Estatistica PMMG

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Prof. Brunno Lima 
Matemática p/ PM MG – 2015 – Interior 
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Professor: Brunno Lima 
Aulas: 25 
 
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Apresentação 
 
Olá! Sou o professor Brunno Lima e desde 2005 leciono em cursos preparatórios para 
concursos. Já tive o prazer de ministrar aulas em muitas cidades do país, entre elas, Belo 
Horizonte, Rio de Janeiro, Niterói, Salvador, Recife, além de Juiz de Fora, minha cidade natal. 
Desde que entrei no mercado dos concursos não saí mais. Hoje em dia posso dizer que 
respiro concurso público quase 24 horas por dia! Já fui aprovado em alguns concursos, mas 
até hoje não assumi nenhum deles (por opção!). A sala de aula ainda me encanta mais e a 
aprovação de vocês é o meu combustível. Ajudo concurseiros de todo o Brasil ministrando 
aulas de Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira. 
Minha missão nesse curso é mostrar a vocês que a Estatística não é assim tão 
complicada. Farei isso com um grande foco na resolução de questões. E acredite! Algumas 
questões da sua prova serão muito, muito, muito parecidas com as que resolveremos aqui. 
Portanto, aproveite seu tempo, lembre-se da maravilha de cargo que você está prestes a 
assumir e inicie agora mesmo a sua preparação. Nosso foco é a sua aprovação e eu quero te 
ajudar! 
 
Grande abraço! 
 
Professor Brunno Lima 
 
www.facebook.com/professorbrunnolima2 
 
professorbrunnolima@gmail.com 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 – NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
 
1.1) DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA 
A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção de dados, sua organização em tabelas e 
gráficos e a análise desses dados. 
 
1.2) TIPOS DE GRÁFICOS 
1.2.1) GRÁFICOS DE COLUNAS OU BARRAS 
São representadas por retângulos de base comum e altura proporcional aos dados em questão. Esse dados 
podem ser dispostos verticalmente ou horizontalmente. 
 
Fonte: Revista Lance A
+
, 04/04/09 
 
 
Fonte: Folha de São Paulo, 01/06/05 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2.2) GRÁFICO DE LINHA OU DE SEGMENTO 
Nesse tipo de gráfico, os dados são representados por pontos que formam uma sequência de segmentos de reta. 
Eles são eficientes para representar a variação de uma grandeza no decorrer do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O Globo, 26/04/09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O Globo, 26/04/09 
 
 
 
 
 
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1.2.3) PICTOGRAMA 
É um gráfico representado por figuras que simbolizam fatos estatísticos. Apresenta características atrativas e, por 
isso, facilita a comunicação, o que faz com que seja largamente utilizado pela publicidade. 
 
 
Fonte: Revista Superinteressante, fevereiro/2009 
1.2.4) GRÁFICO DE SETORES 
Nessa modalidade gráfica, os dados são representados em setores circulares, sendo suas áreas proporcionais 
aos valores que representam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Revista Veja, 23/07/08 
 
 
 
 
 
 
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1.3) POPULAÇÃO E AMOSTRA 
Em Estatística, ao estudarmos um conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrências podemos considerar todo 
o conjunto, chamado de população, ou parte desse conjunto, chamado de amostra. 
 
Exemplo: 
Um campeonato quadrangular entre Botafogo, Palmeiras, Atlético Mineiro e Grêmio, está sendo realizado um 
único dia, no Maracanã. Se quisermos saber qual é a composição da torcida que está no estádio, podemos 
desenvolver o estudo, entrevistando: 
 o conjunto de todos os torcedores que estão no estádio (população) 
 parte desse conjunto de torcedores (amostra) 
 
1.4) FREQUENCIA ABSOLUTA E FREQUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA 
Chamaremos de frequencia absoluta o número de vezes que cada variável aparece no conjunto considerado. 
Chamamos de frequencia absoluta acumulada os valores que são obtidos adicionando a cada frequencia 
absoluta os valores das frequências absolutas anteriores. 
 
1.5) FREQUENCIA RELATIVA E FREQUENCIA RELATIVA ACUMULADA 
Chamaremos de frequencia relativa, a razão entre a frequencia absoluta e o número total de elementos da 
amostra. Em geral, a frequencia relativa é escrita em porcentagem. 
Chamamos de frequencia relativa acumulada os valores que são obtidos adicionando a cada frequencia 
relativa os valores das frequências relativas anteriores. 
 
EXERCÍCIO: 
Os conteúdos de vinte latas de leite em pó apresentaram as seguintes massas, em kg. 
0,48 0,50 0,51 0,48 0,49 
0,49 0,51 0,51 0,50 0,49 
0,50 0,52 0,48 0,49 0,50 
0,49 0,50 0,51 0,48 0,49 
 
Elabore um quadro com distribuição de frequencias absolutas, frequencias absolutas acumuladas, frequencias 
relativas e frequencias relativas acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.6) CLASSES 
Qualquer intervalo real que contenha pelo menos um dos elementos da amostra é chamado de classe da 
amostra. 
Observações: 
1) Os extremos de cada classe não precisam ser, necessariamente, elementos da amostra; mas se forem, 
devemos tomar o cuidado de não permitir que um mesmo elemento pertença a duas classes simultaneamente. 
2) Embora não seja obrigatório, é conveniente que, ao considerar duas classes consecutivas, o extremo à direita 
(aberto) da primeira coincida com o extremo à esquerda (fechado) da segunda. 
 
