativa de Erro
Caso queiramos aproximar em algum dos no´s de interpolac¸a˜o,
teremos que o erro sera´
E ′n(x) =
hn
(n + 1)!
d
dq
[
q(q − 1)(q − 2)...(q − n)f (n+1)(ξ)
]
=
hn
(n + 1)!
[
d
dq
{q(q − 1)(q − 2)...(q − n)}f (n+1)(ξ)
+ q(q − 1)(q − 2)...(q − n)︸ ︷︷ ︸
=0
d
dq
f (n+1)(ξ)

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Estimativa de Erro
Caso queiramos aproximar em algum dos no´s de interpolac¸a˜o,
teremos que o erro sera´
E ′n(x) =
hn
(n + 1)!
d
dq
[
q(q − 1)(q − 2)...(q − n)f (n+1)(ξ)
]
=
hn
(n + 1)!
[
d
dq
{q(q − 1)(q − 2)...(q − n)}f (n+1)(ξ)
]
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Estimativa de Erro
Exemplo 3:
Sejam y0, y1, y2, y3, y4 valores de y(x) em x0, x1, x2, x3, x4. Qual
seria o erro por truncamento ao aproximarmos y ′(x2) usando
polinoˆmio interpolador de ordem 4?
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Estimativa de Erro
Primeiramente, podemos fazer a mudanc¸a de varia´vel (x → q),
como sendo
q =
x − x0
h
=
x2 − x0
h
=
x0 + 2h − x0
h
=
2h
h
= 2
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Enta˜o, o erro sera´
E ′4(x) =
h4
(4 + 1)!
[
d
dq
{q(q − 1)(q − 2)...(q − n)}y (4+1)(ξ)
]
q=2
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Logo...
E ′4(x) =
h4
5!
y (5)(ξ) [q(q − 1)(q − 3)(q − 4)]q=2
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Estimativa de Erro
Logo...
E ′4(x) =
h4
5!
y (5)(ξ) [2(2− 1)(2− 3)(2− 4)]
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Como temos no´s equidistantes, aproximamos
y (5)(ξ) ≈ 4
5y0
h5
assim,
E ′4(x) ≈
h4
5!
45y0
h5
[2(2− 1)(2− 3)(2− 4)]
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E ′4(x) ≈
45y0
5!h
[4]
=
445y0
120h
=
45y0
30h
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Estimativa de Erro
E quanto ao erro da segunda derivada?
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Estimativa de Erro
Vamos supor que temos apenas 3 no´s e que podemos expressar a
derivada segunda como uma combinac¸a˜o linear destes no´s. Logo
d2y
dx2
= a0y0 + a1y1 + a2y2
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Estimativa de Erro
Agora, expandindo por se´rio de Taylor a func¸a˜o desconhecida y(x)
em torno de um ponto xk , temos que
y(x) = y(xk)+y
′(xk)(x−xk)+ 1
2!
y ′′(xk)(x−xk)2+ 1
3!
y ′′′(xk)(x−xk)3+...
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Agora, expandindo por se´rio de Taylor a func¸a˜o desconhecida y(x)
em torno de um ponto xk , temos que
y(x) = y(xk)+y
′(xk)(x−xk)+ 1
2!
y ′′(xk)(x−xk)2+ 1
3!
y ′′′(xk)(x−xk)3+...
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Enta˜o, vamos supor se deseja aproximar a segunda derivada em
um dos no´s, digamos x1, logo definimos xk = x1 e teremos que
y(x) = y(x1)+y
′(x1)(x−x1)+ 1
2!
y ′′(x1)(x−x1)2+ 1
3!
y ′′′(x1)(x−x1)3+...
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Assim,
y0 = y(x0)
y1 = y(x1)
y2 = y(x2)
e usando a expansa˜o em Taylor, segue que
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y0 = y(x1) + y
′(x1)(x0 − x1) + 1
2!
y ′′(x1)(x0 − x1)2 + ...
y1 = y(x1) + y
′(x1)(x1 − x1) + 1
2!
y ′′(x1)(x1 − x1)2 + ...
y2 = y(x1) + y
′(x1)(x2 − x1) + 1
2!
y ′′(x1)(x2 − x1)2 + ...
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Estimativa de Erro
y0 = y(x1) + y
′(x1)(x0 − x1) + 1
2!
y ′′(x1)(x0 − x1)2 + ...
y1 = y(x1) + y
′(x1)(x1 − x1) + 1
2!
y ′′(x1)(x1 − x1)2 + ...
y2 = y(x1) + y
′(x1)(x2 − x1) + 1
2!
y ′′(x1)(x2 − x1)2 + ...
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Estimativa de Erro
y0 = y(x1) + y
′(x1)(x0 − x1) + 1
2!
y ′′(x1)(x0 − x1)2 + ...
y1 = y(x1)
y2 = y(x1) + y
′(x1)(x2 − x1) + 1
2!
y ′′(x1)(x2 − x1)2 + ...
