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Matemática para 
Negócios e Finanças 
Sumário
Fundamentos da Matemática | 5
Equação do 1.º grau | 5
Razão | 7
Proporção | 8
Regra de três | 9
Função do 1.º grau | 10
A porcentagem: considerações básicas e importantes | 19
Definição e generalizações | 19
A porcentagem como uma parte do todo | 21
Regras de arredondamento | 24
A porcentagem e a tabela do Imposto de Renda | 25
Estatística I | 35
Distribuição de frequências para dados não agrupados | 36
Representação gráfica de dados não agrupados | 38
Estatística II | 47
A média aritmética para dados não agrupados | 47
A moda para dados não agrupados (Mo) | 48
A mediana para dados não agrupados (Md) | 49
A média ponderada para dados não agrupados (Xw) | 50
Agrupando os conhecimentos | 51
Curiosidade | 51
Medidas de variabilidade para dados não agrupados | 59
Simplificando a definição | 59
A variância (σ2 ), o desvio padrão (σ) e a amplitude (A) para dados não agrupados (Xw) | 60
Agrupando os conhecimentos | 63
Concluindo e comparando | 64
Trabalhando com dados agrupados | 71
Construindo a tabela de frequência | 71
Medidas de tendência central para dados agrupados: a média, a moda e a mediana | 73
Medidas de variabilidade para dados agrupados: a variância, o desvio padrão e a amplitude total | 75
Introdução à Matemática Financeira: juros simples | 83
Noções básicas | 83
Cálculo dos juros simples (J) | 84
Cálculo do valor futuro ou montante (VF) | 86
Capitalizando e descapitalizando capitais | 88
Desconto simples | 93
Definição – Operações de desconto | 93
Desconto racional (DR) ou por dentro (taxas de juros) e o desconto nominal ou por fora | 94
Relação entre taxa de desconto e taxa de juros | 96
Equivalência de capitais | 101
 Igualando os valores atuais | 101
Operações com juros compostos | 109
Definição de juros compostos | 109
Cálculo do montante de juros compostos para períodos não inteiros | 112
Equivalência de taxas efetivas e nominais | 123
Taxas nominais de juros | 123
Transformando taxas efetivas de juros | 125
Séries de pagamento I | 133
O cálculo com séries postecipadas | 133
Série postecipada: cálculo de valor futuro | 136
Séries de pagamento II | 143
Séries diferidas | 147
Sistema de amortização progressiva (SAP) | 156
Sistema de amortização francês, sistema price ou sistema de amortização progressiva – SAP | 156
Cálculo das variáveis para um período qualquer no SAP | 159
Sistema de amortização constante (SAC) | 165
A planilha de cálculos no SAC | 165
Cálculo das variáveis para um período qualquer no sistema SAC | 167
Anexos | 175
Tabela 1 | 175
Tabela 2 | 187
Anotações | 199
Resumo
Existem fundamentos de Matemática que são imprescindíveis nas diver-
sas formações profissionais. Médicos, arquitetos, engenheiros, adminis-
tradores, gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemática 
para resolver, diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula 
tratará, dessa forma, dos principais conceitos de matemática básica que 
são fundamentais para a sua formação.
Fundamentos da Matemática
Eduardo Araújo* 
Equação do 1.º grau
Chamamos de equação do 1.º grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma 
ax = b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
Vamos entender a definição?
Equação: é toda sentença composta por uma (ou mais) incógnita(s) e uma igualdade.
Incógnita: é o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).
Grau: é dado pelo maior expoente da incógnita.
O valor da incógnita, que torna uma equação verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equação.
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Luterana do Brasil (Ulbra). Especialista em Educação a Distância pelo Serviço 
Nacional de Aprendizagem Comercial (Senac). Graduado em Matemática pela Ulbra.
6 | Fundamentos da Matemática
Em igualdades matemáticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos iguais 
aos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantém. É claro, se fizermos as mesmas opera-
ções, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para resolvermos 
equações do primeiro grau, utilizaremos operações matemáticas de ambos os lados da igualdade até 
que a incógnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:
2x + 10 = 18
Para isolarmos o termo “2x”, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja:
2x + 10 – 10 = 18 – 10
2x + 0 = 8
2x = 8
Para eliminarmos o valor “2” que multiplica nossa incógnita, dividiremos ambos os lados da igual-
dade por “2”, e ficamos com:
2
2x
2
8=
x = 4
Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operações em ambos os membros da igualda-
de com os mesmos valores, a igualdade permanecerá verdadeira.
Como nosso objetivo sempre é isolar a incógnita, podemos eliminar esses termos conforme nossa 
necessidade. Veja outro exemplo:
5y = 90
2 3 
5y = 90
y = 18
2y + 3y
6 
= 90
6 
3
y
2
y+ = 15
 
 (Nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2.)
Uma maneira simplificada de resolver equações dessa forma é passando termos semelhantes de 
um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operação matemática que está sendo reali-
zada (lembre-se: adição é o inverso de subtração e multiplicação é o inverso de divisão). Observe:
Se 3x + 4 =19, qual é o valor de “x” que resolve essa equação?
Solução:
 3x = 19 – 4 (Enviando o elemento 4 e invertendo a operação de adição.)
 3x = 15 (Resolvendo 19 – 4.)
 x = 15
3
 (Enviando o elemento 3 e invertendo a operação de multiplicação.)
 x = 5 
7|Fundamentos da Matemática
Veja outros exemplos:
Ex.: –3x + 5 = –7
Solução:
 –3x = –7 – 5
 –3x = –12
 x = –12
–3 
 x = +4 
Testando a resposta encontrada:
 –3 . 4 + 5 = –7
 –12 + 5 = –7
 –7 = –7
 Ok!
Ex.: 4 – 2k = 4k – 8
Solução:
 –2k – 4k = – 8 – 4
 –6k = –12
 k= –12
–6 
 k = +2
Como você pôde perceber, resolver equações do 1.° grau é bastante simples. O método simpli-
ficado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operação que 
estamos realizando, até que tenhamos nossa incógnita isolada.
Razão
A palavra razão é derivada do latim ratio e significa divisão. Ou seja, para obtermos a razão entre 
dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomínio com 40 apar-
tamentos, 12 sejam de 3 dormitórios, 18 sejam de 2 dormitórios e 10 de 1 dormitório. Qual será a razão 
entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios?
Razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios
= 212 : 6
18 : 6 3 
8 | Fundamentos da Matemática
Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitórios, há 3 apartamentos de 2 dormi-
tórios.
Razão entre o número de apartamentos de 3 dormitórios e o total de apartamentos:
= 312 : 4
40 : 4 10 
Portanto, essa razão será: para cada 10 apartamentos do edifício, 3 são de 3 dormitórios.
Esse conceito de razão, que nada mais é do que a divisão entre dois elementos, será fundamental 
para que possamos entender o conceito de proporção que veremos a seguir.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo, 
formam uma proporção, pois representam uma mesma quantidade. Então, quando falamos que duas 
coisas são proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporção entre si. Veja outro exem-
plo:
2 e 3
8 12 representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.
Propriedade:
 Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja:
 Se a = c
b d 
(ou ainda, a ÷ b = c ÷ d), sempre será verdadeiro que:
a = cb d 
a . d = b . c 
Vamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores?
Se 2 e 3
8 12 
 formam uma proporção, então 2 . 12 tem de ser igual a 8 . 3, e são, pois ambos
geram o mesmo resultado, que é 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma propor-
ção, veja:
Se x = 3
4 2 
então:
 2x = 3 . 4
 2x = 12
 x = 12 = 6
2 
O conceito de razão foi importante para entendermos o de proporção. O conceito de proporção, que 
agora estudamos, será a base para compreendermos o conceito de regra de três, nosso próximo tema.
9|Fundamentos da Matemática
Regra de três
A regra de três é, possivelmente, um dos conceitos básicos de Matemática mais utilizados hoje em 
dia. Ela trata de uma simples relação linear na qual conhecemos três elementos, relacionados entre si, 
e queremos descobrir o quarto elemento dessa proporção. Como você pode notar, regra de três e pro-
porções são conceitos totalmente relacionados. Na verdade, uma regra de três nada mais é do que uma 
proporção, que pode ser direta ou inversa. Vamos ver como devem ficar dispostos os dados em uma regra 
de três:
os dados devem ficar dispostos como em uma tabela, cujos valores de mesmo tipo ficam na ::::
mesma coluna;
para analisarmos se a proporção é direta ou inversa, seguiremos os seguintes critérios:::::
se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra também aumentar seu valor (ou vice- ::::
-versa), a relação será direta e resolvemos o problema como em uma proporção: trata-se de 
uma regra de três direta;
se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra diminuir (ou vice-versa), a relação será ::::
inversa. Nesse caso, invertemos a posição dos elementos de uma das razões e resolvemos o 
problema como em uma proporção: trata-se de uma regra de três inversa.
Para podermos aplicar as definições vistas, vamos ver alguns exemplos em que a regra de três 
é utilizada?
Ex.: Se um corretor de imóveis roda em média 60 quilômetros em 3 horas de trabalho, quanto, em 
média, ele deverá ter rodado em 8 horas trabalhando?
Solução:
Quanto mais horas de trabalho, mais quilometragem o corretor rodará, portanto, a regra é direta:
km h
60 3
x 8
3x = 60 . 8
x = 480 = 160km
2 
Ex.: Imagine agora que, esse mesmo corretor, dirigindo a uma velocidade média de 60km/h, con-
siga percorrer certa distância em 20 minutos. Caso ele tenha apenas 15 minutos, com que velocidade 
ele deverá dirigir?
Solução:
Quanto mais velocidade, menos tempo, portanto a relação é inversa.
Dados do problema:
Vel. t
60 20
x 15
10 | Fundamentos da Matemática
Invertendo uma das razões (já que a regra é inversa):
60 = 15
x 20 
15x = 60 . 20
15x = 1 200
15
1 200
= 80kmx =
Como você pôde perceber, realizar cálculos com regra de três é bastante simples: basta identifi-
carmos os elementos envolvidos, montarmos a tabela e verificarmos se a relação é direta ou inversa. No 
caso da direta, tratamos como uma proporção; no caso da inversa, invertemos uma das razões e trata-
mos, novamente, como uma proporção normal.
Função do 1.º grau
Veremos agora algumas noções de função do 1.° grau. Para tanto, partiremos da definição e, em 
seguida, entenderemos cada um de seus elementos. 
Chama-se função polinomial do 1.º grau qualquer função f de IR em IR, dada por uma lei da forma 
f(x) = ax + b, em que a e b são números reais quaisquer e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, “a” é chamado de coeficiente de x e o “b” é chamado termo constante.
Uma função, dessa forma, pode ser entendida simplificadamente como uma relação entre dois 
valores.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1.º grau:
f(x) = 5x em que = 5 e b = 0
f(x) = –2x –7 em que = –2 e b = –7
As funções do primeiro grau são separadas em três tipos: linear, afim e constante. Veja qual a de-
finição de cada uma delas:
Função linear
É um tipo de função do 1.º grau em que o termo b é nulo (y = ax). Um exemplo de função linear é 
a primeira das duas anteriores, (f(x) = 5x).
Função afim
É um tipo de função do 1.º grau na qual o termo b não é nulo (y = ax + b).
Um exemplo de função afim é a segunda das anteriores: f(x) = –2x – 7.
11|Fundamentos da Matemática
De uma maneira simplificada, podemos representar graficamente funções do 1.° grau arbitrando 
valores para a variável “x” e calculando os correspondentes valores de “y”. Veja:
y = 3x – 6
Construindo uma tabela e arbitrando valores para “x”:
x y = f(x)
–2
–1
0
1
2
A partir dos valores arbitrados para “x” (falamos em arbitrados porque podem ser quaisquer valo-
res), podemos obter os valores de “y”. Veja:
x y = f(x)
–2 y = 3 . (–2) – 6 = –6 – 6 = –12
–1 y = 3 . (–1) – 6 = –3 – 6 = –9
0 y = 3 . (0) – 6 = 0 – 6 = –6
1 y = 3 . (1) – 6 = 3 – 6 = –3
2 y = 3 . (2) – 6 = 6 – 6 = 0
A tabela fica com o seguinte formato:
x y = f(x)
–2 –12
–1 –9
0 –6
1 –3
2 0
E a representação gráfica fica:
12 | Fundamentos da Matemática
Podemos, ainda, arbitrar o valor “zero” para “x” e calcular “y”, arbitrar “zero” para “y” e calcular “x”, 
unindo esses pontos em uma reta. Veja:
y = 3x – 6
Quando x = 0, teremos: Quando y = 0, teremos:
 y = 3 . 0 – 6 0 = 3x – 6
 y = 0 – 6 –3x = –6
 y = –6 
 x = 2
E, portanto, o ponto (0, –6) E, portanto, o ponto (2,0)
 
–6
 
2
E, unindo esses pontos, teremos:
 
– – –
–
É a mesma representação gráfica anterior, uma vez que podemos prolongar infinitamente a reta 
em ambas as direções.
13|Fundamentos da Matemática
Atividades
1. Uma secretária precisa digitar 26 páginas de um arquivo. Se, em duas horas de serviço ela digitou 
oito páginas, quanto tempo deverá levar para concluir sua tarefa?
 
2. Para se produzir 60kg de uma certa liga metálica são necessários 16kg de cobre. Se você tiver 
disponível 20kg de cobre, quantos kg dessa mesma liga conseguirá produzir?
 
3. Para produzir 20 estribos, um certo ferreiro leva, em média, 16 minutos. Continuando nesse 
mesmo ritmo, em 20 minutos, ele deverá produzir quantos estribos?
 
4. Para construir uma ponte, 16 operários trabalham durante 120 dias. Se o prazo de entrega fosse 
de 80 dias, quantos operários seriam necessários?
 
5. Em um certo supermercado, o pacote de 2kg de açúcar custa R$3,24. Quanto deverá custar, no 
máximo, o pacote de 5kg?
 
6. Em geral, uma família de três pessoas consome, por dia, 300g de gás de cozinha. Considerando 
um botijão com 13kg, podemos escrever: (obs.: 300g = 0,3kg):
Dias consumindo gás (x) Quantidade de gás no botijão (y)
0 dia 13kg 
1 dia 12,7kg
2 dias 12,4kg
3 dias 12,1kg
4 dias 11,8kg
5 dias 11,5kg
 Considerando “x” como a quantidade de dias consumindo gás e “y” a quantidade de gás no botijão, 
responda às questões que seguem:
a) A função matemática que explica essa situação é:
 
b) No 12.º dia de consumo, quantos kg de gás há no botijão?
 