Exemplo: 
Em uma amostra de latas de óleo de cozinha, foram constatados os seguintes volumes em mililitros: 
 
980, 990, 1000, 970, 980, 1000, 1010, 950, 970, 940, 1020, 1010, 920, 990, 950, 900, 1000, 950, 970, 1010 
 
Com os elementos dessa amostra, podemos formar, por exemplo, as seguintes classes: 
O intervalo [900,970[, que contém os elementos 900, 920, 940 e 950. 
O intervalo [970, 990[, que contém os elementos 970 e 980. 
O intervalo [990, 1020], que contém os elementos 990, 1000, 1010 e 1020. 
 
1.7) AMPLITUDE DE UMA CLASSE 
A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessaordem, é chamada de amplitude da classe. O 
ponto médio (média aritmética dos extremos de cada classe) recebe o nome de marca da classe e é considerado 
como o representante da classe. 
 
Exemplo: 
A amplitude da classe [900,940[ é dada por 940 – 900, ou seja, é 40 e a marca da classe é dada por 
2
940900 
, 
ou seja, é 920. 
 
EXERCÍCIO: 
Os números seguintes mostram as idades dos funcionários de uma agência dos Correios: 
 
26, 29, 37, 28, 25, 41, 46, 42, 39, 37, 30, 25, 51, 49, 57, 53, 33, 28, 45, 50. 
 
Nessas condições, escolha um intervalo com amplitude conveniente e elabore um quadro completo de 
distribuição de frequências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.8) HISTOGRAMA 
É um gráfico formado por um conjunto de colunas retangulares adjacentes e é utilizado quando se trata da 
representação gráfica de distribuição de frequencias com dados agrupados. 
 
 
 
1.9) POLÍGONO DE FREQUENCIAS 
É construído a partir de um histograma, traçando-se segmentos de reta consecutivos com as extremidades nos 
pontos médios das bases superiores dos retângulos que formam esse histograma. 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO: 
Um radar, instalado num trecho de uma rodovia registrou as velocidades de 50 veículos. As velocidades, em 
Km/h, estão indicadas na tabela abaixo: 
 
Classes 
(velocidade em Km/h) 
Frequencia Absoluta Frequencia relativa 
[50,60[ 3 6% 
[60,70[ 6 12% 
[70,80[ 8 16% 
[80,90[ 7 14% 
[90,100[ 8 16% 
[100,110[ 7 14% 
[110,120[ 4 8% 
[120,130[ 7 14% 
 
a) Represente os dados utilizando um histograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A partir do histograma anterior, represente o polígono de frequencias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.10) MEDIDAS DE POSIÇÃO 
1.10.1) MÉDIA ARITMÉTICA dos números 
nxxxx ,...,,, 321
, é o quociente entre a soma desses valores e o seu 
número total n. Indica-se por 
x
, é dada por: 
�̅� =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛
𝑛
 
 
Exemplo: 
Uma aplicação financeira rendeu, em três meses: R$ 58,50, R$ 61,10 e R$ 57,10, respectivamente. O 
rendimento médio, em reais, em cada um desses meses foi: 
90,58
3
10,5710,6150,58


x
 
 
1.10.2) MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA dos números 𝑥1,𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 com pesos 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑛, 
respectivamente, é o número �̅� tal que: 
 
�̅� =
𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2 + 𝑥3𝑝3 +⋯+ 𝑥𝑛𝑝𝑛
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 +⋯+ 𝑝𝑛
 
 
Exemplo: 
As notas bimestrais, em Matemática, de um aluno foram: 6,5; 7,8; 8,0 e 6,5 com pesos 1, 2, 2 e 3 
respectivamente. A nota média desse aluno em matemática foi: 
2,7
8
6,57
8
5,19166,155,6
3221
35,620,828,715,6





x
 
 
 
1.10.3) MODA (Mo) de uma amostra, cujas frequencias dos elementos não são todas iguais, é todo elemento de 
maior frequencia possível. 
Exemplos: 
a) Considerando as estaturas, em centímetros, de cinco pessoas: 175, 180, 180, 170 e 168, observamos que a 
moda dessa amostra é Mo = 180 cm. 
b) As idades de oito alunos, em anos são: 16, 15, 16, 17, 18, 18, 19 e 14. Essa amostra tem duas 
modas: Mo = 16 anos e M’o: 18 anos. 
c) As quantidades, em mililitros, constatadas em cinco latas de óleo foram: 900, 908, 895, 905 e 910. Essa 
amostra não tem moda. 
 
1.10.4) MEDIANA (MD) de uma amostra de dados numéricos é o valor que ocupa a posição central de um 
conjunto de valores, colocados em ordem crescente ou decrescente de grandeza. 
Observação: 
 Se a distribuição tiver um número par de termos, não existe um valor central, mas dois valores centrais. 
Nesse caso, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais, que são os termos de ordem 
𝑛
2
 e 
𝑛
2
+ 1. 
 Se a distribuição tiver um número ímpar de termos, a mediana é o termo de ordem 
𝑛+1
2
. 
 
Exemplos: 
Obter a mediana da amostra dos salários de cinco pessoas: R$ 850,00; R$ 980,00; R$ 720,00; R$ 640,00 
e R$ 1200,00. 
 
 
 
Obter a mediana da amostra das massas, em quilogramas, de seis pessoas: 58, 62, 56, 72, 70 e 58. 
 