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Agora, substituindo y0, y1, y2 em
d2y
dx2
= a0y0 + a1y1 + a2y2
teremos que
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d2y
dx2
(x1) = a0y0 + a1y1 + a2y2
= (a0 + a1 + a2)y1 + (−a0 + a2)hy ′(x1) + (a0 + a2)
2
h2y ′′(x1)
+
(−a0 + a2)
6
h3y ′′′(x1) +
(a0 + a2)
24
h4y (4)(x1) + ...
Considerando a aproximac¸a˜o de ordem mais alta neste caso...
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a0 + a1 + a2 = 0
−a0 + a2 = 0
a0 + a2 =
2
h2
Logo, a0 = a2 =
1
h2
e a1 = − 2h2 .
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Sendo assim, podemos substituir os coeficientes e teremos
a0y0 +a1y1 +a2y2 =
y0 − 2y1 + y2
h2
=
d2y
dx2
(x1) +
1
12
h2
d4y
dx4
(x1) + ...
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Estimativa de Erro
Logo, isolando o termo da segunda derivada em x1, teremos
d2y
dx2
(x1) =
y0 − 2y1 + y2
h2
− 1
12
h2
d4y
dx4
(x1) + ...
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Estimativa de Erro
Logo, isolando o termo da segunda derivada em x1, teremos
d2y
dx2
(x1) =
y0 − 2y1 + y2
h2
− 1
12
h2
d4y
dx4
(x1) + ...
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Estimativa de Erro
Neste caso, os demais termos (em vermelho) sa˜o a diferenc¸a entre
o valor exato da derivada segunda e da aproximac¸a˜o da derivada
segunda. Podemos dizer que existe um ξ ∈ (x0, x2) tal que
E ′′2 (x) =
1
12
h2
d4y
dx4
(ξ)
Logo,
E ′′2 (x) ≈
1
12
h2
d4y
dx4
(x)
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Algumas Fo´rmulas de Aproximac¸a˜o para a primeira derivada
e respectivos erros por truncamento (E ′):
2 pontos:
[
y ′0 =
y1 − y0
h
, E ′ ≈ −h
2
y ′′0
]
e
[
y ′1 =
y1 − y0
h
, E ′ ≈ h
2
y ′′1
]
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Estimativa de Erro
Algumas Fo´rmulas de Aproximac¸a˜o para a primeira derivada
e respectivos erros por truncamento (E ′):
3 pontos:
[
y ′0 =
−y2 + 4y1 − 3y0
2h
, E ′ ≈ −h
2
3
y ′′′0
]
,
[
y ′1 =
y2 − y1
2h
, E ′ ≈ h
2
6
y ′′′1
]
[
y ′2 =
3y2 − 4y1 + y0
2h
, E ′ ≈ h
2
3
y ′′′2
]
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Algumas Fo´rmulas de Aproximac¸a˜o para a primeira derivada
e respectivos erros por truncamento (E ′):
4 pontos:[
y ′0 =
2y3 − 9y2 + 18y1 − 11y0
6h
, E ′ ≈ −h
3
4
y
(4)
0
]
[
y ′1 =
−y3 + 6y2 − 3y1 − 2y0
6h
, E ′ ≈ h
3
12
y
(4)
1
]
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Estimativa de Erro
Algumas Fo´rmulas de Aproximac¸a˜o para a primeira derivada
e respectivos erros por truncamento (E ′):
4 pontos: [
y ′2 =
2y3 + 3y2 − 6y1 + y0
6h
, E ′ ≈ −h
3
12
y
(4)
2
]
[
y ′3 =
11y3 − 18y2 + 9y1 − 2y0
6h
, E ′ ≈ h
3
4
y
(4)
3
]
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Estimativa de Erro
Algumas Fo´rmulas de Aproximac¸a˜o para a segunda derivadae respectivos erros por truncamento (E ′′):
3 pontos:
[
y ′′0 =
y2 − 2y1 + y0
h2
, E ′′ ≈ −hy ′′′0
]
,
[
y ′′1 =
y2 − 2y1 + y0
h2
, E ′′ ≈ −h
2
12
y
(4)
1
]
[
y ′′2 =
y2 − 2y1 + y0
h2
, E ′′ ≈ hy ′′′2
]
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Algumas Fo´rmulas de Aproximac¸a˜o para a segunda derivada
e respectivos erros por truncamento (E ′′):
4 pontos:[
y ′′0 =
−y3 + 4y2 − 5y1 + 2y0
h2
, E ′′ ≈ 11h
2
12
y
(4)
0
]
[
y ′′1 =
y2 − 2y1 + y0
h2
, E ′′ ≈ −h
2
12
y
(4)
2
]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
Estimativa de Erro
Algumas Fo´rmulas de Aproximac¸a˜o para a segunda derivada
e respectivos erros por truncamento (E ′′):
4 pontos: [
y ′′2 =
y3 − 2y2 + y1
h2
, E ′′ ≈ −h
2
12
y
(4)
2
]
[
y ′′3 =
2y3 − 5y2 + 4y1 − y0
h2
, E ′′ ≈ 11h
2
12
y
(4)
3
]
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s na˜o equidistantes
No´s na˜o igualmente espac¸ados:
Neste caso, na˜o podemos usar a teoria anterior. Usaremos
aproximac¸a˜o por polinoˆmios de Lagrange.