14 | Fundamentos da Matemática
c) Após quantos dias consumindo gás a quantidade no botijão será de 7kg?
 
d) A partir da instalação do botijão, aproximadamente quantos dias o gás deverá durar?
 
Ampliando conhecimentos
Os conceitos vistos nesta aula são fundamentais para sua formação. Dessa forma, procure retomar 
todos os conceitos estudados e só avançar após dirimir todas as suas dúvidas. É importante entender, 
por exemplo, que o valor encontrado em uma equação do 1.° grau significa o único número real que, ao 
ser substituído na equação, torna a igualdade verdadeira e que, em uma regra de três, se a relação for 
direta, tratamos como uma proporção e se for inversa, precisa ter a proporção invertida.
Autoavaliação 
1. Caminhando a “passos largos”, uma pessoa leva, em média, 20 minutos para percorrer 2,5km. 
Para percorrer 4km,quanto tempo deverá levar?
 
2. Um automóvel, andando a uma velocidade média de 80km/h, leva 12 minutos para percorrer uma 
certa distância. Se ele andasse a 60km/h, quanto tempo levaria para percorrer a mesma distância?
 
3. Um representante comercial vendeu 520 exemplares de seu produto e com isso lucrou R$546,00. 
Se, em uma nova venda do mesmo produto, ele lucrou R$420,00, quantos exemplares ele vendeu?
 
4. Um médico leva, em média, 20 minutos para atender um paciente em sua clínica. Em um dia 
inteiro de trabalho, esse médico consegue atender, no máximo, 24 pessoas. Para aumentar sua 
renda, ele pretende atender 30 pessoas por dia. Dessa forma, ele precisa que suas consultas 
durem quanto tempo?
 
5. Em um hemocentro foi constatado que, para coletar 200mL de sangue, uma máquina leva, em 
média, 24 minutos. Quanto tempo essa mesma máquina levará para coletar 150mL de sangue?
 
15|Fundamentos da Matemática
6. Associe cada função com sua possível representação gráfica:
a) y = 4x – 4 b) y = 4x + 4 c) y = –4x – 4 d) y = –4x + 4 
e) y = 4x f ) y = –4x g) y = 4 h) y = –4
( ) ( )
 
( ) ( )
 
( ) ( )
 
( ) ( )
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
2
4
-2
-4
-6 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
2
-2
-4
-6
4
16 | Fundamentos da Matemática
7. Suponha que a quantidade média de gasolina (y) em um tanque cheio de combustível em relação 
à quantidade de quilômetros rodados (x) de um automóvel popular seja dado pela equação: 
y = 35 – 0,0625x
a) Após percorrer 200km, quanto haverá de gasolina no tanque?
 
 
 
b) Estando com o tanque cheio, esse automóvel conseguirá percorrer 600km? Por quê?
 
 
 
 
 
c) Com qual quilometragem deverá acabar o combustível?
 
 
 
 
Referências
ARAÚJO, Eduardo Muller; BERLIKOWSK, Márcia Elisa. Matemática: 6.ª série. Canoas: Ulbra, 2003.
_____. Matemática: 8.ª série. Canoas: Ulbra, 2003.
BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Hoje é Feita Assim. São Paulo: FTD, 1989.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Contexto e Aplicações. Livro 1. São Paulo: Ática, 1999.
17|Fundamentos da Matemática
Gabarito
Atividades
1. 6,5h ou 6h30.
2. 75kg.
3. 25 estribos.
4. 24 operários.
5. R$8,10.
6. a) y = 13 – 0,3x
b) 9,4kg.
c) 20 dias.
d) 43 dias.
Autoavaliação
1. 32 minutos.
2. 16 minutos.
3. 400 exemplares.
4. 16 minutos.
5. 18 minutos.
6. ( c ) ( e )
 
18 | Fundamentos da Matemática
( h ) ( a )
 
( b ) ( f )
 
( d ) ( g ) 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
2
4
-2
-4
-6 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
2
-2
-4
-6
4
7. a) 22,5L.
b) Não, pois ao substituirmos “x” pelo valor 600, chegaríamos em uma quantidade negativa de gasolina, ou seja, 
faltaria gasolina.
c) 560km, que é quando o valor de “y”, gasolina, é zero.
Resumo
Em nosso cotidiano estamos cercados de situações nas quais os cálculos 
com porcentagens são fundamentais. Todos os dias vemos em jornais, 
revistas e na televisão taxas percentuais sendo utilizadas pelos mais di-
versos setores. A partir dessa realidade é que será desenvolvida esta aula. 
Iniciaremos definindo e relembrando o que é porcentagem e, em segui-
da, veremos situações-problema em que esse conceito, tão importante 
e que nos será útil ao longo de toda a disciplina, faz-se necessário.
A porcentagem: considerações 
básicas e importantes
Definição e generalizações
Como o próprio nome diz, porcentagem vem de “por cento”, ou seja, uma razão em que o deno-
minador é 100.
Ex.: 20% = 
20
100
, ou seja, vinte partes em cem.
Não importa o que temos, dividimos em cem partes e retiramos 20. Veja:
20 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
Aqui, como da forma anterior, mas com 75 partes pintadas.
75% = 
75
100
Calculando diretamente
Para calcularmos o valor percentual de uma certa quantia, simplesmente multiplicamos o valor 
em questão pela taxa percentual. Veja os exemplos:
 a) 20% de 400 = 400 . 20% = 80
b) Um produto que custava R$400,00 teve um aumento de 12% e, em seguida, um desconto de 
12%. Qual o seu valor final?
Podemos efetuar esses cálculos diretamente na calculadora.
Com o aumento de 12%:
 400 + 12% = 
 400 + 48 =
 448
Reduzindo 12%:
 448 – 12% =
 448 – 53,76 =
 394,24
Como você pôde perceber, o valor final não foi R$400,00, pois o aumento de 12% incidiu sobre o 
valor de R$400,00, enquanto o desconto de 12% incidiu em um valor maior, que foi o de R$448,00. Logo, 
o valor final foi diferente do inicial. Para facilitar essa visualização, veja graficamente:
Aumenta 12%
sobre R$400,00
Diminui 12%
sobre R$448,00
21| A porcentagem: considerações básicas e importantes
A porcentagem como uma parte do todo
Para sabermos que taxa percentual representa uma quantidade com relação ao todo, fazemos a 
razão entre essa parte e o todo e multiplicamos o valor encontrado por cem, ou seja:
parte . 100
todo 
Veja as situações que seguem:
1.ª situação
A tabela abaixo mostra a quantidade de funcionários que trabalham em cada um dos setores de 
uma determinada empresa.
Setor Quantidade de pessoas
Fábrica 106
Atendimento ao cliente 15
RH 6
Administrativo 63
Financeiro 8
Gerência 2
Total 200
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
A partir desses dados, podemos dizer que:
O total :::: de pessoas que trabalham na fábrica em relação ao todo é 106 em 200, ou ainda,
106
200 = 0,53=
53
100 = 53%
Atendimento ao cliente: 
15
200
= 0,075 =
75
1 000
= 7,5%
 
RH: 6200 0 03
3
100 3= = =, % Administrativo: 
63
200
0 315
315
1 000
31 5= = =, , %
Financeiro: 
8
200 = 0,04=
4
100 = 4% Gerência: 
2
200 = 0,01=
1
100 = 1% 
E podemos reescrever a tabela anterior da seguinte forma:
Setor Percentual de funcionários
Fábrica 53%
Atendimento ao cliente 7,5%
RH 3%
Administrativo 31,5%
Financeiro 4%
Gerência 1%
Total 100%
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
22 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
2.ª situação
Na compra de um terreno de R$52.000,00, foi solicitado que o comprador desse R$17.680,00 
de entrada. Qual o percentual de entrada que essa empresa exige?
Solução:
A partir da definição que vimos, podemos facilmente calcular o que foi solicitado:
Valor percentual pago = 
17.680
52.000
 . 100 = 0,34 . 100 = 34
Ou seja, o valor de R$17.680,00 representa 34% dos R$52.000,00. 
3.ª situação
Um bem teve um aumento de R$12.400,00 para R$14.198,00. Qual a taxa percentual de aumento?
Solução:
Valor do aumento em moeda: R$1.798,00
Aumento percentual: 
1.798
12.400
 . 100 = 14,5%
O cálculo de porcentagens está diretamente ligado ao nosso cotidiano, veja a reportagem que segue.
Crédito para habitação vai crescer
(GAZETA DO POVO, jan. 2006)
O volume de crédito imobiliário liberado no ano passado pelos bancos privados atingiu 
R$4,8 bilhões, o maior desde o início da década. O cálculo é da Associação Brasileira das Enti-
dades de Crédito Imobiliário e Poupança (Abecip), que anuncia perspectivas ainda melhores 
para 2006: o montante financiado pode crescer cerca de 50%, chegando a quase R$7 bilhões. 
Nas contas do Ministério das Cidades, serão R$6,7 bilhões – que, somados aos recursos da Cai-
xa Econômica Federal, atingem R$17 bilhões, volume 21% superior ao total de R$14 bilhões 
liberados em 2005.
[...] Em 2004 e 2005, os empréstimos cresceram 36% e 57%, respectivamente.
Há, ainda, outro estímulo para que os bancos se agilizem na aplicação de recursos em crédito 
imobiliário: uma determinação do Banco Central os obriga a direcionar 65% de todo o dinheiro cap-
tado em caderneta de poupança para o financiamento da casa própria.
A partir dessanotícia podemos fazer as seguintes considerações:
1.ª consideração
A previsão de investimento para o ano de 2006 foi de R$17 bilhões. O valor investido foi de 
R$14 bilhões. Também foi dito que o aumento seria de 21%. Como calcularíamos essa taxa percentual?
23| A porcentagem: considerações básicas e importantes
Solução:
Para responder a essa questão, primeiramente veremos de quanto (em reais) foi o aumento e, em 
seguida, veremos quanto isso representa em relação ao valor inicial (R$14 bilhões). Veja:
 Aumento: R$3 bilhões
 Valor inicial: R$14 bilhões
 Taxa de aumento: 3
14 100= 21,4%×
2.ª consideração
No ano de 2005, o valor liberado foi de R$14 bilhões. Se houve um crescimento de 57% com relação 
a 2004, como poderemos calcular o valor deste ano? E de 2003, que cresceu 36% com relação a 2004?
Para respondermos a questões como essas, elaboraremos uma regra prática que nos auxiliará em 
cálculos de aumento/desconto de valores:
Quando o valor que queremos :::: teve um desconto e queremos calcular o valor original, basta 
dividirmos o valor em questão por (1 – taxa centesimal de aumento).
Ex.: Um bem teve um desconto de 15% = 
15
100 = 0,15 e passou a custar R$760,00. 
Qual o valor original?
Solução:
 
760
(1–0,15)
=
760
0,85
= 894,12
Quando o valor que queremos :::: teve um aumento e queremos calcular o valor original, basta 
dividirmos o valor em questão por (1 + taxa centesimal de aumento).
Ex.: Um bem teve um aumento de 15% e passou a custar R$760,00. Qual o valor original?
Solução:
 
