V - Cisalhamento em Vigas

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Resistência dos Materiais II, Estácio de Sá 
Prof. Rubens Sydenstricker 
IV - Cisalhamento em vigas 
IV.1 – Distribuição das tensões de cisalhamento 
Considere a viga bi-poiada representada na Figura 1. A viga está submetida a carregamentos 
transversais genericamente representados pelas forças P1 e P2, que causam esforços tais como 
momentos e cortantes, de forma que a peça está submetida a flexão simples reta. A figura também 
mostra uma seção transversal ao longo da qual pretendemos estabelecer a distribuição de tensões de 
cisalhamento. Por simples conveniência de representação, estamos considerando uma seção 
retangular, mas o estudo é válido para uma seção qualquer. 
eix
o
eix
o
G
G
G
x
y
z
dxb
h
G
P1
P2
 
Figura 1 – Viga sob ação de força externas 
 
A Figura 2a representa uma seção transversal em perspectiva e as tensões de cisalhamento atuantes 
a uma certa altura y da seção. Note que as tensões são mostradas atuando na face direita da seção e 
também na superfície horizontal abcd. Devido à reciprocidade das tensões de cisalhamento, essas 
duas componentes de cisalhamento têm a mesma intensidade. A figura indica ainda a área Asup, 
pertencente à face direita da seção e situada acima da linha bc. A Figura 2b mostra uma vista 
frontal da face direita da seção, indicando a área Asup e as tensões de cisalhamento a uma altura y. 
Essas tensões são supostas constantes ao longo da largura da peça, conforme argumentaremos ao 
longo do desenvolvimento a seguir. A Figura 2c apresenta uma vista lateral da seção, indicando 
momentos fletores e esforços cortantes atuando nas duas faces da seção, assim como componentes 
de cisalhamento verticais, atuando nas faces esquerda e direita, e a componente cisalhante 
horizontal, que atua na superfície abcd. Como sabemos, o equilíbrio entre momentos e cortantes 
estabelece que: 
 
dx
dM
Q = (IV.1) 
A equação (IV.1) informa que o esforço cortante só existe quando há uma variação de momentos 
fletores. No desenvolvimento que apresentamos a seguir, procuráramos estabelecer a expressão que 
fornece o valor da tensão de cisalhamento τ em função dos esforços atuantes. Por conveniência, o 
estudo será dirigido para a componente horizontal indicada nas Figuras 2a e 2c. 
 
y
z x
G
dx
b
y
a
b
c
d
τ
τ
h
A sup.
 
z
y
G
b c
y
A sup.
b
τ τ
h
 
M+dMM
x
a b
τ
dx
τ
y
τ
Q
Q+dQ
 
 (a) (b) (c) 
Figura 2 – Esforços e tensões de cisalhamento 
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A Figura 3a representa as tensões normais σ atuando nas faces de uma seção transversal, assim 
como componentes de cisalhamento. A figura separa dois blocos da seção, divididos pela superfície 
abcd representada na Figura 2a. Na Figura 3b procuramos representar as tensões que atuam no 
bloco superior da seção e, na Figura 3c, indicamos as forças resultantes dessas tensões. 
Considerando os momentos representados na Figura 2c, escrevemos as tensões normais que atuam 
à esquerda e à direita da seção como (vide equação (II.9)): 
 
I
M
yesq =σ ; 
I
dMM
ydir
+
=.σ (IV.2ab) 
Observe que nas equações (IV.2), o sinal negativo que consta na equação (II.9), foi suprimido, pois 
o sentido das tensões já estão indicados na Figura 3. 
y
a b
x
esqσ dirσ
τ
dx
τ τ
 
y
a b
x
esqσ dirσ
τ
dx
y
 
y
a b
x
dx
FdirFesq
yT
 
 (a) (b) (c) 
Figura 3 – Tensões e forças equivalentes sobre o bloco superior 
As forças resultantes das tensões normais que atuam à esquerda e direita do bloco superior (Figura 
3c) podem ser obtidas por: 
.sup
.sup.sup.sup
 m
I
M
dAy
I
M
dA
I
M
ydAF
AAA
esqesq ==== ∫∫∫ σ 
 
.sup
.sup.sup.sup
 m
I
dMM
dAy
I
dMM
dA
I
dMM
ydAF
AAA
dirdir
+
=
+
=
+
== ∫∫∫ σ (IV.3ab) 
onde supm é o momento estático da área supA em relação eixo principal de inércia horizontal, a partir 
de onde medimos a distância y (veja a equação (I.19)). A força T, que atua na base do bloco 
superior, como mostra a Figura 3c, é a resultante das tensões de cisalhamento que atuam na 
superfície abdc, representada na Figura 2a. Como essas tensões são supostas constantes ao longo da 
largura da seção, a força T pode ser obtida por: 
 dxbAT abcd ττ == (IV.4) 
Ponderando que a resultante das forças horizontais que atuam no bloco superior é nula, podemos 
estabelecer que 0=−+ diresq FTF . Então, utilizando as equações (IV.3) e (IV.4), escrevemos: 
0 .sup.sup =
+
−+ m
I
dMM
dxbm
I
M
τ
 
=> .sup
 
1
m
dx
dM
Ib
=τ (IV.5) 
Finalmente, substituindo a equação (IV.1) em (IV.5), escrevemos a distribuição das tensões de 
cisalhamento como: 
 .sup 
 
1
mQ
Ib
=τ (IV.6) 
onde Q é o esforço cortante, I é o momento principal de inércia em relação ao eixo z (da Figura 2b), 
msup é o momento estático em relação a z da área acima do ponto onde a tensão τ está sendo 
medida (Asup), e b é a largura da seção transversal na altura y, onde a tensão τ está sendo medida. 
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Resta-nos ainda justificar o motivo pelo qual consideramos as tensões de cisalhamento constantes 
ao longo da largura da seção. Como as tensões de cisalhamento foram obtidas a partir do 
desequilíbrio das tensões normais decorrentes de momentos fletores e, para flexão reta, as tensões 
normais são uniformes ao longo da largura, temos que τ também será constante na direção da 
largura. 
IV.2 – Fluxo de cisalhamento 
Imagine uma viga que seja composta por duas peças: uma inferior e outra superior, como mostra a 
Figura 4. Mais uma vez, por simples conveniência, estamos representando uma seção transversal 
retangular, mas o estudo é válido para uma seção qualquer. 
b 
Figura 4 – Viga compostas por duas peças 
Para que as duas peças funcionem em conjunto, haverá uma tensão de cisalhamento entre elas, 
como procura representar a Figura 5a. Note que as tensões indicadas constituem um par ação-
reação, ou seja, as tensões indicadas na peça superior são impostas pela peça inferior, e as indicadas 
na peça inferior são produzidas pela peça superior. A tensão de cisalhamento é dada por unidade tal 
como 2/mKN . Em algumas circunstâncias, é conveniente dispor de uma grandeza dada em 
unidade tal como mKN / , tal com q, indicada na Figura 5b, e que é denominada fluxo de 
cisalhamento. Tendo-se a tensão de cisalhamento, o fluxo de cisalhamento por ser obtido como: 
τbq = . Considerando a equação (IV.6), escrevemos: 
 .sup 
1
mQ
I
q = (IV.7) 
 
b
τ
 b
q
 
 (a) (b) 
Figura 5 – Ação entre duas peças que constituem uma viga