Aula 9 Distâncias

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Centro de Engenharia da Mobilidade 
Distâncias 
 
Professor Adriano Verdério 
Geometria Analítica 9 
Centro de Engenharia da Mobilidade 
A aula de hoje! 
 
1. Distância entre dois pontos 
2. Distância de um ponto a uma reta 
3. Distância entre duas retas 
4. Distância de um ponto a um plano 
5. Distância entre dois planos 
6. Distância de uma reta a um plano 
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1. Distância entre dois pontos 
 Dados os pontos 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑃2 =
(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), a distância 𝑑 entre eles é P1P2 . 
Como: 
P1P2=𝑃2-𝑃1 =(𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1), 
então: 
𝑑 𝑃1, 𝑃2 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2+(𝑧2 − 𝑧1)2 
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Exemplo 8: Calcular a distância entre os pontos 
P1 (2,-1,3) e P2 (1,1,5). 
 
𝑑 𝑃1, 𝑃2 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2+(𝑧2 − 𝑧1)2 
 = (1 − 2)2+(1 − (−1))2+(5 − 3)2 
 = 1 + 4 + 4 
 = 9 
 = 3.u.c. 
 
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2. Distância de um Ponto a uma Reta 
𝑃0 
𝑟 
Considere uma reta 𝑟 definida por um ponto 
𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e pelo vetor diretor 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) e 
seja 𝑃0= (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) um ponto qualquer do 
espaço. 
𝑃1 
𝑑(𝑃0, r)?? 𝑣 
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Sabe-se que a área de um paralelogramo é 
dada pelo produto da base pela altura: 
𝐴 = |𝑣 |𝑑 (a) 
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 Ou, de acordo com a interpretação 
geométrica do módulo do produto 
vetorial, por: 
𝐴 = |𝑣 × 𝑃1𝑃0| (b) 
Comparando (a) e (b) temos: 
|𝑣 |𝑑 = |𝑣 × 𝑃1𝑃0| 
Assim: 
 𝑑(𝑃0, 𝑟) =
|𝑣×𝑃1𝑃0|
|𝑣|
 . 
𝐴 = |𝑣 |𝑑 (a) 
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Assim, temos a distância do ponto 
𝑃0 à reta 𝑟 dada por: 
 
𝑑 𝑃0, r =
|𝑣 × 𝑃1𝑃0|
|𝑣 |
 
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Exemplo 9: Calcular a distância do ponto 
𝑃0(2,-1,4) à reta r: 
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 2 − 1𝑡
𝑧 = 3 − 2𝑡
 
Solução: 
 𝑟 passa por 𝑃1(-1,2,3) 
 𝑟 tem vetor diretor 𝒗 = (𝟐,−𝟏,−𝟐) 
 𝑃1𝑃0 = (2,−1,4)− (−1,2,3) = 3,−1,1 
𝑑 𝑃0, r =
|𝑣 × 𝑃1𝑃0|
|𝑣 |
 
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Assim: 
𝑣 × 𝑃1𝑃0 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 −1 −2
3 −1 1
= (−3,−8,1) 
E portanto: 
𝑑 𝑃0, r =
|𝑣 × 𝑃1𝑃0|
|𝑣 |
=
|(−3,−8,1)|
|(2, −1,−2)|
 
 =
(−3)2+(−8)2+12
22+(−1)2+(−2)2
 
 =
74
3
 u. c. 
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Exemplo 10: Calcular a distância do 
ponto 𝑃0(2,0,7) à reta 𝑟:
𝑥
2
=
𝑦−2
2
=
𝑧+3
1
. 
Solução: 
𝑟 passa por 𝑃1(0,2, −3) 
𝑟 tem vetor diretor 𝑣 = 2,2,1 
Solução: 
𝑟 passa por 𝑃1(0,2, −3) 
𝑟 tem vetor diretor 𝑣 = 2,2,1 
𝑃1𝑃0 = 𝑃0 − 𝑃1 = 2,−2,10 
𝑣 × 𝑃1𝑃0 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 2 1
2 −2 10
= (22,−18,−8) 
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Logo, a distância de 𝑃0 a 𝑟 é dada 
por: 
 
𝑑 𝑃0, r =
|𝑣 × 𝑃1𝑃0|
|𝑣 |
 
 
Logo, a distância de 𝑃0 a 𝑟 é dada 
por: 
 
