06. Matemática ara Ngócios e Finanças

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Matemática para 
Negócios e Finanças 
Sumário
Fundamentos da Matemática | 5
Equação do 1.º grau | 5
Razão | 7
Proporção | 8
Regra de três | 9
Função do 1.º grau | 10
A porcentagem: considerações básicas e importantes | 19
Definição e generalizações | 19
A porcentagem como uma parte do todo | 21
Regras de arredondamento | 24
A porcentagem e a tabela do Imposto de Renda | 25
Estatística I | 35
Distribuição de frequências para dados não agrupados | 36
Representação gráfica de dados não agrupados | 38
Estatística II | 47
A média aritmética para dados não agrupados | 47
A moda para dados não agrupados (Mo) | 48
A mediana para dados não agrupados (Md) | 49
A média ponderada para dados não agrupados (Xw) | 50
Agrupando os conhecimentos | 51
Curiosidade | 51
Medidas de variabilidade para dados não agrupados | 59
Simplificando a definição | 59
A variância (σ2 ), o desvio padrão (σ) e a amplitude (A) para dados não agrupados (Xw) | 60
Agrupando os conhecimentos | 63
Concluindo e comparando | 64
Trabalhando com dados agrupados | 71
Construindo a tabela de frequência | 71
Medidas de tendência central para dados agrupados: a média, a moda e a mediana | 73
Medidas de variabilidade para dados agrupados: a variância, o desvio padrão e a amplitude total | 75
Introdução à Matemática Financeira: juros simples | 83
Noções básicas | 83
Cálculo dos juros simples (J) | 84
Cálculo do valor futuro ou montante (VF) | 86
Capitalizando e descapitalizando capitais | 88
Desconto simples | 93
Definição – Operações de desconto | 93
Desconto racional (DR) ou por dentro (taxas de juros) e o desconto nominal ou por fora | 94
Relação entre taxa de desconto e taxa de juros | 96
Equivalência de capitais | 101
 Igualando os valores atuais | 101
Operações com juros compostos | 109
Definição de juros compostos | 109
Cálculo do montante de juros compostos para períodos não inteiros | 112
Equivalência de taxas efetivas e nominais | 123
Taxas nominais de juros | 123
Transformando taxas efetivas de juros | 125
Séries de pagamento I | 133
O cálculo com séries postecipadas | 133
Série postecipada: cálculo de valor futuro | 136
Séries de pagamento II | 143
Séries diferidas | 147
Sistema de amortização progressiva (SAP) | 156
Sistema de amortização francês, sistema price ou sistema de amortização progressiva – SAP | 156
Cálculo das variáveis para um período qualquer no SAP | 159
Sistema de amortização constante (SAC) | 165
A planilha de cálculos no SAC | 165
Cálculo das variáveis para um período qualquer no sistema SAC | 167
Anexos | 175
Tabela 1 | 175
Tabela 2 | 187
Anotações | 199
Resumo
Existem fundamentos de Matemática que são imprescindíveis nas diver-
sas formações profissionais. Médicos, arquitetos, engenheiros, adminis-
tradores, gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemática 
para resolver, diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula 
tratará, dessa forma, dos principais conceitos de matemática básica que 
são fundamentais para a sua formação.
Fundamentos da Matemática
Eduardo Araújo* 
Equação do 1.º grau
Chamamos de equação do 1.º grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma 
ax = b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
Vamos entender a definição?
Equação: é toda sentença composta por uma (ou mais) incógnita(s) e uma igualdade.
Incógnita: é o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).
Grau: é dado pelo maior expoente da incógnita.
O valor da incógnita, que torna uma equação verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equação.
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Luterana do Brasil (Ulbra). Especialista em Educação a Distância pelo Serviço 
Nacional de Aprendizagem Comercial (Senac). Graduado em Matemática pela Ulbra.
6 | Fundamentos da Matemática
Em igualdades matemáticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos iguais 
aos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantém. É claro, se fizermos as mesmas opera-
ções, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para resolvermos 
equações do primeiro grau, utilizaremos operações matemáticas de ambos os lados da igualdade até 
que a incógnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:
2x + 10 = 18
Para isolarmos o termo “2x”, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja:
2x + 10 – 10 = 18 – 10
2x + 0 = 8
2x = 8
Para eliminarmos o valor “2” que multiplica nossa incógnita, dividiremos ambos os lados da igual-
dade por “2”, e ficamos com:
2
2x
2
8=
x = 4
Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operações em ambos os membros da igualda-
de com os mesmos valores, a igualdade permanecerá verdadeira.
Como nosso objetivo sempre é isolar a incógnita, podemos eliminar esses termos conforme nossa 
necessidade. Veja outro exemplo:
5y = 90
2 3 
5y = 90
y = 18
2y + 3y
6 
= 90
6 
3
y
2
y+ = 15
 
 (Nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2.)
Uma maneira simplificada de resolver equações dessa forma é passando termos semelhantes de 
um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operação matemática que está sendo reali-
zada (lembre-se: adição é o inverso de subtração e multiplicação é o inverso de divisão). Observe:
Se 3x + 4 =19, qual é o valor de “x” que resolve essa equação?
Solução:
 3x = 19 – 4 (Enviando o elemento 4 e invertendo a operação de adição.)
 3x = 15 (Resolvendo 19 – 4.)
 x = 15
3
 (Enviando o elemento 3 e invertendo a operação de multiplicação.)
 x = 5 
7|Fundamentos da Matemática
Veja outros exemplos:
Ex.: –3x + 5 = –7
Solução:
 –3x = –7 – 5
 –3x = –12
 x = –12
–3 
 x = +4 
Testando a resposta encontrada:
 –3 . 4 + 5 = –7
 –12 + 5 = –7
 –7 = –7
 Ok!
Ex.: 4 – 2k = 4k – 8
Solução:
 –2k – 4k = – 8 – 4
 –6k = –12
 k= –12
–6 
 k = +2
Como você pôde perceber, resolver equações do 1.° grau é bastante simples. O método simpli-
ficado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operação que 
estamos realizando, até que tenhamos nossa incógnita isolada.
Razão
A palavra razão é derivada do latim ratio e significa divisão. Ou seja, para obtermos a razão entre 
dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomínio com 40 apar-
tamentos, 12 sejam de 3 dormitórios, 18 sejam de 2 dormitórios e 10 de 1 dormitório. Qual será a razão 
entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios?
Razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios
= 212 : 6
18 : 6 3 
8 | Fundamentos da Matemática
Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitórios, há 3 apartamentos de 2 dormi-
tórios.
Razão entre o número de apartamentos de 3 dormitórios e o total de apartamentos:
= 312 : 4
40 : 4 10 
Portanto, essa razão será: para cada 10 apartamentos do edifício, 3 são de 3 dormitórios.
Esse conceito de razão, que nada mais é do que a divisão entre dois elementos, será fundamental 
para que possamos entender o conceito de proporção que veremos a seguir.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo, 
formam uma proporção, pois representam uma mesma quantidade. Então, quando falamos que duas 
coisas são proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporção entre si. Veja outro exem-
plo:
2 e 3
8 12 representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.
Propriedade:
 Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja:
 Se a = c
b d 
(ou ainda, a ÷ b = c ÷ d), sempre será verdadeiro que:
a = cb d 
a . d = b . c 
Vamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores?
Se 2 e 3
8 12 
 formam uma proporção, então 2 . 12 tem de ser igual a 8 . 3, e são, pois ambos
geram o mesmo resultado, que é 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma propor-
ção, veja:
Se x = 3
4 2 
então:
 2x = 3 . 4
 2x = 12
 x = 12 = 6
2 
O conceito de razão foi importante para entendermos o de proporção. O conceito de proporção, que 
agora estudamos, será a base para compreendermos o conceito de regra de três, nosso próximo tema.
9|Fundamentos da Matemática
Regra de três
A regra de três é, possivelmente, um dos conceitos básicos de Matemática mais utilizados hoje em 
dia. Ela trata de uma simples relação linear na qual conhecemos três elementos, relacionados entre si, 
e queremos descobrir o quarto elemento dessa proporção. Como você pode notar, regra de três e pro-
porções são conceitos totalmente relacionados. Na verdade, uma regra de três nada mais é do que uma 
proporção, que pode ser direta ou inversa. Vamos ver como devem ficar dispostos os dados em uma regra 
de três:
os dados devem ficar dispostos como em uma tabela, cujos valores de mesmo tipo ficam na ::::
mesma coluna;
para analisarmos se a proporção é direta ou inversa, seguiremos os seguintes critérios:::::
se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra também aumentar seu valor (ou vice- ::::
-versa), a relação será direta e resolvemos o problema como em uma proporção: trata-se de 
uma regra de três direta;
se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra diminuir (ou vice-versa), a relação será ::::
inversa. Nesse caso, invertemos a posição dos elementos de uma das razões e resolvemos o 
problema como em uma proporção: trata-se de uma regra de três inversa.
Para podermos aplicar as definições vistas, vamos ver alguns exemplos em que a regra de três 
é utilizada?
Ex.: Se um corretor de imóveis roda em média 60 quilômetros em 3 horas de trabalho, quanto, em 
média, ele deverá ter rodado em 8 horas trabalhando?
Solução:
Quanto mais horas de trabalho, mais quilometragem o corretor rodará, portanto, a regra é direta:
km h
60 3
x 8
3x = 60 . 8
x = 480 = 160km
2 
Ex.: Imagine agora que, esse mesmo corretor, dirigindo a uma velocidade média de 60km/h, con-
siga percorrer certa distância em 20 minutos. Caso ele tenha apenas 15 minutos, com que velocidade 
ele deverá dirigir?
Solução:
Quanto mais velocidade, menos tempo, portanto a relação é inversa.
Dados do problema:
Vel. t
60 20
x 15
10 | Fundamentos da Matemática
Invertendo uma das razões (já que a regra é inversa):
60 = 15
x 20 
15x = 60 . 20
15x = 1 200
15
1 200
= 80kmx =
Como você pôde perceber, realizar cálculos com regra de três é bastante simples: basta identifi-
carmos os elementos envolvidos, montarmos a tabela e verificarmos se a relação é direta ou inversa. No 
caso da direta, tratamos como uma proporção; no caso da inversa, invertemos uma das razões e trata-
mos, novamente, como uma proporção normal.
Função do 1.º grau
Veremos agora algumas noções de função do 1.° grau. Para tanto, partiremos da definição e, em 
seguida, entenderemos cada um de seus elementos. 
Chama-se função polinomial do 1.º grau qualquer função f de IR em IR, dada por uma lei da forma 
f(x) = ax + b, em que a e b são números reais quaisquer e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, “a” é chamado de coeficiente de x e o “b” é chamado termo constante.
Uma função, dessa forma, pode ser entendida simplificadamente como uma relação entre dois 
valores.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1.º grau:
f(x) = 5x em que = 5 e b = 0
f(x) = –2x –7 em que = –2 e b = –7
As funções do primeiro grau são separadas em três tipos: linear, afim e constante. Veja qual a de-
finição de cada uma delas:
Função linear
É um tipo de função do 1.º grau em que o termo b é nulo (y = ax). Um exemplo de função linear é 
a primeira das duas anteriores, (f(x) = 5x).
Função afim
É um tipo de função do 1.º grau na qual o termo b não é nulo (y = ax + b).
Um exemplo de função afim é a segunda das anteriores: f(x) = –2x – 7.
11|Fundamentos da Matemática
De uma maneira simplificada, podemos representar graficamente funções do 1.° grau arbitrando 
valores para a variável “x” e calculando os correspondentes valores de “y”. Veja:
y = 3x – 6
Construindo uma tabela e arbitrando valores para “x”:
x y = f(x)
–2
–1
0
1
2
A partir dos valores arbitrados para “x” (falamos em arbitrados porque podem ser quaisquer valo-
res), podemos obter os valores de “y”. Veja:
x y = f(x)
–2 y = 3 . (–2) – 6 = –6 – 6 = –12
–1 y = 3 . (–1) – 6 = –3 – 6 = –9
0 y = 3 . (0) – 6 = 0 – 6 = –6
1 y = 3 . (1) – 6 = 3 – 6 = –3
2 y = 3 . (2) – 6 = 6 – 6 = 0
A tabela fica com o seguinte formato:
x y = f(x)
–2 –12
–1 –9
0 –6
1 –3
2 0
E a representação gráfica fica:
12 | Fundamentos da Matemática
Podemos, ainda, arbitrar o valor “zero” para “x” e calcular “y”, arbitrar “zero” para “y” e calcular “x”, 
unindo esses pontos em uma reta. Veja:
y = 3x – 6
Quando x = 0, teremos: Quando y = 0, teremos:
 y = 3 . 0 – 6 0 = 3x – 6
 y = 0 – 6 –3x = –6
 y = –6 
 x = 2
E, portanto, o ponto (0, –6) E, portanto, o ponto (2,0)
 
