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NOTAS DE AULA - ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS TRANSFORMAÇÕES LINEARES ISABEL C. C. LEITE SALVADOR – BA 2007 Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 1 ESPAÇOS VETORIAIS Definição: Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por um escalar, ou seja, ∀u, v ∈ V, u + v ∈ V ∀α ∈ R, ∀u ∈ V, αu ∈ V. O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre R) se as seguintes propriedades forem satisfeitas: A) Em relação à adição: ∀u, v, w ∈ V A1) (u + v) + w = u + (v + w) A2) u + v = v + u A3) ∃ 0 ∈ V tal que u + 0 = u A4) ∃ –u ∈ V tal que u + (–u) = 0 M) Em relação à multiplicação por escalar: ∀u, v ∈ V e ∀α, β ∈ R M1) (αβ) u = α (βu) M2) (α + β) u = αu + βu M3) α (u + v) = αu + αv M4) 1u = u Exemplos: 1. V = R² = {(x, y)/ x, y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) α (x, y) = (αx, αy) 2. Os conjuntos R³, R4, ..., Rn são espaços vetoriais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 3. V = M(m,n), o conjunto das matrizes reais m x n com a soma e o produto por escalar usuais. Em particular: 3.1. V = M(n,n) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n; 3.2. V = M(1,n) = {[a11, a12, ..., a1n]; aij ∈ R}, também identificado com V = Rn são espaços vetoriais relativamente às mesmas operações. 4. O conjunto Pn = {a0 + a1x + a2x² + ... + anxn; ai ∈ R} dos polinômios com coeficientes reais de grau ≤ n, em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar. Em particular, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2, P2 = {a0 + a1x + a2x²; ai ∈ R} é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 2 Propriedades dos espaços vetoriais Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades: i. Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição). ii. Cada vetor u ∈ V admite apenas um simétrico (–u) ∈ V. iii. Para quaisquer u, v, w ∈ V, se u + v = u + w, então v = w. iv. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se –(–v) = v. v. Quaisquer que sejam u, v ∈ V, existe um e somente um w ∈ V tal que u + w = v. Esse vetor w será representado por w = v – u. vi. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se 0v = 0. vii. Qualquer que seja λ ∈ R, tem-se λ0 = 0. viii. Se λv = 0, então λ = 0 ou v = 0. ix. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se (–1)v = –v. x. Quaisquer que sejam u, v ∈ V e λ ∈ R, tem-se (–λ)v = λ(–v) = – (λv). SUBESPAÇOS VETORIAIS Definição Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, é um subespaço vetorial de V se: i. Para quaisquer u, v ∈ W tem-se u + v ∈ W. ii. Para qualquer α ∈ R, u ∈ W, tem-se α u ∈ W. Observações 1. As condições da definição garantem que ao operarmos em W não obteremos um vetor fora de W. De modo que W é ele próprio um espaço vetorial. 2. Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (condição (ii) para 0=α ). 3. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial. Exemplos 1. Sejam V = R² e W = {(x, 2x); x ∈ R}. Evidentemente, W ≠ Φ, pois (0,0) ∈ W. Verifiquemos as condições (i) e (ii). Para u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2) ∈ W, tem-se: i. u + v = (x1, 2x1) + (x2, 2x2) = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 +x2)) ∈ W, pois a segunda componente de u + v é igual ao dobro da primeira. ii. αu = α(x1, 2x1) = (αx1, 2(αx1)) ∈ W, pois a segunda componente de αu é igual ao dobro da primeira. Portanto, W é um subespaço vetorial de R² que representa geometricamente uma reta que passa pela origem. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 3 Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta que passa pela origem, o vetor soma ainda é uma reta que passa pela origem. E se multiplicarmos um vetor u da reta por um número real α, o vetor αu ainda estará nesta reta. O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem. Por exemplo, a reta W = {(x, 4 – 2x); x ∈ R} não é um subespaço vetorial do R². Se escolhermos os vetores u = (1, 2) e v = (2, 0) de W, temos u + v = (3, 2) ∉ W. Ainda αu ∉ W, para α ≠ 1. Os exemplos destas duas retas sugerem, para qualquer subconjunto W de um espaço vetorial V, que: sempre que 0 ∉ W, W não é subespaço de V. No entanto, se 0 ∈ W não nos enganemos pensando de imediato que W seja subespaço de V, pois será necessário verificar as propriedades (i) e (ii). Para V = R², os subespaços triviais são {(0,0)} e o próprio R², enquanto que os outros subespaços (subespaços próprios) são as retas que passam pela origem. 2. Sejam V = R4 e W = {(x,y,z,0); x,y,z ∈ R}. (0,0,0,0) ∈ W Para u = (x1, y1, z1, 0) e v = (x2, y2, z2, 0) ∈ W: i. u + v = (x1, y1, z1, 0) + (x2, y2, z2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, z1+ z2, 0) ∈ W, pois a quarta componente é nula. ii. αu = α(x1, y1, z1, 0) = (αx1, αy1, αz1, 0) ∈ W, pois a quarta componente é nula. Logo, W é subespaço vetorial de R4. 3. Sejam V = M(3,1) e W o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis. Consideremos o sistema homogêneo =++ =++ =++ 0 0 0 333231 232221 131211 zayaxa zayaxa zayaxa Fazendo: = = = 0 0 0 0X,A 333231 232221 131211 e z y x aaa aaa aaa , o sistema, em notação matricial, será dado por AX = 0, sendo X elemento do conjunto-solução W. Se == == 2 2 2 2 1 1 1 1 X veXu z y x z y x são soluções do sistema, então: AX1 = 0 e AX2 = 0. i. Somando essas igualdades, vem: AX1 + AX2 = 0 ou A(X1 + X2) = 0 ⇒ X1 + X2 ∈ W, isto é, a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema. ii. Multiplicando por α ∈ R a primeira igualdade, vem: α(AX1) = 0 ou A(αX1) = 0 ⇒ αX1 ∈ W, isto é, o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução do sistema. Logo, o conjunto-solução W do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de M(3,1). Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 4 Exercícios 1. Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. OBS: Os símbolos ⊕ e ⊗ , quando utilizados, são para indicar que a adição e a multiplicação por escalar não são usuais. a) V = {(x, x²); x∈R} com as operações definidas por: (x1, x1²) ⊕ (x2, x2²) = (x1 + x2, (x1 + x2)²) α ⊗ (x, x²) = (αx, α²x²) b) V = *+Rcom as operações definidas por x ⊕ y = xy e α⊗ x = xα, ∀ x, y ∈ V. 2. Verifique se os seguintes subconjuntos dos espaços vetoriais dados são subespaços vetoriais destes. a) ( ){ }xyRyxW =∈= ,, 2 2R⊂ b) )(,; 00 2 RMRba ba W ⊂ ∈ = INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS VETORIAIS Definição Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V. W = W1 ∩ W2 = {v ∈ V; v ∈ W1 e v ∈ W2} Teorema: A intersecção W de dois subespaços vetoriais W1 e W2 de V é também um subespaço vetorial de V. Exemplos: 1. V = M(2,2), W1 = =−= 0,; cbda dc ba e W2 = === 0,; bdca dc ba , ou seja, W1 = − d bbd 0 e W2 = '' 0' aa a Para encontrarmos W1 ∩ W2, as condições de W1 e de W2 devem ser satisfeitas simultaneamente. Assim temos: = =⇒= = = a'd - b dd a' a' b 0 0 0 . Portanto W1 ∩ W2 = 00 00 . 2. V = P2(R), espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2. V = {a + bx + cx²; a, b, c ∈ R} W1 = {a + bx + cx²; a – 2b + c = 0} e W2 = {a + bx + cx²; a = 0} W1 ∩ W2 = {a + bx + cx²; – 2b + c = 0, a = 0} Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 5 SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS Definição Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V. W = W1 + W2 = {u + w ∈ V; u ∈ W1 e w ∈ W2} Teorema: A soma W de dois subespaços vetoriais W1 e W2 de V é também um subespaço vetorial de V. Considerando os mesmos espaços e respectivos subespaços dos exemplos anteriores: 1. + −+ = + − daa bbda aa a d bbd '' ' '' 0' 0 W1 + W2 = ∈ − Rcba ca bbc ,,'; ' ou W1 + W2 = −= ywx wz yx ; 2. Sejam p = 2b – c + bx + cx2 ∈ W1 e q = b’x + c’x2 ∈ W2. p + q = (2b – c) + (b + b’)x + (c + c’) x2. Como não existe nenhuma relação de dependência entre os valores 2b – c, b + b’ e c + c’, W1 + W2 é um polinômio qualquer de P2(R). W1 + W2 = P2(R). SOMA DIRETA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS Definição Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é soma direta de W1 e W2 , e se representa por V = W1 ⊕ W2, se V = W1 + W2 e W1 ∩ W2 = {0}. Teorema: Se V é soma direta de W1 e W2 todo vetor v ∈ V se escreve de modo único na forma v = u + w, onde u ∈ W1 e w ∈ W2. Exemplo: Sejam V = R3 , ou seja, V = {(a,b,c); a,b,c ∈ R} e os seus subespaços W1 = {(a, b, 0); a, b ∈ R} e W2 = {(0,0,c); c ∈ R}. R3 é soma direta de W1 e W2, pois W1 + W2 = {(a,b,c); a,b,c ∈ R}e W1 ∩ W2 = {(0,0,0)}. Confirmando o teorema acima, ∀ v = (a,b,c) ∈ R3, (a, b, c) = (a, b, 0) + (0, 0, c), escrito de modo único. Exercício: Sejam W1 = == cbda dc ba e ; e W2 = == dbca dc ba e ; subespaços de M2(R). Determine W1 ∩ W2, W1 + W2 e verifique se M2(R) = W1 ⊕ W2. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 6 COMBINAÇÃO LINEAR Sejam os vetores nvvv ,,, 21 K do espaço vetorial V e os escalares naaa ,,, 21 K . Qualquer vetor ∈v V da forma nn vavavav +++= K2211 é uma combinação linear dos vetores nvvv ,,, 21 K . Exemplo: Em P2, o polinômio 755 2 +−= ttp é uma combinação linear dos polinômios ,1221 +−= ttp 22 += tp e ttp −= 2 3 2 , pois 321 23 pppp ++= . Exercícios 1) Escrever )6,3,4( −=v como combinação linear de ( )2,3,11 −=v e ( )1,4,22 −=v . 2) Para que valor de k a matriz − = k A 0 148 é combinação linear de − = 20 32 1A e − = 40 21 2A ? 3) Mostrar que o vetor ( )4,3=v ∈R² pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear dos vetores ( )0,11 =v , ( )1,02 =v e ( )1,23 −=v . SUBESPAÇOS GERADOS Sejam V um espaço vetorial e { }⊂= nvvvA ,,, 21 K V, Φ≠A . O conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. W = { }Raaavavavavv nnn ∈+++=∈ ,,,;;V 212211 KK é dito subespaço gerado pelo conjunto A. Notação: W = [ nvvv ,,, 21 K ] ou W = G(A). Observações: 1) nvvv ,,, 21 K são ditos vetores geradores do subespaço W. 2) Por definição: A = Ф ⇔ [Ф] = {0}. 3) A ⊂ G(A), ou seja, { }⊂nvvv ,,, 21 K [ nvvv ,,, 21 K ]. 4) Todo subconjunto A de V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. Nesse caso, A é o conjunto gerador de V. 5) Seja W = [ nvvv ,,, 21 K ]. Ao acrescentarmos vetores de W ao conjunto dos geradores, os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço W. 6) A observação 5 nos permite concluir que um espaço vetorial pode ser gerado por uma infinidade de vetores, mas existe um número mínimo de vetores para gerá-lo. Exemplos: 1) i = (1,0) e j = (0,1) geram o R², pois (x,y) = x(1,0) + y(0,1), x, y ∈ R. 2) i = (1,0,0) e j = (0,1,0) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,0)∈R³; x, y ∈ R} que geometricamente representa o plano x0y. 3) i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) geram o R³, pois (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0)+z(0,0,1), x, y, z ∈ R. 4) i = (1,0,0), j = (0,1,0) e v = (3,4,0) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,0)∈R³; x, y ∈ R}. 5) u = (2,-1,3) e v = (0,-1,2) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,z)∈R³; x - 4y -2z = 0} Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 7 6) − − − = 11 13 , 32 21 A gera o subespaço de M2(R): W ∈ +− = Ryx yxy yx ,; 2 . ESPAÇOS FINITAMENTE GERADOS Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A ⊂ V, tal que V = G(A). Todos os exemplos de espaços vetoriais vistos até agora são exemplos de espaços finitamente gerados. Um exemplo de espaço vetorial não finitamente gerado é o espaço P de todos os polinômios reais. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Sejam V um espaço vetorial, { }⊂= nvvvA ,,, 21 K V e 02211 =+++ nnvavava K . O conjunto A diz-se linearmente independente (L.I.) ou os vetores nvvv ,,, 21 K são ditos L.I., caso a equação acima admita apenas a solução trivial 0,,0,0 21 === naaa K . Se existirem soluções 0≠ia para algum i = 1, 2, ..., n, diz-se que o conjunto é linearmente dependente (L.D.) Exemplos: a) Em V = R³, os vetores u = (2,-1,3), v = (-1,0,-2) e w = (2,-3,1) são L.D., pois podemos escrever a combinação linear 3u + 4v – w =0. b) Em V = P3(R), os polinômios 322321 35,4322 xxxpxxxp +−=+++= e 323 24 xxp −= são L.I., pois 0332211 =++ papapa somente quando .0321 === aaa c) Em V = R², i = (1,0) e j = (0,1) são L.I. d) Em V = R², i = (1,0), j = (0,1) e v = (3,-2) são L.D., pois podemos escrever a combinação linear –3i + 2j + v = 0. � Atenção: Faça os cálculos que conferem as afirmações acima. Teorema Um conjunto { }nvvvA ,,, 21 K= é L.D. se, e somente se, pelo menos um desses vetores é combinação linear dos outros. Ou, equivalentemente, um conjunto { }nvvvA ,,, 21 K= é L.I. se, e somente se, nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Do teorema acima podemos concluir que para o caso particular de dois vetores, temos que: � u e v são L.D. se, e somentese, um vetor é múltiplo escalar do outro. Exemplo: ⊂ −− −− = 912 63 , 34 21 A M2(R) é um conjunto L.D., pois podemos escrever a combinação linear = − − −− ⋅ 00 00 912 63 34 21 3 . Notemos que −− ⋅= − 34 21 3 912 63 . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 8 Exercício: Verifique se são L.D. os seguintes conjuntos. 1) { }⊂+−+−−+ 222 743,32,21 xxxxxx P2(R) 2) ( ) ( ){ }⊂− 3,1,1,2 R² PROPRIEDADES DA DEPENDÊNCIA E DA INDEPENDÊNCIA LINEAR Seja V um espaço vetorial. 1. Se A = {v} ⊂ V e v ≠ 0, então A é L.I. 2. Considera-se por definição que o conjunto vazio Ф é L.I. 3. Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é L.D. 4. Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é L.D., então A é também L.D. 5. Se um conjunto A ⊂ V é L.I., então qualquer parte de A é também L.I. Observemos que a recíproca desta afirmação não é verdadeira. De fato, voltando ao exemplo (d), A = {(1,0), (0,1), (3,-2)} temos que qualquer subconjunto próprio de A é L.I. A1 = {(1,0)}, A2 = {(0,1)}, A3 ={(3,-2)}, A4 = {(1,0), (0,1)}, A5 = {(1,0), (3,-2)}, A6 = {(3,-2), (0,1)} Porém verificamos que o conjunto A é LD. 6. Se { }nvvvA ,,, 21 K= é L.I e { }wvvvB n ,,,, 21 K= é L.D., então w é combinação linear dos vetores nvvv ,,, 21 K . BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Um conjunto B = ⊂},,,{ 21 nvvv K V é uma base do espaço vetorial V se: i) B é LI; ii) B gera V. Exemplos: 1) B = {(1, 1), (-1, 0)} é base do R2. OBS: quaisquer dois vetores não colineares do R2, portanto LI formam uma base desse espaço. 2) B = {(1, 0), (0, 1)} é base do R2 , denominada base canônica. 3) B = { }neee ,,, 21 K é base canônica do Rn, onde ( ) ( ) ( )1,,0,0,,0,,0,1,0,0,,0,0,1 21 KKKK === neee são vetores LI e . como escritoser pode R 2211 n nnexexexvv +++=∈∀ K 4) = 10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 B é base canônica de M2(R). 5) B = { }nttt ,,,,1 2 K é base canônica do espaço vetorial Pn e tem n + 1 vetores. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 9 6) B = {(1,2), (-2, -4)} não é base do R2, pois é LD. 7) B = {(3, -1)} não é base do R2, pois não gera todo R2. Esse conjunto gera uma reta que passa pela origem. W = [(3, -1)] = {(x, y) ∈ R2; x = -3y} 8) B = {(1,2,1), (-1,-3,0)} não é base do R3, pois não gera todo R3. B gera o subespaço do R3 ( ){ }03;R,,W 3 =−−∈= zyxzyx e por ser LI é base de W. OBS: Todo conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado. Teorema: Se B = },,,{ 21 nvvv K for uma base de um espaço vetorial V, então i) todo conjunto com mais de n vetores será LD; ii) todo conjunto com menos de n vetores não gera V. Corolário: Duas bases quaisquer de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. DIMENSÃO de um espaço vetorial: é o número de vetores da base de um espaço vetorial. Exemplos: 1) dim R2 = 2 2) dim Rn = n 3) dim M2(R) = 4 4) dim M(m,n) = m⋅n 5) dim Pn = n + 1 6) dim {0} = 0 , pois {0} é gerado pelo conjunto vazio e portanto não possui base. Observações: 1) dim V = n e W é subespaço de V ⇒ dim W ≤ n No caso de dim W = n, então temos que W = V. Ex: V = R3, dim V = 3. A dimensão de qualquer subespaço W do R3 só poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Portanto temos: a. dim W = 0, então W = {(0,0,0)} é a origem. b. dim W = 1, então W é uma reta que passa pela origem. c. dim W = 2, então W é um plano que passa pela origem. d. dim W = 3, então W = R3. 2) Se dim V = n, então qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é LD. 3) Se soubermos que a dim V = n, para obtermos uma base de V basta que apenas uma das condições de base esteja satisfeita, pois a outra ocorrerá como conseqüência. Ou seja: a. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V. b. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V é uma base de V. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 10 EXERCÍCIOS 1. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços de 2ℜ=V . a) ( ){ }.real constante , ,, 2 aaxyyxW =ℜ∈= c) ( ){ }32 ,, xyyxW =ℜ∈= b) ( ){ }xyyxW =ℜ∈= ,, 2 . d) ( ) ( ){ }xsenyyxW =ℜ∈= ,, 2 2. Dados os espaços vetoriais abaixo diga, em cada caso, se W é subespaço vetorial de V sobre ℜ . a) 3ℜ=V . a.1) ( ){ }1 ,,, 3 =++ℜ∈= zyxzyxW . a.2) ( ){ }zyxzyxW +=ℜ∈= 2 ,,, 3 . a.3) ( ){ }0. ,,, 3 =ℜ∈= yxzyxW . c) ( )ℜ= 2PV . c.1) { }02 ,2 =+−∈++= cbaVcbtatW . c.2) { }4 ,2 =∈++= cVcbtatW . b) ( )ℜ= 2MV . b.1) { }VTTAATVAW em fixada , , =∈= . b.2) { }AAVAW =∈= 2 , . b.3) { }inversível é , AVAW ∈= . d) ( )ℜℜ= ,FV . Espaço das funções contínuas de ℜℜ em . d.1) ( ) ( ){ }xfxfVfW −=−∈= , . d.2) ( ){ }03 , =∈= fVfW . 3. Seja ( )ℜ= 2MV e sejam { } { }AAVAWAAVAW tt −=∈==∈= , e , 21 . Mostre que: a) 21 e WW são subespaços de V; b) 21 WWV += ; 4. No exercício anterior, mostre que 21 WWV ⊕= . 5. Escreva, se possível, cada vetor v como combinação linear dos elementos de S, sendo: a) = = 59 14 , 01 00 , 30 00 , 00 23 e 10 11 Sv . b) ( ) ( ) ( ){ }9,2 ,0,1 e 7,2 == Sv . c) ( ) ( ) ( ){ }0,1,0 ,0,0,2 e 3,0,0 == Sv . d) d) ( ) { }3223 ,1 ,t3 ,2 e 1+t+4t+t ttStpv −=== . e) ( ) ( ) ( ){ }3cose 22 , x S xsenxfv === . 6. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: a) ( ){ }02 e 0 ,,, 3 =−=+ℜ∈= yxzxzyxW . b) ( ){ }032 ,,, 3 =−+ℜ∈= zyxzyxW . c) ( ) =ℜ∈ = 0 e 0=c+ ,2 daMdc ba W . d) ( ){ }0 e ,d+ct+bt+at 323 ==ℜ∈= acbPW Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 11 7. Seja { }wvu ,, um conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial V. Mostre que { }wwvuwvu ,3 ,3 −+−+ é L.I. . 8. Determine k de modo que o conjunto ( ) ( ) ( ){ }2,,1 ,,1,1 ,,0,1 kkkk seja L.I. . 