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s na˜o equidistantes
Exemplo Inicial:
Digamos que temos o seguinte conjunto de dados...
xi 0.13 0.16 0.18
yi 0.259 0.319 0.358
e queremos descobrir o valor da primeira derivada em x = 0.15.
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s na˜o equidistantes
Por definic¸a˜o, o polinoˆmio de Lagrange que aproxima estes dados e´
p2(x) = y0
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
+ y1
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
+ y2
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s na˜o equidistantes
enta˜o, a sua primeira derivada pode ser expressa como
p′2(x) = y0
(x − x1) + (x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
+ y1
(x − x0) + (x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
+ y2
(x − x0) + (x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
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Derivac¸a˜o Nume´rica
No´s na˜o equidistantes
Logo p′2(0.15) sera´...
p′2(0.15) = 0.259
(0.15− 0.16) + (0.15− 0.18)
(0.13− 0.16)(0.13− 0.18)
+ 0.319
(0.15− 0.13) + (0.15− 0.18)
(0.16− 0.13)(0.16− 0.18)
+ 0.358
(0.15− 0.13) + (0.15− 0.16)
(0.18− 0.13)(0.18− 0.16)
p′2(0.15) = 1.99
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Introduc¸a˜o
Integrac¸a˜o Nume´rica:
Consiste em usarmos aproximac¸o˜es infinitezimais de a´rea para
poder estimar valores de integrais onde o ca´lculo analitico na˜o e´
trivial. Estudaremos diversos me´todos de aproximac¸a˜o no ca´lculo
de integrais. Dentre eles: Me´todo dos Trape´zios, Me´todo de
Simpson, Quadratura Gaussiana etc.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Introduc¸a˜o
Exemplo de Integrais de ca´lculo na˜o trivial:∫ b
a
e−x
2
dx =?
∫ b
a
cos3 xdx =?
∫ b
a
√
1 + cos2(x)dx =?
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Me´todo dos Trape´zios:
Vamos supor primeiramente, uma aproximac¸a˜o por apenas 1
trape´zio (necessitamos de 2 pontos).
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Neste caso, estariamos aproximando f (x) por um polinoˆmio de
grau 1, ou ainda, estariamos fazendo a seguinte aproximac¸a˜o...∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b
a
p1(x)dx
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Como temos dois pontos, vamos ter
p1(x) = y0 +
x − x0
h
4y0
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Como temos dois pontos, vamos ter
p1(x) = y0 +
x − a
h
(y1 − y0)
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Assim, a integral aproximada fica ...
∫ b
a
p1(x)dx =
∫ b
a
(
y0 +
x − a
h
(y1 − y0)
)
dx
= xy0 +
(x − a)2
2h
(y1 − y0)
]b
a
= (b − a)y0 + (b − a)
2
2h
(y1 − y0)
= hy0 +
h2
2h
(y1 − y0)
=
h
2
(y0 + y1)
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Exemplo 1:
Calcule a integral
A(x) =
∫ 2
1
(x2 + 3x)dx
atrave´s do me´todo dos trape´zios com apenas um intervalo
(trape´zio).
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Neste caso,
f (x) = x2 + 3x
enta˜o,
a = 1 → f (a) = 4 = y0
b = 2 → f (b) = 10 = y1
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Logo, vamos aproximar
A(x) =
∫ 2
1
(x2 + 3x)dx por ≈ h
2
(y0 + y1)
isto e´,
A(x) ≈ (2− 1)
2
(4 + 10) = 7
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Como esta e´ uma func¸a˜o cujo ca´lculo da integral pode ser
facilmente solucionado, isto e´, temos que
A(x) =
∫ 2
1
(x2 + 3x)dx =
x3
3
+
3x2
2
]2
1
= 6.8333
teremos que o erro sera´
E (x) = −0.1667
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Integrac¸a˜o Nume´ricaMe´todo dos Trape´zios
Evidentemente que esta pode na˜o ser uma aproximac¸a˜o
satisfato´ria. Devemos enta˜o seccionar o intervalo geral em
subintervalos de espac¸amento h de maneira a melhorar a
aproximac¸a˜o. Como podemos ver no desenho...
