Exercícios sobre Distribuição Binomial

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Exercícios sobre Distribuição Binomial
Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos? 
A probabilidade é de 67,78%
Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis? 
 A probabilidade é de 6,17%
Dados históricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de:
haver algum item com defeito; 
A probabilidade é de 37,73%
haver exatamente dois itens defeituosos; 
A probabilidade é de 18,86%
haver mais de dois itens defeituosos; 
A probabilidade é de 26,42%
qual é o número esperado de itens defeituosos no lote? 
O número de itens defeituosos é a probabilidade de um item ser defeituoso, e como um lote tem 20 unidades, o número esperado de itens defeituosos é de 1.
e de itens bons?
O número de itens bons é a probabilidade de um item ser bom (95%), e como um lote tem 20 unidades, o número esperado de itens defeituosos é de 19.
Suponha que 10% dos clientes que compram a crédito em uma loja deixam de pagar regularmente suas contas (prestações). Se num particular dia, a loja vende a crédito para 10 pessoas, qual é a probabilidade de que mais de 20% delas deixem de pagar regularmente as contas? Suponha que as 10 pessoas que fizeram crediário nesse dia correspondam a uma amostra aleatória de clientes potenciais desta loja.
A probabilidade de que mais de 20% delas deixem de pagar regularmente as contas é de 10,74% 
Numa fábrica, 3% dos artigos produzidos são defeituosos. O fabricante pretende vender 4000 peças e recebeu 2 propostas:
Proposta 1: o comprador A propõe examinar uma amostra de 80 peças. Se houver 3 ou menos defeituosas, ele paga 60 unidades monetárias (u.m.) por peça; caso contrário, ele paga 30 u.m. por peça.
Proposta 2: o comprador B propõe examinar 40 peças. Se todas forem perfeitas, ele está disposto a pagar 65 u.m. por peça; caso contrário, ele paga 20 u.m. por peça.
Qual é a melhor proposta? (Calcule o valor esperado da venda em cada proposta.)
Total 4000 peças. P=0,03
Proposta 1 
X= 80 
Proposta 1 
P60u.m. = 78,07% P30u.m.=21,93%
Proposta 2
X=40 
P65u.m. = 29,5712% P20u.m.=70,42%
Proposta 1 é mais vantajosa, visto que a probabilidade de selecionar menos de 3 unidades defetuosas é de 78,07%.
Valor esperado = 60 * 4000 = $ 240000 
O departamento de qualidade de uma empresa seleciona, aleatoriamente, alguns itens que chegam à empresa e submete-os a testes. Para avaliar um lote de transformadores de pequeno porte, o departamento de qualidade selecionou, aleatoriamente, 10 transformadores. Ele vai recomendar a aceitação do lote se não existir item defeituoso na amostra. Supondo que o processo produtivo desses transformadores gera um percentual de 3% de defeituosos, responda:
Qual é a probabilidade de que o lote venha a ser aceito?
A probabilidade do lote ser aceito é de 73,74%
Ao analisar 8 lotes de transformadores, com amostras aleatórias de 10 itens em cada lote, qual é a probabilidade de que, no máximo, um lote seja rejeitado?
A probabilidade de que ao menos 1 lote seja rejeitado é de 33,65
Calcule e trace o gráfico da distribuição de probabilidade para uma amostra de 5 itens tomada aleatoriamente de um processo de produção sabido produzir 30% de itens defeituosos 
Sabe-se que 95% dos itens produzidos por uma máquina estão conforme a especificação. Se cinco itens são selecionados ao acaso, determine a probabilidade de que: 
Nenhum seja defeituoso
Probability Density Function 
Binomial with n = 5 and p = 0,05
x P( X = x )
0,77378
A probabilidade de que nenhum item seja defeituoso é 77,37%
Mais de três sejam defeituosos. 
A probabilidade de que mais de três sejam defeituosos é de 0,003%
No máximo 1 seja defeituoso.
A probabilidade de que no máximo 1 item esteja não conforme é de 97,74%
Um engenheiro de produção afirma que 20% dos funcionários que sofreram acidentes não tiveram qualquer treinamento sobre segurança. Se sua declaração estiver correta, determine a probabilidade de que: 
De dez acidentes, menos da metade seja de pessoas não treinadas.
Espaço amostral = 10 P = 0,2 X variando entre 0 e 4
A probabilidade é de 96,72%
De 20 funcionários acidentados, menos da metade tenha participado dos treinamentos. 
A probabilidade de menos da metade das pessoas acidentadas ter participado do treinamento é 0,056%
Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao se retirarem 6 peças ao acaso:
Apenas uma ser defeituosa?
Probability Density Function 
Binomial with n = 6 and p = 0,1
x P( X = x )
1 0,3542
No máximo uma ser defeituosa?
A probabilidade é de 88,57%
Pelo menos duas serem defeituosas?
A probabilidade é de 11,43%
Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de qualidade, através de uma amostra com 12 peças, antes de serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente no máximo 5 peças tipo B ou C?
B U C = 20%+10% = 30%
Espaço amostral = 12
P = 0,3
X = de 0 à	5
P = 88.22%
Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar problemas de qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?
P=0,01
Cliente 1
Espaço amostral = 10
X=0
P1= 90,44%
Cliente 2
Espaço amostral = 20
X=0 a 1
P2 = 98,31%
P1 * P2 = 88,91%