760
(1 + 0,15)
=
760
1,15
= 660,87
A partir das definições vistas, poderemos responder às questões anteriores.
Segundo o texto:
Ano de 2005 = 14 bilhões::::
Crescimento relativo a 2004 = 57% = :::: 57
100 = 0,57
E respondendo à pergunta:
Valor original = ::::
1 + 0,57
14
1,57
14= = 8,92
 Logo, no ano de 2004, o volume de crédito liberado foi de 8,92 bilhões de reais.::::
24 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
Agora vamos ao cálculo do ano de 2003:
Ano de 2004 = R$8,92 bilhões (calculado anteriormente)::::
Crescimento relativo a 2003 (segundo o texto) = 36%::::
Respondendo à pergunta:
Valor original = :::: = 8,92 = 6,56 bilhões8,92
1 + 0,36 1,36 
.
Podemos, então, representar graficamente os valores obtidos e, a partir deles, verificar uma gran-
de tendência de crescimento nos investimentos neste setor. Observe a curva:
Crédito imobiliário liberado pelos bancos no Brasil
0
2
4
6
8
10
12
14
16
2003 2003 2004 2004 2005 2005 2006
Ano
R
$
(e
m
b
ilh
õ
e
s
)
 [...] A dívida imobiliária federal (em títulos públicos) fechou 2005 em R$979,7 bilhões. O esto-
que teve um aumento de 2,1% entre novembro e dezembro. [...]
(Disponível em: <www.clickrbs.com.br>.)
A partir da notícia anterior, podemos calcular quanto era a dívida imobiliária em novembro de 
2005:
Valor original = = 979,7 = 959,55979,7
1 + 0,021 1,021 
 bilhões de reais
Regras de arredondamento
Como você já deve ter percebido, muitas vezes precisamos dividir valores que não têm como 
resultado uma divisão exata. Para tanto, utilizaremos a legislação vigente que regulamente a maneira 
correta de arredondar essas quantias.
De acordo com a Resolução 886, de 26 de outubro de 1966, do Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE), o arredondamento é feito da seguinte maneira:
Quando o primeiro algarismo a ser arredondado é o 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último ::::
algarismo a permanecer:
25| A porcentagem: considerações básicas e importantes
Ex.: 43,24 passa a 43,2
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é o 5, há duas soluções:::::
a) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade 
ao algarismo a permanecer. Ex.:
4,757 = 4,76::::
6,750008 = 6,8::::
b) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser 
conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. Ex.:
:::: 14,75 = 14,8
:::: 12,65 = 12,6
Porém, em geral, essa última regra não é respeitada e, se o último algarismo for igual a 5, 
mantém-se ou acrescenta-se um ao algarismo anterior.
Vamos simplificar o que diz a Resolução? Para arredondarmos valores, utilizamos a seguinte regra:
Quando o valor do numeral após a casa decimal que queremos arredondar for menor do que 5, ::::
mantemos esse valor. Ex.: 3,762 = 3,76.
Quando for maior do que 5, aumentamos em uma unidade esse valor. Ex.: 3,762 = 3,8.::::
Quando for igual a 5 e não for o último valor, também aumentamos. Ex.: 3,76252 = 3,763.::::
Quando for igual a 5 e for o último valor, deixamos o 5 ou aumentamos. Ex.: 3,7625 = 3,7625 ::::
ou 3,763.
 A porcentagem e a tabela do Imposto de Renda
Todos os meses, os trabalhadores vinculados ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) pagam 
uma alíquota para esse instituto proporcional ao seu salário bruto. A tabela válida para o ano de 2005 
é a que segue:
Tabela de contribuição dos segurados empregados, empregado doméstico e trabalhador avulso, para 
pagamento de remuneração a partir de 1.º de maio de 2005
Salário de contribuição (R$) Alíquota para fins de recolhimento ao INSS (%)
Até R$800,45 7,65
De R$800,46 a R$900,00 8,65
De R$900,01 a R$1.334,07 9,00
De R$1.334,08 até R$2.668,15 11,00
Po
rt
ar
ia
 8
22
, 1
1 
m
ai
o 
20
05
.
Para salários acima de R$2.668,15, a contribuição é fixada em R$293,50, que é o chamado teto má-
ximo para contribuição. A partir da tabela anterior, pode-se calcular o valor que qualquer trabalhador 
vinculado ao INSS paga mensalmente. Veja os exemplos:
Salário bruto de R$840,00 – 2.ª faixa salarial – contribuição de 8,65%, logo:::::
26 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
 840 . 8,65% = R$72,66
Salário bruto de R$1.800,00 – 4.ª faixa salarial – contribuição de 11%:::::
 1.800 . 11% = R$198,00
Além da contribuição paga ao INSS, mensalmente, todo trabalhador que recebe um salário 
bruto, descontada a contribuição paga ao INSS, acima de R$1.058,00 (válido para o ano de 2005), 
contribui com o Imposto de Renda Pessoa Física (IRPF) segundo a tabela abaixo:
Rendimento Alíquota Deduzir – (R$)
Até R$1.058,00 isento -
Acima de R$1.058,01 até R$2.115,00 15% 158,00
Acima de R$2.115,01 27,5% 423,08
A parcela a deduzir é o valor que devemos descontar do valor a ser pago por meio da alíquota.
Dessa forma, para o trabalhador do primeiro exemplo citado anteriormente, temos:
Salário bruto = R$840,00::::
Contribuição ao INSS = R$72,66::::
Salário líquido parcial = R$840,00 – R$72,66 = R$767,34::::
Contribuição ao IRPF = isento, já que seus rendimentos ficaram aquém de R$1.058,00::::
Salário líquido final = R$767,34, já que não contribui com o IRPF::::
Para o segundo exemplo:
Salário bruto = R$1.800,00::::
Contribuição ao INSS = R$198,00::::
Salário líquido parcial = R$1.602,00::::
Contribuição ao IRPF (segunda faixa – 15% –, pois está entre R$1.058,01 e R$2.115,00): 15% de ::::
R$1.602,00 = R$240,30 menos a parcela a deduzir (R$158,00)
Contribuição: R$240,30 – R$158,00 = R$82,30::::
Salário líquido final = R$1.602,00 – R$82,30 = R$1.519,70::::
A partir desse valor, podemos calcular a redução percentual que este trabalhador teve em seu salário:
Valor pago de impostos: ::::
INSS = R$198,00
IRPF = R$82,30
Total = R$198,00 + R$82,30 = R$280,30
Valor percentual pago sobre seu salário inicial: ::::
= 280,30 = 0,1557 . 100 = 15,57% 
1,021 
27| A porcentagem: considerações básicas e importantes
Vamos, agora, calcular a perda percentual que tem em seu salário um trabalhador que teve renda 
mensal bruta de R$2.600,00.
INSS = 11% de R$2.600,00 = R$286,00
Salário líquido parcial =2.600 – 286 = R$2.314,00
Contribuição ao IRPF = 3.ª faixa (27,5%) = 27,5% de R$2.314 = R$636,35 – R$423,08 (parcela 
a deduzir)
Valor a contribuir = R$213,27
Salário líquido final = R$2.314,00 – R$213,27 = R$2.100,73
Redução percentual sobre o salário bruto:
Total de impostos = R$286,00 + R$213,27 = R$499,27
Redução percentual = 19,20%
Dessa forma, um trabalhador que tem uma renda bruta de R$2.600,00 tem, de encargos governa-
mentais, diretamente em sua fonte de renda, 19,20% de seu salário retido. 
Como pôde perceber, situações em que conceitos de porcentagens estão presentes ocorrem no 
nosso cotidiano e é importante salientarmos e atentarmos para pequenos detalhes, pois, muitas vezes, 
são eles que fazem uma grande diferença. Como vimos, se aumentarmos um certo valor percentual, e 
diminuirmos esse mesmo percentual, chegaremos em valores iniciais diferentes. Dessa forma, é de ex-
trema importância que atentemos para os menores detalhes para que, em momento algum, possamos 
gerenciar de forma inadequada nossos negócios ou finanças. 
Atividades
1. Uma companhia financiadora dava as seguintes instruções em seu carnê de pagamentos de um 
automóvel:
 
Valor do documento: R$485,00
Após o vencimento serão acrescidos ao valor do documento: 
multa fixa de R$9,71 mais juros de 0,4% do valor do documento por cada dia de atraso.::::
Responda:
a) O valor da multa representa qual porcentagem do valor do documento?
 
 
28 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
b) Se uma pessoa atrasar 15 dias da data de vencimento, quanto pagará? 
 
 
c) Esse valor pago representa qual valor percentual acima do valor do documento?
 
 
2. Imagine que o preço da gasolina tenha oscilado bastante em alguns dias de um determinado mês:
Dia 1.º → R$2,50 Dia 15 → R$2,94 Dia 30 → R$2,72
A partir dessas informações, responda:
a) Qual foi o aumento percentual do dia 1.º para o dia 15?
 
b) Qual foi a redução percentual do dia 15 para o dia 30?
 
c) No dia 1.º a gasolina estava que valor percentual a menos do que no dia 30?
 
3. Os gastos para o pagamento da Habite-se de um certo imóvel custava, em um determinado mês, 
R$140,00. No mês seguinte, a taxa passou para R$145,95. Qual foi o percentual de aumento?
 
 
 
 
 
4. Em uma pesquisa de opinião pública no RS, foram entrevistadas 300 pessoas que responderam 
à seguinte pergunta: “Qual o time de futebol de sua preferência?”. As respostas foram tabuladas 
em um gráfico tipo pizza conforme abaixo:
Time de preferência
64%
24%
9% 3%
Grêmio
Inter
Juventude
Outros/nenhum
29| A porcentagem: considerações básicas e importantes
 A partir da representação anterior, calcule quantas pessoas votaram em cada um desses times e 
quantas votaram em outros ou em nenhum time.
 
 
 
5. Um imóvel teve um percentual de 12% de aumento e agora custa R$184.800,00. Qual era o seu 
valor antes do aumento?
 
 
 
 
Ampliando conhecimentos
Verifique se a tabela de Imposto de Renda atualmente utilizada permanece a mesma da que foi 
apresentada nesta aula. Pegue seu contracheque, caso você possua um, e verifique se os valores que lhe 
descontam de INSS e de IRPF estão de acordo com as tabelas apresentadas. Verifique em jornais e re-
vistas situações envolvendo cálculos de porcentagem. É no nosso cotidiano que aprendemos o quanto 
essas situações são importantes.
Autoavaliação
1. O valor total pago pelos moradores de um certo condomínio no mês de dezembro foi de 
R$12.600,00. O condômino, em sua planilha de custos, distribuiu a receita da seguinte forma:
Destino da Aplicação Valor Gasto
Jardinagem e limpeza R$2.340,00
Luz R$5.680,00
Manutenções R$1.260,00
Segurança R$1.620,00
Total de gastos R$10.900,00
Caixa do condomínio R$1.700,00
Total R$12.600,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
30 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
A partir dessa tabela, calcule o percentual gasto com cada uma das aplicações.
Destino da Aplicação Gasto (%)
Jardinagem e limpeza
Luz
Manutenções
Segurança
Caixa do condomínio
2. Nestes últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valores 
médios praticados por um certo posto de gasolina.
Mês Valor cobrado (R$)
Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
 Com base nesses valores, calcule o percentual de variação da gasolina entre cada um dos 
meses do ano.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31| A porcentagem: considerações básicas e importantes
3. Calcule, utilizando os procedimentos de cálculo vistos no decorrer desta aula, o salário líquido e a 
perda percentual no salário bruto de um trabalhador que recebe uma renda bruta de:
a) R$1.200,00;
b) R$2.000,00;
c) R$3.000,00;
d) R$5.400,00.
 
 
 
 
 
 
 
