MF_-_Anuidades_2

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1 
Profa. Fabrícia de Farias 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Fabrícia de Farias 
Anuidade 
Anuidade, renda certa ou série é uma sucessão de pagamentos 
ou recebimentos, exigíveis em épocas preestabelecidas, 
destinada a liquidar uma dívida ou formar um capital. 
Séries Postecipadas - os pagamentos ocorrem no fim de cada 
período e não na origem; 
R 
0 2 1 3 ... n 
deverson_@hotmail.com
Highlight
2 
Profa. Fabrícia de Farias 
 





 

i 
1i1
RS
n
 





 
i 
1i1
S
=R
n
i%n s
S
 =R
Partindo da equação anterior, tem-se: 
S 
R=? 
i i i i i 
0 2 1 3 ... n 
Anuidade Postecipada - Dado “S” Calcular “R” 
(fator de valor futuro 
de séries uniformes) 
lê-se "ângulo n em i" 
Profa. Fabrícia de Farias 
S 
R=? 
i i i i i 
0 2 1 3 ... n 
Na HP-12C, R = PMT e S = FV. Assim, fazer: 
Anuidade Postecipada- Dado “S” Calcular “R” (HP-12C) 
f FIN f 2 
(valor) CHS FV 
(valor) i 
(valor) n 
PMT? 
3 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
4. Determinar o valor dos quatro depósitos trimestrais do fluxo 
de caixa que se segue, capazes de produzir o montante de 
$10.000,00 no final do 4º trimestre, com uma taxa efetiva de 3% 
ao trimestre, no regime de juros compostos. 
Trimestres 
R= ? 
S= $10.000,00 
i i i i 
0 2 1 3 4 
Anuidade Postecipada - Dado “S” Calcular “R” 
Profa. Fabrícia de Farias 
 
27,390.2
1
0,03 
03,01
10.000
=R
4









- Usando a HP-12C, tem-se: FV= -10000; i=3; n=4 
 Assim, PMT = $ 2.390,27. 
Dados: n= 4 trimestres, S= $10000, i= 3% a.t., R= ? 
Anuidade Postecipada - Dado “S” Calcular “R” 
deverson_@hotmail.com
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4 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
5. O problema da Aposentadoria. Você vai se aposentar daqui a 
50 anos, mas já começou a poupar. Vamos supor que você 
queira acumular $ 500.000,00 (tornar-se um meio milionário) até 
a data de sua aposentadoria para poder sustentar seu padrão 
de vida. Quanto você terá de poupar a cada ano entre agora e 
sua aposentadoria para satisfazer essa meta futura? Digamos 
que a taxa de juros seja de 10% a.a.. 
 
 
Anuidade Postecipada - Dado “S” Calcular “R” 
- Usando a HP-12C, tem-se: FV= -500.000; i=10; n=50 
 Assim, PMT = R = $ 429,59. 
Profa. Fabrícia de Farias 
R =? i = 10% a.a. n = 50 anos VF = 500.000 
 
Pela Fórmula: 
S = R [{(1+i)n-1}/i] 
500.000= R [{(1+0,10)50-1}/0,10] 
500.000 = R [{1,1050 -1}/0,10 = R [{116,39}/0,10 = R [1.163,91] 
R = 500.000/[1.163,91] 
R = $ 429,59 
Anuidade Postecipada - Dado “S” Calcular “R” 
deverson_@hotmail.com
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5 
Profa. Fabrícia de Farias 
(2) 
(1) 
S=? 
R 
P=? 
i i i i i 
0 2 1 3 ... n 
Valor Atual 
Anuidade Postecipada - Valor Atual 
O valor presente (representado por “P” ou “A”) de um plano de 
prestações é igual à quantia que você precisaria investir agora 
para cobrir (ou gerar) os pagamentos futuros. 
Uma vez que “P" e "S" são ambos valores datados do mesmo 
conjunto de termos eles devem ser equivalentes entre si. 
Profa. Fabrícia de Farias 
 





 

i 
1i1
RS
n
 S = P (1 + i)n e 
Se 
Então: 
a n i% é conhecido como fator de valor presente de séries 
uniformes. Nessa expressão, “n” representa o número de termos 
da série e “i” a sua taxa de capitalização. 
i%n aRP 
Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “P” (Valor Atual) 
 