𝑑 𝑃0, r =
|𝑣 × 𝑃1𝑃0|
|𝑣 |
 
 =
|(22,−18,−8)|
|(2,2,1)|
 
 = 
222+(−18)2+(−8)2
22+22+12
 
 =
872
3
 u. c. 
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3. Distância entre Duas Retas 
3.1 As Retas são Concorrentes 
A distância 𝒅 entre as duas retas 𝑟 e 𝑠 
concorrentes é nula, por definição. 
𝑟 
𝑠 
𝑑 𝑟, 𝑠 = 0 
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3.2 As Retas são Paralelas 
𝑟 
𝑠 
𝑑 
𝑃0 
A distância 𝒅 entre as retas 𝑟 e 𝑠, paralelas, 
é a distância de um ponto qualquer 𝑃0 de 
uma delas à outra reta, isto é: 
𝑑 𝑟, 𝑠 = 𝑑(𝑃0,𝑟), 𝑃0 ∈ 𝑠. 
Como se vê, a distância entre duas retas 
paralelas se reduz ao cálculo da distância de um 
ponto a uma reta!! 
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Exemplo 11: Calcular a distância entre 
as retas 
𝑟: 
𝑦 = −2𝑥 + 3
𝑧 = 2𝑥 
 e 𝑠:
𝑥+1
−2
=
𝑦−1
4
=
𝑧+3
−4
. 
Solução: 
 𝑟 passa por 𝑃𝑟(0,3,0) 
 𝑟 tem vetor diretor 𝑣𝑟 = 1,−2,2 
 
 𝑠 passa por 𝑃𝑠(−1,1, −3) 
 𝑠 tem vetor diretor 𝑣𝑠 = −2,4,−4 
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As retas, na verdade, são paralelas: 
𝑣𝑟 = 1,−2,2 
𝑣𝑠 = −2,4, −4 
𝑣𝑟 = −2𝑣𝑠 
Calculemos a distância entre s e r: 
𝑑 𝑠, 𝑟 = 𝑑(𝑃𝑠,𝑟), 𝑃𝑠∈ 𝑠 
𝑠 
𝑟 
𝑑 
𝑃𝑠 
𝑃𝑟 
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𝑑 𝑃0, s =
|𝑣 × 𝑃𝑟𝑃𝑠|
|𝑣 |
=
|(−2,4, −4) × (1,2,3)|
|(−2,4, −4)|
 
 
𝑑 𝑃0, s =
|𝑣 × 𝑃𝑟𝑃𝑠|
|𝑣 |
=
|(−2,4, −4) × (1,2,3)|
|(−2,4, −4)|
 
 =
|(20,2,−8)|
|(−2,4,−4)|
 = 
400+4+64
4+16+16
 
 
𝑑 𝑃0, s =
|𝑣 × 𝑃𝑟𝑃𝑠|
|𝑣 |
=
|(−2,4, −4) × (1,2,3)|
|(−2,4, −4)|
 
 =
|(20,2,−8)|
|(−2,4,−4)|
 = 
400+4+64
4+16+16
 
 =
468
36
=
6 13
6
= 13u. c. 
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Exemplo 12: Calcular a distância entre 
as retas 
𝑟: 
𝑦 = −2𝑥 + 3
𝑧 = 2𝑥 
 e 𝑠:
𝑥+1
−2
=
𝑦−1
4
=
𝑧+3
−4
. 
Solução: 
 𝑟 passa por 𝑃𝑟(0,3,0) 
 𝑟 tem vetor diretor 𝑣𝑟 = 1,−2,2 
 
 𝑠 passa por 𝑃𝑠(−1,1, −3) 
 𝑠 tem vetor diretor 𝑣𝑠 = −2,4,−4 
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3.3 As Retas são Reversas 
 Consideremos a reta 𝑟 definida 
por um ponto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e pelo 
vetor diretor 𝑢 = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e a reta 𝑠 
pelo ponto 𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e pelo vetor 
diretor 𝑢 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2). 
𝑟 
𝑠 
𝑢 
𝑣 
𝑃1 
𝑃2 
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Os vetores 𝑢, 𝑣 e P1P2 = 
(𝑥2 – 𝑥1, 𝑦2 – 𝑦1, 𝑧2 – 𝑧1) determinam um 
paralelepípedo. 
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A base desse paralelepípedo é 
definida pelos vetores 𝑢 e 𝑣 e a altura 
corresponde à distância 𝑑 entre as 
retas 𝑟 e 𝑠, porque a reta 𝑠 é paralela 
ao plano da base do paralelepípedo 
uma que vez que sua direção é a do 
vetor 𝑣 . 
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Como o volume 𝑉 de um paralelepípedo é 
dado pelo produto da área da base pela altura: 
a) 𝑉 = 𝑢 × 𝑣 . 𝑑 
E pela a interpretação geométrica do módulo do 
produto misto, 𝑉 é dado por: 
b) 𝑉 = |(𝑢, 𝑣 , 𝑃1𝑃2, )| 
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Comparando (a) e (b): 
|𝑢 × 𝑣 |𝑑 = |(𝑢, 𝑣 , 𝑃1𝑃2)| 
 