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Enta˜o cada pedac¸o de a´rea Ai+1 aproximado por
Ai+1 =
∫ xi+1
xi
f (x)dx ≈
∫ xi+1
xi
p1(x)dx
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
como a a´rea total e´ a soma dos A’s, isto e´,
A =
n−1∑
i=0
Ai+1
e a a´rea total e´ aproximada por ...
A ≈
n−1∑
i=0
∫ xi+1
xi
p1(x)dx =
n−1∑
i=0
h
2
(yi + yi+1)
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
ou ainda ...
A ≈
n−1∑
i=0
∫ xi+1
xi
p1(x)dx =
n−1∑
i=0
h
2
(yi + yi+1)
= h
[y0
2
+ y1 + y2 + ...+ yn−1 +
yn
2
]
= h
(y0 + yn)
2
+ h
n−1∑
i=1
yi
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
ou ainda ...
A ≈
n−1∑
i=0
∫ xi+1
xi
p1(x)dx =
n−1∑
i=0
h
2
(yi + yi+1)
= h
[y0
2
+ y1 + y2 + ...+ yn−1 +
yn
2
]
= h
(y0 + yn)
2
+ h
n−1∑
i=1
yi
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
dentre as notac¸o˜es mais encontradas nas literaturas, temos por
exemplo,
T (f , h) = h
(y0 + yn)
2
+ h
n−1∑
i=1
yi
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Exemplo 2:
Utilize a regra dos trape´zios para aproximar a integral∫ pi
0
sin xdx
dividindo [0, pi] em 6 subintervalos.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Neste caso, teremos com aproximac¸a˜o∫ pi
0
sin xdx ≈ h
[y0
2
+ y1 + ...+ y5 +
y6
2
]
onde neste caso h = pi6 .
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Como xi = i .h, enta˜o neste exemplo teremos
xi = i .
pi
6
e como cada yi = sin xi , neste exemplo teremos
yi = sin i
pi
6
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Logo, teremos que∫ pi
0
sin xdx ≈ h
[y0
2
+ y1 + ...+ y5 +
y6
2
]
sera´ ∫ pi
0
sin xdx ≈ pi
6
[
sin 0
2
+ sin
pi
6
+ ...+ sin
5pi
6
+
sinpi
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
E finalmente... ∫ pi
0
sin xdx ≈ 1.954
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Exemplo 3: (Exemplo 1 revisitado)
Utilize a regra dos trape´zios para aproximar a integral∫ 2
1
x2 + 3xdx
com no m´ınimo 2 subintervalos.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Caso 1: 2 subintervalos
Neste caso, temos que h = 0.5, pois
h =
b − a
n
, ou
(
xn − x0
n
)
isto e´,
h =
2− 1
2
= 0.5
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Caso 1: 2 subintervalos
Logo, pela fo´rmula ja´ deduzida, teremos que∫ 2
1
x2 + 3xdx ≈ h
[y0
2
+ y1 +
y2
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Caso 1: 2 subintervalos
Aqui, teremos
x0 = 1
x1 = 1.5
x2 = 2
⇒

y0 = x
2
0 + 3x0 = 4
y1 = x
2
1 + 3x1 = 6.75
y2 = x
2
2 + 3x2 = 10
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Caso 1: 2 subintervalos
Com estes valores, podemos substituir em∫ 2
1
x2 + 3xdx ≈ h
[y0
2
+ y1 +
y2
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Caso 1: 2 subintervalos
Com estes valores, podemos substituir em∫ 2
1
x2 + 3xdx ≈ 0.5
[
4
2
+ 6.75 +
10
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Caso 1: 2 subintervalos
Portanto, ∫ 2
1
x2 + 3xdx ≈ 6.875
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Me´todo dos Trape´zios
Caso 2: 4 subintervalos
Neste caso, temos que h = 0.25, pois
h =
b − a
n
, ou
(
xn − x0
n
)
isto e´,
h =
2− 1
4
= 0.25
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Me´todo dos Trape´zios
Caso 2: 4 subintervalos
Logo, pela fo´rmula ja´ deduzida, teremos que∫ 2
1
x2 + 3xdx ≈ h
[y0
2
+ y1 + y2 + y3 +
y4
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Caso 2: 4 subintervalos
Aqui, teremos
x0 = 1.00
x1 = 1.25
x2 = 1.50
x3 = 1.75
x4 = 2.00
⇒

y0 = x
2
0 + 3x0 = 4.0000
y1 = x
2
1 + 3x1 = 5.3125
y2 = x
2
2 + 3x2 = 6.7500
y3 = x
2
3 + 3x3 = 8.3125
y4 = x
2
4 + 3x4 = 10.0000
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Me´todo dos Trape´zios
Caso 2: 4 subintervalos
Com estes valores, podemos substituir em∫ 2
1
x2 + 3xdx ≈ h
[y0
2
+ y1 + y2 + y3 +
y4
2
]
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Me´todo dos Trape´zios
Caso 2: 4 subintervalos
Com estes valores, podemos substituir em
∫ 2
1
x2 + 3xdx ≈ 0.25
[
4
2
+ 5.3125 + 6.75 + 8.3125 +
10
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Caso 2: 4 subintervalos
Portanto, ∫ 2
1
x2 + 3xdx ≈ 6.843
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
E´ poss´ıvel encontrarmos uma aproximac¸a˜o de maneira mais geral
para uma integral considerando ’n’ subintervalos?