 
 
 
 
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MÉDIA, MEDIANA E MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS 
 
MÉDIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIANA 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODA 
1º CRITÉRIO: MODA DE KING 
𝑴𝒐𝑲𝒊𝒏𝒈 = 𝒍𝒊 + [𝒄 × (
𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕
𝒇𝒂𝒏𝒕 + 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕
)] 
 
 
 
 
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2º CRITÉRIO: MODA DE CZUBER 
𝑴𝒐𝑪𝒛𝒖𝒃𝒆𝒓 = 𝒍𝒊 + [𝒄 × (
𝒇𝒎𝒐𝒅𝒂𝒍 − 𝒇𝒂𝒏𝒕
(𝟐 × 𝒇𝒎𝒐𝒅𝒂𝒍) − (𝒇𝒂𝒏𝒕 + 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕)
)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º CRITÉRIO: MODA DE PEARSON 
 
𝑴𝒐𝑷𝒆𝒂𝒓𝒔𝒐𝒏 = 𝟑 ×𝑴𝒅 − 𝟐 × �̅� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.11) PROPRIEDADES DA SOMA, SUBTRAÇÃO, PRODUTO E DIVISÃO 
 
Se tomarmos todos os elementos de um conjunto e os... 
 
 ... somamos a 
uma constante 
... subtrairmos 
de uma 
constante 
... multiplicarmos 
por uma 
constante 
... dividirmos por 
uma constante 
Média Também 
somada a 
constant 
Também 
subtraída desta 
constante 
Também 
multiplicada pela 
constante 
Também 
dividida por esta 
constante 
 
1.12) MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas 
de moda, média e mediana, quando observadas graficamente. 
 Uma distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo valor para a moda, a média e a mediana. 
Nesse caso: 
XMdMo 
. 
 
 
 Quando a cauda da curva da distribuição declina para direita, temos uma distribuição com curva assimétrica 
positiva. Nesse caso, 
XMdMo 
. 
 
 Analogamente quando a cauda da curva da distribuição declina para esquerda, temos uma distribuição com 
curva assimétrica negativa. Nesse caso, 
XMdMo 
. 
 
 
 
 
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1.13) VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
Consideremos o seguinte experimento aleatório: sortear uma amostra de 2 funcionários de uma empresa que 
tem 5 funcionários. O espaço amostral deste experimento é formado por todas as amostras possíveis e, como 
a ordem não importa e não deve haver repetição de funcionários, o número total de tais amostras é 10. 
Cada elemento desse espaço amostral é formado pela relação dos 2 funcionários sorteados. No entanto, em 
geral, o interesse não está nos funcionários em si, mas, sim, em alguma característica deste funcionário, por 
exemplo, sua altura, se tem curso superior ou não, número de dependentes, etc. Dessa forma, poderíamos 
calcular a altura média dos funcionários da amostra, o número médio de dependentes, a proporção de 
funcionários com curso superior, etc. Com isso, a cada amostra possível, ou seja, a cada ponto do espaço 
amostral associamos um número. Essa é a definição de variável aleatória. 
 
Uma variável aleatória é uma função real (isto é, que assume valores em R) definida no espaço amostral Ω de 
um experimento aleatório. Dito de outra forma, uma variável aleatória é uma função que associa a cada evento 
de Ω um número real. 
 
Consideremos o lançamento de dois dados equilibrados. O espaço amostral desse experimento é formado 
pelos pares ordenados (i, j) onde i,j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esse é um experimento onde o espaço amostral não é 
formado por números. Suponhamos que nosso interesse esteja no valor máximo das faces dos dois dados. 
Nesse caso, a v.a. X = “máximo das 2 faces” pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aí podemos ver que o 
valor X = 2 corresponde ao evento A = {(1, 2), (2, 1), (2, 2)}. 
 
 
 
No exemplo anterior, a variável aleatória podia assumir um número finito de valores. Suponhamos, agora, que 
o experimento consistisse em sortear uma pessoa de um grupo de 20 adultos e a esse experimento 
associássemos a v.a. X = “altura (em cm) da pessoa sorteada”. Nesse caso, os possíveis valores de X estariam 
em um intervalo, digamos, (120, 210). Isso nos leva à seguinte definição. 
 
Uma variável aleatória é discreta se sua imagem (ou conjunto de valores que ela assume) é um conjunto finito 
ou enumerável. Se a imagem é um conjunto não enumerável dizemos que a variável aleatória é contínua. 
 
 
 
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1.14) VARIÁVEIS QUALITATIVAS 
São aquelas que apresentam como possíveis realizações (resultados) uma qualidade (ou atributo) do(s) 
indivíduo(s) pesquisado(s). Por exemplo: sexo, estado civil, educação, situação com relação a uma doença 
(possuir ou não) etc. 
 
1.14.1) VARIÁVEL QUALITATIVA NOMINAL: é aquela para a qual não existe ordenação nas possíveis 
realizações. Os elementos (resultados) são alocados em categorias que não possuem ordem entre si. 
Exemplos: 
a) sexo: masculino, feminino 
b) estado de origem: PR, SC, RS, SP, ... 
c) estado civil: solteiro, casado, viúvo, ... 
 
1.14.2) VARIÁVEL QUALITATIVA ORDINAL: é aquela para a qual existe uma certa ordem (ou grau) nos 
possíveis resultados. Os elementos (resultados) são alocados em categorias (postos) que são ordenadas entre 
si. 
Exemplos: 
a) nível de escolaridade, pois 1º, 2º e 3º graus correspondem a uma ordenação baseada nos anos de 
escolaridade. 
b) resposta do paciente com relação a um tratamento: nenhuma melhora, alguma melhora ou muita melhora. 
c) classe social: alta, média, baixa... 
 
EXERCÍCIO: 
 
a) Cor dos olhos das alunas do 2º C. 
 
 
 
b) Grau de escolaridade dos funcionários de uma empresa. 
 
 
 
c) Sexo 
 
 
 
d) grau de escolaridade 
 
 
 
e) religião 
 
 
 
f) raça 
 
 
 
g) nível sócio econômico 
 
 
 
 
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1.15) SÉRIE ESTATÍSTICA 
É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do 
local ou da espécie. 
 
