2014-2-EP-07-IEM-Gabarito

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Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/07 1
Informa´tica no Ensino da Matema´tica
EP/07 — 30/08/2014
ATIVIDADE 2
Estude (se ainda na˜o o fez), os tutoriais do GeoGebra 4.x de nu´meros 17 e 18 dispon´ıveis
no seguinte enderec¸o (escolha a opc¸a˜o “VI´DEOS TUTORIAIS” no menu principal):
http://www.uff.br/geogebra/.
Nestes tutoriais, voceˆ aprendera´ a rastrear objetos e construir lugares geome´tricos com
o GeoGebra 4.x. Atenc¸a˜o: recomendamos que, ale´m de assistir aos tutoriais, voceˆ
tente, concomitantemente, reproduzir as instruc¸o˜es apresentadas! Afinal, uma
coisa e´ ver, outra e´ fazer. Implemente a construc¸a˜o descrita no tutorial 17 e, enta˜o, salve-a
com o nome “tutorial-17.ggb”. Anexe este arquivo em uma mensagem na atividade da
plataforma de nome “AE-01 do EP-07: A Para´bola como Um Lugar Geome´trico”. Prazo
de entrega dessa atividade: 10/09/2014.
ATIVIDADE 3
Sejam C um c´ırculo de centro em O e P um ponto de C. Para cada X em C, considere
o ponto me´dio M do segmento PX . Qual e´ o lugar geome´trico do ponto M quando X se
desloca sobre o c´ırculo C?
Soluc¸a˜o. Conjectura: o lugar geome´trico do ponto M quando X se desloca sobre o c´ırculo C
e´ a circunfereˆncia de centro no ponto me´dio N do segmento OP passando por O.
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O
N
X
P
M
Prova: seja N o ponto me´dio do segmento OP . O triaˆngulo ∆PNM e´ semelhante ao
triaˆngulo ∆POX (crite´rio LAL). Como m(PM) = m(PX)/2, segue-se que
m(MN) =
m(OX)
2
=
raio do c´ırculo C
2
= constante.
Logo o ponto M pertence ao c´ırculo de centro em N passando por O.
ATIVIDADE 4
Considere dois c´ırculos C1 e C2, com C1 contido no interior de C2. O c´ırculo C1 tem centro
no ponto A e ele passa pelo ponto B. O c´ırculo C2 tem centro no ponto C e ele passa pelo
ponto D. Seja agora X um ponto do c´ırculo C1. Marque o ponto Y que e´ a intersec¸a˜o da
semirreta
−−→
AX com o c´ırculo C2. Finalmente, construa o ponto me´dio M do segmento XY .
(a) Implemente esta construc¸a˜o no GeoGebra 4.x. Os nomes dos pontos devem aparecer!
Use cores diferentes para realc¸ar os va´rios elementos da construc¸a˜o.
(b) Quais sa˜o os pontos livres, semilivres e fixos desta construc¸a˜o?
(c) Rastreie o ponto M quando X se movimenta sobre o c´ırculo C1. Qual e´ o lugar
geome´trico descrito pelo ponto M? Justifique a sua resposta!
C
D
A B
X
Y
M
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Anexe sua construc¸a˜o e digite as respostas dos itens (b) e (c) em uma mensagem na atividade
da plataforma de nome “AE-03 do EP-07: Lugar Geome´trico 2”. Prazo de entrega dessa
atividade: 10/09/2014.
Soluc¸a˜o.
(b) Os pontos livres sa˜o A, B, C e D. O u´nico ponto semilivre e´ X. Os pontos fixos sa˜o Y
e M .
(c) O lugar geome´trico na˜o e´ um c´ırculo. Para justificar este resultado, desenhe treˆs cordas
para o lugar geome´trico. Se ele fosse um c´ırculo, as mediatrizes destas treˆs cordas
deveriam ser concorrentes, o que na˜o e´ o caso.
D
B
C
A
X
Y
M Ampliação
ATIVIDADE 5
Estude os tutoriais do GeoGebra 4.x de nu´meros 23 e 24 dispon´ıveis no seguinte enderec¸o
(escolha a opc¸a˜o “VI´DEOS TUTORIAIS” no menu principal):
http://www.uff.br/geogebra/.
Nestes tutoriais, voceˆ aprendera´ a usar descric¸o˜es alge´bricas e a Janela de A´lgebra do Ge-
oGebra 4.x. Atenc¸a˜o: recomendamos que, ale´m de assistir aos tutoriais, voceˆ
tente, concomitantemente, reproduzir as instruc¸o˜es apresentadas! Afinal, uma
coisa e´ ver, outra e´ fazer.
Implemente a construc¸a˜o descrita no tutorial 24 e, enta˜o, salve-a com o nome “tutorial-
24.ggb”. Anexe este arquivo em uma mensagem na atividade da plataforma de nome
“AE-04 do EP-07: Construc¸o˜es do Tutorial 24”. Prazo de entrega dessa atividade:
10/09/2014.
ATIVIDADE 6
No GeoGebra 4.x, construa um c´ırculo C e, em seguida, marque um segmento AB cujas
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extremidades pertencem a C. Construa enta˜o um ponto semilivre P sobre o c´ırculo C,
marque e mec¸a o aˆngulo θ = ∠APB. Construa tambe´m a bissetriz deste aˆngulo.
µ
A B
P
C
Arraste o ponto P e tente descobrir quais sa˜o os invariantes geome´tricos desta construc¸a˜o!
Soluc¸a˜o. Primeiro invariante: o aˆngulo θ tem medida constante. Segundo invariante: o
ponto de intersec¸a˜o da bissetriz do aˆngulo θ com o c´ırculo ocorre sempre em um mesmo
ponto, independentemente da posic¸a˜o do ponto P .
ATIVIDADE 7
Crie no GeoGebra 4.x um triaˆngulo de ve´rtices A, B e C. Renomeie, se necessa´rio, os la-
dos BC, AC e AB do triaˆngulo para a, b e c, respectivamente. Em seguida, construa a altura
do triaˆngulo relativa ao lado AC. Renomeie, se necessa´rio, essa altura para h. Defina enta˜o,
no Campo de Entrada, a seguinte varia´vel alge´brica que da´ o valor do semiper´ımetro do
triaˆngulo:
s = (a + b + c)/2.
Em seguida, defina as varia´veis alge´bricas
A´rea1 = (b h)/2 e A´rea2 = sqrt(s (s − a) (s − b) (s − c))
que da˜o o valor da a´rea do triaˆngulo (a segunda expressa˜o e´ conhecida como Fo´rmula de
Hera˜o). Cuidado: e´ preciso dar um espac¸o em branco (ou um asterisco) entre “b” e “h”para
indicar uma multiplicac¸a˜o entre as varia´veis “b” e “h”. Aqui, “sqrt” representa a func¸a˜o
raiz quadrada. Anexe sua construc¸a˜o em uma mensagem na atividade da plataforma de
nome “AE-06 do EP-07: A Fo´rmula de Hera˜o”. Importante: movimente os pontos
livres para se certificar que sua construc¸a˜o esta´ correta para quaisquer posic¸o˜es
destes pontos. Prazo de entrega dessa atividade: 10/09/2014.
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