Referências
FACCHINI, Walter. Matemática. São Paulo: Saraiva, 1997.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática. 2.º Grau. São Paulo: FTD, 2002.
JASPER, Fernando. Crédito para habitação vai crescer 21%. Gazeta do Povo, Curitiba, 18 jan. 2006. 
PORTARIA 822, de 11 de maio de 2005. Disponível em: <www81.dataprev.gov.br/sislex/paginas/66/
MPS/2005/822.htm>. Acesso em: fev. 2006.
32 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
Gabarito
Atividades 
1.
a) Aprox. 2%.
b) R$523,81.
c) 7,41%.
2.
a) 17,6%.
b) 7,48%.
c) 8,09%.
3. 4,25%.
4. Grêmio: 192 pessoas.
 Inter: 72 pessoas.
 Juventude: 27 pessoas.
 Outros/nenhum: 9 pessoas.
5. R$165.000,00.
Autoavaliação
1. Jardinagem e limpeza 18,57%
 Luz 45,08%
 Manutenções 10%
 Segurança 12,86%
 Caixa do condomínio 13,5%
33| A porcentagem: considerações básicas e importantes
2. Entre janeiro e fevereiro: 3,39%
 Entre fevereiro e março: 3,69%
 Entre março e abril: 2,37%
 Entre abril e maio: 3,09%
 Entre maio e junho: 3,09%
 Entre junho e julho: 0%
 Entre julho e agosto: 3,09%
 Entre agosto e setembro: 1,87%
3. 
a) Líquido: R$1.086,20; perda percentual: 9,48%
b) Líquido: R$1.671,00; perda percentual: 16,45%
c) Líquido: R$2.385,29; perda percentual: 20,49%
d) Líquido: R$4.125,29; perda percentual: 23,61%
34 | A porcentagem: considerações básicas e importantes
Estatística I
A Estatística é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização, a análise e a interpretação 
de dados, em geral, obtidos de pesquisas e medições. A Estatística é, basicamente, dividida em duas 
grandes áreas: a estatística descritiva e a estatística inferencial. A primeira, como seu próprio nome 
diz, estuda a descrição, a síntese e a organização de dados, em geral dispostos em tabelas e gráficos. A 
segunda preocupa-se em retirar uma parte do todo e tirar conclusões a partir desses dados, o que cha-
mamos de “fazer inferências”. É o que mais ouvimos falar, por exemplo, em eleições para presidentes, 
governadores, prefeitos e demais situações nas quais não podemos entrevistar toda a população, mas 
somente uma parte dela que represente esse todo.
A partir dessa realidade, definiremos alguns termos utilizados em Estatística.
População: é o conjunto de elementos que possui alguma característica em comum. No nosso ::::
exemplo das eleições presidenciais, é “ser brasileiro”.
Amostra: é uma parte da população que representa o todo. Essa amostra deve ser o que a ::::
Estatística define como representativa, ou seja, deve poder representar o todo, sem que haja 
maiores distorções nos resultados. Para o exemplo das eleições presidenciais, podemos dizer 
que uma amostra representativa deve ter homens e mulheres de diversos estados (preferen-
cialmente todos), de diversas idades e de classessocioeconômicas distintas.
Amostragem: é o processo de obtenção da amostra.::::
Parâmetros: são medidas que caracterizam a população. Por exemplo: raça, sexo, salário, ida-::::
de, entre outros.
Variáveis: é a medida que se busca com a pesquisa. Por exemplo, “qual o candidato a presiden-::::
te de sua preferência?”. Essas variáveis podem ser classificadas como quantitativas, quando 
expressam uma quantidade, ou qualitativas, quando expressam uma qualidade.
36 | Estatística I
Distribuição de frequências para dados não agrupados
Como já citamos, a estatística descritiva se preocupa em organizar e tabular dados em gráficos e 
tabelas, com o objetivo de sintetizar as informações e fornecer respostas claras e objetivas com relação 
ao estudo de interesse. Dessa forma, nesta aula, nos preocuparemos em organizar os dados em uma 
tabela chamada tabela de frequências e, para tanto, definiremos os tipos de frequência utilizados em 
estatística:
Frequência absoluta (f ): é o número de observações que ocorreram em cada classe.::::
Frequência absoluta acumulada (F): é o somatório das frequências ocorridas até a classe em ::::
que estamos.
Frequência relativa (f:::: r ): é o quociente (resultado da divisão) entre a frequência absoluta e o 
total de elementos.
Frequência relativa acumulada (F:::: r ): é o somatório das frequências relativas ocorridas até a 
classe em que estamos.
Para a elaboração da tabela, deve-se obedecer à Resolução 886, de 26 de outubro de 1966, do 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que determina que toda tabela deve ter:
Título: conjunto de informações que precisa responder, de forma sucinta, o que se busca na ::::
pesquisa.
Cabeçalho: parte superior da tabela que dá nome às colunas.::::
Corpo: conjunto de linhas e colunas que contém as informações sobre a pesquisa.::::
Rodapé: é o local ond:::: e se coloca a fonte e possíveis notas.
Veja um exemplo de tabela:
Tabela – População residente, por sexo e situação do domicílio nos 
municípios do estado do Rio Grande do Sul
Fonte: Censo Demográfico 2000 – IBGE. Adaptado.
Estado/Municípios
População residente
Homens Mulheres
Rio Grande do Sul 4 994 719 5 193 079
Canoas 148 860 157 233
Carlos Gomes 985 927
Caxias do Sul 176 959 183 460
Porto Alegre 635 820 724 770
Presidente Lucena 1 087 982
Protásio Alves 1 132 980
37|Estatística I
Veja outro exemplo onde podemos aplicar as definições de frequência citadas.
Em uma universidade pesquisou-se o número médio de horas que os acadêmicos estudavam, 
sem considerar os momentos em sala de aula. Para tanto, 80 estudantes de diversos cursos foram entre-
vistados. Os resultados estão dispostos na tabela a seguir:
Tabela – número de horas de dedicação semanal para estudo extraclasse
Fonte hipotética.
Número médio de horas Número de estudantes
Até 1 hora 2
Em torno de 2 horas 8
Em torno de 3 horas 16
Em torno de 4 horas 10
Em torno de 5 horas 20
Mais de 5 horas 24
A partir da tabela anterior, podemos distribuir os dados em uma tabela de frequências. Veja:
Tabela – número de horas de dedicação semanal para estudo extraclasse
Fonte hipotética.
H fi fri Fi Fri
Até 1 hora 2 2 ÷ 80 = 0,025 = 2,5% 2 0,025 = 2,5%
Em torno de 2 horas 8 8 ÷ 80 = 0,1 = 10% 10 0,125 = 12,5%
Em torno de 3 horas 16 16 ÷ 80 = 0,2 = 20% 26 0,325 = 32,5%
Em torno de 4 horas 10 10 ÷ 80 = 0,125 = 12,5% 36 0,45 = 45%
Em torno de 5 horas 20 20 ÷ 80 = 0,25 = 25% 56 0,7 = 70%
Mais de 5 horas 24 24 ÷ 80 = 0,3 = 30% 80 1 = 100%
Dica
Na tabela anterior, podemos destacar alguns pontos importantes.
No cálculo da frequência relativa (f:::: r), dividimos a frequência da classe pelo total de elemen-
tos em questão; para expressarmos em taxa percentual, multiplicamos esse resultado por 
100;
O elemento da última classe relativo à frequência acumulada (F:::: i) sempre tem valor igual ao 
total de elementos (no nosso caso, 80 pessoas);
O elemento da última classe relativo à frequência relativa acumulada (F:::: ri) sempre tem valor 
igual a um ou, em taxa percentual, 100%.
38 | Estatística I
A partir da tabela anterior, podemos explorar algumas importantes questões:
Entre os entrevistados, quantas pessoas estudam em torno de quatro horas?::::
 Dez pessoas, já que é a frequência absoluta em quatro horas.
Entre os entrevistados, quantas pessoas estudam até quatro horas?::::
 É a frequência acumulada em quatro horas, que é de 36 pessoas.
Entre os entrevistados, qual é o percentual de pessoas que estudam, em média, três horas?::::
 É a frequência relativa em três horas = 20%.
Entre os entrevistados, qual é o percentual de pessoas que estudam até três horas?::::
 É a frequência relativa acumulada em três horas = 32,5%.
Representação gráfica de dados não agrupados
Representarmos dados graficamente nos permite uma fácil e direta visualização do assunto que 
estamos estudando. Neste momento veremos os tipos mais utilizados de gráficos, utilizando a situação 
estudada anteriormente: número de horas de estudo semanal.
Gráfico de colunas
Esse tipo de gráfico representa os dados através de uma série de colunas que variam de altura de 
acordo com a frequência com que os valores se repetem em cada categoria.
39|Estatística I
Gráfico de setores
Nesse tipo de gráfico, o conjunto de dados é representado por um círculo em que cada categoria 
representa uma parte dos 360º, que é o total dos dados. Em geral, para que não haja poluição visual, 
esse tipo de gráfico é muito utilizado para um número pequeno de categorias. Essa representação é 
bastante útil e muito usada por apresentar, visualmente, o quanto cada classe ocupa em relação ao todo 
e às demais classes. Na maioria das vezes são utilizadas porcentagens.
Gráfico de barras
É bastante parecido com o gráfico de colunas, porém as barras ficam com suas variações no 
eixo horizontal.
40 | Estatística I
Gráfico de linhas
Esse tipo de representação gráfica é muito utilizado quando o objetivo é avaliar a variação de 
tendência de um ponto para outro, ou estimar valores entre dois pontos quaisquer.
Como podemos perceber, as tabulações – um dos objetos de estudo da Estatística – são de 
grande valia para organizarmos dados e para que tenhamos, além de uma melhor visualização, uma 
fácil busca de informações. Associados a elas, o uso de gráficos é de extrema importância para que 
se tenha uma proporção e uma boa comparação entre as variáveis em estudo. Eles auxiliam, assim, 
tanto para podermos comparar informações quanto para verificarmos tendências de uma determi-
nada situação.
Atividades
1. Pesquise em sua sala de aula o número de dormitórios das residências de cada um de seus 
colegas (de zero a “n”), incluindo você. Faça uma planilha de dados não agrupados com essas 
informações, contendo frequência absoluta, absoluta relativa, acumulada e acumulada relativa. 
Veja o exemplo:
n.° de filhos fi fri Fi Fri
0
1
2
3
4
...
41|Estatística I
2. Represente em um gráfico de colunas e em um de pizza as informações coletadas. No de pizza é 
importante que apareça o percentual de cada uma das partes.
Ampliando conhecimentos
É importante que você tenha prática no uso da planilha Excel, pois ela é uma poderosa ferramen-
ta na geração e formatação de gráficos como os que estudamos. Vá ao botão “assistente de gráfico” do 
programa Excel e gere seus próprios gráficos. É uma opção de muito fácil uso e que, com certeza, lhe 
auxiliará em muitas situações.
Autoavaliação
1. A tabela abaixo refere-se a uma pesquisa feita sobre salário (em milhares de reais) de gestores 
de 20 grandes empresas de uma determinada capital brasileira. A primeira linha refere-se aos 
primeiros dez entrevistados e a segunda, aos últimos dez.
5 4 5 5,5 5 4,5 6 6 4 5
4,5 4,5 5 4 5 4,5 5 5,5 5 4,5
a) A partir desses dados, construa umatabela de frequências.
42 | Estatística I
 A partir da tabela construída, responda às questões:
b) Entre os 20 gestores entrevistados, quantos tinham salário menor do que R$5 mil?
c) Quantos tinham salário menor ou igual a R$5 mil?
d) Qual o percentual de entrevistados com o salário menor ou igual a R$5 mil?
e) Qual o percentual de entrevistados com o salário igual a R$5,5 mil?
2. Abaixo segue uma tabela de frequência que nos traz a distribuição de salários em uma deter-
minada empresa:
Salários-mínimos Número de funcionários
2 30
3 20
4 12
5 6
6 4
7 4
8 2
 A partir dos dados anteriores, construa uma tabela de frequências completa (com frequências 
acumuladas e relativas) e responda às questões que seguem:
a) Quantos funcionários recebem até sete salários-mínimos?
b) Quantos funcionários recebem sete salários-mínimos?
43|Estatística I
c) Qual o percentual de funcionários que recebem até cinco salários-mínimos?
d) Qual o percentual de funcionários que recebem cinco salários-mínimos?
e) Qual o percentual de funcionários que recebem dois salários-mínimos?
3. Nestes últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valores 
médios praticados por um certo posto de gasolina.
Mês Valor cobrado (R$)
Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72
a) Utilizando uma planilha eletrônica, represente em um gráfico de barras e em um gráfico de 
linhas os dados apresentados nessa tabela.
b) Elabore uma planilha de frequências para dados não agrupados.
4. O gráfico abaixo representa o grau de satisfação dos clientes de uma determinada empresa com 
relação a um certo produto. Foram entrevistados 435 clientes e os resultados estão expressos no 
gráfico de setores abaixo.
44 | Estatística I
A partir da representação gráfica dada, responda às questões que seguem:
a) Quantos clientes disseram estar muito satisfeitos com esse produto?
b) Quantos disseram estar pouco satisfeitos ou insatisfeitos?
c) Com as informações contidas nesse gráfico, elabore, em uma planilha eletrônica, um gráfico de 
colunas com o eixo horizontal contendo o grau de satisfação dos clientes e, na coluna vertical, 
quantas pessoas responderam a cada nível de satisfação.
Referências
SMAILES, Joanne. Estatística Aplicada à Administração com Excel. São Paulo: Atlas, 2002.
STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 1981.
45|Estatística I
Gabarito
Atividades
 Respostas abertas, mas podem ser comparadas entre a turma, pois elas devem ser iguais.
Autoavaliação
1.
a)
Salário (R$ ) fi fri Fi Fri
4.000 3 15% 3 15%
4.500 5 25% 8 40%
5.000 8 40% 16 80%
5.500 2 10% 18 90%
6.000 2 10% 20 100%
Total 20 100%
b) 8 pessoas.
c) 16 pessoas.
d) 80%.
e) 10%.
2.
Salários fi fri Fi Fri
2 30 38,46% 30 38,46%
3 20 25,64% 50 64,10%
4 12 15,38% 62 79,49%
5 6 7,69% 68 87,18%
6 4 5,13% 72 92,31%
7 4 5,13% 76 97,44%
8 2 2,56% 78 100%
Total 78
a) 76 funcionários.
b) 4 funcionários.
c) 87,18%.
d) 7,69%.
e) 38,46%.
46 | Estatística I
 3. a) 
b) 
4. a) 261 clientes.
b) 87 clientes.
c) 
Resumo
Medidas de tendência central e variabilidade são valores que caracte-
rizam os dados que estamos estudando, em geral, para que se saibam 
valores médios e dispersões em torno desses valores. Os mais importan-
tes são a média aritmética, a média ponderada, a moda, a mediana, a 
variância e o desvio padrão. Nesta aula, faremos um importante estudo 
das medidas de tendência central.
Estatística II
A média aritmética para dados não agrupados
A média aritmética é, com certeza, a medida de tendência central mais utilizada no nosso coti-
diano. É calculada pela soma dos elementos dividido pela quantidade de elementos. Os símbolos que 
utilizamos para a média são:
Para a população: a letra grega µ
Para a amostra: x 
Veja um simples exemplo:
48 | Estatística II 
Em uma sala de aula (sala “x”) com 15 alunos, as notas na primeira avaliação de Matemática foram 
as seguintes:
Nome do aluno Nota na avaliação 1
Afrânio 3,0
Alfredo 5,0
Carla 7,0
Cristiane 6,0
Denise 9,0
Eduardo 10,0
Éverton 7,0
Fabrício 4,0
Felipe 8,0
Gabriel 9,0
Natália 7,0
Pedro 2,0
Rafaela 6,0
Sandro 7,0
Sílvia 3,0
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
A partir dessas informações, podemos calcular a média obtida por essa turma:
 = 3 + 5 + 7 + 6 + 9 + 10 + 7 + 4 + 8 + 9 + 7 + 2 + 6 + 7 + 3
15
 = 93
15
 = 16,2
Como você pôde perceber, para calcularmos a média aritmética dessa turma apenas somamos 
todas as notas e dividimos pelo número de alunos que, para essa situação, é igual a 15.
A moda para dados não agrupados (Mo)
A moda é o valor que mais aparece em um conjunto de dados.
No exemplo anterior, ela é a nota 7,0, pois é a que mais aparece, num total de quatro vezes. Em 
um evento em que temos dois valores que aparecem em uma mesma quantidade e são os que mais 
aparecem, dizemos que ele é bimodal.
Ex.: No conjunto {1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 10} os valores “2” e “3” aparecem, ambos, 3 vezes. Di-
zemos, dessa forma, que esse conjunto é bimodal.
49|Estatística II 
A mediana para dados não agrupados (Md) 
A mediana é a medida de tendência central que divide os dados ordenados em duas partes de 
mesma frequência. Para obtermos a mediana, ordenamos os dados em ordem crescente e tomamos o 
termo central. A posição dessa medida também pode ser obtida pela expressão P = n + 1
2 
, em que “P” 
representa a posição do elemento da mediana e “n” o número de elementos.
Veja como fica a mediana no exemplo das notas utilizado anteriormente:
Notas dos 15 alunos: 3; 5; 7; 6; 9; 10; 7; 4; 8; 9; 7; 2; 6; 7; 3.
Ordenando as notas em ordem crescente: 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10.
Como você pôde notar, para essa situação temos 15 elementos, logo o elemento central (me-
diana) ocupará a posição 8, ou ainda, pela expressão P = n + 1
2
, temos P = 15 + 1
2
 = 16
2
 = 8, ou seja, 8.ª 
posição, veja: 
 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10
7 elementos antes 7 elementos depois 
Esse é o elemento que ocupa
a 8.ª posição.
Para esse exemplo, a mediana, então, é igual a 7.
Observação importante
Caso tenhamos um número par de elementos, dizemos que a mediana se encontra entre os 
dois valores.
Veja:
Para a sequência 1; 1; 2; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6; 7; 7 qual o valor da mediana?
Aplicando a expressão P = n + 1
2 
 , temos que P = 12 + 1
2
 = 13
2
 = 6,5, ou seja, a mediana se encontra 
entre o 6.º e o 7.º elemento, logo, entre os valores “4” e “5” e, para calculá-la, fazemos a média entre esses 
dois valores.
50 | Estatística II 
A média ponderada para dados não agrupados ( Xw )
Média ponderada é uma medida utilizada quando se fazem necessárias diferentes importâncias 
para determinados elementos. É uma medida muito usada quando temos “pesos” diferentes para dife-
rentes valores. Para calcularmos a média ponderada, multiplicamos cada valor pelo seu “peso”, soma-
mos esses valores e dividimos pela soma dos “pesos”. Assim, a expressão fica:
 
= 
 W1 . X1 + W2 . X2 + W3 . X3 + ... Wn . Xn X 
W1 + W2 + W3+ ... + Wn 
w
Um exemplo muito comum é o de notas em avaliações e trabalhos na vida escolar. Veja:
Em uma determinada disciplina, o professor trabalha com uma avaliação individual, um trabalho 
de apresentação em grupo e um trabalho individual escrito. Para tanto, ele aplica peso 4 para a avalia-
ção individual, peso 3 para a apresentação em grupo e peso 2 para o trabalho escrito. 
Aluno x 
 Notas obtidas:
 Avaliação individual: 9,0
 Apresentação do trabalho: 5,0
 Trabalho escrito: 6,0
Cálculo damédia final desse aluno:
 
= 
4 . 9 + 3 . 5 + 2 . 6 
= 
36 + 15 + 12 
= 
63
= 7,0
4 + 3 + 2 9 9 
X w
 
Logo, a nota final desse aluno será 7,0.
Suponha que outro colega tenha também tirado 9,0; 5,0 e 6,0, mas não nas mesmas tarefas. 
Veja:
Aluno z 
 Notas obtidas:
 Avaliação individual: 5,0
 Apresentação do trabalho: 6,0
 Trabalho escrito: 9,0
Cálculo da média final desse aluno:
 