1.15.1) SÉRIES HOMÓGRADAS: são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou 
descontínua. Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica. 
 
a) SÉRIE TEMPORAL: Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie 
(fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva. 
 
 
 
b) SÉRIE GEOGRÁFICA: Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) 
são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização. 
 
 
 
c) SÉRIE ESPECÍFICA: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série 
categórica. 
 
 
 
 
 
 
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1.15.2) SÉRIES CONJUGADAS: também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à 
apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma 
horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica-temporal. 
 
 
 
1.16) AMOSTRAGEM: é todo o processo de recolha de uma parte, geralmente pequena, dos elementos que 
constituem um dado conjunto. Da análise dessa parte pretende obter-se informações para todo o conjunto. 
 
1.17) EXPERIMENTO ALEATÓRIO: é um experimento no qual: 
i) todos os possíveis resultados são conhecidos; 
ii) resulta num valor desconhecido, dentre todos os resultados possíveis; 
iii) pode ser repetido em condições idênticas. 
 
1.18) AMOSTRAGEM ALEATÓRIA: a amostragem aleatória simples é o tipo de amostragem probabilística 
mais utilizada. Dá exatidão e eficácia à amostragem, além de ser o procedimento mais fácil de ser aplicado – 
todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de pertencerem à amostra. 
 
1.19) MÉTODO ESTATÍSTICO: o método estatístico compreende duas partes, o cálculo do tamanho da 
amostra e a análise estatística que são utilizados para responder as perguntas clínicas ou de pesquisa. Não 
estudar nem mais nem menos elemento que o necessário para obter uma conclusão confiável. Essa é a 
principal razão para calcular o tamanho da amostra nas pesquisas. A importância da análise estatística é saber 
qual a probabilidade do acaso ser responsável pelo resultado encontrado na pesquisa. A análise estatística 
pode se limitar a uma descrição dos resultados, estatística descritiva, ou fazer uma análise dos 
dados, estatística inferencial. 
 
1.20) TABELA: é a forma não discursiva de apresentar informações, das quais o dado numérico se destaca 
como informação central. Sua finalidade é apresentar os dados de modo ordenado, simples e de fácil 
interpretação, fornecendo o máximo de informação num mínimo de espaço. 
A construção de uma tabela, entretanto, deve obedecer a uma série de normas técnicas. Estas normas podem 
ser encontradas na publicação do IBGE intitulada "Normas de Apresentação Tabular" que tem como objetivo 
orientar a apresentação racional e uniforme de dados estatísticos na forma tabular. 
 
1.20.1) ELEMENTOS DA TABELA: 
Os elementos essenciais são: Título: é a indicação que precede a tabela contendo a designação do fato observado, o local e a época em 
que foi estudado. 
 Corpo: é o conjunto de linhas e colunas onde estão inseridos os dados. 
 Cabeçalho: é a parte superior da tabela que indica o conteúdo das colunas. 
 Coluna indicadora: é a parte da tabela que indica o conteúdo das linhas. 
 
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Os elementos complementares são: 
 Fonte: entidade que fornece os dados ou elabora a tabela. 
 Notas: informações de natureza geral, destinadas a esclarecer o conteúdo das tabelas. 
 Chamadas: informações específicas destinadas a esclarecer ou conceituar dados numa parte da tabela. 
Deverão estar indicadas no corpo da tabela, em números arábicos entre parênteses, à esquerda nas casas e à 
direita na coluna indicadora. 
 
1.20.2) NÚMERO DA TABELA: uma tabela deve ter número para identificá-la sempre que o documento 
apresentar uma ou mais tabelas, permitindo, assim, a sua localização. A identificação da tabela deve ser feita 
em números arábicos, de modo crescente, precedidos da palavra Tabela, podendo ou não ser subordinada a 
capítulos ou seções de um documento. Exemplos: Tabela 5, Tabela 10.4. 
 
1.20.3) APRESENTAÇÃO DE DADOS NUMÉRICOS: toda tabela deve ter dado numérico para informar a 
quantificação de um fato especifico observado, o qual deve ser apresentado em números arábicos. A parte 
inteira dos dados numéricos deve ser separada por pontos ou espaços de três em três algarismos, da direita 
para a esquerda, por exemplo: 12.243.527 ou 12 243 527. A separação da parte inteira da decimal deve ser 
feita por vírgula, por exemplo: 25,67. 
 
1.20.4) SINAIS CONVENCIONAIS: sempre que um dado numérico não puder ser apresentado, o mesmo deve 
ser substituído por um sinal convencional. A substituição de um dado numérico deve ser feita por um dos sinais 
abaixo, conforme o caso: 
 um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; 
 três pontos ( ... ) quando não temos os dados; 
 zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; 
 um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
01) (CESGRANRIO) Mariana fez sete ligações de seu aparelho celular. Os tempos, em minutos, de cada 
ligação, estão relacionados a seguir: 
30; 15; 7; 20; 35; 25; 15 
Sejam a, b e c, respectivamente, os tempos médio, modal e mediano do rol de tempos apresentado. É 
correto afirmar que 
a) a < b < c 
b) a < c < b 
c) b < a < c 
d) b < c < a 
e) c < a < b 
 
02) (CESGRANRIO) A tabela abaixo mostra o preço médio, em reais, do litro de gasolina na região 
metropolitana do Rio de Janeiro, nos meses de julho a dezembro de 2003. 
 