Segue que 
 
𝑑 = 𝑑(𝑟, 𝑠) =
|(𝑢, 𝑣 , 𝑃1𝑃2)|
|𝑢 × 𝑣 |
 
 
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Exemplo 13: Calcular a distância entre 
as retas 
𝑟: 
𝑦 = 1
𝑥 + 2 =
𝑧−4
−2
 
 e 𝑠: 
𝑥 = 3
𝑦 = 2𝑡 − 1
𝑧 = −𝑡 + 3
 
Solução: 
 𝑟 passa por 𝑃𝑟(−2,1,4) 
 𝑟 tem vetor diretor 𝑣𝑟 = 1,0, −2 
 
 𝑠 passa por 𝑃𝑠(3, −1,3) 
 𝑠 tem vetor diretor 𝑣𝑠 = 0,2,−1 
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Temos: P1P2= (5,-2,-1) 
(𝑢, 𝑣 , 𝑃1𝑃2)=
1 0 −2
0 2 −1
5 −2 −1
= 16 
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘 
2 2 1
2 −2 10
=(4,1,2) 
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Logo, a distância entre as retas é: 
 
𝑑 𝑟, 𝑠 =
(𝑢, 𝑣 , 𝑃1𝑃2)
𝑢 × 𝑣 
 
 =
|16|
|(4,1,2)|
 
 =
16
21
 u.c. 
 
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4. Distância a um Ponto ao Plano 
Sejam um ponto P0 (x0,y0,z0) e um plano 
Sejam A o pé da perpendicular 
conduzida por P0 sobre o plano 
 e P (x,y,z) um ponto qualquer 
desse plano. 
𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
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O vetor 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) é normal ao plano  e, por 
conseguinte, o vetor 𝐴𝑃0 tem a mesma direção de n. 
A distância d do ponto P0 ao plano  é: 
Observando que o vetor 𝐴𝑃0 é a projeção do vetor𝑃𝑃0 
na direção de 𝑛, então 
𝑑 𝑃0, 𝜋 = 𝐴𝑃0 
𝑑 𝑃0, 𝜋 = 𝐴𝑃0 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑛𝑃𝑃0 =
𝑃𝑃0 ∙ 𝑛
𝑛 2
𝑛 
𝑑 𝑃0, 𝜋 =
𝑃𝑃0 ∙ 𝑛
𝑛
 
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Como 
𝐴𝑃0 = 𝑥𝑜 − 𝑥, 𝑦0 − 𝑦, 𝑧0 − 𝑧 
𝑑 𝑃0, 𝜋 =
𝑃𝑃0 ∙ 𝑛
𝑛
 
e 
𝑛
𝑛
=
(𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
𝑑 𝑃0, 𝜋 =
𝑎 𝑥0 − 𝑥 + 𝑏 𝑦0 − 𝑦 + 𝑐(𝑧0 − 𝑧)
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
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𝑑 𝑃0, 𝜋 =
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
Em virtude de 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pertencer ao plano : 
e, portanto: 
−𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 − 𝑐𝑧 = 𝑑 
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PROBLEMA 
5) Calcular a distância do ponto P0 (-4,2,5) ao plano : 2x + y + 2z + 8 =0 
No caso presente, tem-se: 
I) coordenadas do ponto P0: 
II) coordenadas do vetor normal n: 
Substituindo esses valores na equação ao lado, vem: 
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5. Distância entre Dois Planos 
A distância entre dois planos é definida somente 
quando os planos forem paralelos. 
Dados dois planos 1 e 2, paralelos, a distância d 
entre eles é a distância de um ponto qualquer de um 
dos planos ao outro: 
ou: 
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PROBLEMA 
6) Calcular a distância entre os planos 
Solução: 
Um ponto de 1 é P0 (0,0,5) e um vetor normal a 2 é n = (4,-4,2). 
Portanto, então 
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Outra forma de solução 
Como os planos 
são paralelos, sempre é possível obter 
𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎, 𝑏1 = 𝑏2 = 𝑏 𝑒 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐 
Levando em conta que 
considerando a equação de 2: 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑥0 + 𝑥𝑧0 = −𝑑2, 
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6. Distância de uma Reta a um Plano 
A distância de uma reta a um plano é definida somente 
quando a reta é paralela ao plano. 
 
Dada uma reta r paralela a um plano , a distância d da 
reta ao plano é a distância de um ponto qualquer da 
reta ao plano, isto é, 
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Exercício 1 
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Exercício 2 
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Exercício 3