II - Distribuição de Tensões em Estruturas Reticuladas

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II – Distribuição de tensões em estruturas 
II.1 – Introdução 
Quando submetemos um sólido a forças externas ou variações de temperatura, este sofre deformações que 
acarretam pequenas alterações de sua geometria, passando de um formato inicial (configuração 
indeformada), para um formato final (configuração deformada), como representa a Figura II.1 
 
Figura II.1 – Corpo estável submetido a forças externas 
Configuração inicial (indeformada) e final (deformada) 
 
Devido às forças aplicadas surgem tensões internas. No caso mais geral, a tensão de um ponto material fica 
definido através de 6 componentes de tensão, conforme a Figura II.2 . 
 
 
Tensões normais: 
 
zyx  , , 
 
Tensões de cisalhamento 
yzxzxy  , , 
Reciprocidade das 
tensões de cisalhamento 
 
 
Figura II.2 – Estado tridimensional de tensão 
Tensões e deformações se relacionam através das propriedades elásticas (Lei de Hooke), que para materiais 
isotrópicos pode ser escrita como: 
 }]{[}{  D ; }]{[}{  G (II.1ab) 
onde }{ e }{ são os vetores de tensão : 
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






z
y
x



 }{ ; 







yz
xz
xy



 }{ (II.2ab) 
}{ e }{ são os vetores de deformação : 
 







z
y
x



 }{ ; 







yz
xz
xy



 }{ (II.3ab) 
e [D] e [G] são as matrizes de propriedades elásticas: 
 
 




  

 -1-1
-1
)21( )1(
][ ED ; 




G
G
G
G
00
00
00
][ ; )1( 2  EG (II.4abc) 
onde E ,  e G são respectivamente o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e o módulo de 
cisalhamento. 
Uma estrutra é estável quando está devidamente apoiada e as tensões internas são inferiores às tensões 
máximas admissíveis para o seu material. Neste curso estudaremos a distribuição de tensões decorrentes da 
ação de esforços em estrutura. O objetivo do estudo é identificar e quantificar as tensões extremas, e constitui 
a base do dimensionamento de estruturas de engenharia civil. O estudo é diretamente dirigido para estrutras 
reticuladas, ou seja, estrutras constituídas por barras retas, mas muito do aqui discutido pode ser usado para 
entender a distribuição de estruturas não reticuladas, tais como placas e cascas e blocos (Figura II.3). 
 
Figura II.3 - Estrutras não reticuladas 
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II.2 Estruturas reticuladas: 
São estruturas constituídas por barras interligadas em suas extremidades, tais como vigas, treliças, arcos, 
pórticos e grelhas, como ilustra a Figura II.4 
 
 
Figura II.4– Estruturas reticuladas 
Uma barra caracteriza-se pela sua geometria, tendo o comprimento muito maior que a largura e a altura ( l 
>>b e l >> h), como representa a Figura II.5. 
- seção transversal é uma fatia de uma barra de espessura dx, conforme a Figura II.5; 
 - eixo de uma barra é o lugar geométrico dos centróides das seções transversais; 
- uma barra pode ser representada pelo seu eixo; 
- uma barra é dita curva ou reta conforme seu eixo seja curvo ou reto; 
- a geometria da seção transversal de uma barra pode ou não variar ao longo do comprimento. 
 
 
Figura II.5 – Elementos de barra 
 
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Esforços em estruturas reticuladas 
No caso mais geral, uma barra pode ser submetida a seis esforços, conforme a Figura II.6: esforço normal 
N, esforços cortantes Qy e Qz (Figura II.6a), momento torçor T e momentos fletores My e Mz (Figura 
II.6b). 
 
Figura II.6 – Esforços em estruturas reticuladas 
Conforme o esforço suportado por uma barra, esta recebe nomes especiais, tais como: 
- elemento de treliça : suporta apenas esforço normal (N); 
- barra de torção : suporta apenas momento torçor (T); 
- elemento de viga : suporta momento fletor e esforço cortantes (M e Q); 
- elem. de pórtico plano : suporta momento fletor, esforço cortante e esforço normal (M , Q e N); 
- elem. de pórt. espacial : suporta momentos fletores , momento torçor , esforços cortantes e 
esforço normal (My , Mz , T, Qy, Qz e N); 
Nas Figuras II.7 e II.8 representamos a distribuição de tensões devido a cada um desses esforços aplicados 
separadamente. A Figura II.7 procura mostrar que os esforços cortantes e o momento torçor geram apenas 
tensões de cisalhamento, e que essas tensões estão sempre contidas no plano da seção, ou seja, geram apenas 
componentes xzxy  e como indicado. 
 