Qual foi, aproximadamente, a mediana dos preços, em reais, 
do litro de gasolina nesse período? 
a) 1,991 
b) 1,994 
c) 1,998 
d) 2,002 
e) 2,005 
 
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03) (COPESE) Se a renda familiar média de todos os indivíduos pesquisados foi de R$ 725,00 
(setecentos e vinte e cinco reais), o que se pode afirmar sobre a distribuição da renda das famílias 
pesquisadas? 
a) Que a maioria das famílias tem renda familiar próxima de R$ 725,00, mas abaixo desse valor, visto 
que a pesquisa foi realizada em região onde moram famílias carentes. 
b) Que a maioria das famílias tem renda familiar acima da média, visto que setecentos e vinte e cinco 
reais é um valor muito baixo para uma família viver dignamente. 
c) Nada se pode afirmar, a não ser que, se somarmos a renda de todas as famílias e dividirmos pelo 
número de famílias, o resultado será de R$ 725,00. 
d) Que metade das famílias recebe setecentos e vinte e cinco reais. 
e) Que metade das famílias recebe até setecentos e vinte e cinco reais. 
 
04) (COPESE) Se o valor da mediana da renda familiar foi de R$ 530,00 (quinhentos e trinta reais), o que 
se pode afirmar sobre essa medida? 
a) Que a maioria das famílias tem renda familiar de R$ 530,00. 
b) Que a maioria das famílias tem renda familiar de até R$ 530,00. 
c) Que metade das famílias tem renda familiar de até R$ 530,00. 
d) Que a maioria das famílias tem renda familiar acima de R$ 530,00. 
e) Nada se pode afirmar, a não ser que, se somarmos a renda de todas as famílias e dividirmos pelo 
número de famílias, o resultado será de R$ 530,00. 
 
05) (COPESE) Se o valor da moda foi de R$ 480,00 (quatrocentos e oitenta reais), o da mediana R$ 
530,00 (quinhentos e trinta reais) e o da média R$ 725,00 (setecentos e vinte e cinco reais), o que se 
pode afirmar sobre a distribuição da renda familiar nas regiões pesquisadas? 
a) Que a maioria das famílias tem renda familiar próxima de R$ 725,00, pois esse é o valor da média. 
b) Que a renda familiar mais frequente é de R$ 530,00, pois esse é o valor da mediana. 
c) Que a renda familiar mais frequente é de R$ 480,00, pois esse é o valor da moda. 
d) Que a maioria das famílias tem renda familiar próxima de R$ 480,00, pois esse é o valor da moda. 
e) Nada se pode afirmar, pois nada foi dito sobre as medidas de dispersão. 
 
06) (COPESE) No gráfico abaixo, estão relacionadas as temperaturas médias observadas nos diferentes 
meses do ano de 2006 em uma determinada localidade. 
 
A partir dos dados apresentados no gráfico acima é correto afirmar que: 
a) dezembro foi o mês mais quente. 
b) setembro foi o mês mais frio. 
c) as temperaturas médias dos meses de abril e maio foram a mesmas. 
d) a temperatura média decresceu ao longo do segundo semestre. 
e) a temperatura média superou a marca de 25ºC em mais da metade dos meses. 
 
 
 
 
 
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Para responder as duas próximas questões considere as informações a seguir. 
Segundo dados divulgados pelo Inep, no resumo técnico do censo 2004, a distribuição das 2013 
Instituições de Educação Superior, por Organização Acadêmica, se dá conforme a figura abaixo. 
 
07) (CESGRANRIO) Com base nas informações do gráfico, conclui-se que o número de Universidades 
é: 
a) igual à soma dos Centros Universitários e das Faculdades Integradas. 
b) igual ao número de Centros de Educação Tecnológica e Faculdades de Tecnologia. 
c) igual ao dobro do número de Centros Universitários. 
d) superado apenas pelo número de Faculdades Integradas. 
e) superado apenas pelo número de Faculdades, Escolas e Institutos. 
 
08) (CESGRANRIO) Segundo esse censo, em 2004 ocorreram 200.695 matrículas nas 119 Faculdades 
Integradas. O número médio de alunos matriculados, por instituição, nessa categoria de organização 
acadêmica foi: 
a) 1.686,5 
b) 1.187,6 
c) 1.184,1 
d) 168,6 
e) 118,4 
 
09) (CESGRANRIO) Analise as afirmativas a seguir. 
 
A média aritmética nem sempre é a melhor medida de tendência central. 
 
PORQUE 
 
A média aritmética é influenciada por valores extremos do conjunto de dados. 
 
Considerando-se as relações entre as afirmações, conclui-se que: 
a) as duas asserções são verdadeiras e a segunda é uma justificativacorreta da primeira. 
b) as duas asserções são verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta da primeira. 
c) a primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda, uma proposição falsa. 
d) a primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda, uma proposição verdadeira. 
e) tanto a primeira como a segunda são proposições falsas. 
 
 
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10) (COPESE) Um modelo simples de calculadora é vendido em várias papelarias a diferentes preços. 
No gráfico abaixo, encontra-se a relação entre o preço da calculadora e o número de unidades vendidas 
em janeiro de 2009 nessas papelarias. 
 
De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que: 
a) quanto maior o preço da calculadora, maior é a venda. 
b) ao preço de R$ 20,00, foram vendidas 250 calculadoras. 
c) ao preço acima de R$ 30,00, foram vendidas 150 calculadoras. 
d) ao menor preço da calculadora, corresponde o maior número de unidades vendidas. 
e) ao preço de R$ 25,00, foram vendidas mais de 200 calculadoras. 
 
11) (CESGRANRIO) No questionário socioeconômico que faz parte integrante do ENADE há questões 
que abordam as seguintes informações sobre o aluno: 
I - Unidade da Federação em que nasceu; 
II - número de irmãos; 
III - faixa de renda mensal da família; 
IV - estado civil; 
V - horas por semana de dedicação aos estudos. 
São qualitativas APENAS as variáveis 
(A) I e III 
(B) I e IV 
(C) I, IV e V 
(D) II, III e V 
(E) I, II, IV e V 
 
12) (CESGRANRIO) A tabela a seguir mostra o número de gols marcados pela equipe X nas partidas do 
último torneio que disputou. 
 