–6
 
2
E, unindo esses pontos, teremos:
 
– – –
–
É a mesma representação gráfica anterior, uma vez que podemos prolongar infinitamente a reta 
em ambas as direções.
13|Fundamentos da Matemática
Atividades
1. Uma secretária precisa digitar 26 páginas de um arquivo. Se, em duas horas de serviço ela digitou 
oito páginas, quanto tempo deverá levar para concluir sua tarefa?
 
2. Para se produzir 60kg de uma certa liga metálica são necessários 16kg de cobre. Se você tiver 
disponível 20kg de cobre, quantos kg dessa mesma liga conseguirá produzir?
 
3. Para produzir 20 estribos, um certo ferreiro leva, em média, 16 minutos. Continuando nesse 
mesmo ritmo, em 20 minutos, ele deverá produzir quantos estribos?
 
4. Para construir uma ponte, 16 operários trabalham durante 120 dias. Se o prazo de entrega fosse 
de 80 dias, quantos operários seriam necessários?
 
5. Em um certo supermercado, o pacote de 2kg de açúcar custa R$3,24. Quanto deverá custar, no 
máximo, o pacote de 5kg?
 
6. Em geral, uma família de três pessoas consome, por dia, 300g de gás de cozinha. Considerando 
um botijão com 13kg, podemos escrever: (obs.: 300g = 0,3kg):
Dias consumindo gás (x) Quantidade de gás no botijão (y)
0 dia 13kg 
1 dia 12,7kg
2 dias 12,4kg
3 dias 12,1kg
4 dias 11,8kg
5 dias 11,5kg
 Considerando “x” como a quantidade de dias consumindo gás e “y” a quantidade de gás no botijão, 
responda às questões que seguem:
a) A função matemática que explica essa situação é:
 
b) No 12.º dia de consumo, quantos kg de gás há no botijão?
 
14 | Fundamentos da Matemática
c) Após quantos dias consumindo gás a quantidade no botijão será de 7kg?
 
d) A partir da instalação do botijão, aproximadamente quantos dias o gás deverá durar?
 
Ampliando conhecimentos
Os conceitos vistos nesta aula são fundamentais para sua formação. Dessa forma, procure retomar 
todos os conceitos estudados e só avançar após dirimir todas as suas dúvidas. É importante entender, 
por exemplo, que o valor encontrado em uma equação do 1.° grau significa o único número real que, ao 
ser substituído na equação, torna a igualdade verdadeira e que, em uma regra de três, se a relação for 
direta, tratamos como uma proporção e se for inversa, precisa ter a proporção invertida.
Autoavaliação 
1. Caminhando a “passos largos”, uma pessoa leva, em média, 20 minutos para percorrer 2,5km. 
Para percorrer 4km,quanto tempo deverá levar?
 
2. Um automóvel, andando a uma velocidade média de 80km/h, leva 12 minutos para percorrer uma 
certa distância. Se ele andasse a 60km/h, quanto tempo levaria para percorrer a mesma distância?
 
3. Um representante comercial vendeu 520 exemplares de seu produto e com isso lucrou R$546,00. 
Se, em uma nova venda do mesmo produto, ele lucrou R$420,00, quantos exemplares ele vendeu?
 
4. Um médico leva, em média, 20 minutos para atender um paciente em sua clínica. Em um dia 
inteiro de trabalho, esse médico consegue atender, no máximo, 24 pessoas. Para aumentar sua 
renda, ele pretende atender 30 pessoas por dia. Dessa forma, ele precisa que suas consultas 
durem quanto tempo?
 
5. Em um hemocentro foi constatado que, para coletar 200mL de sangue, uma máquina leva, em 
média, 24 minutos. Quanto tempo essa mesma máquina levará para coletar 150mL de sangue?
 
15|Fundamentos da Matemática
6. Associe cada função com sua possível representação gráfica:
a) y = 4x – 4 b) y = 4x + 4 c) y = –4x – 4 d) y = –4x + 4 
e) y = 4x f ) y = –4x g) y = 4 h) y = –4
( ) ( )
 
( ) ( )
 
( ) ( )
 
( ) ( )
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
2
4
-2
-4
-6 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
2
-2
-4
-6
4
16 | Fundamentos da Matemática
7. Suponha que a quantidade média de gasolina (y) em um tanque cheio de combustível em relação 
à quantidade de quilômetros rodados (x) de um automóvel popular seja dado pela equação: 
y = 35 – 0,0625x
a) Após percorrer 200km, quanto haverá de gasolina no tanque?
 
 
 
b) Estando com o tanque cheio, esse automóvel conseguirá percorrer 600km? Por quê?
 
 
 
 
 
c) Com qual quilometragem deverá acabar o combustível?
 
 
 
 
Referências
ARAÚJO, Eduardo Muller; BERLIKOWSK, Márcia Elisa. Matemática: 6.ª série. Canoas: Ulbra, 2003.
_____. Matemática: 8.ª série. Canoas: Ulbra, 2003.
BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Hoje é Feita Assim. São Paulo: FTD, 1989.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Contexto e Aplicações. Livro 1. São Paulo: Ática, 1999.
17|Fundamentos da Matemática
Gabarito
Atividades
1. 6,5h ou 6h30.
2. 75kg.
3. 25 estribos.
4. 24 operários.
5. R$8,10.
6. a) y = 13 – 0,3x
b) 9,4kg.
c) 20 dias.
d) 43 dias.
Autoavaliação
1. 32 minutos.
2. 16 minutos.
3. 400 exemplares.
4. 16 minutos.
5. 18 minutos.
6. ( c ) ( e )
 
18 | Fundamentos da Matemática
( h ) ( a )
 
( b ) ( f )
 
( d ) ( g ) 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
2
4
-2
-4
-6 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
2
-2
-4
-6
4
7. a) 22,5L.
b) Não, pois ao substituirmos “x” pelo valor 600, chegaríamos em uma quantidade negativa de gasolina, ou seja, 
faltaria gasolina.
c) 560km, que é quando o valor de “y”, gasolina, é zero.
Resumo
Em nosso cotidiano estamos cercados de situações nas quais os cálculos 
com porcentagens são fundamentais. Todos os dias vemos em jornais, 
revistas e na televisão taxas percentuais sendo utilizadas pelos mais di-
versos setores. A partir dessa realidade é que será desenvolvida esta aula. 
Iniciaremos definindo e relembrando o que é porcentagem e, em segui-
da, veremos situações-problema em que esse conceito, tão importante 
e que nos será útil ao longo de toda a disciplina, faz-se necessário.
A porcentagem: considerações 
básicas e importantes
Definição e generalizações
Como o próprio nome diz, porcentagem vem de “por cento”, ou seja, uma razão em que o deno-
minador é 100.
Ex.: 20% = 
20
100
, ou seja, vinte partes em cem.
Não importa o que temos, dividimos em cem partes e retiramos 20. Veja:
20 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
Aqui, como da forma anterior, mas com 75 partes pintadas.
75% = 
75
100
Calculando diretamente
Para calcularmos o valor percentual de uma certa quantia, simplesmente multiplicamos o valor 
em questão pela taxa percentual. Veja os exemplos:
 a) 20% de 400 = 400 . 20% = 80
b) Um produto que custava R$400,00 teve um aumento de 12% e, em seguida, um desconto de 
12%. Qual o seu valor final?
Podemos efetuar esses cálculos diretamente na calculadora.
Com o aumento de 12%:
 400 + 12% = 
 400 + 48 =
 448
Reduzindo 12%:
 448 – 12% =
 448 – 53,76 =
 394,24
Como você pôde perceber, o valor final não foi R$400,00, pois o aumento de 12% incidiu sobre o 
valor de R$400,00, enquanto o desconto de 12% incidiu em um valor maior, que foi o de R$448,00. Logo, 
o valor final foi diferente do inicial. Para facilitar essa visualização, veja graficamente:
Aumenta 12%
sobre R$400,00
Diminui 12%
sobre R$448,00
21| A porcentagem: considerações básicas e importantes
A porcentagem como uma parte do todo
Para sabermos que taxa percentual representa uma quantidade com relação ao todo, fazemos a 
razão entre essa parte e o todo e multiplicamos o valor encontrado por cem, ou seja:
parte . 100
todo 
Veja as situações que seguem:
1.ª situação
A tabela abaixo mostra a quantidade de funcionários que trabalham em cada um dos setores de 
uma determinada empresa.
Setor Quantidade de pessoas
Fábrica 106
Atendimento ao cliente 15
RH 6
Administrativo 63
Financeiro 8
Gerência 2
Total 200
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
A partir desses dados, podemos dizer que:
O total :::: de pessoas que trabalham na fábrica em relação ao todo é 106 em 200, ou ainda,
106
200 = 0,53=
53
100 = 53%
Atendimento ao cliente: 
15
200
= 0,075 =
75
1 000
= 7,5%
 
