AP3-MB_APU-2014-2-gabarito

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Matemática Básica para Administração Pública 2014/2 - AP3 
Gabarito 
 
1ª questão (2,0 pontos): Um pai distribuiu uma certa quantia entre três filhos. O 
primeiro recebeu 
1
4
 do total, o segundo recebeu 40% do total e o terceiro recebeu os 
700 reais restantes. Qual foi o total distribuído e quanto recebeu cada um? 
Solução: 
Seja x a quantia distribuída. Então temos a seguinte equação: 
1
4
𝑥 +
40
100
𝑥 + 700 = 𝑥 
Logo: 𝑥 −
1
4
𝑥 −
4
10
𝑥 = 700 
Como m.m.c(4, 10) = 20 a equação fica: 
20
20
𝑥 −
5
20
𝑥 −
8
20
𝑥 =
14000
20
 
Descartando os denominadores obtemos: 
20x – 5x - 8x = 14000 
7x = 14000 → 𝑥 =
14000
7
= 2000 
Logo o total distribuído foi 2000 reais. O primeiro recebeu 
1
4
× 2000 =
2000
4
= 500 
reais, o segundo recebeu 40% de 2000 = 
40
100
× 2000 =
80000
100
= 800 reais. 
Verificando: 500 + 800 + 700 = 2000. 
 
2ª Questão (3,0 pontos): Encontre os valores reais de x que resolvem cada uma das 
equações abaixo: 
 
a) (1,2) 3𝑥2 + 5𝑥 − 2 = 0 
Solução: 
Usando a fórmula de Bháskara, 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 obtemos: 
𝑥 =
−5 ± √52 − 4.3. (−2)
2.3
=
−5 ± √25 + 24
6
=
−5 ± √49
6
=
−5 ± 7
6
 
Assim temos: 
𝑥 =
−5 + 7
6
=
2
6
=
1
3
 ou 𝑥 =
−5−7
6
=
−12
6
= −2 
 
b) (1,2) 
3 − 
1
2
√
25
81
= 
𝑥
0,444…
 
 
Solução: 
3 −
1
2
√25
81
= 
𝑥
0,444 …
 ↔ 
6
2 −
1
2
√25
√81
= 
𝑥
4
9
 ↔ 
5
2
5
9
= 
𝑥
4
9
 
Resolvendo esta proporção fica: 
 
5
9
× 𝑥 =
5
2
×
4
9
 ↔ 
5𝑥
9
=
20
18
 ↔ 90𝑥 = 180 ↔ 𝑥 =
180
90
= 2 
 
 
 
c) (0,6) (
1
8
)
𝑥
= 64 
Solução: 
(
1
8
)
𝑥
= 64 ↔ (
1
23
)
𝑥
= 26 ↔ (2−3)𝑥 = 26 ↔ 2−3𝑥 = 26 
Como as bases são iguais devemos ter expoentes iguais: -3x = 6 → 𝑥 =
6
−3
= −2 
 
 
3ª questão (1,5 pontos): Para realizar um trabalho, 16 máquinas levam 50 dias. Em 
quantos dias 10 destas máquinas realizarão o mesmo trabalho? 
Solução: 
Podemos observar que diminuindo o número de máquinas, serão necessários um 
número maior de dias para realizar o mesmo trabalho. Portanto estas grandezas são 
inversamente proporcionais. 
 
 ↑
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜(𝑑𝑖𝑎𝑠)
16 50
10 𝑥
 ↓ 
 
Assim temos: 
16
10
=
𝑥
50
→ 10𝑥 = 800 → 𝑥 =
800
10
= 80 dias. 
 
 
4ª Questão (2,0): 
a) (1,0) Sabendo que log2(𝑎 + 𝑏) = 10 e log2(𝑎 − 𝑏) = 8 encontre o valor de 
log2 (𝑎
2 − 𝑏2)1 2⁄ . 
Solução: 
Usando a propriedade de logaritmo de uma potência, obtemos: 
log2(𝑎
2 − 𝑏2)1 2 ⁄ = 
1
2 
 log2( 𝑎
2 − 𝑏2) 
Como 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) substituímos e aplicamos propriedade de logaritmo 
do produto: 
log2(𝑎
2 − 𝑏2)1 2⁄ = 
1
2 
 log2( 𝑎
2 − 𝑏2) = 
1
2
log2((𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)) = 
1
2
(log2(𝑎 − 𝑏) + log2(𝑎 + 𝑏)) = 
1
2
(8 + 10) =
18
2
= 9 
 
 
b) (1,0) Encontre em R o conjunto solução da inequação 4(8 - x) < x + 1. Em seguida 
responda: Qual é o menor número inteiro que é solução desta inequação? 
Solução: 
Resolvendo a inequação obtemos: 
4(8 - x ) < x + 1 ↔ 32 – 4x < x + 1 ↔ -4x – x < 1- 32 ↔ -5x < -31 
Multiplicando por (-1) obtemos: 5x > 31 ↔ 𝑥 >
31
5
 
Assim o conjunto solução desta inequação é S = {𝑥|𝑥 >
31
5
} = ]
31
5
, +∞[ 
Como 
31
5
= 6,2 temos que o menor número inteiro que pertence a S é o número 7. 
 
 
5ª Questão (1,5): 
a) (0,5) Sendo A = {𝑥 ∈ 𝑍|𝑥2 = 4} e B = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 
13
8
} determine 𝐴 ∩ 𝐵. 
Solução: 
Temos que A = { -2, 2} e B é o intervalo ]−∞,
13
8
[. 
Como -2 ∈ B e 2 não pertence a B pois 2 > 
13
8
 =1,625 temos que 𝐴 ∩ 𝐵 = {-2} 
 
b) (1,0) Racionalize os denominadores e calcule: 
4
√6 + √2
 + 
2
√2
 . 
Solução: 
4
√6 + √2 
 + 
2
√2
= 
4(√6 − √2)
(√6 + √2)(√6 − √2)
+ 
2√2
√2 √2
= 
 
4(√6 − √2)
(√6)2 − (√2)2
+
2√2
(√2)2
=
4(√6 − √2)
6 − 2
+
2√2
2
=
4(√6 − √2)
4
+ √2 = 
 
√6 − √2 + √2 = √6