Qual foi o número médio de gols, por partida, marcados por essa equipe? 
a) 1 
b) 1,25 
c)1,5 
d)1,75 
e) 2 
 
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Resolva as duas próximas questões tendo como referência os resultados do Enem 2006, em certo 
Município do estado do Paraná, apresentados na tabela a seguir. 
 
13) (CESGRANRIO) A representação gráfica adequada para os dados relativos à dependência 
administrativa é 
a) polígono de frequências ou gráfico de setores. 
b) histograma ou gráfico de linhas. 
c) gráfico de barras ou histograma. 
d) gráfico de setores ou gráfico de barras. 
e) gráfico de linhas ou polígono de frequências. 
 
14) (CESGRANRIO) A mediana do número de participantes nas escolas privadas é 
a) 78 
b) 76 
c) 51 
d) 38 
e) 14 
 
15) (ESAF) Sejam duas distribuições de probabilidade fortemente assimétricas: A e B. A distribuição A 
apresenta moda > mediana > média. A distribuição B apresenta média > mediana > moda. Com essas 
afirmações pode-se, corretamente, afirmar que: 
a) a distribuição A é negativamente assimétrica. 
b) a distribuição B é negativamente assimétrica. 
c) a distribuição A é positivamente assimétrica. 
d) as distribuições A e B são positivamente assimétricas positivas. 
e) os valores das medidas de tendência central da distribuição A são maiores do que os de B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para responder as três próximas questões, utilize os dados do gráfico a seguir, relativos à Avaliação 
Trienal dos cursos e programas de pós-graduação realizada pela Capes em 2007. 
 
 
16) (CESGRANRIO) O número total de programas, na área, avaliados pela Capes foi 
(A) 7 
(B) 17 
(C) 20 
(D) 49 
(E) 68 
 
17) (CESGRANRIO) O conceito médio atribuído aos programas avaliados nesse período é 
(A) 1,7 
(B) 2,8 
(C) 3,8 
(D) 4,0 
(E) 7,0 
 
18) (CESGRANRIO) O percentual de programas que tiveram conceito mínimo igual a 4,0 é 
(A) 15,0% 
(B) 28,5% 
(C) 32,0% 
(D) 34,6% 
(E) 65,3% 
 
 
 
 
 
 
 
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19) (FUNIVERSA) Considerando que, em uma amostra aleatória, foram obtidos os números 8, 22, 14, 10, 
7, 19, 16, 3, assinale a alternativa que apresenta o valor da mediana. 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 12 
(D) 14 
(E) 24 
 
20) (COPESE) Num processo seletivo de servidores para uma determinada universidade foi aplicada 
uma prova com oito questões de múltipla escolha. O gráfico abaixo mostra a distribuição dos 
candidatos de acordo com o número de questões acertadas. 
 
 
Considere as seguintes afirmativas feitas a partir dos dados do gráfico acima e classifique-as em 
verdadeiras (V) 
ou falsas (F). 
( ) 14% dos candidatos acertaram mais de 75% das questões da prova. 
( ) A maioria dos candidatos acertou mais da metade das questões da prova. 
( ) 30% dos candidatos não acertaram nenhuma questão da prova. 
( ) 58% dos candidatos acertaram pelo menos metade das questões da prova. 
( ) O número de candidatos que fizeram a prova foi inferior a 500. 
A sequência CORRETA dessa classificação, feita de cima para baixo, é: 
a) V – V – V – V – F 
b) F – V – F – F – V 
c) V – F – V – F – V 
d) F – F – F – V – F 
e) V – F – F – V – F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21) (COPESE) A seleção de novos funcionários para uma empresa é feita em duas etapas: a primeira 
consiste em uma prova e a segunda em uma entrevista para a qual só serão selecionados os 
candidatos com nota maior do que a mediana das notas da prova. No quadro abaixo, estão 
relacionadas as notas obtidas nessa prova pelos candidatos. 
 
O candidato com a menor nota, dentre os selecionados para a entrevista, foi: 
a) Bruno. c) João. e) Tadeu. 
b) Helen. d) Olímpio. 
 
22) (COPESE) Os gráficos abaixo fornecem informações relativas à produção de grãos no Brasil, em 
abril de 2012. 
 
Considere as seguintes afirmativas: 
I) Mato Grosso do Sul produziu mais grãos que toda a região Sudeste. 
II) Goiás foi o segundo estado que mais produziu grãos no país. 
III) Mato Grosso produziu mais que as regiões Sudeste e Nordeste juntas. 
Com base nos dados apresentados, sobre as afirmativas acima podemos concluir que: 
a) todas são falsas. d) somente II é verdadeira. 
b) todas são verdadeiras. e) somente III é verdadeira. 
c) somente I é verdadeira. 
 
 
 
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23) (COPESE) A tabela a seguir, mostra as notas dos alunos de uma turma de 50 alunos em uma 
determinada prova, cuja nota média foi 2,9. 
 
 
 
O número de alunos que obtiveram nota igual a 4 é um múltiplo de: 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 7 
e) 11. 
 
24) (FUNIVERSA) Um estudo realizado com 200 policiais civis, após a realização de testes em que cada 
profissional deveria tomar decisões importantes referentes a diversos fatores do cotidiano, avaliou 
características psicológicas atenuantes. 
Como a variável idade se apresenta como um fator determinante na atitude do profissional, fez-se 
necessária a 
elaboração de uma tabela de distribuição de frequência das idades do grupo em questão. 
 