RH: 6200 0 03
3
100 3= = =, % Administrativo: 
63
200
0 315
315
1 000
31 5= = =, , %
Financeiro: 
8
200 = 0,04=
4
100 = 4% Gerência: 
2
200 = 0,01=
1
100 = 1% 
E podemos reescrever a tabela anterior da seguinte forma:
Setor Percentual de funcionários
Fábrica 53%
Atendimento ao cliente 7,5%
RH 3%
Administrativo 31,5%
Financeiro 4%
Gerência 1%
Total 100%
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
22 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
2.ª situação
Na compra de um terreno de R$52.000,00, foi solicitado que o comprador desse R$17.680,00 
de entrada. Qual o percentual de entrada que essa empresa exige?
Solução:
A partir da definição que vimos, podemos facilmente calcular o que foi solicitado:
Valor percentual pago = 
17.680
52.000
 . 100 = 0,34 . 100 = 34
Ou seja, o valor de R$17.680,00 representa 34% dos R$52.000,00. 
3.ª situação
Um bem teve um aumento de R$12.400,00 para R$14.198,00. Qual a taxa percentual de aumento?
Solução:
Valor do aumento em moeda: R$1.798,00
Aumento percentual: 
1.798
12.400
 . 100 = 14,5%
O cálculo de porcentagens está diretamente ligado ao nosso cotidiano, veja a reportagem que segue.
Crédito para habitação vai crescer
(GAZETA DO POVO, jan. 2006)
O volume de crédito imobiliário liberado no ano passado pelos bancos privados atingiu 
R$4,8 bilhões, o maior desde o início da década. O cálculo é da Associação Brasileira das Enti-
dades de Crédito Imobiliário e Poupança (Abecip), que anuncia perspectivas ainda melhores 
para 2006: o montante financiado pode crescer cerca de 50%, chegando a quase R$7 bilhões. 
Nas contas do Ministério das Cidades, serão R$6,7 bilhões – que, somados aos recursos da Cai-
xa Econômica Federal, atingem R$17 bilhões, volume 21% superior ao total de R$14 bilhões 
liberados em 2005.
[...] Em 2004 e 2005, os empréstimos cresceram 36% e 57%, respectivamente.
Há, ainda, outro estímulo para que os bancos se agilizem na aplicação de recursos em crédito 
imobiliário: uma determinação do Banco Central os obriga a direcionar 65% de todo o dinheiro cap-
tado em caderneta de poupança para o financiamento da casa própria.
A partir dessanotícia podemos fazer as seguintes considerações:
1.ª consideração
A previsão de investimento para o ano de 2006 foi de R$17 bilhões. O valor investido foi de 
R$14 bilhões. Também foi dito que o aumento seria de 21%. Como calcularíamos essa taxa percentual?
23| A porcentagem: considerações básicas e importantes
Solução:
Para responder a essa questão, primeiramente veremos de quanto (em reais) foi o aumento e, em 
seguida, veremos quanto isso representa em relação ao valor inicial (R$14 bilhões). Veja:
 Aumento: R$3 bilhões
 Valor inicial: R$14 bilhões
 Taxa de aumento: 3
14 100= 21,4%×
2.ª consideração
No ano de 2005, o valor liberado foi de R$14 bilhões. Se houve um crescimento de 57% com relação 
a 2004, como poderemos calcular o valor deste ano? E de 2003, que cresceu 36% com relação a 2004?
Para respondermos a questões como essas, elaboraremos uma regra prática que nos auxiliará em 
cálculos de aumento/desconto de valores:
Quando o valor que queremos :::: teve um desconto e queremos calcular o valor original, basta 
dividirmos o valor em questão por (1 – taxa centesimal de aumento).
Ex.: Um bem teve um desconto de 15% = 
15
100 = 0,15 e passou a custar R$760,00. 
Qual o valor original?
Solução:
 
760
(1–0,15)
=
760
0,85
= 894,12
Quando o valor que queremos :::: teve um aumento e queremos calcular o valor original, basta 
dividirmos o valor em questão por (1 + taxa centesimal de aumento).
Ex.: Um bem teve um aumento de 15% e passou a custar R$760,00. Qual o valor original?
Solução:
 
760
(1 + 0,15)
=
760
1,15
= 660,87
A partir das definições vistas, poderemos responder às questões anteriores.
Segundo o texto:
Ano de 2005 = 14 bilhões::::
Crescimento relativo a 2004 = 57% = :::: 57
100 = 0,57
E respondendo à pergunta:
Valor original = ::::
1 + 0,57
14
1,57
14= = 8,92
 Logo, no ano de 2004, o volume de crédito liberado foi de 8,92 bilhões de reais.::::
24 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
Agora vamos ao cálculo do ano de 2003:
Ano de 2004 = R$8,92 bilhões (calculado anteriormente)::::
Crescimento relativo a 2003 (segundo o texto) = 36%::::
Respondendo à pergunta:
Valor original = :::: = 8,92 = 6,56 bilhões8,92
1 + 0,36 1,36 
.
Podemos, então, representar graficamente os valores obtidos e, a partir deles, verificar uma gran-
de tendência de crescimento nos investimentos neste setor. Observe a curva:
Crédito imobiliário liberado pelos bancos no Brasil
0
2
4
6
8
10
12
14
16
2003 2003 2004 2004 2005 2005 2006
Ano
R
$
(e
m
b
ilh
õ
e
s
)
 [...] A dívida imobiliária federal (em títulos públicos) fechou 2005 em R$979,7 bilhões. O esto-
que teve um aumento de 2,1% entre novembro e dezembro. [...]
(Disponível em: <www.clickrbs.com.br>.)
A partir da notícia anterior, podemos calcular quanto era a dívida imobiliária em novembro de 
2005:
Valor original = = 979,7 = 959,55979,7
1 + 0,021 1,021 
 bilhões de reais
Regras de arredondamento
Como você já deve ter percebido, muitas vezes precisamos dividir valores que não têm como 
resultado uma divisão exata. Para tanto, utilizaremos a legislação vigente que regulamente a maneira 
correta de arredondar essas quantias.
De acordo com a Resolução 886, de 26 de outubro de 1966, do Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE), o arredondamento é feito da seguinte maneira:
Quando o primeiro algarismo a ser arredondado é o 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último ::::
algarismo a permanecer:
25| A porcentagem: considerações básicas e importantes
Ex.: 43,24 passa a 43,2
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é o 5, há duas soluções:::::
a) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade 
ao algarismo a permanecer. Ex.:
4,757 = 4,76::::
6,750008 = 6,8::::
b) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser 
conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. Ex.:
:::: 14,75 = 14,8
:::: 12,65 = 12,6
Porém, em geral, essa última regra não é respeitada e, se o último algarismo for igual a 5, 
mantém-se ou acrescenta-se um ao algarismo anterior.
Vamos simplificar o que diz a Resolução? Para arredondarmos valores, utilizamos a seguinte regra:
Quando o valor do numeral após a casa decimal que queremos arredondar for menor do que 5, ::::
mantemos esse valor. Ex.: 3,762 = 3,76.
Quando for maior do que 5, aumentamos em uma unidade esse valor. Ex.: 3,762 = 3,8.::::
Quando for igual a 5 e não for o último valor, também aumentamos. Ex.: 3,76252 = 3,763.::::
Quando for igual a 5 e for o último valor, deixamos o 5 ou aumentamos. Ex.: 3,7625 = 3,7625 ::::
ou 3,763.
 A porcentagem e a tabela do Imposto de Renda
Todos os meses, os trabalhadores vinculados ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) pagam 
uma alíquota para esse instituto proporcional ao seu salário bruto. A tabela válida para o ano de 2005 
é a que segue:
Tabela de contribuição dos segurados empregados, empregado doméstico e trabalhador avulso, para 
pagamento de remuneração a partir de 1.º de maio de 2005
Salário de contribuição (R$) Alíquota para fins de recolhimento ao INSS (%)
Até R$800,45 7,65
De R$800,46 a R$900,00 8,65
De R$900,01 a R$1.334,07 9,00
De R$1.334,08 até R$2.668,15 11,00
Po
rt
ar
ia
 8
22
, 1
1 
m
ai
o 
20
05
.
Para salários acima de R$2.668,15, a contribuição é fixada em R$293,50, que é o chamado teto má-
ximo para contribuição. A partir da tabela anterior, pode-se calcular o valor que qualquer trabalhador 
vinculado ao INSS paga mensalmente. Veja os exemplos:
Salário bruto de R$840,00 – 2.ª faixa salarial – contribuição de 8,65%, logo:::::
26 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
 840 . 8,65% = R$72,66
Salário bruto de R$1.800,00 – 4.ª faixa salarial – contribuição de 11%:::::
 1.800 . 11% = R$198,00
Além da contribuição paga ao INSS, mensalmente, todo trabalhador que recebe um salário 
bruto, descontada a contribuição paga ao INSS, acima de R$1.058,00 (válido para o ano de 2005), 
contribui com o Imposto de Renda Pessoa Física (IRPF) segundo a tabela abaixo:
Rendimento Alíquota Deduzir – (R$)
Até R$1.058,00 isento -
Acima de R$1.058,01 até R$2.115,00 15% 158,00
Acima de R$2.115,01 27,5% 423,08
A parcela a deduzir é o valor que devemos descontar do valor a ser pago por meio da alíquota.
Dessa forma, para o trabalhador do primeiro exemplo citado anteriormente, temos:
Salário bruto = R$840,00::::
Contribuição ao INSS = R$72,66::::
Salário líquido parcial = R$840,00 – R$72,66 = R$767,34::::
Contribuição ao IRPF = isento, já que seus rendimentos ficaram aquém de R$1.058,00::::
Salário líquido final = R$767,34, já que não contribui com o IRPF::::
Para o segundo exemplo:
Salário bruto = R$1.800,00::::
Contribuição ao INSS = R$198,00::::
Salário líquido parcial = R$1.602,00::::
Contribuição ao IRPF (segunda faixa – 15% –, pois está entre R$1.058,01 e R$2.115,00): 15% de ::::
R$1.602,00 = R$240,30 menos a parcela a deduzir (R$158,00)
Contribuição: R$240,30 – R$158,00 = R$82,30::::
Salário líquido final = R$1.602,00 – R$82,30 = R$1.519,70::::
A partir desse valor, podemos calcular a redução percentual que este trabalhador teve em seu salário:
Valor pago de impostos: ::::
INSS = R$198,00
IRPF = R$82,30
Total = R$198,00 + R$82,30 = R$280,30
Valor percentual pago sobre seu salário inicial: ::::
= 280,30 = 0,1557 . 100 = 15,57% 
1,021 
27| A porcentagem: considerações básicas e importantes
Vamos, agora, calcular a perda percentual que tem em seu salário um trabalhador que teve renda 
mensal bruta de R$2.600,00.
INSS = 11% de R$2.600,00 = R$286,00
Salário líquido parcial =2.600 – 286 = R$2.314,00
Contribuição ao IRPF = 3.ª faixa (27,5%) = 27,5% de R$2.314 = R$636,35 – R$423,08 (parcela 
a deduzir)
Valor a contribuir = R$213,27
Salário líquido final = R$2.314,00 – R$213,27 = R$2.100,73
Redução percentual sobre o salário bruto:
Total de impostos = R$286,00 + R$213,27 = R$499,27
Redução percentual = 19,20%
Dessa forma, um trabalhador que tem uma renda bruta de R$2.600,00 tem, de encargos governa-
mentais, diretamente em sua fonte de renda, 19,20% de seu salário retido. 
Como pôde perceber, situações em que conceitos de porcentagens estão presentes ocorrem no 
nosso cotidiano e é importante salientarmos e atentarmos para pequenos detalhes, pois, muitas vezes, 
são eles que fazem uma grande diferença. Como vimos, se aumentarmos um certo valor percentual, e 
diminuirmos esse mesmo percentual, chegaremos em valores iniciais diferentes. Dessa forma, é de ex-
trema importância que atentemos para os menores detalhes para que, em momento algum, possamos 
gerenciar de forma inadequada nossos negócios ou finanças. 
Atividades
1. Uma companhia financiadora dava as seguintes instruções em seu carnê de pagamentos de um 
automóvel:
 