9. Mostre que os seguintes pares de vetores em V= ( )ℜℜ,F são L.I. . a) x ,1 b) 2 , xx c) xx eex 2 ,. d) ( ) ( )xxsen cos , 10. Verifique quais dos seguintes conjuntos: i) são L.I. ii) geram os espaços V considerados. iii) são bases dos espaços V considerados. a) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 4 V 1,1,1,1 ,0,1,1,1 ,0,0,1,1 ,0,0,0,1 ℜ=⊂ . b) ( ) ( ) ( ){ } 2 V 2,1 ,1,1 ,1,1 ℜ=⊂− . c) ( )ℜ=⊂ −− − − − − − 2V11 11 00 11 11 11 11 11 M , , , . d) ( )ℜ=⊂ 32V010 000 000 003 002 020 x M , , . e) { } ( )ℜ=⊂+ 22 V1 P t, t, t . f) { } ( )ℜ=⊂− 222 V135 P , t, t . 11. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: a) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2,,3 ,2,0,7 ,2,5,0 ,0,0,1 pi−=W em 3ℜ=V . b) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1,0,3,2 ,1,14,1,3 ,2,7,4,3 ,1,0,3,1 −−−=W em 4ℜ=V . c) ( ){ }tAAMAW =ℜ∈= ,2 em ( )ℜ= 2MV . d) Os subespaçosdo exercício 6. e) ( ) ( )[ ] ( )ℜℜ== , ,os , FVxcxsenW . f) ( )ℜℜ== , ], , ,[ 32 FVeeeW xxx . 12. Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes subespaços: a) ( ) ( ) ( )[ ]1,2,1 ,1,0,3 ,0,1,2 −−=W em 3ℜ=V . b) ( ) ( )[ ]4,2,4 ,2,1,2 −−−=W em 3ℜ=V . c) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0,1,0,0 ,1,0,0,0 ,0,0,1,0 ,1,1,1,1=W em 4ℜ=V . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 12 d) − − = 04 13 , 01 12 , 01 01 W em ( )ℜ= 2MV . e) [ ]1 ,2 , 23 ttttW −+= em ( )ℜ= 3PV . 13. Em cada caso a seguir, determine os subespaços U W U W∩ +, de V e uma base para cada um dos subespaços encontrados: a) 4ℜ=V ( ){ }( ){ } ==∈= =−=+∈= 0 e 0 ,,,, e 0 ,,,, wzVwzyxW zwyxVwzyxU b) 3ℜ=V ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )[ ] −−−= =∈= 3,2,1 ,21,12,7 ,3,2,1 ,0,2,0 e 0 ,,, W xVzyxU c) ( )ℜ= 2MV ==+∈ = ==++∈ = 0 ,03 , e 0 ,02 , wzyV wz yx W zwyxV wz yx U d) 3ℜ=V ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] −−= = 21,1,0 ,1,1,0 e 3,1,1 ,1,1,0 ,2,0,1 W U 14. Dados os vetores ( ) ( ) ( )6814e32110412 ,,, t ,,,, v,,,u ==−= : a) Encontre uma base para [ ]u, v, tS = ; b) Escreva as equações que caracterizam S; c) Que relação deve existir entre a e b para que ( )ba ,0,,0 pertença a S ? d) Seja ( )[ ]2,0,1,0=Y . Determine SY ∩ , ( )SY +dim e uma base para SY + . 15. Verifique se WUV ⊕= nos seguintes casos: a) 32xMV = =∈ = ==∈ = 0 , , dVfed cba W fbaVfed cba U b) 4ℜ=V ( ){ }( ){ } ==∈= =+==+∈= 0 ,,,, 0 ,,,, zxVwzyxW wzywxVwzyxU c) itens do exercício 13o 16. Determine uma base do ℜ5 que contenha o conjunto ( ) ( ){ }0,0,1,0,1 ,0,0,0,1,1 . Justifique sua resposta. 17. Sendo ( ) ( ) ( )[ ]1,12,7 ,1,5,3 ,3,2,1 −−−=W , encontre um subespaço U do 3ℜ tal que WU ⊕=ℜ3 . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 13 18. Sejam 21 e WW subespaços do 5ℜ . Sabendo-se que: • ( ) 4dim 21 =+WW ; • ( ) ( ){ }0,0,1,1,0 ,0,0,1,2,1 é base de 1W ; • ( ) ( ) ( )[ ]1,1,1,2,1 ,1,1,0,1,2 ,0,0,1,1,121 −−−−=∩WW . Determine a dimensão de 2W . Justifique a sua resposta. 19. Sabendo que WV ⊕=ℜ4 e ( ) ( )[ ]12,9,6,3 ,4,3,2,1=V , determine a dimensão de W. Justifique. 20. Sejam V um espaço vetorial de dimensão igual a 6, U e W subespaços de V tais que: a) ( ) ( ) 5dim e 4dim == WU . Mostre que { }0≠∩WU . b) ( ) ( ) 4dimdim == WU . Encontre as possíveis dimensões para U W∩ . 21. Dê, se possível, exemplos de: a) Um conjunto L.I. de 3 vetores que não geram o ℜ3 ; b) Um conjunto L.D. de 3 vetores do ( )M2 ℜ ; c) Um subespaço U de ℜ4 tal que U ≠ ℜ4 e ( )dim U = 4 ; d) Dois subespaços W e U de ℜ5 tais que ( ) ( )dim dimU W U W= = ⊕ = ℜ3 5 e . Caso seja impossível, justifique sua resposta. 22. Determine as coordenadas dos seguintes vetores em relação às bases indicadas: a) ( )354 , , − ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ } −= = 411230121 013021111 , , , , , , , , B' , , , , , , , , B b) − 01 21 ( ) ℜ= = de canônica base 01 00 10 00 00 01 00 11 2MB' , , , B c) ttt 252 23 −+ { }( ) ℜ= ++= de canônica base 32 3 223 PB' , t, t-, tttB Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 14 Respostas 1. a) sim b) não c) não d) não 2. a.1) não a.2) sim a.3) não c.1) sim c,2) não b.1) sim b.2) não b.3) não d.1) sim d.2) sim 5. a) 1 1 0 1 3 5 3 2 0 0 2 3 0 0 0 3 9 5 0 0 1 0 1 5 4 1 9 5 = + + − b) ( ) ( ) ( )2 7 4 9 10 7 9 2 9, , ,= + c) não é possível. d) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t3 2 2 34 1 52 2 13 3 4 1 1+ + + = + + − + e) ( ) ( )sen cos2 21 13 3x x= − + 6. a) ( ){ }2 1 2, ,− b) ( ) ( ){ }− 2 1 0 3 0 1, , , , , c) 1 01 0 0 1 0 0− , d) { }t t2 1+ , 8. k k≠ ≠0 1 e 10. a) i) L.I. ii) sim iii) sim b) i) L.D. ii) sim iii) não c) i) LD. ii) não iii) não d) i) L.I. ii) não iii) não e) i) L.I. ii) sim iii) sim f) i) L.D. ii) não iii) não 11. a) ( ) ( ) ( ){ }B = −10 0 0 5 2 7 0 2, , , , , , , , outra base de W: ( ) ( ) ( ){ } ( )B W' , , , , , , , , , dim= =1 0 0 010 0 01 3 b) ( ) ( ) ( ){ } ( )B W= − =13 01 3 4 7 2 2 301 3, , , , , , , , , , , dim c) ( )B W= = 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3, , , dim d) d.1) ( ){ } ( )B W= − =2 1 2 1, , , dim d.2) ( ) ( ){ } ( )B W= − =2 1 0 3 0 1 2, , , , , , dim d.3) ( )B W= − = 1 0 1 0 0 1 0 0 2, , dim d.4) { } ( )B t t W= + =1 2, , dim 2 e) ( ) ( ){ } ( )B x , x , W= =sen cos dim 2 f) { } ( )B e , e e , Wx x x= =2 3 3, dim 12. a) ( ){ }W x y z x y z= ∈ℜ + − =, , ,3 2 3 0 b) ( ){ }0 ,,, 3 =+ℜ∈= zxzyxW c) W = ℜ4 d) ( )W x y z w M x y z w= ∈ ℜ + − = = 2 0 0, e e) ( ){ }W at bt ct d P c a b= + + + ∈ ℜ = −3 2 3 2, 13. a) ( ){ }U W x,y,z,w , x y , z , w∩ = ∈ℜ + = = =4 0 0 0 ( ){ }BU W∩ = −1 10 0, , , ( ){ }U W x,y,z,w , w z+ = ∈ℜ − =4 0 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 0 010 0 0 0 11, , , , , , , , , , , Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 15 13. b) ( ){ }U W x,y,z x∩ = ∈ℜ3 , = z = 0 ( ){ }BU W∩ = 010, , U W+ = ℜ3 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 010 0 01, , , , , , , , c) U W∩ = 0 0 0 0 não há base. ( )U W M+ = ℜ2 BU W+ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , , , d) ( ){ }U W x,y,z , x , z y∩ = ∈ℜ = =3 0 ( ){ }BU W∩ = 011, , U W+ = ℜ3 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 010 0 01, , , , , , , , 14. a) ( ) ( ){ }B = 10 2 1 010 2, , , , , , , , outra base: ( ) ( ){ }2 14 0 112 3, , , , , , ,− b) ( ){ }S x y z w y z w= ∈ℜ + − =, , , ,4 4 2 0 c) b a= 2 d) ( )Y S Y Y S BY S∩ = + = +, dim , 2 a mesma de S 15. a) não b) sim c) 13a) não 13b) não 13c) sim 13d) não 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }B = 110 0 0 1010 0 0 010 0 0 0 010 0 0 0 01, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 17. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]U U U= = =0 01 010 10 0, , , , , , , , ou por exemplo, ou 18. ( )dim W2 4= 19. ( )dim W = 3 20. a) ( ) { }2 5 0< ∩ < ⇒ ∩ ≠dim U W U W b) 2 3 4, , 21. a) impossível. b) 1 00 0 3 0 0 0 0 1 0 0 , , , por exemplo. c) impossível. d) impossível. 22. a) ( )[ ] ( )[ ]4 5 3 3 5 2 4 5 3 21 17 58 17 47 17 , , , , ' − = − − = − B B e b) 1 2 1 0 2 1 0 1 1 2 1 0 1 2 1 0 − = − − − = − B B e ' c) [ ] [ ]2 5 2 2 3 5 10 3 2 5 2 0 2 5 2 3 2 3 2t t t t t tB B+ − = − − + − = − e ' Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 16 TRANSFORMAÇÃO LINEAR Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V → W é chamada transformação linear de V em W se satisfaz às seguintes condições: I) T(u + v) = T(u) + T(v) II) )()( uTuT αα = ReVvu ∈∀∈∀ α, . • Em particular, uma transformação linear de V em V (ou seja, se W = V) é chamada operador linear sobre V. Exemplos: 1) A transformação nula (ou zero) é linear: T ≡ O O: V → W v 0)(O =va De fato: I) O(u + v) = 0 = 0 + 0 = O(u) + O(v) II) O(αu) = 0 = α ⋅ 0 = α ⋅ O(u) 2) A transformação identidade é linear. IT ≡ vvIv WVI = → )( : a De fato: I) )()()( vIuIvuvuI +=+=+ II) )()( uIuuI ⋅== ααα 3) A transformação projeção de R3 em R2 é linear. ( )zxyxzyxTzyx RRT +−= → 2,),,(),,( : 23 a De fato: I) ( )),,(),,()( 222111 zyxzyxTvuT +=+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )()( 2,2, 22, 2, ,, 22221111 22112211 21212121 212121 vTuT zxyxzxyx zxzxyxyx zzxxyyxx zzyyxxT += +−++−= +++−+−= ++++−+= +++= II) ),,()( zvxTuT αααα = ( ) ( ) )( 2, 2, uT zxyx zxyx α α αααα = +−= +−= 4) A função real F: R→ R, tal que F(u) = u2 não é uma transformação linear. De fato: I) ( ) ( )2vuvuF +=+ )()(222 vFuFuvvu +≠++= II) ( ) ( ) )(222 uFvuuF αααα ≠== Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 17 5) A transformação derivada DT ≡ é linear. Pn(R) é o conjunto dos polinômios reais de grau n e f(t), g(t) são polinômios de Pn(R). )('))(()( )()(: tftfDtf RPRPD nn = → a De fato: I) ( ) ( )')()()()( tgtftgtfD +=+ ( ) ( ))()( )(')(' tgDtfD tgtf += += II) ( ) ( )')()( tftfD αα = ( ))( )(' tfD tf α α = = Exercício: Verifique se são lineares as seguintes aplicações. a) 3 2:T R R→ definida por ( )( , , ) , 2T x y z x y x z= − + b) ( ) 32:T P R R→ definida por ( )20 1 2 0 1 2( ) , 1, 2T a a t a t a a a+ + = − − Propriedades 1. Se WVT →: é uma transformação linear, então ( ) WVT 00 = . Equivalentemente, se ( )0 0V WT ≠ , então WVT →: não é uma transformação linear. Podemos usar esta propriedade para justificar que a transformação do exercício (b) não é linear, pois ( ) ( )0 0, 1, 2T = − − . 2. Se WVT →: é uma transformação linear, então ( ) ( ) ( ) ., e ,, 212122112211 RaaVvvvTavTavavaT ∈∀∈∀+=+ Analogamente, ( ) ( ) ( ) ( ) .,, e ,,, 1122112211 RaaVvvvTavTavTavavavaT nnnnnn ∈∀∈∀+++=+++ KKKK Esta propriedade é muito útil, principalmente se os vetores 1 2, , nv v vK constituem uma base de V, pois podemos encontrar a lei da transformação linear como vem exemplificado abaixo. Exemplo: Sejam 3 2:T R R→ uma transformação linear e ( ) ( ) ( ){ }0,1,0 , 1,0,1 , 1,1,0B = uma base do R³. Sabendo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1,0 1, 2 , 1,0,1 3,1 e 1,1,0 0,2T T T= − = = , determine ( ), ,T x y z e ( )5,3, 2T − . Em primeiro lugar vamos expressar o vetor ( ), ,x y z como combinação linear dos vetores da base. No caso, resolvendo o sistema, determinamos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0,1,0 1,0,1 1,1,0x y z y z x z x z= + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ Aplicando a transformação T e usando a propriedade (2), temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0,1,0 1,0,1 1,1,0 0,1,0 1,0,1 1,1,0 1, 2 3,1 0,2 T x y z T y z x z x z y z x T z T x z T y z x z x z = + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = + − ⋅ − + ⋅ + − ⋅ Portanto, ( ) ( ), , 4 ,4 2 3T x y z x y z x y z= − + + − − e aplicando ao vetor dado, ( ) ( )5,3, 2 10, 20T − = − . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 18 Imagem de uma transformação linear Chama-se imagem de uma transformação linear WVT →: ao conjunto dos vetores w ∈ W que são imagem de vetores v ∈ V. Im(T) = { w ∈ W / T(v) = w para algum v ∈ V} ⊂ W. OBS: 1) ( ) ≠TIm ∅, pois no mínimo o conjunto imagem contém o vetor nulo.( )Im(0 TW ∈ ) 2) Se Im(T) = W , T diz-se transformação sobrejetora, isto é, ( ) . que tal, wvTVvWw =∈∃∈∀ 3) A imagem de uma transformação linear WVT →: é um subespaço vetorial de W. Exemplo: Seja )0,,(),,(,: 33 yxzyxfRRf =→ a projeção ortogonal do R3 sobre o plano x0y. A imagem de f é o próprio plano x0y. Im(f) = { RyxRyx ∈∈ ,/)0,,( 3 } Núcleo de uma transformação linear Chama-se núcleo de uma transformação linear WVT →: ao conjunto de todos os vetores v ∈ V que são transformados em 0 ∈ W. Indica-se este conjunto por N(T) ou ker(T). N(T) = {v ∈ V/ T(v) = 0} Exemplos: 1. No exemplo anterior o núcleo da transformação f é o eixo dos z, pois = = ⇔=⇔= 0 0)0,0,0()0,,()0,0,0(),,( y x yxzyxf Portanto, }/),0,0{()( RzzfN ∈= 2. Dada a transformação linear )83,4(),,(,: 23 zyxzyxzyxTRRT +++−=→ , por definição sabemos que (x, y, z) ∈ N(T) se, e somente, se =++ =+− =+++− 083 04 ou )0,0()83,4( zyx zyx zyxzyx sistema cuja solução é x = – 3z e y = z. Logo, }/),,3{()( 3 RzRzzzTN ∈∈−= . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 19 OBS: 1) N(T) ≠ ∅, pois no mínimo o núcleo contém o vetor nulo.(Se T(0) = 0, )(0 TNV ∈ ) 2) Uma transformação linear é dita injetora, se e somente se, N(T) = {0}. WVT →: é uma transformação injetora se ( ) ( ) 212121 ,, vvvTvTVvv =⇒=∈∀ . 3) O núcleo de uma transformação linear WVT →: é um subespaço vetorial de V. Teorema do Núcleo e da Imagem Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e WVT →: uma transformação linear, VTTN dim)Im(dim)(dim =+ Corolários: Seja WVT →: uma transformação linear. 1. Se dimV = dimW, então T é sobrejetora se, e somente se, T é injetora. 