 
 





 









i
i11
R
i1i
1i1
RP
-n
n
n
6 
Profa. Fabrícia de Farias 
R 
P=? 
i i i i i 
0 2 1 3 ... n 
Na HP-12C, R = PMT e P = PV. Assim, fazer: 
Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “P” (HP-12C) 
f FIN f 2 
(valor) CHS PMT 
(valor) i 
(valor) n 
PV? 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
6. Um empréstimo será liquidado em oito prestações de $60.000 
pagas todo fim de mês. Considerando uma taxa de juros efetiva de 
15% a.m., determinar o valor do empréstimo. 
R= $60.000 
P=? 
i i i i i 
0 2 1 3 ... 8 
Dados: n= 8 meses, R= $60.000, i= 15% a.m., P= ? 
Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “P” (Valor Atual) 
 
 
9$269.239,2 4,4873215$60.000 
0,151,15
11,15
$60.000 
aRP
8
8
15% 8











- Usando a HP-12C, tem-se: PMT= -60000; i=15; n=8 
 Assim, PV = $ 269.239,29. 
7 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
7. Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe 
renderá US$ 100.000,00, por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor 
do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxas de 
6% ao ano? 
 
R = US$ 100.000,00 i = 6% a . a . n = 10 anos VP = ? 
 
P = R[{(1+i)n -1}/i(1+i)n] = 100000[{(1 + 0,06)10-1}/0.06 (1+0,06)10]= 
P = 100000 [7.36] = 736.000 ou seja, 
P = $ 736.000,00 
 
 - Usando a HP-12C, tem-se: PMT= -100000; i=6; n=10 
 Assim, PV = $ 736.008,71. 
Anuidade Postecipada - Dado “R” Calcular “P” (Valor Atual) 
Profa. Fabrícia de Farias 
 
 








i i1
1i1
P
=R
n
n
i%n a
P
R 
R = ? 
P 
i i i i i 
0 2 1 3 ... n 
Partindo da equação anterior, tem-se: 
 
 









n
n
i1i
1i1
RP
Anuidade Postecipada - Dado “P” Calcular “R” 
deverson_@hotmail.com
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8 
Profa. Fabrícia de Farias 
R = ? 
P 
i i i i i 
0 2 1 3 ... n 
Na HP-12C, R = PMT e P = PV. Assim, fazer: 
Anuidade Postecipada - Dado “P” Calcular “R” (HP-12C) 
f FIN f 2 
(valor) CHS PV 
(valor) i 
(valor) n 
PMT? 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
8. Um bem cujo preço à vista é de $4.000, será pago em 8 prestações 
mensais iguais pagas ao final de cada mês. Considerando que o juro 
composto cobrado é de 5% a.m., calcular o valor das prestações. 
R= ? 
P=4.000 
i i i i i 
0 2 1 3 ... 8 
Dados: n= 8 meses, P= $4.000, i= 5% a.m., R= ? 
Anuidade Postecipada - Dado “P” Calcular “R” 
 
 
$618,89
6,46321
$4.000
0,051,05
11,05
$4.000
a
P
R
8
8
5% 8










- Usando a HP-12C, tem-se: 
PV = -4.000; i=5; n=8 
 Assim, PMT = 618,89. 
9 
Profa. Fabrícia de Farias 
Exemplo: 
9. Uma loja vende uma geladeira em 12 prestações mensais de R$ 
120,55 ou em 24 prestações mensais de R$ 76,76. Qual é a forma de 
financiamento mais vantajosa para o comprador, se a taxa de juros for 
de 3 % a.m.? 
 
Vamos calcular, nos dois casos, o preço „à vista‟ da geladeira. 
1º Caso 2º Caso 
R = 120,55 n = 12 i = 3% a.m. R = 76,76 n = 24 i = 3% a.m. 
 
P = 120,55 x 9,9540040 P=76,76 x 16,9355421 
P = R$ 1.199,96 P = R$ 1.299,97 
 
O primeiro financiamento tem preço à vista menor e é, assim, a melhor 
forma para o comprador. Isso se o comprador puder pagar R$ 120,55 
por mês. 
Anuidade Postecipada - Valor Atual 
i%n aRP 
Profa. Fabrícia de Farias 
Dúvidas? 
fabriciadefarias@gmail.com