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Exemplo 4:
Utilize a regra dos trape´zios para encontrar uma fo´rmula que
aproxima a integral ∫ pi/2
0
cos xdx
dividindo [0, pi/2] em n subintervalos.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Aqui, sabemos que a aproximac¸a˜o de maneira geral pode ser
escrita como∫ pi/2
0
cos xdx ≈ h
[y0
2
+ y1 + ...+ yn−1 +
yn
2
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
agora, dividindo [0, pi/2] em n subintervalos, temos
h =
xn − x0
n
=
pi/2− 0
n
=
pi
2n
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Sabemos tambe´m que, cada xi e´ da forma
xi = x0 + i .h = 0 + i .
pi
2n
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Portanto, temos que
x0 = 0
x1 =
pi
2n
x2 =
2pi
2n
...
xn =
npi
2n
⇒

y0 = cos x0 = cos 0
y1 = cos x1 = cos
pi
2n
y2 = cos x2 = cos
2pi
2n
...
yn = cos xn = cos
npi
2n
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Assim, a aproximac¸a˜o fica
∫ pi/2
0
cos xdx ≈ h (y0 + yn)
2
+ h
n−1∑
i=1
yi
=
pi
2n
(cos 0 + cos npi2n )
2
+
pi
2n
n−1∑
i=1
cos
ipi
2n
=
pi
4n
+
pi
2n
n−1∑
i=1
cos
ipi
2n
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Estudo do erro na fo´rmula dos Trape´zios:
Vamos usar o erro estudado na interpolac¸a˜o polinomial para definir
o erro na fo´rmula dos trape´zios. Uma vez definido o erro para cada
intervalo, podemos extender a fo´rmula geral como sendo a soma
destes erros.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo dos Trape´zios
Vimos que para cada intervalo aproximamos uma integral
utilizando p1(x) = y0 +
4y0
h (x − x0) que apo´s a troca de varia´veis
x → q, onde q = x−x0h fica
p1(q) = y0 + q4y0
e tinhamos mostrado que o erro para esta aproximac¸a˜o de grau era
dado por
q(q − 1)h2 y
′′(ξ)
2!
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Me´todo dos Trape´zios
Agora, podemos definir que existe um erro para cada intervalo
(xi , xi+1) ao qual chamaremos de εi , isto e´,
εi+1 = q(q − 1)h2 y
′′(ξ)
2!
onde ξ ∈ (xi , xi+1).
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Me´todo dos Trape´zios
Pore´m, este ainda na˜o e´ o erro no ca´lculo da integral, mas sim na
aproximac¸a˜o polinomial, portanto o erro que buscamos e´
Ei+1 =
∫ xi+1
xi
εi+1(x)dx
para cada intervalo (xi , xi+1).
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Me´todo dos Trape´zios
Como conhecemos εi+1, temos que
Ei+1 =
∫ xi+1
x1
εi+1(x)dx
=
∫ 1
0
q(q − 1)h2 y
′′(ξ)
2
hdq
=
h3
2
y ′′(ξ)
∫ 1
0
q(q − 1)dq
para cada intervalo (xi , xi+1), onde ξ ∈ (xi , xi+1).
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Me´todo dos Trape´zios
e como ...∫ 1
0
q(q − 1)
∫ 1
0
q2 − qdq = q
3
3
− q
2
2
]1
0
= −1
6
temos que o erro para cada intervalo e´ dado por
Ei+1 = −h
3
12
y ′′(ξ)
onde ξi ∈ (xi , xi+1).
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Me´todo dos Trape´zios
Agora podemos somar todos erros e obter um erro para a
aproximac¸a˜o final (considerando todos intervalos).
ET =
n−1∑
i=0
Ei+1 =
n−1∑
i=0
[
−h
3
12
y ′′(ξi )
]
onde ξi ∈ (xi , xi+1).
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Fazendo...
ET =
n−1∑
i=0
[
−h
3
12
y ′′(ξi )
]
= −h
3
12
n−1∑
i=0
[
y ′′(ξi )
]
= −nh
3
12
n−1∑
i=0
[
y ′′(ξi )
n
]
︸ ︷︷ ︸
=me´dia dos y ′′(ξi )
onde ξi ∈ (xi , xi+1).
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assim...
ET = −nh
3
12
y ′′(ξ)
onde ξ ∈ (x0, xn).