= 
4 . 5 + 3 . 6 + 2 . 9 
= 
20 + 18 + 18 
= 
56
= 6,2
4 + 3 + 2 9 9 
X w
 
Logo, a nota final desse aluno será 6,2.
51|Estatística II 
Como você pôde perceber, de acordo com os pesos arbitrados aos diferentes valores, temos uma 
variação nos resultados obtidos. Dessa forma, a média ponderada é bastante útil quando queremos 
distinguir graus de importância a certos dados.
Agrupando os conhecimentos 
Abaixo seguem cinco salários dos maiores gestores das cinco maiores empresas do ramo calça-
dista de uma determinada cidade.
Empresa Salário (R$)
A 8.000,00
B 10.000,00
C 12.000,00
D 15.000,00
E 40.000,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
A partir desses dados, podemos verificar qual medida de tendência central nos dá uma melhor 
noção da realidade salarial dessas empresas.
Moda: não há valor modal distinto.
Mediana: R$2.000,00.
Média: 6.000 + 8.000 + 10.000 + 12.000 + 40.000 = 76.000 = R$15.200,00
 5 5 
Como podemos facilmente perceber, o valor atípico de R$40.000,00 levou a média para cima e, 
analisando apenas essa medida, poderíamos pensar que o salário usual giraria perto dessa quantida-
de, o que não é verdade. Nesse caso, o valor mais representativo seria a mediana de R$12.000,00.
Curiosidade 
Para cálculo do Índice Geral de Preços (IGP-DI), assim como o cálculo de 
diversos outros índices, utiliza-se média ponderada.
O Índice Geral de Preços, tão comentado atualmente e usado em 
contratos com prazos relativamente longos, como o aluguel de imó-
veis, é calculado pela Fundação Getulio Vargas (FGV) por meio de 
uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), que 
tem peso 6; o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro 
e em São Paulo, com peso 3; e o Índice de Custo da Construção Civil 
(INCC), com peso 1. Assim, o cálculo desse índice é:
 IGP = 
6 . IPA + 3 . IPC + 1 . INCC = 
6 . IPA + 3 . IPC + 1 . INCC 
6 + 3 + 1 10 
52 | Estatística II 
 Atividades
1. Em uma empresa hipotética, com 13 funcionários, são aplicados os seguintes níveis salariais:
Cargo Número de funcionários Salário (R$)
Gerente 1 2.300,00
Coordenador 2 1.500,00
Caixas 4 530,00
Atendentes 6 420,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
Com relação a essa situação, responda às questões que seguem:
a) Qual o salário médio nessa empresa?
 
 
 
b) Qual o salário modal?
 
 
 
c) Qual o salário mediano?
 
 
d) Suponha que a empresa opte por demitir um dos coordenadores e contratar mais um 
atendente. Quanto ficará o salário médio?
 
 
 
53|Estatística II 
2. Nesses últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela a seguir mostra os valores 
médios praticados por determinado posto de gasolina.
Mês Valor cobrado (R$)
Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72
 Com base nesses dados, elabore uma planilha de frequência para dados não agrupados e calcule 
a média, a moda e a mediana dessa situação.
3. A tabela a seguir mostra os valores dos aluguéis para locação em uma imobiliária, com valores 
entre R$1.200,00 e R$1.500,00 das casas disponíveis com três dormitórios, garagem para um 
automóvel, em um determinado bairro.
Endereço Valor do aluguel 
Av. Independência, 234 R$1.500,00
Av. Independência, 1250 R$1.300,00
Av. Nações Unidas, 111 R$1.500,00
Rua Alvará, 234 R$1.200,00
Rua Mossoró, 30 R$1.400,00
Rua Mossoró, 1246 R$1.350,00
Rua Pará, 324 R$1.250,00
Rua Pilão, 36 R$1.300,00
Rua Pitan, 450 R$1.250,00
Rua Tuiuti, 36 R$1.250,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
A partir dessa tabela, obtenha:
a) o valor médio dos aluguéis apresentados;
b) o valor modal;
c) o valor mediano.
54 | Estatística II 
4. Calcule a idade média, a idade mediana e a idade modal das pessoas, incluindo você, que 
compõem a sua turma.
 
 
 
5. O Índice Geral de Preços (IGP-M) é calculado pela Fundação Getulio Vargas (FGV) por meio de 
uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), que tem peso 6; o Índice de 
Preços ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro e em São Paulo, com peso 3; e o Índice de Custo 
da Construção Civil (INCC), com peso 1. Imagine que, em um determinado mês, o valor do IGP-M 
tenha sido de alta de 0,992%, do IPA tenha sido de alta de 1,2%, do INCC, alta de 0,32%. Qual será 
a alta registrada para o IPC?
 Dica: escreva a expressão para a média ponderada do IGP-M e substitua os valores nessa expressão.
 
 
 
 
6. Imagine que, em uma pesquisa de 11 madeireiras, os valores do saco de cimento de 50kg tenham 
sido os seguintes:
R$15,00 R$18,00 R$16,50 R$17,00 R$18,00 R$15,00
R$16,50 R$17,00 R$18,00 R$15,50 R$17,50
A partir desses dados, obtenha:
a) O valor médio.
 
b) O valor modal.
 
c) O valor mediano.
 
Ampliando conhecimentos
Livros de estatística básica sempre apresentam esses conceitos. Caso tenha dúvidas, procure um 
livro em alguma biblioteca perto de sua residência ou cidade. O site <www.somatematica.com.br>, que 
é de uso gratuito, oferece várias dicas sobre esses conceitos, além de downloads.
55|Estatística II 
Autoavaliação
Prefeitura divulga balanço do Carnaval 2005
(RIOTUR, 2005. Adaptado.)
A Prefeitura do Rio fez um balanço positivo do Carnaval 2005, consagrado como o melhor even-
to popular do mundo. Para os cariocas e os visitantes, a Prefeitura investiu R$27 milhões no Carnaval 
Carioca, promovendo, além do espetáculo no Sambódromo, eventos como os Bailes Populares [...]
[...] uma pesquisa para conhecer a origem e avaliar a satisfação do público com o evento. Foram 
entrevistadas 1 603 pessoas [...]
Para tanto foi calculada uma média ponderada da avaliação de serviços da cidade: limpeza públi-
ca, segurança pública, informações turísticas, diversão noturna, restaurantes e transporte urbano.
Escala usada:
ótimo = 5 bom = 4 regular = 3
ruim = 2 péssimo = 1 
 A partir da curiosidade acima, responda às questões 1, 2 e 3.
1. Suponha que, das 1 603 pessoas entrevistadas, com relação ao item limpeza pública, 812 tenham 
respondido ótimo, 545 bom, 172 regular, 66 ruim e 8 péssimo. Qual seria a nota para esse índice?
 
 
 
 
 
 
2. Se as respostas estivessem em outra ordem, ou seja, 8 ótimo, 66 bom, 172 regular, 545 ruim e 812 
péssimo, como ficaria a situação anterior? Será que esse índice seria tão bom assim?
 
 
 
 
 
 
 
56 | Estatística II 
3. Os índices divulgados pela empresa, com relação a essa pesquisa, para turistas estrangeiros, foram 
os seguintes (RIOTUR, 2005):
 
Limpeza pública – 3,9 Segurança pública – 3,8
Informações turísticas – 4,1 Diversão noturna – 4,4
Restaurantes – 4,4 Transporte urbano – 4,1
 Com base nessas informações, reflita:
a) O que significa a nota para segurança pública ter ficado em 3,8?
 
b) O que significa a nota para diversão noturna ter ficado em 4,4?
 
Referências
RIOTUR. Prefeitura divulga balanço do Carnaval 2005. Disponível em: <www.rio.rj.gov.br/riotur/pt/
pagina/?Canal=163&Pagina=365>. Acesso em: 6 mar. 2006.
SMAILES, Joanne. Estatística Aplicada à Administração com Excel. São Paulo: Atlas, 2002.
SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Makron, 1993.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Aplicada à Economia. São Paulo:Atlas, 2001.
57|Estatística II 
Gabarito
Atividades
1.
a) R$764,62.
b) R$420,00.
c) R$530,00.
d) R$681,54.
2.
Valor f F fr Fr
2,36 1 1 11% 11%
2,44 1 2 11% 22%
2,53 1 3 11% 33%
2,59 3 6 33% 66%
2,67 2 8 22% 88%
2,72 1 9 11% 99%
Total 0,0899 0,1007
 Média: 23,16 ÷ 9 = 2,57
 Moda: 2,59
 Mediana: 2,59 
3.
a) R$1.330,00.
b) R$1.250,00.
c) R$1.300,00.
4. Questão aberta.
5. 0,8%.
58 | Estatística II 
6.
a) R$16,73.
b) R$18,00.
c) R$17,00.
Autoavaliação
1. 4,3, que significa um valor entre bom e ótimo, mais voltado para “bom”.
2. 1,69, que significa um valor entre péssimo e ruim, mais voltado para “ruim”.
3.
a) Significa que o grau de satisfação ficou entre “regular” e “bom”, mais próximo de “bom”.
b) Significa que o grau de satisfação ficou entre “bom” e “ótimo”, praticamente no meio desse 
intervalo.
Resumo
As medidas de tendência central como média, moda e mediana nos for-
necem bons resultados quando os valores estudados não têm grandes 
variações entre si; porém, muitas vezes, elas podem não representar 
bem a amostra que temos.
Medidas de variabilidade 
para dados não agrupados
Simplificando a definição
Para simplificar a definição e justificar a necessidade das medidas de variabilidade, partiremos de 
uma situação bem simples. Veja:
Suponha que nos cinco primeiros dias de um certo mês o dólar comercial teve imensas variações 
e assumiu cinco distintos valores, conforme tabela abaixo:
Dia Valor do dólar em R$
1.º R$1,93
2.º R$1,98
3.º R$2,65
4.º R$2,74
5.º R$2,00
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
60 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Qual o valor médio do dólar nesses cinco dias?
 = 1,93 + 1,98 + 2,65 + 2,74 + 2,00 = 11,3 = 2,26
15 5 
Suponha, agora, outra situação:
No mês seguinte ao que citamos anteriormente, imagine que o dólar tenha assumido os se-
guintes valores:
Dia Valor do dólar em R$
1.º R$2,24
2.º R$2,25
3.º R$2,27
4.º R$2,28
5.º R$2,26
Fo
nt
e 
hi
po
té
tic
a.
Qual o valor médio do dólar nesses cinco dias?
 = 2,24 + 2,25 + 2,27 + 2,28 + 2,26 = 11,3 = 2,26
15 5 
Como você pôde perceber, em ambos os casos o dólar, nos cinco primeiros dias, teve o mesmo 
valor médio. Será que esses valores foram constantes nesse período? Para diferenciar situações como 
essas e tantas outras é que, em Estatística, utilizamos as medidas de variabilidade. São elas que, asso-
ciadas aos valores das medidas de tendência central, dão-nos uma noção da variabilidade da situação 
que estamos estudando.
A variância (σ2 ), o desvio padrão (σ) 
e a amplitude (A) para dados não agrupados (Xw )
A amplitude é a medida de variabilidade que nos diz em quanto os valores variaram; logo, é dada 
pela diferença entre o maior e o menor dos dados, assim:
A = Lmáx – Lmín
A variância (σ2) é uma medida de variabilidade que serve para calcularmos a média dos quadra-
dos dos valores afastados da média, ou seja, para uma população:
σ2 = ∑ (Xi – X )
2
n 
O símbolo “Σ” significa “somatório”, ou seja, soma dos termos.
61|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Importante
Quando o que temos não é uma população, mas apenas uma amostra (ou seja, uma parte 
da população), devemos utilizar um fator de correção, multiplicando o resultado da variância por 
um fator 
n 
n – 1 
. 
Para diferenciar o símbolo σ2 , que significa variância da população, utilizaremos o símbolo s2 para 
variância da amostra. Assim ficamos com:
Variância para uma população: σ2 = 
∑ (Xi – X )2
n
Variância para uma amostra da população: s2 = 
n
n – 1 . σ
2
Porém, essa não é uma medida de variabilidade muito utilizada. Em geral, a medida usada é o 
desvio padrão (σ) que significa o quanto, em média, os valores estão afastados do valor médio e, como 
podemos perceber, o desvio padrão (σ), por não ter o termo ao quadrado (σ2), é dado pela raiz quadrada 
da variância, ou seja:
Desvio padrão para uma população (ou seja, para todos os elementos envolvidos):
σ = ∑ (xi – x )2
n
Da mesma forma que na variância, o desvio padrão, para a amostra, deverá ser corrigido.
Para simplificarmos todas essas definições, calcularemos o desvio padrão para as duas situações 
trazidas no início desta aula (variação do dólar).
Dia Valor do dólar em R$
1.º R$1,93
2.º R$1,98 
3.º R$2,65
4.º R$2,74
5.º R$2,00
Para tanto, constrói-se uma tabela na qual colocaremos, em cada coluna, os valores que precisa-
mos até chegarmos à expressão ∑ (xi – x )2
n 
 :
Para a primeira situação:
xi xi – x= xi – 2,26 (xi – x )2
R$1,93 –0,33 0,1089
R$1,98 –0,28 0,0784
R$2,65 0,39 0,1521
R$2,74 0,48 0,2304
R$2,00 –0,26 0,0676
Somatório (Σ) 0,6374
62 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Dessa forma, podemos calcular a variância e, consequentemente, o desvio padrão para essa situação:
σ2 = 
∑ (Xi – X)2
n
σ2 = 0,6374
5
 = 0,12748
σ = 0,12748
Ou seja, em média, os valores dos cinco primeiros dias deste mês ficaram afastados da média 
(R$2,26) em 36 centavos (R$0,36), o que, como já era de se esperar, a partir dos valores assumidos nos 
cinco primeiros dias, é uma grande variação. Nota-se que o valor da variância não precisou ser corrigido, 
porque pegamos todos os valores dos cinco primeiros dias e calculamos a variação nesses dias; logo, a 
nossa população eram os dias 1.º a 5 do mês em questão.
E a amplitude, para esse caso, fica:
 A = 2,74 – 1,93
 A = 0,81
Para a segunda situação:
xi xi – x= xi – 2,26 (xi – x )2
R$2,24 –0,02 0,0004
R$2,25 –0,01 0,0001
R$2,27 0,01 0,0001
R$2,28 0,02 0,0004
R$2,26 0 0
Somatório (Σ) 0,001
Dessa forma, podemos calcular a variância e, consequentemente, o desvio padrão para essa situação:
σ2 = 
∑ (Xi – X )2
n 
σ2 = 0,001 = 0,0002
5 
σ = 0,0002 = 0,014 ≅ 0,01
Ou seja, em média, os valores dos cinco primeiros dias deste mês ficaram afastados da média 
(R$2,26) em pouco mais de um centavo (R$0,014), o que, como já era de se esperar, a partir dos valo-
res assumidos nos cinco primeiros dias, é uma baixíssima variação.
Também aqui, o que temos é uma população e não uma amostra, logo, é desnecessário o fator 
de correção.
σ2 = ∑(Xi - X )2
n 
63|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
E a amplitude fica:
 A = 2,28 – 2,24
 A = 0,04
Agrupando os conhecimentos
A tabela a seguir representa o ranking, por estado, dos maiores preços do litro da gasolina na 
segunda semana de janeiro de 2006. 
Fo
nt
e:
 A
N
P.
Estado Valor médio do litro da gasolina
Mato Grosso R$2,866
Roraima R$2,866
Acre R$2,847
Alagoas R$2,740
Mato Grosso do Sul R$2,691
Tocantins R$2,687
Rio Grande do Sul R$2,668
Podemos calcular:
O valor médio da gasolina nesses sete estados:
2,866 + 2,866 + 2,847 + 2,740 + 2,691 + 2,687 + 2,668
7
=
19,365
7
= 2,766
O valor modal: 2,866, pois é o que aparece mais vezes.
O valor mediano: 2,74, pois é o que divide, em duas partes iguais e em ordem crescente, os ele-
mentos da amostra.
A amplitude: A = 2,866 – 2,668 = R$0,198, ou seja, em todo o país, entre o maior e o menor preço, 
a gasolina, para essa pesquisa, varia em aproximadamente 20 centavos.
A variância e o desvio padrão, completando a tabela:
Estado Valor médio do litro da gasolina (xi)
(xi – x ) (xi – x )2
Mato Grosso R$2,866 0,1 0,01
Roraima R$2,866 0,1 0,01
Acre R$2,847 0,081 0,006561
Alagoas R$2,740 –0,026 0,000676
Mato Grosso do Sul R$2,691 –0,075 0,005625
Tocantins R$2,687 –0,079 0,006241
Rio Grande do Sul R$2,668 –0,098 0,009604
Σ 0,048707
64 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Variância: 
 