2. Se dimV = dimW e T é injetora, então T transforma base em base, isto é, se { }1 2, , , nB v v v= K é base de V, então ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, , , nT B T v T v T v= K é base de W. Se a transformação linear T não satisfaz a todas as condições do corolário 2, podemos usar um resultado semelhante para gerar a imagem da transformação: Se WVT →: é uma transformação linear e { }1 2, , , nv v vK gera V, então ( ) ( ) ( ){ }1 2, , , nT v T v T vK gera a Im(T). Exercício: Determine o núcleo, a imagem, uma base para o núcleo, uma base para a imagem e a dimensão de cada um deles para as seguintes transformações lineares. 1. 3 3:T R R→ definida por ( )( , , ) 2 , 2 , 3T x y z x y z y z x y z= + − + + + . 2. 3 1: ( )T R P R→ definida por ( ) ( ), ,T x y z x y zt= + + . 3. 3 2:T R R→ tal que ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 31,2 , 0,1 e 1,3T e T e T e= = = − , sendo { }1 2 3, ,e e e a base canônica do R³. Isomorfismo Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação linear WVT →: bijetora (injetora e sobrejetora). Neste caso, V e W são ditos espaços isomorfos. Exemplo: Mostremos que ( ) 32:T P R R→ , definida por ( )2( ) , ,T a bt ct c b c b a+ + = + − , é um isomorfismo. Determinando o N(T): ( )2 0 0 ( ) 0,0,0 0 0 0 0 c c T a bt ct b c b b a a = = + + = ⇒ + = ⇒ = − = = ( ) { }0N T⇒ = T⇒ é injetora. Como T é injetora e dim ( )2P R = dim R³, pelo corolário 2 podemos afirmar que T também é sobrejetora, provando o isomorfismo. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 20 Automorfismo Chama-se automorfismo o operador linear :T V V→ que é bijetor. Proposição Se WVT →: é um isomorfismo, então existe uma transformação inversa 1 :T W V− → que é linear e que também é um isomorfismo. Exercício. Determine 1T − para o isomorfismo do exemplo anterior. Matriz de uma transformação linear Sejam WVT →: uma transformação linear, { }nvvvA ,,, 21 K= uma base de V e { }mwwwB ,,, 21 K= uma base de W. Então ( ) ( ) ( )nvTvTvT ,,, 21 K são vetores de W e podemos escrevê-los como combinação linear dos vetores da base B. ( ) mm wawawavT 12211111 +++= K ( ) mm wawawavT 22221122 +++= K M ( ) mmnnnn wawawavT +++= K2211 A matriz [ ] = mnm2m1 2n2221 1n1211 A B aaa aaa aaa T K MOMM K K é chamada matriz T da transformação em relação às bases A e B. Como [ ]ABT depende das bases A e B, uma transformação linear poderá ter uma infinidade de matrizes para representá-la. No entanto, uma vez fixadas as bases, a matriz é única. Podemos representar a transformação linear pela operação entre matrizes: ( )[ ] [ ] [ ]AABB vTvT ⋅= . Exemplos: 1. Dada a transformação linear ),(),,(,: 23 zyyxzyxTRRT −+=→ e considerando as bases ( ) ( ) ( ){ }1,1,1 , 0,1,1 , 0,0,1A = do R3 e ( ) ( ){ }1,1 , 0,2B = do R2, temos ( ) ( ) ( ) ( )11 211,1,1 2,0 1,1 0,2T a a= = + ( ) ( ) ( ) ( )12 220,1,1 1,0 1,1 0, 2T a a= = + ( ) ( ) ( ) ( )13 230,0,1 0, 1 1,1 0,2T a a= − = + que gera os sistemas: Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 21 11 11 21 2 2 0 a a a = + = , 12 12 22 1 2 0 a a a = + = e 13 13 23 0 2 1 a a a = + = − cujas soluções são 11 21 12 22 13 231 12, 1, 1, , 0,2 2a a a a a a= = − = = − = = − Logo, [ ] 1 1 2 2 1 02 1 A B T = − −− 2. Considerando a mesma transformação do exemplo anterior com as bases canônicas ( ) ( ) ( ){ }' 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1A = do R3 e ( ) ( ){ }' 1,0 , 0,1B = do R2 . ( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 1,0 1 1,0 0 0,1T = = + ( ) ( ) ( ) ( )0,1,0 1,1 1 1,0 1 0,1T = = + ( ) ( ) ( ) ( )0,0,1 0, 1 0 1,0 1 0,1T = − = − Logo, [ ] ' ' 1 1 0 0 1 1 A B T = − No caso de serem A’ e B’ bases canônicas, representa-se a matriz simplesmente por [T], que é chamada matriz canônica de T. Então tem-se: ( )[ ] [ ] [ ]vTvT ⋅= Observemos que calcular T(v) pela matriz [T] é o mesmo que fazê-lo pela fórmula que define T. T(2,1,3) = (2 + 1, 1 – 3) = (3, – 2) ou [ ] − = ⋅ − = 2 3 3 1 2 1 0 1 1 0 1)(vT 3. Dadas as bases ( ) ( ){ }1,1 , 0,1B = do R2 e ( ) ( ) ( ){ }' 0,3,0 , 1,0,0 , 0,1,1B = − do R3, encontremos a transformação linear cuja matriz é [ ] ' 0 2 1 0 1 3 B B T = − − . No caso, desejamos determinar a transformação 2 3:T R R→ tal que ( ) ( ), , ,T x y a b c= . Pelo modo como é determinada a matriz [ ] ' B B T sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 0 0,3,0 1 1,0,0 1 0,1,1 1, 1, 1 0,1 2 0,3,0 0 1,0,0 3 0,1,1 0,9,3 T T = − − − = − − = + − + = Escrevendo (x, y) como combinação linear dos vetores da base B, temos ( ) ( ) ( )( ), 1,1 0,1x y x y x= + − Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 22 Aplicando T : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,1 0,1 1, 1, 1 0,9,3 , 10 9 , 4 3 T x y xT y x T x y x x x y x y = + − = − − + − = − + − + Do exemplo acima, observamos que dada uma matriz e fixada duas bases em V e em W esta matriz representa uma transformação linear. Esta mesma matriz numa outra dupla de bases representará uma transformação linear diferente. 4. Considerando que a matriz [ ] 0 2 1 0 1 3 T = − − é a matriz canônica da transformação, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,0 0 1,0,0 1 0,1,0 1 0,0,1 0, 1, 1 0,1 2 1,0,0 0 0,1,0 3 0,0,1 2,0,3 T T = − − = − − = + + = e, portanto, ( ) ( ) ( ), 1,0 0,1x y x y= + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,0 0,1 , 0, 1, 1 2,0,3T x y xT yT T x y x y= + ⇒ = − − + ( ) ( ), 2 , , 3T x y y x x y= − − + As matrizes das transformações lineares são importantes, pois: • muitas vezes respostas a questões teóricas sobre a estrutura de uma transformação linear podem ser obtidas estudando as características da matriz da transformação; • estas matrizes tornam possível calcular as imagens de vetores usando a multiplicação matricial. Estes cálculos podem ser efetuados rapidamente em computadores. Teorema Sejam WVT →: uma transformação linear e A e B bases de V e W, respectivamente. Então [ ] [ ] [ ] [ ] dim Im( ) posto de dim ( ) nulidade de nº de colunas de posto de A B A A A B B B T T N T T T T = = = − Teorema Sejam A e B bases dos espaços vetoriais V e W, respectivamente. Uma transformação linear WVT →: é inversível se, e somente se, [ ]ABT é inversível. Além disso, se T é inversível, então [ ]( ) 11 B ABAT T −− = . Corolário Sejam A e B bases dos espaços vetoriais V e W, respectivamente e WVT →: uma transformação linear. T é inversível se, e somente se, det [ ]ABT 0≠ . Exercício. Seja 2 2:T R R→ uma transformação linear dada pela matriz canônica [ ] 3 4 2 3 T = . Verifique se T é inversível. Caso o seja, determine T-1(x, y). Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 23 Autovalores (Valores Próprios) e Autovetores (Vetores Próprios) Definição Seja :T V V→ um operador linear. Um vetor v V∈ , 0v ≠ , é um autovetor (ou vetor próprio) do operador T se existe Rλ ∈ tal que ( )T v vλ= . λ é denominado autovalor (ou valor próprio, valor característico, valor espectral) associado ao autovetor v. Exemplos: 1. Seja 2 2:T R R→ tal que ( ) ( ), , ,T x y x y Rλ λ= ∈ . Este operador tem λ como autovalor e qualquer ( ) ( ), 0,0x y ≠ como autovetor correspondente. Se i. 0λ < , T inverte o sentido do vetor; ii. 1λ > , T dilata o vetor; iii. 1λ > , T contrai o vetor; iv. 1λ = , T é a transformação identidade. 2. Seja 2 2:T R R→ definida por ( ) ( ), ,T x y x y= − , a transformação reflexão no eixo x. Os vetores da forma (0, y), são tais que ( ) ( )0, 0,T y y= − , ou seja, ( ) ( )0, 1 0,T y y= − . Assim, todo vetor (0, y), y ≠ 0 é autovetor de T com autovalor 1λ = − . Também para todo vetor (x, 0) temos que ( ) ( ) ( ),0 ,0 1 ,0T x x x= = . Daí, dizemos que todo vetor (x, 0), x ≠ 0 é autovetorde T com autovalor 1λ = . 3. Seja 2 2:T R R→ definida por ( ) ( ), ,T x y y x= − , a transformação rotação de 90°. Notemos que nenhum outro vetor diferente do vetor nulo é levado por T num múltiplo de si mesmo. Logo, este operador T não tem autovalores nem autovetores. y x u T(u) v T(v) y x u T(u) Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 24 Determinação dos autovalores e autovetores Seja o operador : n nT R R→ cuja matriz matriz canônica é 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a … … = … M M O M , ou seja, A =[T]. Se v e λ são, respectivamente, autovetor e autovalor associado, temos: 0A v v A v vλ λ⋅ = ⇔ ⋅ − = (v é a matriz coluna n x 1 e 0 é a matriz nula n x 1) Tendo em vista que v I v= ⋅ , onde I é a matriz identidade de ordem n, podemos escrever ( ) 0 0 A v I v A I v λ λ ⋅ − ⋅ = − ⋅ = Para que o sistema homogêneo admita soluções não nulas, isto é 0 0 0 x v y z = ≠ , este deve ser indeterminado e portanto, devemos ter ( )det 0A Iλ− = . 11 12 1 21 22 2 1 2 det 0 n n n n nn a a a a a a a a a λ λ λ − − − … … = … M M O M A equação ( )det 0A Iλ− = é denominada equação característica do operador T ou da matriz A e suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A. O ( )det A Iλ− é um polinômio na variável λ denominado polinômio característico. Determinamos os autovetores correspondentes substituindo os autovalores encontrados λ no sistema homogêneo de equações lineares. Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 3 3:T R R→ definido por ( ) ( ), , 3 4 ,3 5 ,T x y z x z y z z= − + − . 1) Matriz canônica de T: 3 0 4 0 3 5 0 0 1 A − = − 2) 3 0 4 0 3 5 0 0 1 A I λ λ λ λ − − − = − − − 3) Equação característica: ( )det 0A Iλ− = ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 3 1 0 1 λλ λ λ λ = ⇒ − ⋅ − ⋅ − − = ⇒ = − Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 25 4) Cálculo dos autovetores associados: Para 1 3λ = , temos o sistema 3 3 0 4 0 4 0 0 3 3 5 0 5 0 , e 0 0 0 1 3 0 4 0 x z y z x y R z z z − − − = − ⋅ = ⇒ = ⇒∀ ∈ = − − − = Portanto temos os autovetores (x, y, 0) associados ao autovalor 3. Verificação: ( ) ( ) ( )2,4,0 6,12,0 3 2,4,0T = = ⋅ . Para 2 1λ = − , temos 4 0 4 0 4 4 0 0 4 5 0 ,54 5 0 0 0 0 0 4 x x z x z y z R y z y z z − = − = ⋅ = ⇒ ⇒ ∀ ∈ + = = − Portanto temos os autovetores 5, , 4 z z z − associados ao autovalor 1− . Verificação: ( ) ( ) ( )4, 5,4 4,5, 4 1 4, 5, 4T − = − − = − ⋅ − . Teorema Dado um operador linear T: V → V, o conjunto formado pelos autovetores associados a um autovalor λ e o vetor nulo é subespaço vetorial de V, isto é, ( ){ };V v V T v vλ λ= ∈ = é subespaço de V. Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 26 EXERCÍCIOS 1. Verifique quais das seguintes aplicações são lineares: a) T:ℜ → ℜ3 2 definida por ( ) ( )T x y z x y, , ,= b) T:ℜ → ℜ2 definida por ( )T x y x y, .= c) T:ℜ → ℜ definida por ( )T x x= d) T:ℜ → ℜ3 2 definida por ( ) ( )T x y z x y z, , ,= −2 3 e) ( )T M:ℜ → ℜ2 2 definida por ( )T x y x y y, = + 2 0 0 f) ( )T M x: 2 3 2ℜ → ℜ definida por ( )T a b cd e f a e c f = + +, g) ℜ→ℜ:T definida por ( ) ( )xsenxT = 2. Determine a transformação linear para cada uma das aplicações abaixo: a) T:ℜ → ℜ2 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( )T T12 3 15 01 2 1 4, , , , , ,= − = − e b) T:ℜ → ℜ3 2 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T10 0 2 0 01 0 11 0 01 0 1, , , , , , , , , ,= = = − e c) T:ℜ → ℜ3 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T12 1 12 3 010 2 15 0 4 1 0 3 2, , , , , , , , , , , , ,= = = e d) ( )T P: 2 2ℜ → ℜ tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T x T x1 01 0 5 5 72= = =, , , , e e) ( )T M x:ℜ → ℜ3 2 3 tal que ( ) ( ) ( )T T T10 0 1 0 03 4 5 012 2 0 0 6 8 10 0 0 1 3 0 0 1 0 0 5, , , , , , ,= = = e 3. a) Qual a transformação linear T:ℜ → ℜ2 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( )T T11 3 2 1 0 2 010, , , , , ,= − = e ? b) Determine ( ) ( )T T10 01, , e , usando o item (a). c) Qual a transformação linear S:ℜ → ℜ3 2 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S3 2 1 11 010 0 2 0 01 0 0, , , , , , , , , ,= = − = e ? d) Determine a transformação linear composta SoT:ℜ → ℜ2 2 , usando os itens (a) e (c). 4. Determine a dimensão do núcleo e da imagem e suas respectivas bases da aplicação linear T do: a) exercício 1, itens (a), (d) e (e). b) exercício 2, itens (b), (d) e (e). 5. Sendo T:ℜ → ℜ3 5 definida por ( ) ( )T x y z x y x y z x z, , , , , ,= + − + + 2 0 3 0 , determine uma base de N(T) e Im(T). 