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e como h =xn−x0n teremos que hn = xn − x0, e portanto
ET = −(xn − x0)h
2
12
y ′′(ξ)
onde ξ ∈ (x0, xn).
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Me´todo dos Trape´zios
Exemplo 1:
Qual seria o erro ma´ximo ao aproximarmos a integral∫ pi
0
sin x
utilizando o me´todo dos trape´zios com 6 subintervalos?
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Me´todo dos Trape´zios
Nesse caso, o intervalo e´ [0, pi] e portanto
h =
xn − x0
n
=
x6 − x0
6
=
pi − 0
6
=
pi
6
Enta˜o,
ET = −(xn − x0)h
2
12
y ′′(ξ)
= −(pi − 0)(pi/6)
2
12
(− sin ξ)
≤ pi
3
432
= 0.07177
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Um outro questionamento, seria discutirmos um valor espec´ıfico
para o espac¸amento h ao estipularmos um erro ma´ximo. Por
exemplo...
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Exemplo 2:
Considerando a mesma integral do exemplo anterior, qual deve ser
o valor de h para que o erro ma´ximo seja de apenas 0.01?
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Me´todo dos Trape´zios
Sabemos que o erro total na aproximac¸a˜o para este caso sera´
E = −(xn − x0)h
2
12
y ′′(ξ)
com ξ ∈ (x0, xn).
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Me´todo dos Trape´zios
Logo o erro ma´ximo e´
Emax =
(xn − x0)h2
12
= 0.01
enta˜o, se igualarmos o erro ma´ximo ao valor estipulado, teremos
que ter
pi
12
h2 = 0.01
e por fim...
h =
√
0.12
pi
= 0.1954
Assim, h deve ser menor que 0.1954.
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Me´todo dos Trape´zios
Exemplo 3:
Determine o maior h tal que o ca´lculo de∫ 1.5
0.5
e−x
2
dx
pela regra dos trape´zios, tenha 5 d´ıgitos significativos corretos.
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Me´todo dos Trape´zios
Sabemos que o erro total na aproximac¸a˜o para este caso sera´
E = −(xn − x0)h
2
12
y ′′(ξ)
com ξ ∈ (x0, xn).
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Me´todo dos Trape´zios
Logo o erro ma´ximo e´
Emax =
(xn − x0)h2
12
y ′′(ξ) = 0.5× 10−5
enta˜o,
Emax =
(1.5− 0.5)h2
12
y ′′(ξ) = 0.5× 10−5
onde ξ ∈ (0.5, 1.5).
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Me´todo dos Trape´zios
Como neste caso, temos que
y(x) = e−x
2
y ′(x) = −2xe−x2
y ′′(x) = 2(2x2 − 1)e−x2
y ′′′(x) = 4x(3− 2x2)e−x2
neste caso precisamos da terceira derivada, para analisar o ma´ximo
em y ′′.
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Me´todo dos Trape´zios
como y ′′′(x) = 0 implica que x =
√
1.5, enta˜o
Emax =
(1.5− 0.5)h2
12
y ′′(
√
1.5)
=
h2
12
[2(
√
1.5)(2(
√
1.5)2 − 1)e−
√
1.5
2
]
=
h2
12
0.893
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Me´todo dos Trape´zios
de maneira que teremos que ter h tal que
h2
12
≤ 0.5× 10−5
Assim, h deve ser
h < 0.008199
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Me´todo dos Trape´zios
consequentemente, podemos descobrir qual deve ser o valor de n,
pois nh = (xn − x0), enta˜o
n =
xn − x0
h
=
1.5− 0.5
0.008199
= 121.96
logo n deve no m´ınimo 122.
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Me´todo de Simpson
Me´todo de Simpson:
Aqui, vamos usar uma aproximac¸a˜o de ordem maior, isto e´, a cada
3 pontos (ou 2 subintervalos) aproximaremos o integrando por
uma func¸a˜o de grau 2. Como podemos ver no desenho...
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Me´todo de Simpson
Neste caso, estariamos aproximando f (x) por um polinoˆmio de
grau 2, ou ainda, estariamos fazendo a seguinte aproximac¸a˜o...∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b
a
p2(x)dx
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Me´todo de Simpson
Como temos 3 pontos (2 subsintervalos), vamos ter
p2(x) = y0 +
x − x0
h
4y0 + (x − x0)(x − x1)
2!h2
42y0
ou ainda
p2(q) = y0 + q4y0 + 4
2y0
2!
q(q − 1)
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Me´todo de Simpson
Assim, a cada par de intervalos aproximamos pela integral ...∫ xi+2
xi
f (x)dx ≈
∫ xi+2
xi
p2(x)dx
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Me´todo de Simpson
∫ xi+2
xi
p2(x)dx = h
∫ 2
0
(
y0 + q4y04
2y0
2!
q(q − 1)
)
dq
= h
[
qyi +
q2
2
4yi + 1
2
(
q3
3
− q
2
2
)
42yi
]2
0
= h
[
2yi + 24yi + 1
3
42yi
]
=
h
3
[yi + 4yi+1 + yi+2]
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Me´todo de Simpson
Exemplo 1:
Calcule a integral
A(x) =
∫ 2
1
(x2 + 3x)dx
atrave´s do me´todo de Simpson com apenas dois intervalos.