= 0,048707
7
= 0,006958σ2 = 
∑ (Xi – X )2
n
Desvio padrão: σ = variância = 0,006958= 0,0841 , ou seja, em média, o valor da gasolina, 
nos estados, está afastado da média (R$2,766) em 8,3 centavos, para mais ou para menos.
Concluindo e comparando
A partir das situações desenvolvidas anteriormente, podemos, ao compará-las, concluir algumas 
coisas.
Conforme estudamos, a média, sozinha, não consegue nos dar uma noção da variabilidade ::::
dos dados que estamos estudando. Por isso, o ideal é que ela venha acompanhada de alguma 
medida de tendência central, e a mais usada é o desvio padrão.
O desvio padrão nada mais é do que a média de quanto os valores que geraram a média estão ::::
afastados dela.
A amplitude também é uma medida de variabilidade importante, já que nos mostra em quan-::::
to os valores variaram.
Comparando os dados obtidos a partir das duas tabelas, facilmente percebe-se que quanto ::::
menor é a amplitude, menor é o desvio padrão, uma vez que ambos estão ligados à variabili-
dade da situação em estudo.
Dica
A planilha Excel também calcula o desvio padrão através do comando = DESVPADPA (CÉLULA 
INICIAL:CÉLULA FINAL), ou seja, digitamos em alguma célula o comando: DESVPADPA e, entre pa-
rênteses, separadas por dois pontos, as células onde iniciam e onde terminam os valores dos quais 
queremos calcular o desvio padrão. 
Como exemplo didático, utilizaremos outra situação para melhor entendermos a necessidade 
do coeficiente de variação desvio padrão, associado à medida de tendência central média.
Em duas classes distintas de Estatística, o professor, ao entregar as avaliações, comentou 
que as médias, em ambas as turmas, ficou em 7. Suponha que, nessas turmas, as notas tenham 
sido as seguintes:
7 7 6 8 6,5 7,5 8 6 7 7
7 6,5 8 7 7 6 8 6 7 7,5
Turma 0011 – Notas dos alunos na avaliação de Estatística
65|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Qual a média dessa turma?
X = 
7 + 7 + 6 + 8 + 6,5 + 7,5 + 8 + 6 + 7 + 7 + 7 + 6,5 + 8 + 7 + 7 + 6 + 8 + 6 + 7 + 7,5
20 
X = 
140 
= 7
20 
Logo, a média, para essa turma, é 7.
2 9 10 3 4,5 5,5 9 9,5 8,5 9
7 1,5 2,5 10 10 5 9 10 9,5 5,5
Turma 0012 – Notas dos alunos na avaliação de Estatística
Qual a média dessa turma?
Solução (botão):
X = 
2 + 9 + 10 + 3 + 4,5 + 5,5 + 9 + 9,5 + 8,5 + 9 + 7 + 1,5 + 2,5 + 10 + 10 + 5 + 9 + 10 + 9,5 + 5,5
20 
X = 
140 
= 7
20 
Logo, a média, para essa turma, também é 7.
Como você pôde perceber, ambas as turmas tiveram médias iguais a 7, porém, na primeira, 
todos os alunos tiveram suas notas próximas de sete e, na segunda, houve uma grande variabilida-
de nas notas obtidas. O que diferenciará uma situação da outra será o desvio padrão. Veja como é 
simples realizar esse cálculo em uma planilha eletrônica. Aqui utilizaremos a Excel, por ser a de uso 
mais comum.
Para facilitar os procedimentos aqui utilizados, usaremos a primeira coluna da planilha como início.
Primeiro passo: digita-se, na primeira coluna, todas as notas dos alunos.
Segundo passo: digita-se, na primeira célula da segunda coluna (b1), o símbolo de igualdade 
( = ) que é o que “avisa” ao Excel que está se inserindo uma fórmula, seguido da expressão “7-a1” (sem 
as aspas), que quer dizer que queremos diminuir o valor sete (que é a média) do primeiro elemento 
digitado (a1).
Terceiro passo: clica-se nessa célula (aparecerá o resultado dessa operação) e, pelo canto inferior 
direito da célula b1, puxam-se as células até a última linha digitada (nesse exemplo, a linha a20). Esses 
são os valores calculados da operação (Xi – X )2.
Quarto passo: na terceira coluna (célula c1), elevam-se os elementos da coluna “b” ao qua-
drado, ou seja, na célula c1 digitamos “=b1^2” (sem as aspas). Para a planilha Excel, o símbolo “^” 
quer dizer potência e, portanto, “^2” quer dizer elevado à segunda potência. Puxa-se, pelo canto 
inferior direito da célula c1, até a última linha digitada (célula c20). Esses são os valores calculados 
da operação (Xi – X )2.
66 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Quinto passo: clica-se abaixo da última célula digitada, nesse caso, a célula c21 e, na parte cen-
tral superior do Excel, no símbolo Σ. Ele fará a soma de todos os elementos, na mesma coluna, acima 
dessa célula. Veja:
Ok! Esse é o valor de (Xi – X )2. Agora, para calcularmos o desvio padrão, basta dividirmos esse 
valor por 20 e tirarmos a raiz quadrada. Assim:
σ2 = ∑ (Xi – X )
2
n 
σ2 = 9 = 0,45
20
σ = 0,45 = 0,67
O que quer dizer que, em média, as notas dessa turma estão afastadas da média em aproximada-
mente 0,7 (sete décimos), que é uma baixa variação.
Atividades
1. Os valores abaixo indicam o número de imóveis vendidos por um corretor nos últimos cinco 
meses de um determinado ano.
Agosto: 8 imóveis Setembro: 6 imóveis
Outubro: 12 imóveis Novembro: 10 imóveis
Dezembro: 8 imóveis
67|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
 A partir desses valores, construa uma planilha de frequências e calcule:
a) a média dessa população;
b) o valor modal;
c) a variância;
d) o desvio padrão;
e) e interprete o desvio padrão;
f) a amplitude;
g) e interprete a amplitude.
Ampliando conhecimentos
Procure analisar com cuidado todos os conceitos estudados, entendendo a diferença e a impor-
tância entre cada medida de variabilidade e onde cada uma delas melhor se aplica. Faça todos os exercí-
cios e, em caso de dúvidas, retome os conceitos estudados. No livro Estatística Aplicada à Administração, 
das professoras Joane Smailes e Angela McGrane, vocês encontrarão, para complementar nosso mate-
rial de estudo, uma grande quantidade de aplicações e definições.
SMAILES, Joane; McGRANE, Ângela. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Atlas, 2002.
Autoavaliação
1. Em uma pesquisa de mercado descobriu-se que, em certa região, os valores cobrados na entrada 
de eventos semelhantes eram os seguintes:
Local Valor cobrado
Evento x R$23,00
Evento y R$25,00
Evento k R$28,00
Evento z R$23,00
Evento p R$27,00
 A partir desses dados pergunta-se:
a) Qual a amplitude dessa amostra?
b) Qual a variância?
c) Qual o desvio padrão? (lembre-se que se trata de uma amostra).
68 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
2. Em um rígido controle de qualidade, desejava-se saber a variabilidade do diâmetro de certos 
grãos de ervilha. Para tanto, com um paquímetro de precisão, mediram-se, aleatoriamente, 20 
grãos. Os resultados obtidos seguem na tabela abaixo:
5 4 5 5,5 5 4,5 6 6 4 5
4,5 4,5 5 4 5 4,5 5 5,5 5 4,5
A partir dos dados anteriores, obtenha:
a) a amplitude;
b) a variância;
c) o desvio padrão.
Referências
PEREIRA, Wilson; TANAKA, Oswaldo K. Estatística: conceitos básicos. São Paulo: McGraw-Hill, 1990.
SMAILES, Joane; McGRANE, Ângela. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Atlas, 2002.
SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Makron, 1993.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Aplicada à Economia. São Paulo: Atlas, 2001.
69|Medidas de variabilidade para dados não agrupados
70 | Medidas de variabilidade para dados não agrupados
Gabarito
Atividades
1. a) 8,8.
b) 8.
c) 4,16.
d) 2,04.
e) Em geral, a quantidade média de vendas ficou afastada da média em aproximadamente 2 
imóveis.
f ) 6 imóveis.
g) A diferença entre o maior e o menor valor de imóveis vendidos foi de 6 imóveis.
Autoavaliação
1. a) A = R$5,00.
b) s2 = 5,2.
c) s = 2,28.
2. a) A = R$2,00.
b) s2 = 0,34.
c) s = 0,58.
Resumo
Quando temos um volume muito grande de dados ou uma variabilidade 
excessiva entre eles, em geral agrupamos esses valores em uma tabela 
de frequências chamada distribuição de frequências para dados agrupa-
dos ou distribuição de frequências por intervalo. 
Trabalhando com 
dados agrupados
Construindo a tabela de frequência
 Para construirmos a tabela, definiremosalgumas novas variáveis:
Limite inferior da distribuição de frequências (Li): é o menor valor da nossa população ou amostra.::::
Limite superior da distribuição de frequências (Ls): é o maior valor da nossa população ou amostra.::::
Amplitude total da distribuição de frequências (H): é a diferença entre os limites superior e ::::
inferior: Ls – Li
Número de classes:::::
k = n, em que n = número de elementos da amostra 
5 ≤ k ≤ 20
72 | Trabalhando com dados agrupados
Como o valor de “k”, na maioria das vezes, não é um valor inteiro, na construção da tabela, decidi-
mos se o valor menor ou o maior é o que mais se adapta.
Observação importante:::: :
Na construção da tabela de frequências para dados agrupados, em cada classe, os valores in-
cluem o valor inferior e não o superior e o intervalo é separado pelo símbolo “ |– “. Assim, quando 
falamos, por exemplo, no intervalo 140 |– 150, significa que estamos nos referindo a valores entre 140 
e 150, incluindo valores maiores ou iguais a 140, mas menores do que 150.
Na última classe, se o elemento do limite superior coincidir com um elemento que exista na clas-
se, utilizamos o símbolo “|–|”.
Para simplificar e tornar essas definições mais simples, representaremos em uma tabela de fre- 
quências para dados agrupados a situação que segue:
Os dados abaixo representam o valor dos aluguéis de uma amostra de 30 casas de um bairro de 
classe média de uma determinada cidade. 
420 500 480 490 500 400 480 500 400 660
460 600 400 520 470 610 540 400 620 400
570 600 480 400 500 560 440 590 500 670
Como são muitos valores, e com uma grande variabilidade, ficaria bastante complicado fazermos 
a distribuição em um tabela de frequências padrão. Dessa forma, faremos, passo a passo, a construção 
de uma tabela de frequências para dados agrupados.
1.º passo) Determinamos o número de classes, que será o número de linhas que nossa tabela 
terá.
 k = 30 ≅ 5,47 ≅ 5
Portanto, teremos 5 classes. Para essa situação, também poderíamos ter usado 6 classes, já que o 
valor ficou praticamente entre 5 e 6.
2.º passo) Amplitude total: é a variação total dos dados da nossa amostra.
H = Ls – Li
H = 670 – 4
H = 270 
3.º passo) Amplitude da classe: é o intervalo de variação dentro de cada uma das classes.
h = 
H
k 
h = 270 = 54
5 
Dessa forma, nossos valores, em cada classe, variarão a cada 54 unidades.
4.º passo) Ponto médio da classe: é o valor que representa a classe, que é dado pela média entre o 
limite inferior e superior de cada classe:
 
