calculo1aula07(2012.2)reta tangente

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Revisão sobre equação de reta no plano
1. Ângulo de inclinação de uma reta
v= 90o
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2. Coeficiente angular de uma reta
A tangente do ângulo de inclinação de uma reta r, caso esteja definida, é chamada coeficiente angular da reta r.
Notação: tg (r ) = ar
av não está definido
v= 90o
r é agudo:
u é obtuso:
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ar = tg ( r )
Observe que a equação  só é satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta r.
Por essa razão, dizemos que a equação  representa a reta r, ou é uma equação da reta r.
3. Equação de uma reta

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Equação da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x)
Seja f uma função definida no intervalo aberto (a,b), contínua em xo que pertence ao intervalo (a,b) e P(xo,f(xo)) .
, se esse limite existe e é finito. 
Assim, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f pode ser calculado como: 
Considere um ponto Q(x,f(x)) qualquer do gráfico de f. 
Seja s a reta secante ao gráfico de f nos pontos P e Q.
Observe que quando o ponto Q se aproxima de P, o ângulo de inclinação da reta secante se aproxima do ângulo de inclinação da reta tangente. 
Lembre-se de que o coeficiente angular da reta s é dado por:
*
Daí, 
Assim,
 se esse limite existe e é finito. 
Definição 1
Seja f uma função definida (a,b) e contínua em xo pertencente a (a,b).
(i) Possui coeficiente angular 
, se o limite  existe e é finito. 

A reta que passa por P( xo ,f(xo)) e satisfaz uma das condições dadas a seguir, chama-se reta tangente ao gráfico de f no ponto xo
Pode-se também fazer a mudança de variável:
( ii ) Possui equação x = xo , se o limite  é infinito. 
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Definição 2
Seja f uma função definida (a,b) e contínua em xo pertencente a (a,b). 
A reta que passa por P(xo,f(xo)) e é perpendicular à reta tangente ao gráfico de f em xo , chama-se reta normal ao gráfico de f no ponto xo.
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A reta tangente t possui coeficiente angular at igual a: 
Exemplo 
Em cada item, determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f, no ponto de abscissa dado.
Resolução: 
A reta tangente t passa pelo ponto P( xo , f(xo) ) , então,
Assim, o ponto P( 0 , -1 ).
Daí, a reta tangente t possui equação: 
Lembre-se de que a reta normal é perpendicular à t e passa pelo ponto P. 
Logo, a reta normal n possui equação x = 0. 
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A reta tangente t passa pelo ponto P( xo , f(xo) ) , assim:
Daí, o ponto P( 1 , 4 ).
A reta tangente t possui coeficiente angular at igual a: 
Assim, a reta tangente t possui equação: 
E a reta normal n possui equação 
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A reta tangente t passa pelo ponto P( xo , f(xo) ) , assim:
Daí, P( 1 , 0 ).
Observe que:
Essa última equação representa uma parábola de vértice V(1,0) e eixo focal coincidindo com o eixo Ox.
A reta tangente t possui coeficiente angular at igual a: 
Mudança de variável:
Logo, a reta tangente possui equação
E a reta normal n possui equação 
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O limite
aparece em várias áreas do conhecimento, 
Por essa razão, quando este limite for finito, dizemos que o mesmo é a derivada da função f no ponto xo.
Notação:
Exemplo
Determine a derivada da função f(x) = x2 no ponto x =1 e xo .
Definição 3
Dizemos que uma função f é derivável no intervalo (a,b) se existe f’(xo) para todo xo pertencente a (a,b). 
Por exemplo, a função f(x) = x2 é derivável em R.
assumindo uma posição de destaque na resolução de muitos problemas. 
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Observe o exemplo
Teorema
Se f é uma função derivável no ponto xo então f é contínua em xo .
Mas, uma função f pode ser contínua em xo e não ser derivável em xo.
Lembre-se de que 
Desse modo essa função não é derivável no ponto x = 1.
Embora, exista a reta tangente ao gráfico de f em x = 1.
Por exemplo:
Logo f é contínua em x = 1, mas não é derivável em x = 1.
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Definição 4
Determine a função derivada das funções dadas a seguir:
A derivada da função f é uma função que a cada xo do domínio de f associa f’(xo), ou seja, 
Logo,
Exemplo:
*
Mudança de variável:
Logo, 
De modo análogo, se 
 então,
Em particular, se 
 então,
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2. Equação da reta tangente:
3. Equação da reta normal:
1. A derivada da função f no ponto xo é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f neste ponto.
Sintetizando
 , se esse limite existe e é finito.
Quando 
 a reta tangente possui equação:
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