6. Determine uma transformação linear: a) T:ℜ → ℜ3 3 cuja imagem seja gerada por ( ) ( ){ }12 3 4 5 6, , , , , . b) T:ℜ → ℜ3 2 tal que ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]N T T= =10 0 0 2 0 2 4, , , , , Im , e , considere ( ) ( ) ( ){ }β = 1 0 0 0 2 0 0 0 1, , , , , , , , base do 3ℜ . c) T:ℜ → ℜ3 4 tal que ( ) ( ) ( )[ ]Im , , , , , , ,T = 112 1 2 101 . 7. Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso não existam, justifique. a) Uma aplicação linear injetora T:ℜ → ℜ3 2 . b) Uma aplicação linear sobrejetora T:ℜ → ℜ2 3 . c) Uma aplicação linear T:ℜ → ℜ2 2 , tal que ( ) ( ){ }T T01 10, , , seja uma base para ℜ2 . Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 27 d) Uma aplicação linear T V W: → tal que ( ) { }Im T = 0 . e) Uma aplicação linear T:ℜ → ℜ5 5 , tal que seja injetora, mas não seja sobrejetora. 8. Seja T V V: → uma transformação linear. Sabendo-se que ( ) ( ) ( )( )dim dim ImV N T T= ∩ =5 2 e . a) Determine, justificando, a ( ) ( )( )dim ImN T T+ . b) T pode ser injetora ? Justifique. 9. Mostre que a aplicação ( )T P:ℜ → ℜ2 1 , definida por ( )T x y x y t x, ( ). .= + + 1 é um isomorfismo. 10. Determine a transformação linear 43: ℜ→ℜT tal que ( ) ( ){ }N T x y z z x y= ∈ℜ = −, , ;3 e ( ) ( )T 0 01 0 0 01, , , , ,= . 11. Consideremos a transformação linear 23: ℜ→ℜT definida por ( ) ( )yxzyxzyxT 2,2,, +−+= e as bases ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 2 3 do 1,0,1,1 e do 1,1,0,0,1,2,0,0,1 ℜ−=ℜ−= BA . Determine a matriz [ ] .ABT 12. Seja a transformação linear ( ) ( )yyxyxyxTT 2,3,2,,: 32 −+−=ℜ→ℜ e as bases ( ) ( ){ }1,2,1,1−=A e ( ) ( ) ( ){ }0,1,1,1,1,0,1,0,0 −=B . Determine [ ] .ABT Qual a matriz [ ]ACT , onde C é a base canônica do 3ℜ ? 13. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T:ℜ → ℜ2 3 nas bases ( ) ( ){ }0,1,1,1−=A do 2ℜ e ( ) ( ) ( ){ }1,0,3,0,1,2,1,1,1 −=B do 3ℜ é [ ] − = 1 5 1 1 2 3 A BT , encontre a expressão de ( )yxT , e a matriz [ ]T . 14. Seja [ ] − − = 31 02 21 T a matriz canônica de uma transformação linear T:ℜ → ℜ2 3 . Se ( ) ( )2,4,2 −=vT , calcule v. 15. Seja T o operador linear dado pela matriz − − 221 102 121 . Determine: a. N(T) e dim N(T) b. Im(T) e dim Im(T).AUTOVALORES E AUTOVETORES 1. Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes: a) v = (-2,1), 31 22 b) v = (-2,1,3), − 121 232 011 2. Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares: a) 22: ℜ→ℜT ; T(x,y) = (x + 2y, – x + 4y); b) 22: ℜ→ℜT ; ( ) ( )yxyxyxT 3,22, ++= c) 22: ℜ→ℜT ; T(x,y) = (5x – y, x + 3y); d) 22: ℜ→ℜT ; T(x,y) = (y, – x); e) 33: ℜ→ℜT ; ( ) ( )zyzyzyxzyxT 32,2,,, ++++= f) 33: ℜ→ℜT ; ( ) ( )zyxyxxzyxT 22,2,,, ++−−= g) 33: ℜ→ℜT ; ( ) ( )zyyxzyxT ,,,, += Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 28 3. Os vetores )1,1(1 =v e )1,2(2 −=v são autovetores de um operador linear 22: ℜ→ℜT , associados a 51 =λ e 12 −=λ , respectivamente. Determine a imagem do vetor )1,4(=v por esse operador. 4. a) Determine o operador linear 22: ℜ→ℜT cujos autovalores são 3 e 1 21 == λλ associados aos autovetores ( ) ),0( e , 21 yvyyv =−= , respectivamente. b) Mesmo enunciado para 2 ,3 21 −== λλ e ( ) )0,( ,2, 21 xvxxv −== . 5. Se 41 =λ e 22 =λ , são autovalores de 22: ℜ→ℜT , associados aos autovetores u = (2,1) e v = (–1,3), respectivamente, determine T(3u – v). 6. Seja um operador linear 22: ℜ→ℜT , tal que T(u) = u e T(v) = 2 1 v para algum vetor u ( e v) ∈ 2ℜ . Determine T(w) se u = (0,2), v = (2,6) e w = (3,7). Respostas 1. São lineares as funções dos itens (a), (d), (e), (f). 2. a) ( ) ( )T x,y x y, x y, x y= − + − + −2 3 13 4 b) ( ) ( )T x,y,z x y, y z= + −2 c) ( ) ( )T x,y,z x y z, x y z, x y z= + − + − + −5 2 8 11 5 18 d) ( ) ( )T a bx cx c, a+ b+ c+ + =2 5 5 7 e) ( )T x y z x y z y x y x y x y z , , = + − + + − + 2 0 3 6 3 6 4 8 5 20 15 3. a) ( ) ( )( )T x,y x, x y , x= −3 5 2 b) ( ) ( ) ( ) ( )T , , , T , , , 10 3 5 2 1 01 0 1 2 0= = − e c) ( ) ( )( )S x,y,z x , x y= −3 5 6 3 d) ( ) ( )SoT x,y x, y= 4. a) 1.a) ( ) ( ){ }β N T = 0 01, , ( ) ( ) ( ){ }β Im , , ,T = 10 0 1 1.d) ( ) ( ){ }β N T = 01 3, , ( ) ( ) ( ){ }β Im , , ,T = 10 0 1 1.e) ( ) ( ){ }β N T = 0 0, ( )β Im ,T = 1 0 0 0 2 0 0 1 b) 2.b) ( ) ( ){ }β N T = −12 2, , ( ) ( ) ( ){ }β Im , , ,T = 10 0 1 2.d) ( ) { }β N T x= − 5 ( ) ( ) ( ){ }β Im , , ,T = 10 0 1 2.e) ( ) ( ){ }βN T = − 2 12, , ( )β Im ,T = 0 0 3 0 0 15 1 0 0 3 4 5 Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 29 5. ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }β βN T T= − = −113 12 0 3 0 1 10 0 0, , , , , , , , , , ,Im e 6. a) ( ) ( )T x,y x y, x y, x y= + + +4 2 5 3 6 b) ( ) ( )T x,y,z z, z= 2 4 c) ( ) ( )T x,y,z x y, x y, x x y= + + +2 2 , 7. a) Impossível. b) Impossível. c) Qualquer aplicação injetiva (ou sobrejetiva). d) A aplicação nula. e) Não existe. 8. a) ( ) ( )( )dim ImN T T+ = 3 b) Não. ( )( )dim N T ≠ 0 10. ( ) ( )T x,y,z , , , z x y= − +0 0 0 11. −− 233 032 12. −− − − 22 52 33 e 33 25 03 13. ( ) ( ) [ ] −− =−−++= 42 116 188 e42,116,188, TyxyxyxyxT 14. v = (2,0) 15. ( ){ } ( ) ( ){ } 2)Im(dim,0;,,Im) 1)(dim,;4,3,2)() 3 ==+−ℜ∈= =ℜ∈−−= TzyxzyxTb TNzzzzTNa Autovalores e autovetores 1. a) Sim b) Não 2. a) ),2(,2);,(,3 2211 yyvyyv ==== λλ b) ),(,4);,2(,1 2211 yyvyyv ==−== λλ c) ),(,421 xxv === λλ d) Não existem. e) )2,,(,4);,,(,1 3321 xxxvyyxv ==−=== λλλ f) )1,0,0(,2);1,3,0(,1);1,3,3(,1 332211 zvzvzv ==−=−=−== λλλ g) ),0,(,1321 zxv ==== λλλ , x e z não simultaneamente nulos. 3. (8,11) 4. a) ( )yxxyxT 32,),( += b) +−= yyxyxT 3, 2 52),( 5. (26,6) 6. 2 5 , 2 3 Prof.ª Isabel Cristina C. Leite Álgebra Linear 30 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS • STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987 • CALLIOLI, Carlos A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C. F. Álgebra linear e aplicações. 6a edição. Atual Editora. 1998. • ANTON Howard. & RORRES Chris. Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Bookman. 8a Edição. • BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. Harbra. 1984. • LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. 3a edição. Coleção Schaum. Editora Makron Books. • SANTOS, REGINALDO J. Álgebra Linear e Aplicações. Belo Horizonte, Imprensa Universitária da UFMG, 2006. Livro disponível para download no site www.mat.ufmg.br/~regi
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