Xi = Lii + Lsi
2 
73|Trabalhando com dados agrupados
5.º passo) Frequências e frequências acumuladas.
São obtidas da mesma forma que na distribuição de frequências.
Veja como fica a tabela:
Aluguel (R$) Ponto médio Frequência absoluta
Frequência 
absoluta 
acumulada
Frequência 
relativa
Frequência 
relativa 
acumulada
400 |- 454 427 8 8
8 = 0,27
30 
8 = 0,27
30 
454 |- 508 481 11 19
11 = 0,37
30 
19 = 0,63
30 
508 |- 562 535 3 22
3 = 0,10
30 
22 = 0,73
30 
562 |- 616 589 5 27
5 = 0,17
30 
27 = 0,90
30 
616 |-| 670 643 3 30 3 = 0,10
30 
 30 = 1
30 
Dessa forma, em uma tabela como essa, podemos facilmente visualizar informações por interva-
los. Por exemplo, podemos dizer que existem 11 casas com aluguéis entre R$454,00 e R$508,00, ou ainda 
que 17% dos aluguéis variam entre R$562,00 e R$616,00.
Medidas de tendência central para dados agrupados: 
a média, a moda e a mediana
A média aritmética para dados agrupados (X)
Para calcularmos a média aritmética para dados agrupados, multiplicamos o valor médio de cada 
classe pela frequência da classe, somamos esses valores e dividimos pelo número de elementos da 
amostra, ou seja:
= 
∑Xi .
 ∑fi 
x
 
(média da amostra)
 =
 ∑fi . xi
N 
(média da população)
74 | Trabalhando com dados agrupados
Veja o cálculo da média para a situação anterior:
Aluguel (R$) Ponto médio (xi) Frequência absoluta (fi) fi . xi
400 |– 454 427 8 3.416
454 |– 508 481 11 5.291
508 |– 562 535 3 1.605
562 |– 616 589 5 2.945
616 |–| 670 643 3 1.929
30 15.186
 
= 
∑Xi . fi = 
15.186
= R$506,20
 ∑fi 30
x
Esse valor (R$506,20), como é calculado a partir da média de cada classe, não oferece o valor 
exato da média, mas, para dados agrupados, é uma excelente estimativa.
A moda para dados agrupados (Mo)
Quando temos valores agrupados, não conseguimos dizer qual é o valor modal, mas sim a que 
classe ele pertence (chamamos de grupo modal), pois se verifica qual a classe em que está concentrada 
a maior quantidade de elementos. Para a situação anterior, podemos dizer que o grupo modal é a se-
gunda classe, ou seja, está entre R$454,00 e R$508,00, pois essa é a classe que tem o maior número de 
elementos.
A mediana para dados agrupados (Md)
De uma maneira geral, para dados agrupados, não se obtém o valor da mediana, mas sim a classe 
em que ela se encontra. Como se sabe, a mediana nada mais é do que o elemento que divide, em ordem 
crescente, a amostra em duas partes iguais. Assim, para calcularmos a posição da mediana, somamos “1” 
ao número de elementos e dividimos o resultado por 2, ou seja:
Posição da mediana = ∑fi +1
2 
Para a situação que estamos estudando (aluguéis):
Posição da mediana = 
30 +1 
= 15
2 
 ou seja, a mediana se encontra entre o 15.º e o 16.º elemento, 
que está na segunda classe, pois na primeira têm-se os oito primeiros e na segunda, do 9.º ao 19.º.
75|Trabalhando com dados agrupados
Medidas de variabilidade para dados agrupados: 
a variância, o desvio padrão e a amplitude total 
A variância (σ2) e o desvio padrão (σ) para dados agrupados 
A expressão matemática para o cálculo da variância de uma população para dados agrupados é:
σ2 = 
 ∑fi . (Xi)2 – 
 ∑fi . Xi 
2 
n n 
(variância para a população)
E, da mesma forma que para os dados não agrupados, a variância para a amostra fica:
s2 = 
n
 . σ2
n – 1 
Ou ainda:
 σ2 = 
 ∑fi . (Xi)2 – . n
n – 1
 
 ∑fi . Xi 
2 
n n 
 (variância para a amostra)
Dessa forma, vamos calcular a variância e o desvio padrão da tabela anterior, apenas acrescentado 
a última coluna já que fi . xi
2 é o mesmo que multiplicar a coluna fi . xi por xi.
Aluguel (R$) Ponto médio (xi) Frequência absoluta (fi) fi . xi
fi . xi . xi = 
fi . xi
2
400 |– 454 427 8 3.416 1 458 632
454 |– 508 481 11 5.291 2 544 971
508 |– 562 535 3 1.605 858 675
562 |– 616 589 5 2.945 1 734 605
616 |–| 670 643 3 1.929 1 240 347
Σ 30 15.186 7 837 230
Assim:
σ2 = 
 ∑fi . (Xi)2 – = 7 837 230
n – 1
 
 ∑fi . Xi 
2 
n n 
 – 
15 186
2 
30 = 261 241 – 256 238,44 = 5 002, 56
Como temos uma amostra, utilizaremos o fator de correção:
s2 = 
n
n – 1
 . σ2 = 
30
30 – 1
 . 5 002, 56 = 1,03448 . 5 002,56 = 5 175, 06
76 | Trabalhando com dados agrupados
O desvio padrão fica:
 s = 5 175,06 = 71,94
A amplitude será dada pela diferença entre o maior e o menor valor dos nossos dados tabulados. 
Para a situação estudada:
A = 670 – 400 = 270
Vamos analisar outra situação.
O quadro abaixo representa a distribuição dos salários dos empregados de uma determinada 
empresa:
Salário (R$) Número de empregados
600 |– 900 20
900 |– 1.200 25
1.200 |– 1.500 15
1.500 |– 1.800 12
1.800 |– 2.100 6
A partir da tabela anterior, vamos analisar algumas questões.
A amplitude de cada classe é igual a 300, pois os valores por classe variam de 300 em 300.::::
A amplitude total é de 1.500, pois é a diferença entre o maior e o menor salário.::::A posição da mediana será dada por N = :::: 
 n + 1 = 
 78 + 1 = 39,5
2 2
, ou seja, entre o 39.º e o 40.º 
elementos, que estão, ambos, na segunda classe.
Como exemplo de tabelas que simplificam uma rápida análise, podemos dizer facilmente ::::
que 25 empregados recebem salários entre R$1.200,00 e R$1.500,00, mas 45 deles recebem 
até R$1.200,00, que é o limite superior da segunda classe.
Como você pôde perceber, em geral, utilizamos tabelas para simplificar e melhor demonstrar 
determinados dados e informações. A Estatística, dessa forma, também se preocupa em como distribuir 
e organizar melhor essas informações.
77|Trabalhando com dados agrupados
Atividades
 Os dados a seguir referem-se aos valores, em R$, cobrados por m2, de 20 terrenos de uma 
determinada rua.
151 160 161 143 165 130 145 152 170 168
165 153 144 158 140 145 144 160 155 147
 A partir desses dados, obtenha:
1. Uma planilha de dados agrupados.
 
 
 
2. A partir da tabela construída, a média, a variância e o desvio padrão dessa população.
 
 
 
Ampliando conhecimentos
Procure construir com cuidado as tabelas de frequência e analisar os valores encontrados para as 
medidas de variabilidade de maneira crítica. Eles devem ser coerentes com os valores da população ou 
da amostra. Caso tenha dúvidas, praticamente todos os livros de Estatística, principalmente os que são 
aplicados à administração de empresas, trazem esses conceitos.
78 | Trabalhando com dados agrupados
Autoavaliação 
1. Obtenha o salário médio dos funcionários da situação citada anteriormente.
Salário (R$) Número de empregados
600 |– 900 20
900 |– 1.200 25
1.200 |– 1.500 15
1.500 |– 1.800 12
1.800 |– 2.100 6
 
2. A seguir analisamos as notas de 20 alunos de duas turmas de Estatística.
 Turma 0011 – Notas dos alunos na avaliação de Estatística
7 7 6 8 6,5 7,5 8 6 7 7
7 6,5 8 7 7 6 8 6 7 7,5
 Turma 0012 – Notas dos alunos na avaliação de Estatística
2 9 10 3 4,5 5,5 9 9,5 8,5 9
7 1,5 2,5 10 10 5 9 10 9,5 5,5
 A partir dessas duas tabelas, construa a tabela de frequências para dados agrupados, a média, a 
classe mediana, a classe modal, a variância e o desvio padrão. Compare as médias dessas duas 
turmas e disserte sobre a importância do desvio padrão para diferenciar essas duas situações.
Turma 0011
 
 
 
 
 
79|Trabalhando com dados agrupados
Turma 0012
 
 
 
 
 
Referências
PEREIRA, Wilson; TANAKA, Oswaldo K. Estatística: conceitos básicos. São Paulo: McGraw-Hill, 1990.
SMAILES, Joane; McGRANE, Ângela. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Atlas, 2002.
SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Makron, 1993.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Aplicada à Economia. São Paulo: Atlas, 2001.
80 | Trabalhando com dados agrupados
Gabarito 
Atividades 
1. k = 5
 H = 170 – 130 = 40
 h = 8
R$ xi fi Fi fri Fri fi . xi fi . xi
2
130 |– 138 134 1 1 0,05 0,05 134 17 956
138 |– 146 142 6 7 0,3 0,35 852 120 984
146 |– 154 150 4 11 0,2 0,55 600 90 000
154 |– 162 158 5 16 0,25 0,8 790 124 820
162 |– 170 166 4 20 0,2 1 664 110 224
Σ 3.040 463 984
2. Média = 152.
 Variância = 95,20.
 Desvio padrão = 9,76.
Autoavaliação
1. Salário médio: R$1.192,31.
2. Turma 0011
 k = 4,47 = 5 classes, já que 5 k 20
 H = 8 – 6 = 2
 h = 
5 
2 
 = 0,4
 Média x = 
 140
 
= 7
20 
81|Trabalhando com dados agrupados
 Variância: 
20 20 
s2 = 985,76 – 
140
= 49,88 – 49 = 0,288
2
Desvio padrão (população) s = 0,288 = 0,54
Classe mediana = entre o 10.° e o 11.° elemento, ou seja, na 3.ª classe.
Nota (xi) fi Fi fri Fri fi . xi fi . xi
2
6 |– 6,4 6,2 4 4 0,20 0,20 24,8 153,76
6,4 |– 6,8 6,6 2 6 0,10 0,30 13,2 87,12
6,8 |– 7,2 7 8 14 0,40 0,70 56 392
7,2 |– 7,6 7,4 2 16 0,10 0,80 14,8 109,52
7,6 |–| 8 7,8 4 20 0,20 1,00 31,2 243,36
20 140 985,76
Classe modal = 3.ª classe
Turma 0012:
K = 4,47 = 5 classes, já que 5 ≤ k ≤ 20 
H = 10 – 1,5 = 8,5
 
Nota (xi) fi Fi fri Fri fi . xi fi . xi
2
1,5 |– 3,2 2,35 4 4 0,20 0,20 9,4 22,09
3,2 |–4,9 4,05 1 5 0,05 0,25 4,05 16,4025
4,9 |– 6,6 5,75 3 8 0,15 0,40 17,25 99,1875
6,6 |– 8,3 7,45 1 9 0,05 0,45 7,45 55,5025
8,3 |–| 10 9,15 11 20 0,55 1,00 100,65 920,9475
Σ 138,8 1114,13
Média x = 
 ∑f . xi = 
 138,8
 = 
 
6,94
n 20 
Variância:
20 
σ2 = 
1 114,13
 –
20 
138,8
= 55,71 – 48,16 = 7,54
2
Desvio padrão (população) σ = 7,54 = 2,75
k 
h = 
H 
5 
h = 
8,5 
= 1,7
 
