calculo1aula22 teste da 1a e 2a derivada

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Considere a função y = f(x).
I – Diz-se que f é uma função crescente no 
 intervalo  se para todo 
 tem-se que : 
II – Diz-se que f é uma função decrescente no 
 intervalo  se para todo 
 tem-se que : 
1. Funções crescente e funções decrescentes
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Observações:
1. Seja f é uma função derivável e crescente, no intervalo . 
Observe que o ângulo de inclinação α da reta tangente ao gráfico de f é agudo, em qualquer ponto xo do intervalo .
Logo, se f é uma função derivável e crescente, no intervalo , então 
 para todo x  .
Como  é agudo, tem-se que
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Observações:
2. Seja f é uma função derivável e decrescente, no intervalo . 
Como  é obtuso, tem-se que
Observe que o ângulo de inclinação α da reta tangente ao gráfico de f é obtuso, em qualquer ponto xo do intervalo .
Logo, se f é uma função derivável e decrescente, no intervalo , então 
 para todo x  .
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Proposição
Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b).
I- Se
para todo 
então f é crescente neste intervalo.
II- Se
para todo 
então f é decrescente neste intervalo.
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Exemplo 1
Seja f(x) = sen(x), definida no intervalo [0,2].
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
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Observações:
Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b), exceto possivelmente, em 
1. Se x1 é um ponto de máximo relativo, então:
2. Se x1 é um ponto de mínimo relativo, então:
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Critério da primeira derivada
Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b), exceto
 possivelmente, em
I. Se f’(x) > 0 para x < x1
e f’(x) < 0 para x > x1,
então x1 é um ponto de máximo local de f.
II. Se f’(x) < 0 para x < x1
e f’(x) > 0 para x > x1,
então x1 é um ponto de mínimo local de f.
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Exemplo 1
Considere a função 
Pontos críticos:
Observe que a função f é contínua e derivável.
Estudo do sinal de f ’(x):
Logo, 
é ponto de máximo de f. 
é ponto de mínimo de f. 
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Observações:
Seja f uma função contínua em [a,b], derivável até a segunda ordem em (a,b) e 
1. Se x1 é um ponto de máximo relativo, então:
é uma função decrescente.
Daí, 
, ou seja, 
Em particular,
2. Se x1 é um ponto de mínimo relativo, então:
é uma função crescente.
Daí, 
, ou seja, 
Em particular,
Critério da segunda derivada
Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável até a segunda ordem em (a,b).
Considere x1(a,b), tal que f ’(x1) = 0.
I . Se
então x1 é ponto de máximo relativo de f.
II . Se
então x1 é ponto de mínimo relativo de f.
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Exemplo 1:
Considere a função 
Pontos críticos:
Observe que a função f é contínua e derivável, até a segunda ordem.
Teste da segunda derivada:
é ponto de máximo relativo de f.
é ponto de mínimo relativo de f.
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Exemplo 2: 
Considere a função 
Daí, não existe f ’ (3).
Pontos críticos:
e não existe f ’ (x).
Como f’(3) não existe então x = 3 é um ponto crítico de f.
Assim, x = 5 é também um ponto crítico de f.
Observe também que,
Logo os pontos críticos de f são 3 e 5.
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Teste da primeira derivada
Logo, x = 3 é ponto de máximo relativo
 e x = 5 é ponto de mínimo relativo.
Sinal de f ’(x)
Sinal de 
Sinal de 
Gráfico de f :
Os pontos críticos de f são 3 e 5.
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