 Esforços cortantes Momento torçor 
Figura II.7 – Distribuição de tensões de cisalhamento em estruturas reticuladas 
Na Figura II.8 notamos que momentos fletores e o esforço normal geram apenas a componente de tensão 
x , normal ao plano da seção, enquanto que 0 zy  . 
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Figura II.8 – Distribuição de tensões normais em estruturas reticuladas 
Tensões e deformações em estruturas reticuladas 
Conforme as distribuições apresentadas nas Figura II.7 e II.8, em estrutras reticuladas consideramos no 
máximo 3 componentes de tensão, sendo duas de cisalhamento ( xzxy  e ) e uma de tensão normal ( x ), 
como resume a Figura II.9. 
 
(a) Esforços em uma seção transversal 
 
(b) Tensões em uma seção transversal 
Figura II.9 – Estado de tensão em estruturas reticuladas 
Lei de Hooke :
 
 
Para o estado de tensão representado na Figura II.9b, a Lei de Hoooke toma a forma simplificada: 
 x
Ex   (a) ; xz  Gxz  (b) ; xy  Gxy  (c) (II.5) 
As deformações zy  e podem ser obtidas a partir de x como: 
 xzy
 
 
 (II.6) 
 
onde  é o coeficiente de Poisson 
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Energia de deformação 
Como as componentes de tensão yzzy  e , são nulas, resta apenas a energia associada a 
xzxyx  e , , ou seja: 
   dVU
V
xzxzxyxyxx 2
1    (II.7) 
Efeitos localizados e o Princípio de Saint Venant 
Suponha que se deseje transmitir forças de tração F para as extremidades de uma barra de madeira e, para 
isso, tenham sido feitas braçadeiras de aço aparafusadas nas extremidades, conforme a Figura II.10. A força 
F será transmitida para a braçadeira através de cabos de aço, e a braçadeira transmitirá a força para barra 
através dos parafusos que atravessam a barra. A figura mostra também as seções S1, S2 e S3, nas 
proximidades da ligação da barra com a braçadeira. Considere que desejamos estudar a distribuição de 
tensões na barra de madeira. 
 
Figura II.10 – Forças axiais tranmitidas a uma barra 
A Figura II.11 procura mostrar que a distribução de tensões nas seções transversais próximas às braçadeiras é 
complexa mas, à medida que nosafastamos das extremidades, a distribução de tensões tende a se 
uniformizar. 
 
Figura II.11 – Distribuição de tensões em uma barra sob esforço axial 
De forma semelhante, a Figura II.12 procura representar uma barra engastada em uma parede de concreto. O 
efeito de engaste foi obtido utilizando um console de concreto para apoiar a barra, evitando o seu 
deslocamento vertical, e braçadeiras de aço ancorados na parede através de chumbadores, evitando que a 
barra gire. Pelas braçadeiras passam parafusos que atravessam a barra, havendo uma concentração de tensões 
nessa região, principalmente junto aos parafusos e ao console de apoio. Contudo, à medida que nos afastamos 
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do apoio, a distribuição de tensões torna-se mais suave, podendo ser obtida a partiir das geometria da seção 
transversal e dos dos esforços atuantes, como indica a figura. 
 
Figura II.12 – Barra engastada – tensões e esforços 
O princípio de Saint-Venant para estruturas reticuladas pode ser enunciado como: 
Em estruturas reticuladas pode haver concentrações de tensões nos pontos de aplicação das forças 
externas, nas conexões entre as barras e nos apoios. Mas essas concentrações são efeitos 
localizados e não afetam o comportamento global da estrutura, que pode ser descrito em função da 
distribuição de esforços e da geometria das seções transversais.