Valor do documento: R$485,00
Após o vencimento serão acrescidos ao valor do documento: 
multa fixa de R$9,71 mais juros de 0,4% do valor do documento por cada dia de atraso.::::
Responda:
a) O valor da multa representa qual porcentagem do valor do documento?
 
 
28 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
b) Se uma pessoa atrasar 15 dias da data de vencimento, quanto pagará? 
 
 
c) Esse valor pago representa qual valor percentual acima do valor do documento?
 
 
2. Imagine que o preço da gasolina tenha oscilado bastante em alguns dias de um determinado mês:
Dia 1.º → R$2,50 Dia 15 → R$2,94 Dia 30 → R$2,72
A partir dessas informações, responda:
a) Qual foi o aumento percentual do dia 1.º para o dia 15?
 
b) Qual foi a redução percentual do dia 15 para o dia 30?
 
c) No dia 1.º a gasolina estava que valor percentual a menos do que no dia 30?
 
3. Os gastos para o pagamento da Habite-se de um certo imóvel custava, em um determinado mês, 
R$140,00. No mês seguinte, a taxa passou para R$145,95. Qual foi o percentual de aumento?
 
 
 
 
 
4. Em uma pesquisa de opinião pública no RS, foram entrevistadas 300 pessoas que responderam 
à seguinte pergunta: “Qual o time de futebol de sua preferência?”. As respostas foram tabuladas 
em um gráfico tipo pizza conforme abaixo:
Time de preferência
64%
24%
9% 3%
Grêmio
Inter
Juventude
Outros/nenhum
29| A porcentagem: considerações básicas e importantes
 A partir da representação anterior, calcule quantas pessoas votaram em cada um desses times e 
quantas votaram em outros ou em nenhum time.
 
 
 
5. Um imóvel teve um percentual de 12% de aumento e agora custa R$184.800,00. Qual era o seu 
valor antes do aumento?
 
 
 
 
Ampliando conhecimentos
Verifique se a tabela de Imposto de Renda atualmente utilizada permanece a mesma da que foi 
apresentada nesta aula. Pegue seu contracheque, caso você possua um, e verifique se os valores que lhe 
descontam de INSS e de IRPF estão de acordo com as tabelas apresentadas. Verifique em jornais e re-
vistas situações envolvendo cálculos de porcentagem. É no nosso cotidiano que aprendemos o quanto 
essas situações são importantes.
Autoavaliação
1. O valor total pago pelos moradores de um certo condomínio no mês de dezembro foi de 
R$12.600,00. O condômino, em sua planilha de custos, distribuiu a receita da seguinte forma:
Destino da Aplicação Valor Gasto
Jardinagem e limpeza R$2.340,00
Luz R$5.680,00
Manutenções R$1.260,00
Segurança R$1.620,00
Total de gastos R$10.900,00
Caixa do condomínio R$1.700,00
Total R$12.600,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
30 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
A partir dessa tabela, calcule o percentual gasto com cada uma das aplicações.
Destino da Aplicação Gasto (%)
Jardinagem e limpeza
Luz
Manutenções
Segurança
Caixa do condomínio
2. Nestes últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valores 
médios praticados por um certo posto de gasolina.
Mês Valor cobrado (R$)
Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
 Com base nesses valores, calcule o percentual de variação da gasolina entre cada um dos 
meses do ano.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31| A porcentagem: considerações básicas e importantes
3. Calcule, utilizando os procedimentos de cálculo vistos no decorrer desta aula, o salário líquido e a 
perda percentual no salário bruto de um trabalhador que recebe uma renda bruta de:
a) R$1.200,00;
b) R$2.000,00;
c) R$3.000,00;
d) R$5.400,00.
 
 
 
 
 
 
 