 
 
Com base nesse caso hipotético, assinale a alternativa que apresenta o ponto médio da classe 
mediana. 
(A) 43,5 
(B) 23,5 
(C) 28,5 
(D) 33,5 
(E) 38,5 
 
 
 
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25) (FUNIVERSA) A delegacia virtual é um serviço de registro de ocorrências, via Internet, por meio do 
site da Polícia Civil de Goiás. O objetivo é fornecer, para o cidadão, comodidade no registro de alguns 
tipos de ocorrências, otimizando os recursos e melhorando o atendimento. Depois de verificada a 
veracidade da informação pela Polícia Civil e autorizado pela autoridade policial, o usuário receberá, pelo 
correio eletrônico (e-mail) fornecido no registro, as informações sobre como obter uma cópia do Boletim 
de Ocorrência e qual delegacia de Polícia está responsável por apurar o fato. A qualquer momento, 
poderá ser consultado o andamento do seu registro, acessando a delegacia virtual. O serviço está 
disponível, sem interrupções, a qualquer dia e em qualquer horário. Pela delegacia virtual, o usuário 
poderá registrar as seguintes ocorrências: roubo/furto de objetos e(ou) valores, roubo/furto de celular, 
roubo/furto de documentos, perda ou extravio de documentos e(ou) objetos, desaparecimento de pessoa 
e acidente de trânsito sem vítimas. 
Internet:<www.policiacivil.go.gov.br> (com adaptações). 
Para a Estatística, a variável “tipo de ocorrência” é classificada como 
(A) qualitativa contínua. 
(B) qualitativa nominal. 
(C) quantitativa discreta. 
(D) quantitativa contínua. 
(E) qualitativa discreta. 
 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças e deve ser 
utilizada para responder as duas próximas. 
 
26) (CESGRANRIO) A média das idades dessas crianças, em anos, é 
a) 5,0 
b) 5,2 
c) 5,4 
d) 5,6 
e) 5,8 
 
27) (CESGRANRIO) A mediana da distribuição de frequências apresentada é 
a) 5,5 
b) 5,6 
c) 5,7 
d) 5,8 
e) 5,9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Considere os dados abaixo para responder as duas próximas questões. 
O histograma se refere aos resultados do colesterol HDL de 62 exames de sangue, em miligramas por 
decilitro (mg/dl), em mulheres de 40 a 45 anos participantes do projeto VIVA MELHOR. 
 
Não há informações coincidentes com os limites de classes. 
 
28) (CESGRANRIO) A média do colesterol HDL, em mg/dl, desse grupo de 62 mulheres é, 
aproximadamente, 
a) 28 
b) 30 
c) 32 
d) 34 
e) 36 
 
29) (CESGRANRIO) O colesterol mediano, em mg/dl, aproximadamente, é 
a) 34,0 
b) 31,2 
c) 30,0 
d) 28,5 
e) 25,1 
 
30) (ESAF) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 
obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte: 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. 
a) 69,50 
b) 73,79 
c) 71,20 
d) 74,53 
e) 80,10 
 
 
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31) (CESGRANRIO) Nos últimos 6 meses, um hospital registrou os seguintes números de casos de 
internação por meningite: 4, 3, 1, 5, 5, e 6. A média, a mediana e a moda desses números, 
respectivamente, são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
32) (VUNESP) O gráfico representa a quantidade de livros retirados da biblioteca por funcionários de 
uma empresa. 
 
 
A média dos livros retirados pelas mulheres é 
a) 1,4. 
b) 1,5. 
c) 2,3. 
d) 2,4. 
e) 2,5. 
 
33) (VUNESP) O gráfico a seguir mostra o número de tapetes vendidos por uma equipe de atendentes 
A, B, C, D e E de uma loja do ramo. 
 
Analisando o gráfico, conclui-se que o atendente que mais se aproximou da média entre os cinco 
atendentes foi 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
 
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34) (VUNESP) Numa festa da terceira idade com 9 homens e 11 mulheres, a média da idade deles é de 
64 anos, e a da idade delas é 6 anos a mais. A média da idade desses idosos é 
a) 67,5 anos. 
b) 67,4 anos. 
c) 67,3 anos. 
d) 67,2 anos. 
e) 67,0 anos. 
 
35) (VUNESP) Numa classe com 16 meninos e 24 meninas, um professor de matemática, após corrigir 
todas as provas, informou à classe que a média de notas dos meninos foi 5,5 e a das meninas, 7,5. 
Então a média de toda a classe é de 
a) 6,5. 
b) 6,6. 
c) 6,7. 
d) 6,8. 
e) 6,9. 
 
36) (CESPE) 
 
 
 
O relógio de ponto de uma pequena empresa registra os horários de chegada ao trabalho de seus 15 
empregados. Nesses registros, em determinado dia, os atrasos contabilizados foram os mostrados na 
tabela acima. Acerca dessas informações, assinale a opção correta. 
a) O tempo médio de atraso dos empregados, nesse dia, foi superior a 8 minutos. 
b) A moda dos atrasos, nesse dia, foi de 5 min. 
c) O tempo mediano de atraso (mediana dos atrasos), nesse dia, foi de 10 min. 
d) O gráfico do número de empregados pelo tempo de atraso, nesse dia, é o representado abaixo. 
 
 
 
 
 
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37) (CESPE) Um levantamento efetuado entre os 100 jovens inscritos em um projeto de inclusão social 
desenvolvido por uma instituição mostra a seguinte distribuição etária. 
 