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Me´todode Simpson
Neste caso,
f (x) = x2 + 3x
enta˜o,
x0 = 1 → f (x0) = 4 = y0
x1 = 1.5 → f (x0) = 6.75 = y1
x2 = 2 → f (x0) = 10 = y2
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Me´todo de Simpson
Logo, vamos aproximar
A(x) =
∫ 2
1
(x2 + 3x)dx por ≈ h
3
[y0 + 4y1 + y2]
isto e´,
A(x) ≈ (0.5)
3
[4 + 4× 6.75 + 10] = 6.8333
que ja´ e´ o resultado exato, pois o integrando e´ uma func¸a˜o de grau
2.
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Me´todo de Simpson
Pore´m, ainda assim, podemos ter resultados na˜o satisfato´rios. Para
resultados ainda mais precisos, devemos seccionar o intervalo geral
em subintervalos de espac¸amento h de maneira a melhorar a
aproximac¸a˜o. Como podemos ver no desenho...
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Me´todo de Simpson
Enta˜o, como cada pedac¸o de a´rea e´ aproximado por
Ai+1 =
∫ xi+2
xi
f (x)dx ≈
∫ xi+2
xi
p2(x)dx
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Me´todo de Simpson
como a a´rea total e´ a soma dos A’s, isto e´,
A =
n−1∑
i=0
Ai+1
e a a´rea total e´ aproximada por ...
A ≈
∑∫ xi+2
xi
p2(x)dx =
∑ h
3
[yi + 4yi+1 + yi+2]
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Me´todo de Simpson
ou ainda ...
A ≈
∑∫ xi+2
xi
p2(x)dx =
∑ h
3
(yi + 4yi+1 + yi+2)
=
h
3
[(y0 + 4y1 + y2) + (y2 + 4y3 + y4) + ...+ (yn−2 + 4yn−1 + yn)]
=
h
3
[y0 + 2(y2 + y4 + ...+ yn−2) + 4(y1 + y3 + ...+ yn−1) + yn]
=
h
3
[
y0 + 4
∑
y2i−1 + 2
∑
y2i−2 + yn
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
ou ainda ...
A ≈
∑∫ xi+2
xi
p2(x)dx =
∑ h
3
(yi + 4yi+1 + yi+2)
=
h
3
[(y0 + 4y1 + y2) + (y2 + 4y3 + y4) + ...+ (yn−2 + 4yn−1 + yn)]
=
h
3
[y0 + 2(y2 + y4 + ...+ yn−2) + 4(y1 + y3 + ...+ yn−1) + yn]
=
h
3
[
y0 + 4
∑
y2i−1 + 2
∑
y2i−2 + yn
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
uma das notac¸o˜es mais encontradas nas literaturas e´
S(f , h) =
h
3
[
y0 + 4
∑
y2i−1 + 2
∑
y2i−2 + yn
]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Exemplo 1:
Dividindo [0, 1] em 6 subintervalos, aplique a regra de Simpson
para aproximar a integral ∫ 1
0
1
1 + x
dx
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Neste caso, teremos com aproximac¸a˜o
∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ h
3
[y0 + 4(y1 + y3 + y5) + 2(y2 + y4) + y6]
onde neste caso h = x6−x06 =
1
6 .
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Como xi = i .h, enta˜o neste exemplo teremos
xi = i .
1
6
e como cada yi =
1
1+xi
, neste exemplo teremos
yi =
1
1 + i6
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Portanto, temos que

x0 = 0
x1 =
1
6
x2 =
2
6
x3 =
3
6
x4 =
4
6
x5 =
5
6
x6 =
6
6
⇒

y0 =
1
1+ 0
6
= 1.0000
y1 =
1
1+ 1
6
= 0.8571
y2 =
1
1+ 2
6
= 0.7500
y3 =
1
1+ 3
6
= 0.6666
y4 =
1
1+ 4
6
= 0.6000
y5 =
1
1+ 5
6
= 0.5454
y6 =
1
1+ 6
6
= 0.5000
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Logo, teremos que
∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ h
3
[y0 + 4(y1 + y3 + y5) + 2(y2 + y4) + y6]
sera´
∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ 1/6
3
[1 + 4(0.8571 + 0.6666 + 0.5454) + 2(0.75 + 0.6) + 0.5]
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
E finalmente... ∫ 1
0
1
1 + x
dx ≈ 0.69317
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Neste caso a soluc¸a˜o exata e´...∫ 1
0
1
1 + x
dx = ln 1 + x ]10 = ln 2 = 0.69315
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Erro na fo´rmula de Simpson:
Vamos usar o erro estudado na interpolac¸a˜o polinomial para definir
o erro na fo´rmula de Simpson. Uma vez definido o erro para cada
par de intervalos, podemos extender a fo´rmula geral como sendo a
soma destes erros.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Procedendo de maneira ana´loga a deduc¸a˜o do erro para o caso dos
trape´zios, podemos provar que o erro para cada par de intervalos e´
E = −h
5
90
y (4)(ξi ), onde ξi ∈ (xi , xi+2)
e somando temos como erro geral
ES = −(xn − x0)h
4
180
y (4)(ξ), onde ξ ∈ (x0, xn)
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Exemplo 1:
Qual seria o erro ma´ximo ao aproximarmos a integral∫ pi
0
sin x
utilizando o me´todo de Simpson com 6 subintervalos?