Referências
FACCHINI, Walter. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1997.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática. 2.º Grau. São Paulo: FTD, 2002.
JASPER, Fernando. Crédito para habitação vai crescer 21%. Gazeta do Povo, Curitiba, 18 jan. 2006. 
PORTARIA 822, de 11 de maio de 2005. Disponível em: <www81.dataprev.gov.br/sislex/paginas/66/
MPS/2005/822.htm>. Acesso em: fev. 2006.
32 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
Gabarito
Atividades 
1.
a) Aprox. 2%.
b) R$523,81.
c) 7,41%.
2.
a) 17,6%.
b) 7,48%.
c) 8,09%.
3. 4,25%.
4. Grêmio: 192 pessoas.
 Inter: 72 pessoas.
 Juventude: 27 pessoas.
 Outros/nenhum: 9 pessoas.
5. R$165.000,00.
Autoavaliação
1. Jardinagem e limpeza 18,57%
 Luz 45,08%
 Manutenções 10%
 Segurança 12,86%
 Caixa do condomínio 13,5%
33| A porcentagem: considerações básicas e importantes
2. Entre janeiro e fevereiro: 3,39%
 Entre fevereiro e março: 3,69%
 Entre março e abril: 2,37%
 Entre abril e maio: 3,09%
 Entre maio e junho: 3,09%
 Entre junho e julho: 0%
 Entre julho e agosto: 3,09%
 Entre agosto e setembro: 1,87%
3. 
a) Líquido: R$1.086,20; perda percentual: 9,48%
b) Líquido: R$1.671,00; perda percentual: 16,45%
c) Líquido: R$2.385,29; perda percentual: 20,49%
d) Líquido: R$4.125,29; perda percentual: 23,61%
34 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
Estatística I
A Estatística é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização, a análise e a interpretação 
de dados, em geral, obtidos de pesquisas e medições. A Estatística é, basicamente, dividida em duas 
grandes áreas: a estatística descritiva e a estatística inferencial. A primeira, como seu próprio nome 
diz, estuda a descrição, a síntese e a organização de dados, em geral dispostos em tabelas e gráficos. A 
segunda preocupa-se em retirar uma parte do todo e tirar conclusões a partir desses dados, o que cha-
mamos de “fazer inferências”. É o que mais ouvimos falar, por exemplo, em eleições para presidentes, 
governadores, prefeitos e demais situações nas quais não podemos entrevistar toda a população, mas 
somente uma parte dela que represente esse todo.
A partir dessa realidade, definiremos alguns termos utilizados em Estatística.
População: é o conjunto de elementos que possui alguma característica em comum. No nosso ::::
exemplo das eleições presidenciais, é “ser brasileiro”.
Amostra: é uma parte da população que representa o todo. Essa amostra deve ser o que a ::::
Estatística define como representativa, ou seja, deve poder representar o todo, sem que haja 
maiores distorções nos resultados. Para o exemplo das eleições presidenciais, podemos dizer 
que uma amostra representativa deve ter homens e mulheres de diversos estados (preferen-
cialmente todos), de diversas idades e de classessocioeconômicas distintas.
Amostragem: é o processo de obtenção da amostra.::::
Parâmetros: são medidas que caracterizam a população. Por exemplo: raça, sexo, salário, ida-::::
de, entre outros.
Variáveis: é a medida que se busca com a pesquisa. Por exemplo, “qual o candidato a presiden-::::
te de sua preferência?”. Essas variáveis podem ser classificadas como quantitativas, quando 
expressam uma quantidade, ou qualitativas, quando expressam uma qualidade.
36 | Estatística I
Distribuição de frequências para dados não agrupados
Como já citamos, a estatística descritiva se preocupa em organizar e tabular dados em gráficos e 
tabelas, com o objetivo de sintetizar as informações e fornecer respostas claras e objetivas com relação 
ao estudo de interesse. Dessa forma, nesta aula, nos preocuparemos em organizar os dados em uma 
tabela chamada tabela de frequências e, para tanto, definiremos os tipos de frequência utilizados em 
estatística:
Frequência absoluta (f ): é o número de observações que ocorreram em cada classe.::::
Frequência absoluta acumulada (F): é o somatório das frequências ocorridas até a classe em ::::
que estamos.
Frequência relativa (f:::: r ): é o quociente (resultado da divisão) entre a frequência absoluta e o 
total de elementos.
Frequência relativa acumulada (F:::: r ): é o somatório das frequências relativas ocorridas até a 
classe em que estamos.
Para a elaboração da tabela, deve-se obedecer à Resolução 886, de 26 de outubro de 1966, do 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que determina que toda tabela deve ter:
Título: conjunto de informações que precisa responder, de forma sucinta, o que se busca na ::::
pesquisa.
Cabeçalho: parte superior da tabela que dá nome às colunas.::::
Corpo: conjunto de linhas e colunas que contém as informações sobre a pesquisa.::::
Rodapé: é o local ond:::: e se coloca a fonte e possíveis notas.
Veja um exemplo de tabela:
Tabela – População residente, por sexo e situação do domicílio nos 
municípios do estado do Rio Grande do Sul
Fonte: Censo Demográfico 2000 – IBGE. Adaptado.
Estado/Municípios
População residente
Homens Mulheres
Rio Grande do Sul 4 994 719 5 193 079
Canoas 148 860 157 233
Carlos Gomes 985 927
Caxias do Sul 176 959 183 460
Porto Alegre 635 820 724 770
Presidente Lucena 1 087 982
Protásio Alves 1 132 980
37|Estatística I
Veja outro exemplo onde podemos aplicar as definições de frequência citadas.
Em uma universidade pesquisou-se o número médio de horas que os acadêmicos estudavam, 
sem considerar os momentos em sala de aula. Para tanto, 80 estudantes de diversos cursos foram entre-
vistados. Os resultados estão dispostos na tabela a seguir:
Tabela – número de horas de dedicação semanal para estudo extraclasse
Fonte hipotética.
Número médio de horas Número de estudantes
Até 1 hora 2
Em torno de 2 horas 8
Em torno de 3 horas 16
Em torno de 4 horas 10
Em torno de 5 horas 20
Mais de 5 horas 24
A partir da tabela anterior, podemos distribuir os dados em uma tabela de frequências. Veja:
Tabela – número de horas de dedicação semanal para estudo extraclasse
Fonte hipotética.
H fi fri Fi Fri
Até 1 hora 2 2 ÷ 80 = 0,025 = 2,5% 2 0,025 = 2,5%
Em torno de 2 horas 8 8 ÷ 80 = 0,1 = 10% 10 0,125 = 12,5%
Em torno de 3 horas 16 16 ÷ 80 = 0,2 = 20% 26 0,325 = 32,5%
Em torno de 4 horas 10 10 ÷ 80 = 0,125 = 12,5% 36 0,45 = 45%
Em torno de 5 horas 20 20 ÷ 80 = 0,25 = 25% 56 0,7 = 70%
Mais de 5 horas 24 24 ÷ 80 = 0,3 = 30% 80 1 = 100%
Dica
Na tabela anterior, podemos destacar alguns pontos importantes.
No cálculo da frequência relativa (f:::: r), dividimos a frequência da classe pelo total de elemen-
tos em questão; para expressarmos em taxa percentual, multiplicamos esse resultado por 
100;
O elemento da última classe relativo à frequência acumulada (F:::: i) sempre tem valor igual ao 
total de elementos (no nosso caso, 80 pessoas);
O elemento da última classe relativo à frequência relativa acumulada (F:::: ri) sempre tem valor 
igual a um ou, em taxa percentual, 100%.
38 | Estatística I
A partir da tabela anterior, podemos explorar algumas importantes questões:
Entre os entrevistados, quantas pessoas estudam em torno de quatro horas?::::
 Dez pessoas, já que é a frequência absoluta em quatro horas.
Entre os entrevistados, quantas pessoas estudam até quatro horas?::::
 É a frequência acumulada em quatro horas, que é de 36 pessoas.
Entre os entrevistados, qual é o percentual de pessoas que estudam, em média, três horas?::::
 É a frequência relativa em três horas = 20%.
Entre os entrevistados, qual é o percentual de pessoas que estudam até três horas?::::
 É a frequência relativa acumulada em três horas = 32,5%.
Representação gráfica de dados não agrupados
Representarmos dados graficamente nos permite uma fácil e direta visualização do assunto que 
estamos estudando. Neste momento veremos os tipos mais utilizados de gráficos, utilizando a situação 
estudada anteriormente: número de horas de estudo semanal.
Gráfico de colunas
Esse tipo de gráfico representa os dados através de uma série de colunas que variam de altura de 
acordo com a frequência com que os valores se repetem em cada categoria.
39|Estatística I
Gráfico de setores
Nesse tipo de gráfico, o conjunto de dados é representado por um círculo em que cada categoria 
representa uma parte dos 360º, que é o total dos dados. Em geral, para que não haja poluição visual, 
esse tipo de gráfico é muito utilizado para um número pequeno de categorias. Essa representação é 
bastante útil e muito usada por apresentar, visualmente, o quanto cada classe ocupa em relação ao todo 
e às demais classes. Na maioria das vezes são utilizadas porcentagens.
Gráfico de barras
É bastante parecido com o gráfico de colunas, porém as barras ficam com suas variações no 
eixo horizontal.
40 | Estatística I
Gráfico de linhas
Esse tipo de representação gráfica é muito utilizado quando o objetivo é avaliar a variação de 
tendência de um ponto para outro, ou estimar valores entre dois pontos quaisquer.
Como podemos perceber, as tabulações – um dos objetos de estudo da Estatística – são de 
grande valia para organizarmos dados e para que tenhamos, além de uma melhor visualização, uma 
fácil busca de informações. Associados a elas, o uso de gráficos é de extrema importância para que 
se tenha uma proporção e uma boa comparação entre as variáveis em estudo. Eles auxiliam, assim, 
tanto para podermos comparar informações quanto para verificarmos tendências de uma determi-
nada situação.
Atividades
1. Pesquise em sua sala de aula o número de dormitórios das residências de cada um de seus 
colegas (de zero a “n”), incluindo você. Faça uma planilha de dados não agrupados com essas 
informações, contendo frequência absoluta, absoluta relativa, acumulada e acumulada relativa. 
Veja o exemplo:
n.° de filhos fi fri Fi Fri
0
1
2
3
4
...
41|Estatística I
2. Represente em um gráfico de colunas e em um de pizza as informações coletadas. No de pizza é 
importante que apareça o percentual de cada uma das partes.
Ampliando conhecimentos
É importante que você tenha prática no uso da planilha Excel, pois ela é uma poderosa ferramen-
ta na geração e formatação de gráficos como os que estudamos. Vá ao botão “assistente de gráfico” do 
programa Excel e gere seus próprios gráficos. É uma opção de muito fácil uso e que, com certeza, lhe 
auxiliará em muitas situações.
Autoavaliação
1. A tabela abaixo refere-se a uma pesquisa feita sobre salário (em milhares de reais) de gestores 
de 20 grandes empresas de uma determinada capital brasileira. A primeira linha refere-se aos 
primeiros dez entrevistados e a segunda, aos últimos dez.
5 4 5 5,5 5 4,5 6 6 4 5
4,5 4,5 5 4 5 4,5 5 5,5 5 4,5
a) A partir desses dados, construa umatabela de frequências.
42 | Estatística I
 A partir da tabela construída, responda às questões:
b) Entre os 20 gestores entrevistados, quantos tinham salário menor do que R$5 mil?
c) Quantos tinham salário menor ou igual a R$5 mil?
d) Qual o percentual de entrevistados com o salário menor ou igual a R$5 mil?
e) Qual o percentual de entrevistados com o salário igual a R$5,5 mil?
2. Abaixo segue uma tabela de frequência que nos traz a distribuição de salários em uma deter-
minada empresa:
Salários-mínimos Número de funcionários
2 30
3 20
4 12
5 6
6 4
7 4
8 2
 A partir dos dados anteriores, construa uma tabela de frequências completa (com frequências 
acumuladas e relativas) e responda às questões que seguem:
a) Quantos funcionários recebem até sete salários-mínimos?
b) Quantos funcionários recebem sete salários-mínimos?
43|Estatística I
c) Qual o percentual de funcionários que recebem até cinco salários-mínimos?
d) Qual o percentual de funcionários que recebem cinco salários-mínimos?
e) Qual o percentual de funcionários que recebem dois salários-mínimos?
3. Nestes últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valores 
médios praticados por um certo posto de gasolina.
Mês Valor cobrado (R$)
Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72
a) Utilizando uma planilha eletrônica, represente em um gráfico de barras e em um gráfico de 
linhas os dados apresentados nessa tabela.
b) Elabore uma planilha de frequências para dados não agrupados.
4. O gráfico abaixo representa o grau de satisfação dos clientes de uma determinada empresa com 
relação a um certo produto. Foram entrevistados 435 clientes e os resultados estão expressos no 
gráfico de setores abaixo.
44 | Estatística I
A partir da representação gráfica dada, responda às questões que seguem:
a) Quantos clientes disseram estar muito satisfeitos com esse produto?
b) Quantos disseram estar pouco satisfeitos ou insatisfeitos?
c) Com as informações contidas nesse gráfico, elabore, em uma planilha eletrônica, um gráfico de 
colunas com o eixo horizontal contendo o grau de satisfação dos clientes e, na coluna vertical, 
quantas pessoas responderam a cada nível de satisfação.
Referências
SMAILES, Joanne. Estatística Aplicada à Administração com Excel. São Paulo: Atlas, 2002.
STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 1981.
45|Estatística I
Gabarito
Atividades
 Respostas abertas, mas podem ser comparadas entre a turma, pois elas devem ser iguais.
Autoavaliação
1.
a)
Salário (R$ ) fi fri Fi Fri
4.000 3 15% 3 15%
4.500 5 25% 8 40%
5.000 8 40% 16 80%
5.500 2 10% 18 90%
6.000 2 10% 20 100%
Total 20 100%
b) 8 pessoas.
c) 16 pessoas.
d) 80%.
e) 10%.
2.
Salários fi fri Fi Fri
2 30 38,46% 30 38,46%
3 20 25,64% 50 64,10%
4 12 15,38% 62 79,49%
5 6 7,69% 68 87,18%
6 4 5,13% 72 92,31%
7 4 5,13% 76 97,44%
8 2 2,56% 78 100%
Total 78
a) 76 funcionários.
b) 4 funcionários.
c) 87,18%.
d) 7,69%.
e) 38,46%.
46 | Estatística I
 3. a) 
b) 
4. a) 261 clientes.
b) 87 clientes.
c) 
Resumo
Medidas de tendência central e variabilidade são valores que caracte-
rizam os dados que estamos estudando, em geral, para que se saibam 
valores médios e dispersões em torno desses valores. Os mais importan-
tes são a média aritmética, a média ponderada, a moda, a mediana, a 
variância e o desvio padrão. Nesta aula, faremos um importante estudo 
das medidas de tendência central.
Estatística II
A média aritmética para dados não agrupados
A média aritmética é, com certeza, a medida de tendência central mais utilizada no nosso coti-
diano. É calculada pela soma dos elementos dividido pela quantidade de elementos. Os símbolos que 
utilizamos para a média são:
Para a população: a letra grega µ
Para a amostra: x 
Veja um simples exemplo:
48 | Estatística II 
Em uma sala de aula (sala “x”) com 15 alunos, as notas na primeira avaliação de Matemática foram 
as seguintes:
Nome do aluno Nota na avaliação 1
Afrânio 3,0
Alfredo 5,0
Carla 7,0
Cristiane 6,0
Denise 9,0
Eduardo 10,0
Éverton 7,0
Fabrício 4,0
Felipe 8,0
Gabriel 9,0
Natália 7,0
Pedro 2,0
Rafaela 6,0
Sandro 7,0
Sílvia 3,0
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
A partir dessas informações, podemos calcular a média obtida por essa turma:
 = 3 + 5 + 7 + 6 + 9 + 10 + 7 + 4 + 8 + 9 + 7 + 2 + 6 + 7 + 3
15
 = 93
15
 = 16,2
Como você pôde perceber, para calcularmos a média aritmética dessa turma apenas somamos 
todas as notas e dividimos pelo número de alunos que, para essa situação, é igual a 15.
A moda para dados não agrupados (Mo)
A moda é o valor que mais aparece em um conjunto de dados.
No exemplo anterior, ela é a nota 7,0, pois é a que mais aparece, num total de quatro vezes. Em 
um evento em que temos dois valores que aparecem em uma mesma quantidade e são os que mais 
aparecem, dizemos que ele é bimodal.
Ex.: No conjunto {1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 10} os valores “2” e “3” aparecem, ambos, 3 vezes. Di-
zemos, dessa forma, que esse conjunto é bimodal.
49|Estatística II 
A mediana para dados não agrupados (Md) 
A mediana é a medida de tendência central que divide os dados ordenados em duas partes de 
mesma frequência. Para obtermos a mediana, ordenamos os dados em ordem crescente e tomamos o 
termo central. A posição dessa medida também pode ser obtida pela expressão P = n + 1
2 
, em que “P” 
representa a posição do elemento da mediana e “n” o número de elementos.
Veja como fica a mediana no exemplo das notas utilizado anteriormente:
Notas dos 15 alunos: 3; 5; 7; 6; 9; 10; 7; 4; 8; 9; 7; 2; 6; 7; 3.
Ordenando as notas em ordem crescente: 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10.
Como você pôde notar, para essa situação temos 15 elementos, logo o elemento central (me-
diana) ocupará a posição 8, ou ainda, pela expressão P = n + 1
2
, temos P = 15 + 1
2
 = 16
2
 = 8, ou seja, 8.ª 
posição, veja: 
 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10
7 elementos antes 7 elementos depois 
Esse é o elemento que ocupa
a 8.ª posição.
Para esse exemplo, a mediana, então, é igual a 7.
Observação importante
Caso tenhamos um número par de elementos, dizemos que a mediana se encontra entre os 
dois valores.
Veja:
Para a sequência 1; 1; 2; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6; 7; 7 qual o valor da mediana?
Aplicando a expressão P = n + 1
2 
 , temos que P = 12 + 1
2
 = 13
2
 = 6,5, ou seja, a mediana se encontra 
entre o 6.º e o 7.º elemento, logo, entre os valores “4” e “5” e, para calculá-la, fazemos a média entre esses 
dois valores.
50 | Estatística II 
A média ponderada para dados não agrupados ( Xw )
Média ponderada é uma medida utilizada quando se fazem necessárias diferentes importâncias 
para determinados elementos. É uma medida muito usada quando temos “pesos” diferentes para dife-
rentes valores. Para calcularmos a média ponderada, multiplicamos cada valor pelo seu “peso”, soma-
mos esses valores e dividimos pela soma dos “pesos”. Assim, a expressão fica:
 