Com base nessas informações, assinale a opção incorreta. 
a) A mediana da distribuição etária é igual a 17,5 anos. 
b) A média das idades dos jovens observados no levantamento é igual a 17 anos. 
c) A moda da distribuição etária é igual a 16 anos. 
d) Dos jovens inscritos no referido projeto de inclusão social, 30% possuem idadesmaiores ou iguais a 
18 anos. 
 
38) (VUNESP) Para compor equipes que iriam participar de uma atividade, um professor elaborou o 
gráfico abaixo, referente à distribuição das idades de um grupo de alunos. Após esse levantamento, um 
outro aluno se juntou ao grupo e a idade média do novo grupo passou a ser de 12,5 anos. Nesse caso, 
o novo aluno tem 
 
a) 14 anos. 
b) 13 anos. 
c) 10 anos. 
d) 9 anos. 
e) 8 anos. 
 
39) (COPESE) Numa escola, a nota final dos alunos, em cada disciplina, é a média ponderada das notas 
bimestrais, e a nota final mínima para aprovação é 6 pontos, em uma escala de 0 a 10 pontos. No 
quadro abaixo, encontram-se representadas as notas de Cecília em Matemática, nos três primeiros 
bimestres, e os respectivos pesos dos bimestres. 
 
A nota mínima que Cecília deverá obter, no quarto bimestre, para ser aprovada em Matemática, é: 
a) 6,0 
b) 6,5 
c) 7,0 
d) 8,0 
e) 8,7 
 
 
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40) (VUNESP) Uma rede de padarias tem 5 lojas e registrou nos últimos meses as seguintes vendas de 
pães: 
 
A loja que obteve uma média mensal mais próxima de 6 500 unidades, foi a loja 
a) 5. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 2. 
e) 1. 
 
41) (CESPE) A tabela abaixo mostra as notas de um grupo de alunos em dois testes, em um trabalho e 
em uma prova. 
 
Sabe-se que a nota final de cada aluno é igual à média ponderada das notas obtidas, que a prova tem 
peso 5, cada teste tem peso 2 e o trabalho tem peso 1, e que a nota final de Paulo foi igual à de Almir. 
Então Paulo obteve, no primeiro teste, nota 
a) menor que a obtida por Ana no 2.º teste. 
b) maior que a de Almir na prova. 
c) igual à que Carla obteve no trabalho. 
d) igual à obtida por ele mesmo no 2.º teste. 
 
42) (FUNCAB) Observe a seguir o volume de chuvas de uma determinada localidade para 8 dias. 
 
100 110 104 105 108 104 105 104 
 
A média, mediana e moda são respectivamente: 
A) 105; 104,5; 104 
B) 100; 104,5; 103 
C) 105; 104; 103 
D) 104; 104; 104 
E) 108; 110; 101 
 
 
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Atenção: Baseie-se no enunciado a seguir para responder as duas próximas questões. 
Em um teste, realizado pelo departamento de recursos humanos de uma empresa, para a admissão de 
funcionários, foram examinados 100 candidatos. A tabela abaixo apresenta a distribuição de 
frequências absolutas das notas obtidas nesse teste, por esses candidatos: 
 
 
 
43) (FCC) A nota mediana destes candidatos, calculada pelo método da interpolação linear, é igual a 
(A) 5,3. 
(B) 5,8. 
(C) 6,0. 
(D) 5,5. 
(E) 4,8. 
 
44) (FCC) Se uma das condições para um candidato ser admitido é ter nota maior do que 7,5 nesse 
teste, a porcentagem de candidatos que satisfazem essa condição, calculada pelo método da 
interpolação linear, é igual a 
(A) 14%. 
(B) 12%. 
(C) 15%. 
(D) 6%. 
(E) 10%. 
 
45) (FUNCAB) Analisando o gráfico abaixo, referente à densidade de probabilidade de uma determinada 
variável aleatória, o que se pode inferir sobre a assimetria da distribuição? 
 
 
A) Assimetria positiva 
B) Assimetria negativa 
C) Simétrica 
D) Malcomportada 
 
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46) (FCC) A tabela a seguir mostra a distribuição das notas dos alunos de uma classe numa prova 
constituída de dez testes de múltipla escolha, cada um valendo 1 ponto. 
 
 
 
Se a média da classe nesta prova foi 6, então o número de alunos que tiraram 5 é igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
47) (COPESE) Realizou-se um experimento, no qual oito pessoas foram pesadas no primeiro dia. Suas 
massas, em kg, estão dadas na tabela abaixo: 
 
Após 20 dias de observação, notou-se que as pessoas cuja massa era menor que 70 kg engordaram 6 
kg e as pessoas cuja massa era maior que 70 kg emagreceram 10 kg. Em relação a esse experimento 
que durou 20 dias, pode-se afirmar que a mediana da distribuição inicial das massas em relação à 
mediana da distribuição final das massas: 
a) diminuiu de 2. d) diminuiu de 6 . 
b) diminuiu de 4. e) não se alterou. 
c) aumentou de 4. 
 
48) (FCC) Os salários dos 40 empregados de uma empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam 
distribuídos conforme a tabela abaixo: 
 
Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é 
a) R$ 1 400,00 
b) R$ 1 230,00 
c) R$ 1 150,00 
d) R$ 1 100,00 
e) R$ 1 050,00 
 
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GABARITO 
 
01- D 02- B 03- C 04- C 05- C 06- C 07- E 08- A 09- A 10- C 
11- B 12- B 13- D 14- E 15- A 16- D 17- C 18- E 19- C 20- E 
21- D 22- E 23- B 24- C 25- B 26- C 27- A 28- C 29- B 30- B 
31- B 32- D 33- B 34- C 35- C 36- B 37- A 38- E 39- D 40- B 
41- C 42- A 43- E 44- A 45- A 46- E 47- D 48- E 
 
ANOTAÇÕES 
 
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