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Nesse caso, o intervalo e´ [0, pi] e portanto
h =
xn − x0
n
=
x6 − x0
6
=
pi − 0
6
=
pi
6
Enta˜o,
ES = −(xn − x0)h
4
180
y (4)(ξ)
= −(pi − 0)(pi/6)
4
180
(sin ξ)
≤ pi
5
2.33× 105
= 0.001313
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Exemplo 2:
Determinar o maior valor de h que permita calcular
numericamente, por Simpson, a integral∫ 1
0
1
1 + x
dx
com erro ma´ximo de apenas 0.5× 10−4.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Sabemos que o erro total na aproximac¸a˜o para este caso sera´
ES = −(xn − x0)h
4
12
y (4)(ξ)
com ξ ∈ (x0, xn).
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
Como precisamos de ate´ a derivada de quarta ordem,
y(x) = (1 + x)−1
y ′(x) = −(1 + x)−2
y ′′(x) = 2(1 + x)−3
y ′′′(x) = −6(1 + x)−4
y (4)(x) = 24(1 + x)−5
Enta˜o,
ES = −(xn − x0)h
4
180
24.(1 + ξ)−5
com ξ ∈ (0, 1).
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
como y (4)(x) = 24(1 + x)−5 e´ ma´xima em x = 0, o erro ma´ximo e´
Emax =
(1− 0)h4
180
.24
logo, teremos que ter
(1− 0)h4
180
.24 ≤ 0.5× 10−4
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
o que nos leva a
h =
4
√
0.5× 10−4 × 180
24
= 0.1392
Assim, h deve ser menor que 0.1392.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson
podemos ainda, definir o nu´mero de intervalos necessa´rios para
realizar a aproximac¸a˜o com a precisa˜o estipulada, isto e´, como
nh = (xn − x0)⇒ n = 1− 0
0.1392
= 7.19
Assim, n deve ser o primeiro inteiro par apo´s 7.19. Logo
n = 8
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente:
Consiste numa regra que calcula uma aproximac¸a˜o por Simpson
juntamente com uma combinac¸a˜o linear de fo´rmulas dos trape´zios
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
Podemos estimar o erro por truncamento relativo as integrais ja´
calculadas:
Erro para Trape´zios:
≈ T (f , h/2)− T (f , h)
3
Erro para Simpson:
≈ S(f , h/2)− S(f , h)
15
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
de maneira que para cada caso, podemos corrigir utilizando que
Caso dos Trape´zios:
∫ b
a
f (x)dx ≈ T (f , h/2) + T (f , h/2)− T (f , h)
3
=
4T (f , h/2)− T (f , h)
3
Caso de Simpson:
∫ b
a
f (x)dx ≈ S(f , h/2) + S(f , h/2)− S(f , h)
15
=
16S(f , h/2)− S(f , h)
15
As correc¸o˜es por exatido˜es crescentes, sa˜o muitas vezes chamadas
de ’Extrapolac¸a˜o de Richardson’.
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Integrac¸a˜o Nume´rica
Me´todo de Simpson com Exatida˜o Crescente
de maneira que para cada caso, podemos corrigir utilizando que
Caso dos Trape´zios:
∫ b
a
f (x)dx ≈ T (f , h/2) + T (f , h/2)− T (f , h)
3
=
4T (f , h/2)− T (f , h)
3
Caso de Simpson:
∫ b
a
f (x)dx ≈ S(f , h/2) + S(f , h/2)− S(f , h)
15
=
16S(f , h/2)− S(f , h)
15
As correc¸o˜es por exatido˜es crescentes, sa˜o muitas vezes chamadas
de ’Extrapolac¸a˜o de Richardson’.
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	Introdução, área 3
	Derivação Numérica
	Nós equidistantes
	Estimativa de Erro
	Nós não equidistantes
	Integração Numérica
	Introdução
	Método dos Trapézios
	Método de Simpson
	Método de Simpson com Exatidão Crescente