= 
 W1 . X1 + W2 . X2 + W3 . X3 + ... Wn . Xn X 
W1 + W2 + W3+ ... + Wn 
w
Um exemplo muito comum é o de notas em avaliações e trabalhos na vida escolar. Veja:
Em uma determinada disciplina, o professor trabalha com uma avaliação individual, um trabalho 
de apresentação em grupo e um trabalho individual escrito. Para tanto, ele aplica peso 4 para a avalia-
ção individual, peso 3 para a apresentação em grupo e peso 2 para o trabalho escrito. 
Aluno x 
 Notas obtidas:
 Avaliação individual: 9,0
 Apresentação do trabalho: 5,0
 Trabalho escrito: 6,0
Cálculo damédia final desse aluno:
 
= 
4 . 9 + 3 . 5 + 2 . 6 
= 
36 + 15 + 12 
= 
63
= 7,0
4 + 3 + 2 9 9 
X w
 
Logo, a nota final desse aluno será 7,0.
Suponha que outro colega tenha também tirado 9,0; 5,0 e 6,0, mas não nas mesmas tarefas. 
Veja:
Aluno z 
 Notas obtidas:
 Avaliação individual: 5,0
 Apresentação do trabalho: 6,0
 Trabalho escrito: 9,0
Cálculo da média final desse aluno:
 
= 
4 . 5 + 3 . 6 + 2 . 9 
= 
20 + 18 + 18 
= 
56
= 6,2
4 + 3 + 2 9 9 
X w
 
Logo, a nota final desse aluno será 6,2.
51|Estatística II 
Como você pôde perceber, de acordo com os pesos arbitrados aos diferentes valores, temos uma 
variação nos resultados obtidos. Dessa forma, a média ponderada é bastante útil quando queremos 
distinguir graus de importância a certos dados.
Agrupando os conhecimentos 
Abaixo seguem cinco salários dos maiores gestores das cinco maiores empresas do ramo calça-
dista de uma determinada cidade.
Empresa Salário (R$)
A 8.000,00
B 10.000,00
C 12.000,00
D 15.000,00
E 40.000,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
A partir desses dados, podemos verificar qual medida de tendência central nos dá uma melhor 
noção da realidade salarial dessas empresas.
Moda: não há valor modal distinto.
Mediana: R$2.000,00.
Média: 6.000 + 8.000 + 10.000 + 12.000 + 40.000 = 76.000 = R$15.200,00
 5 5 
Como podemos facilmente perceber, o valor atípico de R$40.000,00 levou a média para cima e, 
analisando apenas essa medida, poderíamos pensar que o salário usual giraria perto dessa quantida-
de, o que não é verdade. Nesse caso, o valor mais representativo seria a mediana de R$12.000,00.
Curiosidade 
Para cálculo do Índice Geral de Preços (IGP-DI), assim como o cálculo de 
diversos outros índices, utiliza-se média ponderada.
O Índice Geral de Preços, tão comentado atualmente e usado em 
contratos com prazos relativamente longos, como o aluguel de imó-
veis, é calculado pela Fundação Getulio Vargas (FGV) por meio de 
uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), que 
tem peso 6; o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro 
e em São Paulo, com peso 3; e o Índice de Custo da Construção Civil 
(INCC), com peso 1. Assim, o cálculo desse índice é:
 IGP = 
6 . IPA + 3 . IPC + 1 . INCC = 
6 . IPA + 3 . IPC + 1 . INCC 
6 + 3 + 1 10 
52 | Estatística II 
 Atividades
1. Em uma empresa hipotética, com 13 funcionários, são aplicados os seguintes níveis salariais:
Cargo Número de funcionários Salário (R$)
Gerente 1 2.300,00
Coordenador 2 1.500,00
Caixas 4 530,00
Atendentes 6 420,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
Com relação a essa situação, responda às questões que seguem:
a) Qual o salário médio nessa empresa?
 
 
 
b) Qual o salário modal?
 
 
 
c) Qual o salário mediano?
 
 
d) Suponha que a empresa opte por demitir um dos coordenadores e contratar mais um 
atendente. Quanto ficará o salário médio?
 
 
 
53|Estatística II 
2. Nesses últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela a seguir mostra os valores 
médios praticados por determinado posto de gasolina.
Mês Valor cobrado (R$)
Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72
 Com base nesses dados, elabore uma planilha de frequência para dados não agrupados e calcule 
a média, a moda e a mediana dessa situação.
3. A tabela a seguir mostra os valores dos aluguéis para locação em uma imobiliária, com valores 
entre R$1.200,00 e R$1.500,00 das casas disponíveis com três dormitórios, garagem para um 
automóvel, em um determinado bairro.
Endereço Valor do aluguel 
Av. Independência, 234 R$1.500,00
Av. Independência, 1250 R$1.300,00
Av. Nações Unidas, 111 R$1.500,00
Rua Alvará, 234 R$1.200,00
Rua Mossoró, 30 R$1.400,00
Rua Mossoró, 1246 R$1.350,00
Rua Pará, 324 R$1.250,00
Rua Pilão, 36 R$1.300,00
Rua Pitan, 450 R$1.250,00
Rua Tuiuti, 36 R$1.250,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
A partir dessa tabela, obtenha:
a) o valor médio dos aluguéis apresentados;
b) o valor modal;
c) o valor mediano.
54 | Estatística II 
4. Calcule a idade média, a idade mediana e a idade modal das pessoas, incluindo você, que 
compõem a sua turma.
 
 
 
5. O Índice Geral de Preços (IGP-M) é calculado pela Fundação Getulio Vargas (FGV) por meio de 
uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), que tem peso 6; o Índice de 
Preços ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro e em São Paulo, com peso 3; e o Índice de Custo 
da Construção Civil (INCC), com peso 1. Imagine que, em um determinado mês, o valor do IGP-M 
tenha sido de alta de 0,992%, do IPA tenha sido de alta de 1,2%, do INCC, alta de 0,32%. Qual será 
a alta registrada para o IPC?
 Dica: escreva a expressão para a média ponderada do IGP-M e substitua os valores nessa expressão.
 
 
 
 
6. Imagine que, em uma pesquisa de 11 madeireiras, os valores do saco de cimento de 50kg tenham 
sido os seguintes:
R$15,00 R$18,00 R$16,50 R$17,00 R$18,00 R$15,00
R$16,50 R$17,00 R$18,00 R$15,50 R$17,50
A partir desses dados, obtenha:
a) O valor médio.
 
b) O valor modal.
 
c) O valor mediano.
 
Ampliando conhecimentos
Livros de estatística básica sempre apresentam esses conceitos. Caso tenha dúvidas, procure um 
livro em alguma biblioteca perto de sua residência ou cidade. O site <www.somatematica.com.br>, que 
é de uso gratuito, oferece várias dicas sobre esses conceitos, além de downloads.
55|Estatística II 
Autoavaliação
Prefeitura divulga balanço do Carnaval 2005
(RIOTUR, 2005. Adaptado.)
A Prefeitura do Rio fez um balanço positivo do Carnaval 2005, consagrado como o melhor even-
to popular do mundo. Para os cariocas e os visitantes, a Prefeitura investiu R$27 milhões no Carnaval 
Carioca, promovendo, além do espetáculo no Sambódromo, eventos como os Bailes Populares [...]
[...] uma pesquisa para conhecer a origem e avaliar a satisfação do público com o evento. Foram 
entrevistadas 1 603 pessoas [...]
Para tanto foi calculada uma média ponderada da avaliação de serviços da cidade: limpeza públi-
ca, segurança pública, informações turísticas, diversão noturna, restaurantes e transporte urbano.
Escala usada:
ótimo = 5 bom = 4 regular = 3
ruim = 2 péssimo = 1 
 A partir da curiosidade acima, responda às questões 1, 2 e 3.
1. Suponha que, das 1 603 pessoas entrevistadas, com relação ao item limpeza pública, 812 tenham 
respondido ótimo, 545 bom, 172 regular, 66 ruim e 8 péssimo. Qual seria a nota para esse índice?
 
 
 
 
 
 
2. Se as respostas estivessem em outra ordem, ou seja, 8 ótimo, 66 bom, 172 regular, 545 ruim e 812 
péssimo, como ficaria a situação anterior? Será que esse índice seria tão bom assim?
 
 
 
 
 
 
 
56 | Estatística II 
3. Os índices divulgados pela empresa, com relação a essa pesquisa, para turistas estrangeiros, foram 
os seguintes (RIOTUR, 2005):
 
Limpeza pública – 3,9 Segurança pública – 3,8
Informações turísticas – 4,1 Diversão noturna – 4,4
Restaurantes – 4,4 Transporte urbano – 4,1
 Com base nessas informações, reflita:
a) O que significa a nota para segurança pública ter ficado em 3,8?
 
b) O que significa a nota para diversão noturna ter ficado em 4,4?
 
Referências
RIOTUR. Prefeitura divulga balanço do Carnaval 2005. Disponível em: <www.rio.rj.gov.br/riotur/pt/
pagina/?Canal=163&Pagina=365>. Acesso em: 6 mar. 2006.
SMAILES, Joanne. Estatística Aplicada à Administração com Excel. São Paulo: Atlas, 2002.
SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Makron, 1993.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Aplicada à Economia. São Paulo:Atlas, 2001.
57|Estatística II 
Gabarito
Atividades
1.
a) R$764,62.
b) R$420,00.
c) R$530,00.
d) R$681,54.
2.
Valor f F fr Fr
2,36 1 1 11% 11%
2,44 1 2 11% 22%
2,53 1 3 11% 33%
2,59 3 6 33% 66%
2,67 2 8 22% 88%
2,72 1 9 11% 99%
Total 0,0899 0,1007
 Média: 23,16 ÷ 9 = 2,57
 Moda: 2,59
 Mediana: 2,59 
3.
a) R$1.330,00.
b) R$1.250,00.
c) R$1.300,00.
4. Questão aberta.
5. 0,8%.
58 | Estatística II 
6.
a) R$16,73.
b) R$18,00.
c) R$17,00.
Autoavaliação
1. 4,3, que significa um valor entre bom e ótimo, mais voltado para “bom”.
2. 1,69, que significa um valor entre péssimo e ruim, mais voltado para “ruim”.
3.
a) Significa que o grau de satisfação ficou entre “regular” e “bom”, mais próximo de “bom”.
b) Significa que o grau de satisfação ficou entre “bom” e “ótimo”, praticamente no meio desse 
intervalo.
Resumo
As medidas de tendência central como média, moda e mediana nos for-
necem bons resultados quando os valores estudados não têm grandes 
variações entre si; porém, muitas vezes, elas podem não representar 
bem a amostra que temos.
Medidas de variabilidade 
para dados não agrupados
Simplificando a definição
Para simplificar a definição e justificar a necessidade das medidas de variabilidade, partiremos de 
uma situação bem simples. Veja:
Suponha que nos cinco primeiros dias de um certo mês o dólar comercial teve imensas variações 
e assumiu cinco distintos valores, conforme tabela abaixo:
Dia Valor do dólar em R$
1.º R$1,93
2.º R$1,98
3.º R$2,65
4.º R$2,74
5.º R$2,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
60 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Qual o valor médio do dólar nesses cinco dias?
 = 1,93 + 1,98 + 2,65 + 2,74 + 2,00 = 11,3 = 2,26
15 5 
Suponha, agora, outra situação:
No mês seguinte ao que citamos anteriormente, imagine que o dólar tenha assumido os se-
guintes valores:
Dia Valor do dólar em R$
1.º R$2,24
2.º R$2,25
3.º R$2,27
4.º R$2,28
5.º R$2,26
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
Qual o valor médio do dólar nesses cinco dias?
 = 2,24 + 2,25 + 2,27 + 2,28 + 2,26 = 11,3 = 2,26
15 5 
Como você pôde perceber, em ambos os casos o dólar, nos cinco primeiros dias, teve o mesmo 
valor médio. Será que esses valores foram constantes nesse período? Para diferenciar situações como 
essas e tantas outras é que, em Estatística, utilizamos as medidas de variabilidade. São elas que, asso-
ciadas aos valores das medidas de tendência central, dão-nos uma noção da variabilidade da situação 
que estamos estudando.
A variância (σ2 ), o desvio padrão (σ) 
e a amplitude (A) para dados não agrupados (Xw )
A amplitude é a medida de variabilidade que nos diz em quanto os valores variaram; logo, é dada 
pela diferença entre o maior e o menor dos dados, assim:
A = Lmáx – Lmín
A variância (σ2) é uma medida de variabilidade que serve para calcularmos a média dos quadra-
dos dos valores afastados da média, ou seja, para uma população:
σ2 = ∑ (Xi – X )
2
n 
O símbolo “Σ” significa “somatório”, ou seja, soma dos termos.
61|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Importante
Quando o que temos não é uma população, mas apenas uma amostra (ou seja, uma parte 
da população), devemos utilizar um fator de correção, multiplicando o resultado da variância por 
um fator 
n 
n – 1 
. 
Para diferenciar o símbolo σ2 , que significa variância da população, utilizaremos o símbolo s2 para 
variância da amostra. Assim ficamos com:
Variância para uma população: σ2 = 
∑ (Xi – X )2
n
Variância para uma amostra da população: s2 = 
n
n – 1 . σ
2
Porém, essa não é uma medida de variabilidade muito utilizada. Em geral, a medida usada é o 
desvio padrão (σ) que significa o quanto, em média, os valores estão afastados do valor médio e, como 
podemos perceber, o desvio padrão (σ), por não ter o termo ao quadrado (σ2), é dado pela raiz quadrada 
da variância, ou seja:
Desvio padrão para uma população (ou seja, para todos os elementos envolvidos):
σ = ∑ (xi – x )2
n
Da mesma forma que na variância, o desvio padrão, para a amostra, deverá ser corrigido.
Para simplificarmos todas essas definições, calcularemos o desvio padrão para as duas situações 
trazidas no início desta aula (variação do dólar).
Dia Valor do dólar em R$
1.º R$1,93
2.º R$1,98 
3.º R$2,65
4.º R$2,74
5.º R$2,00
Para tanto, constrói-se uma tabela na qual colocaremos, em cada coluna, os valores que precisa-
mos até chegarmos à expressão ∑ (xi – x )2
n 
 :
Para a primeira situação:
xi xi – x= xi – 2,26 (xi – x )2
R$1,93 –0,33 0,1089
R$1,98 –0,28 0,0784
R$2,65 0,39 0,1521
R$2,74 0,48 0,2304
R$2,00 –0,26 0,0676
Somatório (Σ) 0,6374
62 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Dessa forma, podemos calcular a variância e, consequentemente, o desvio padrão para essa situação:
σ2 = 
∑ (Xi – X)2
n
σ2 = 0,6374
5
 = 0,12748
σ = 0,12748
Ou seja, em média, os valores dos cinco primeiros dias deste mês ficaram afastados da média 
(R$2,26) em 36 centavos (R$0,36), o que, como já era de se esperar, a partir dos valores assumidos nos 
cinco primeiros dias, é uma grande variação. Nota-se que o valor da variância não precisou ser corrigido, 
porque pegamos todos os valores dos cinco primeiros dias e calculamos a variação nesses dias; logo, a 
nossa população eram os dias 1.º a 5 do mês em questão.
E a amplitude, para esse caso, fica:
 A = 2,74 – 1,93
 A = 0,81
Para a segunda situação:
xi xi – x= xi – 2,26 (xi – x )2
R$2,24 –0,02 0,0004
R$2,25 –0,01 0,0001
R$2,27 0,01 0,0001
R$2,28 0,02 0,0004
R$2,26 0 0
Somatório (Σ) 0,001
Dessa forma, podemos calcular a variância e, consequentemente, o desvio padrão para essa situação:
σ2 = 
∑ (Xi – X )2
n 
σ2 = 0,001 = 0,0002
5 
σ = 0,0002 = 0,014 ≅ 0,01
Ou seja, em média, os valores dos cinco primeiros dias deste mês ficaram afastados da média 
(R$2,26) em pouco mais de um centavo (R$0,014), o que, como já era de se esperar, a partir dos valo-
res assumidos nos cinco primeiros dias, é uma baixíssima variação.
Também aqui, o que temos é uma população e não uma amostra, logo, é desnecessário o fator 
de correção.
σ2 = ∑(Xi - X )2
n 
63|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
E a amplitude fica:
 A = 2,28 – 2,24
 A = 0,04
Agrupando os conhecimentos
A tabela a seguir representa o ranking, por estado, dos maiores preços do litro da gasolina na 
segunda semana de janeiro de 2006. 
Fo
nt
e:
 A
N
P.
Estado Valor médio do litro da gasolina
Mato Grosso R$2,866
Roraima R$2,866
Acre R$2,847
Alagoas R$2,740
Mato Grosso do Sul R$2,691
Tocantins R$2,687
Rio Grande do Sul R$2,668
Podemos calcular:
O valor médio da gasolina nesses sete estados:
2,866 + 2,866 + 2,847 + 2,740 + 2,691 + 2,687 + 2,668
7
=
19,365
7
= 2,766
O valor modal: 2,866, pois é o que aparece mais vezes.
O valor mediano: 2,74, pois é o que divide, em duas partes iguais e em ordem crescente, os ele-
mentos da amostra.
A amplitude: A = 2,866 – 2,668 = R$0,198, ou seja, em todo o país, entre o maior e o menor preço, 
a gasolina, para essa pesquisa, varia em aproximadamente 20 centavos.
A variância e o desvio padrão, completando a tabela:
Estado Valor médio do litro da gasolina (xi)
(xi – x ) (xi – x )2
Mato Grosso R$2,866 0,1 0,01
Roraima R$2,866 0,1 0,01
Acre R$2,847 0,081 0,006561
Alagoas R$2,740 –0,026 0,000676
Mato Grosso do Sul R$2,691 –0,075 0,005625
Tocantins R$2,687 –0,079 0,006241
Rio Grande do Sul R$2,668 –0,098 0,009604
Σ 0,048707
64 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Variância: 
 
= 0,048707
7
= 0,006958σ2 = 
∑ (Xi – X )2
n
Desvio padrão: σ = variância = 0,006958= 0,0841 , ou seja, em média, o valor da gasolina, 
nos estados, está afastado da média (R$2,766) em 8,3 centavos, para mais ou para menos.
Concluindo e comparando
A partir das situações desenvolvidas anteriormente, podemos, ao compará-las, concluir algumas 
coisas.
Conforme estudamos, a média, sozinha, não consegue nos dar uma noção da variabilidade ::::
dos dados que estamos estudando. Por isso, o ideal é que ela venha acompanhada de alguma 
medida de tendência central, e a mais usada é o desvio padrão.
O desvio padrão nada mais é do que a média de quanto os valores que geraram a média estão ::::
afastados dela.
A amplitude também é uma medida de variabilidade importante, já que nos mostra em quan-::::
to os valores variaram.
Comparando os dados obtidos a partir das duas tabelas, facilmente percebe-se que quanto ::::
menor é a amplitude, menor é o desvio padrão, uma vez que ambos estão ligados à variabili-
dade da situação em estudo.
Dica
A planilha Excel também calcula o desvio padrão através do comando = DESVPADPA (CÉLULA 
INICIAL:CÉLULA FINAL), ou seja, digitamos em alguma célula o comando: DESVPADPA e, entre pa-
rênteses, separadas por dois pontos, as células onde iniciam e onde terminam os valores dos quais 
queremos calcular o desvio padrão. 
Como exemplo didático, utilizaremos outra situação para melhor entendermos a necessidade 
do coeficiente de variação desvio padrão, associado à medida de tendência central média.
Em duas classes distintas de Estatística, o professor, ao entregar as avaliações, comentou 
que as médias, em ambas as turmas, ficou em 7. Suponha que, nessas turmas, as notas tenham 
sido as seguintes:
7 7 6 8 6,5 7,5 8 6 7 7
7 6,5 8 7 7 6 8 6 7 7,5
Turma 0011 – Notas dos alunos na avaliação de Estatística
65|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Qual a média dessa turma?
X = 
7 + 7 + 6 + 8 + 6,5 + 7,5 + 8 + 6 + 7 + 7 + 7 + 6,5 + 8 + 7 + 7 + 6 + 8 + 6 + 7 + 7,5
20 
X = 
140 
= 7
20 
Logo, a média, para essa turma, é 7.
2 9 10 3 4,5 5,5 9 9,5 8,5 9
7 1,5 2,5 10 10 5 9 10 9,5 5,5
Turma 0012 – Notas dos alunos na avaliação de Estatística
Qual a média dessa turma?
Solução (botão):
X = 
2 + 9 + 10 + 3 + 4,5 + 5,5 + 9 + 9,5 + 8,5 + 9 + 7 + 1,5 + 2,5 + 10 + 10 + 5 + 9 + 10 + 9,5 + 5,5
20 
X = 
140 
= 7
20 
Logo, a média, para essa turma, também é 7.
Como você pôde perceber, ambas as turmas tiveram médias iguais a 7, porém, na primeira, 
todos os alunos tiveram suas notas próximas de sete e, na segunda, houve uma grande variabilida-
de nas notas obtidas. O que diferenciará uma situação da outra será o desvio padrão. Veja como é 
simples realizar esse cálculo em uma planilha eletrônica. Aqui utilizaremos a Excel, por ser a de uso 
mais comum.
Para facilitar os procedimentos aqui utilizados, usaremos a primeira coluna da planilha como início.
Primeiro passo: digita-se, na primeira coluna, todas as notas dos alunos.
Segundo passo: digita-se, na primeira célula da segunda coluna (b1), o símbolo de igualdade 
( = ) que é o que “avisa” ao Excel que está se inserindo uma fórmula, seguido da expressão “7-a1” (sem 
as aspas), que quer dizer que queremos diminuir o valor sete (que é a média) do primeiro elemento 
digitado (a1).
Terceiro passo: clica-se nessa célula (aparecerá o resultado dessa operação) e, pelo canto inferior 
direito da célula b1, puxam-se as células até a última linha digitada (nesse exemplo, a linha a20). Esses 
são os valores calculados da operação (Xi – X )2.
Quarto passo: na terceira coluna (célula c1), elevam-se os elementos da coluna “b” ao qua-
drado, ou seja, na célula c1 digitamos “=b1^2” (sem as aspas). Para a planilha Excel, o símbolo “^” 
quer dizer potência e, portanto, “^2” quer dizer elevado à segunda potência. Puxa-se, pelo canto 
inferior direito da célula c1, até a última linha digitada (célula c20). Esses são os valores calculados 
da operação (Xi – X )2.
66 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Quinto passo: clica-se abaixo da última célula digitada, nesse caso, a célula c21 e, na parte cen-
tral superior do Excel, no símbolo Σ. Ele fará a soma de todos os elementos, na mesma coluna, acima 
dessa célula. Veja:
Ok! Esse é o valor de (Xi – X )2. Agora, para calcularmos o desvio padrão, basta dividirmos esse 
valor por 20 e tirarmos a raiz quadrada. Assim:
σ2 = ∑ (Xi – X )
2
n 
σ2 = 9 = 0,45
20
σ = 0,45 = 0,67
O que quer dizer que, em média, as notas dessa turma estão afastadas da média em aproximada-
mente 0,7 (sete décimos), que é uma baixa variação.
Atividades
1. Os valores abaixo indicam o número de imóveis vendidos por um corretor nos últimos cinco 
meses de um determinado ano.
Agosto: 8 imóveis Setembro: 6 imóveis
Outubro: 12 imóveis Novembro: 10 imóveis
Dezembro: 8 imóveis
67|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
 A partir desses valores, construa uma planilha de frequências e calcule:
a) a média dessa população;
b) o valor modal;
c) a variância;
d) o desvio padrão;
e) e interprete o desvio padrão;
f) a amplitude;
g) e interprete a amplitude.
Ampliando conhecimentos
Procure analisar com cuidado todos os conceitos estudados, entendendo a diferença e a impor-
tância entre cada medida de variabilidade e onde cada uma delas melhor se aplica. Faça todos os exercí-
cios e, em caso de dúvidas, retome os conceitos estudados. No livro Estatística Aplicada à Administração, 
das professoras Joane Smailes e Angela McGrane, vocês encontrarão, para complementar nosso mate-
rial de estudo, uma grande quantidade de aplicações e definições.
SMAILES, Joane; McGRANE, Ângela. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Atlas, 2002.
Autoavaliação
1. Em uma pesquisa de mercado descobriu-se que, em certa região, os valores cobrados na entrada 
de eventos semelhantes eram os seguintes:
Local Valor cobrado
Evento x R$23,00
Evento y R$25,00
Evento k R$28,00
Evento z R$23,00
Evento p R$27,00
 A partir desses dados pergunta-se:
a) Qual a amplitude dessa amostra?
b) Qual a variância?
c) Qual o desvio padrão? (lembre-se que se trata de uma amostra).
68 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
2. Em um rígido controle de qualidade, desejava-se saber a variabilidade do diâmetro de certos 
grãos de ervilha. Para tanto, com um paquímetro de precisão, mediram-se, aleatoriamente, 20 
grãos. Os resultados obtidos seguem na tabela abaixo:
5 4 5 5,5 5 4,5 6 6 4 5
4,5 4,5 5 4 5 4,5 5 5,5 5 4,5
A partir dos dados anteriores, obtenha:
a) a amplitude;
b) a variância;
c) o desvio padrão.
Referências
PEREIRA, Wilson; TANAKA, Oswaldo K. Estatística: conceitos básicos. São Paulo: McGraw-Hill, 1990.
SMAILES, Joane; McGRANE, Ângela. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Atlas, 2002.
SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Makron, 1993.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Aplicada à Economia. São Paulo: Atlas, 2001.
69|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
70 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Gabarito
Atividades
1. a) 8,8.
b) 8.
c) 4,16.
d) 2,04.
e) Em geral, a quantidade média de vendas ficou afastada da média em aproximadamente 2 
imóveis.
f ) 6 imóveis.
g) A diferença entre o maior e o menor valor de imóveis vendidos foi de 6 imóveis.
Autoavaliação
1. a) A = R$5,00.
b) s2 = 5,2.
c) s = 2,28.
2. a) A = R$2,00.
b) s2 = 0,34.
c) s = 0,58.
Resumo
Quando temos um volume muito grande de dados ou uma variabilidade 
excessiva entre eles, em geral agrupamos esses valores em uma tabela 
de frequências chamada distribuição de frequências para dados agrupa-
dos ou distribuição de frequências por intervalo. 
Trabalhando com 
dados agrupados
Construindo a tabela de frequência
 Para construirmos a tabela, definiremos