82 | Trabalhando com dados agrupados
Classe mediana = entre 0, 10.o e 11.o elementos, ou seja, na 5.ª classe.
Classe modal = 5.ª classe.
Como se pôde perceber, ambas as turmas tiveram médias muito próximas, a turma 0011, com 
média 6,96 e a turma 0012 com média 6,94, porém desvios padrão completamente distintos, o que se 
percebe facilmente pela grande dispersão dos valores da segunda turma em torno da média.
Resumo
Estudaremos aqui conceitos ligados a juros simples, bem como as situa-
ções em que eles são utilizados.
Quando falarmos em juros simples, estamos nos referindo a uma remu-
neração paga unicamente sobre o capital inicial. A remuneração, por-
tanto, é fixa e a taxa é chamada proporcional, uma vez que varia line-
armente ao longo do tempo. No Brasil, os juros simples são aplicados, 
geralmente, apenas em situações em que o tempo de pagamento/atra-
so é muito pequeno ou em situações em que não se incide a inflação (o 
que não é o nosso caso). Dessa forma, estudaremos juros simples muito 
mais para nos ambientarmos a situações financeiras do que para reais 
aplicações. 
Introdução à Matemática 
Financeira: juros simples
Noções básicas 
Veja o boleto bancário que exemplifica a situação descrita anteriormente.
84 | Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Banco ABC n.° 111 Local de Pagamento: até o vencimento em qualquer banco, 
até 20 dias após o vencimento pagável somente nas agências 
do banco ABC.
Vencimento: 
10/12/2006
Parcela 
003
DOC
 00126
Agência:
299/009
Vencimento: 
10/12/2006
Após o vencimento acrescer ao valor do documento taxa de 
permanência de 0,25% ao dia mais multa de R$7,58. 
Não receber após 20 dias do vencimento.
Valor do 
documento:
R$490,00
Agência: 
299/009
Descontos:
Valor do documento:
R$490,00
Mora/Multa:
Sacado:
Fulano de Tal
Sacado:
Fulano de Tal
Rua Sem Nome, Número 000, Bairro Sem Nome
CEP: 00000-000
Valor final:
Nele, podemos notar uma aplicação de juros simples, uma vez que os juros são cobrados unicamente 
sobre o capital, não havendo a tão falada situação de juros compostos (os conhecidos “juros sobre juros”).
No Brasil, a prática da cobrança de juros compostos é muito comum, embora a prática do anatocis-
mo1 seja proibida2. Para “driblar” essas situações, as instituições financeiras cobram juros de mora (fixos) e 
multas, limitando o atraso no pagamento em poucos dias e “renegociando” os valores acima desse prazo, 
ou ainda, transformam os juros compostos em simples e cobram, dessa forma, o valor, em juros simples, 
relativo aos juros compostos.
Cálculo dos juros simples (J)
Antes de iniciarmos nosso estudo, iremos definir algumas notações bastante utilizadas em cálcu-
los financeiros. Veja:
J = juros
VP = valor presente, atual ou ainda capital
VF = valor futuro ou montante 
i = taxa de juros
n = período 
1 Cobrança de juros sobre juros em períodos inferiores a um ano.
2 Decreto 22.626, de 7 de abril de 1933 e também utilizado no novo Código Civil.
85|Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Imagine que, para o boleto bancário mostrado anteriormente,o devedor atrase em 18 dias o pa-
gamento. Qual o valor a ser pago? Procure calcular antes de verificar a solução abaixo.
Solução:
 Juros por 1 dia de atraso:
 J = 490 . 
0,25
 = 490 . 0,00025 = R$1,225
100
 Juros por 18 dias de atraso:
 R$1,225 . 18 dias = R$22,05
Ou ainda:
 J = 490 . 
0,25
 .18 dias = R$22,05
100
Como você pôde perceber, para calcularmos juros simples, basta fazermos o produto entre o 
capital (VP), a taxa (em valor decimal) e o tempo (em uma mesma unidade que a taxa). Dessa forma, 
claramente percebe-se que a expressão para o cálculo de juros simples é:
J = VP . i . n
Veja outra situação:
Um capital de R$500,00 foi aplicado a juros simples durante 4 meses, a uma taxa de 1% a.m.
Veja como podemos explorar a situação anterior:
VP = 500
i = 1% = 0,01
n = 4
J = VP . i . n
J = 500 . 0,01 . 4
J = 20
Os juros são todos iguais a cada mês, pois são colocados sobre o mesmo valor (500), que é o ca-
pital inicial. Esses juros podem ser retirados no final de cada mês ou no fim de 4 meses que o total será 
o mesmo, ou seja, 20.
Os juros (20) são divididos da seguinte forma:
86 | Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Importante
Devemos sempre ter o cuidado de utilizar a taxa de juros e o período em uma mesma unidade 
de tempo. Tratando-se de juros simples, basta multiplicarmos ou dividirmos diretamente valores para 
obtermos essa relação. Veja dois exemplos:
Taxa de 15% a.m. é o mesmo que
se o período estiver em dias:::::
 15 ÷ 30 = 0,5% a.d.
se o período estiver em anos:::::
 15 . 12 = 180% a.a.
3 meses é o mesmo que
se a taxa estiver em dias:::::
 3 . 30 = 90 dias
se a taxa estiver em anos:::::
 3 ÷ 12 = 0,25 anos
Dessa forma, quando temos juros com taxas mensais, nosso período tem de ser em meses; se a 
taxa for diária, o período tem de ser em dias e assim por diante.
Cálculo do valor futuro ou montante (VF)
Chamamos de valor futuro ou montante o capital (VP) acrescido de seus juros (J). Para a situação 
do boleto bancário que tínhamos, o valor futuro seria o valor do título (R$490,00) mais os juros calcula-
dos (R$22,05), que resultaria em R$512,05.
Assim, temos:
 VF = VP + J
 Como J = VP . i . n, podemos escrever
 VF = VP + VP . i . n e, colocando VP em evidência, temos:
VF = VP . (1 + i . n)
Essa é a expressão matemática para o cálculo de juros simples.
Para o boleto bancário que tínhamos, o cálculo ficaria:
VF = VP . (1 + i . n)
VF = 490 . (1 + 0,0025 . 18)
VF = 490 . 1,045
VF = 512,05
87|Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Considerações importantes
Notações de unidades::::
a.m. = taxa ao mês
a.b. = taxa ao bimestre (2 meses)
a.t. = taxa ao trimestre (3 meses)
a.s. = taxa ao semestre (6 meses)
a.a. = taxa ao ano (12 meses)
Juros simples comercial e juros simples exato::::
Quando falamos em juros simples comercial, estamos nos referindo à taxa de juros em um ano 
de 360 dias, e quando nos referimos a juros simples exato, estamos nos referindo a um ano de 365 
dias ou 366 dias (se bissexto). Nesta disciplina contemplaremos apenas os juros simples comercial, ou 
seja, utilizaremos meses de 30 dias e anos de 360 dias.
Transformando algumas taxas::::
Ex.: Uma taxa de 10% ao mês equivale a qual porcentagem em 1 bimestre?
 Solução:
 1 bimestre = 2 meses
Considerando-se que temos 10% em um mês, em um bimestre teremos o dobro (1 bimestre = 
2 meses), portanto:
 10% a.m. = 20% a.b.
 
Ex.: Uma taxa de 10% ao mês equivale a qual porcentagem em 1 ano?
 Solução:
 1 ano = 12 meses
Considerando-se que temos 10% em um mês, em um ano teremos 12 vezes essa taxa (1 ano = 
12 meses), portanto:
 10% a.m. = 120% a.a.
 
Ex.: Uma taxa de 60% ao semestre equivale a qual porcentagem ao mês?
 Solução:
 1 semestre = 6 meses
Considerando-se que temos 60% em um semestre, em um mês teremos 1/6 desse valor 
(1 semestre = 6 meses), portanto:
 60% a.s. = 10% a.m.
 
88 | Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Ex.: Uma taxa de 30% ao trimestre equivale a qual porcentagem ao mês?
 Solução:
 1 trimestre = 3 meses
Considerando-se que temos 30% em um trimestre, em um mês teremos 1/3 desse valor 
(1 trimestre = 3 meses), portanto:
 30% a.t. = 10% a.m.
 
Exercício comentado
Qual o montante do capital de R$80,00 no final de 3 meses e 17 dias a uma taxa de 18 % a.a. de 
juros simples?
Solução:
 Podemos deixar, por exemplo, todas as variáveis em função de dias. Veja:
3 meses e 17 dias podem ser escritos como 107 dias (3 meses = 90 dias)::::
18% a.a. = 18% ÷ 360 = 0,05% a.d. = 0,0005 a.d.::::
VF = VP . (1 + i . n)::::
VF = 80 . ( 1 + 0,0005 . 107)
VF = 84,28
Capitalizando e descapitalizando capitais
Sempre que tivermos valores a serem comparados em negócios financeiros, devemos compará-los 
em um mesmo tempo (em geral no chamado tempo presente), e para fazê-lo, devemos capitalizar (cal-
cular o seu valor no futuro) ou descapitalizar (calcular o seu valor no dia de hoje). 
Para juros simples, na expressão para o valor futuro é VF = VP . (1 + i . n), o fator capitalizante/ 
descapitalizante é (1 + i . n). Ou seja, para levarmos esse valor para uma data futura, multiplicamos por 
(1 + i . n) e para trazermos de uma data futura para o dia de hoje dividimos por essa parcela.
Seu José, ao colocar à venda seu imóvel, recebeu três propostas distintas:
1.ª proposta) R$78.000,00 à vista.
2.ª proposta) R$81.000 para 60 dias.
3.ª proposta) R$40.000 à vista e dois pagamentos de R$20.000,00 para 45 e 90 dias, respectivamente.
89|Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Qual a melhor proposta, se para Seu José o dinheiro pode ser aplicado à taxa de 2% a.m. de juros 
simples?
Solução:
Para podermos comparar a melhor proposta, devemos, inicialmente, trazer todos os valores para 
o dia de hoje (descapitalizá-los).
Observações:
 Taxa de juros: 2% = 0,02
 Períodos:
 30 dias = 1 mês
 45 dias = 45 ÷ 30 = 1,5 meses
 90 dias = 90 ÷ 30 = 3 meses
1.ª proposta: R$78.000,00 à vista
2.ª proposta:
 VP = 
81.000
 
= 
 81.000 = R$77.884,62
(1 + 0,02 . 2) 1,04
Esse valor corresponde ao valor de R$80.000,00 se pago à vista.
3.ª proposta:
 Descapitalizando os R$20.000,00 dos 45 dias:
 VP = 20.000
 
= 20.000 = R$19.417,48
(1 + 0,02 . 1,5) 1,03
 Descapitalizando os R$20.000,00 dos 90 dias:
 VP = 20.000
 
= 20.000 = R$18.867,92
1 + 0,02 . 3 1,06
 Valor final = R$40.000,00 + R$19.417,48 + R$18.867,92 = R$78.285,40
Esse valor corresponde a R$40.000,00 à vista, mais as duas parcelas de R$20.000,00.
Então, a melhor proposta para Seu José é a terceira, uma vez que a primeira proposta representa, 
hoje, R$78.000,00, a segunda R$77.884,62 e a terceira R$78.285,40.
Como você pôde perceber, realizar cálculos com juros simples é bastante fácil, porém, devemos 
sempre ter o cuidado de manter taxa e período em uma mesma unidade de tempo: taxa em meses, 
período em meses; taxa ao dia, período em dias, e assim por diante.
90 | Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Atividades
1. Determinar os juros simples do capital de R$300,00 aplicado à taxa de 24% a.a. durante 2 meses 
e 28 dias.
 
2. O capital de R$200,00 foi aplicado a juros simples durante 4 meses, resultando no montante de 
R$232,00. Qual a taxa de juros simples mensal da operação?
 
3. Um investidor possui um capital de R$28.000,00 e vai aplicá-lo a juros simples da seguinte forma: 
30% à taxa de juros de 6% a.m. e o restante à taxa de juros de 5% a.m. Qual será o montante da 
aplicação após 4 meses?
 
4. O capital de R$290,00 foi aplicado a juros simples durante 9 meses. Se a taxa dos primeiros 3meses foi de 8% a.m. e no período restante foi de 11% a.m., calcule o valor do montante.
 
5. O capital de R$200,00 foi investido a juros simples à taxa de 7,5% a.m. Após certo prazo a taxa foi 
majorada para 10% a.m. O montante, 4 meses após a majoração, foi de R$370,00. Qual o prazo 
total da aplicação?
 
6. O capital de R$400,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m. Após um semestre a taxa 
foi majorada, ficando durante 3 meses com esse valor. Se o montante no final de 9 meses foi 
R$568,00, qual a taxa no segundo período?
Ampliando conhecimentos
Procure exercitar os conceitos estudados e retomá-los sempre que necessário. Um efetivo apren-
dizado sobre conceitos de juros simples será fundamental durante toda a disciplina e no aprendizado 
de conceitos posteriores. Caso queira uma bibliografia complementar, o livro do professor Fábio Kruse, 
Matemática Financeira – conceitos e aplicações com o uso da HP-12C, traz uma série de aplicações e 
exercícios resolvidos sobre juros simples.
91|Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Autoavaliação 
1. Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$3.000,00, aplicado durante 1 ano a uma 
taxa de 1,8% a.m. de juros simples.
 
2. Um capital de R$500,00 produziu em um semestre um montante de R$590,00. Qual a taxa de 
juros simples mensal aplicada?
 
3. O preço à vista de um produto é R$480,00. O mesmo pode ser pago com uma entrada de 25%, 
mais um cheque pré-datado de R$381,60. Determine o prazo do cheque, sabendo que a taxa 
mensal de juros simples é de 4% a.m.
 
4. O capital de R$400,00 foi colocado à taxa de 20% a.a. durante 9 meses. Determine os juros 
simples.
 
5. Qual o montante do capital de R$80,00 no final de 3 meses e 17 dias a uma taxa de 18% a.a. de 
juros simples?
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003.
92 | Introdução à Matemática Financeira: juros simples
Gabarito 
Atividades
1. R$17,60.
2. 4% a.m.
3. R$33.936,00.
4. R$551,00.
5. 10 meses.
6. 6% a.m.
Autoavaliação
1. R$648,00.
2. 3% a.m.
3. 45 dias.
4. R$60,00.
5. R$84,28.
Resumo
Nesta aula, falaremos sobre desconto simples, que se trata de um aba-
timento efetuado pela antecipação do pagamento de uma dívida em 
relação à data do vencimento.
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal 
que entregue ao credor um “título de crédito”, que é o comprovante dessa 
dívida.
Todo o título de crédito tem uma data de vencimento, porém, o devedor 
pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento 
denominado desconto. Estudaremos aqui dois tipos principais de des-
contos: o racional (ou por dentro) e o comercial (ou por fora).
Desconto simples
Definição – Operações de desconto
Temos duas principais situações em que aparecem operações de desconto:
quando o devedor efetua o pagamento antes do vencimento, ou seja, antecipa a quitação de ::::
sua dívida;
quando o credor necessita do dinheiro antes da data predeterminada, ou seja, a pessoa que ::::
emprestou certa quantia solicita o pagamento total ou parcial do valor emprestado antes da 
data combinada.
94 | Desconto simples
Existem algumas notações importantes para continuarmos nosso estudo sobre títulos. Veja:
Valor nominal
Também chamado de valor futuro ou valor de face. É o valor do título na data do seu vencimento.
Valor atual
Também chamado de valor presente ou valor líquido. É o valor do título quando ele é resgatado 
antecipadamente à data do seu valor nominal, tendo, assim, um valor inferior.
Conforme foi visto, em geral, temos dois principais tipos de desconto, o racional e o comercial. 
Veremos, então, como funciona cada um deles.
Desconto racional (DR) ou por dentro (taxas de juros) 
e o desconto nominal ou por fora
O desconto racional ou por dentro equivale aos juros simples calculados sobre o valor atual (VA) 
do título; temos, portanto, uma taxa de juros (i).
DR = VA . i . n
Dessa forma, para o cálculo do valor nominal de um desconto racional simples podemos utilizar 
uma expressão semelhante ao cálculo do valor futuro, veja:
VN = VA . (1 + i . n)
95|Desconto simples
Isolando VA, teremos:
 (1 + i . n) 
VA = 
VN 
O desconto comercial ou por fora equivale aos juros simples calculados sobre o valor nominal (N) 
do título. Aplicando-se uma sequência de cálculos semelhante à feita para o desconto racional, facil-
mente percebe-se que a expressão matemática para o cálculo do valor atual de um título no qual incide 
uma taxa de desconto (desconto comercial) é:
VA = VN . (1– id . n),
 ou ainda 
(1 – id . n) 
VN = 
VA
Em que id corresponde à taxa de desconto a ser aplicada.
Quadro-resumo
Para diferenciarmos situações nas quais atuam taxas de desconto de taxas de juros, podemos 
simplificadamente dizer que:
taxa de juros é a mesma taxa de juros simples::::
  Desconto racional (i)
  VN = VA . (1 + i . n)
Taxa de desconto
  Desconto comercial (id)
 
(1 – id . n) 
VN = 
VA
 
 
Veja uma situação bem comum em que utilizamos taxas de juros e taxas de desconto.
Na compra de um televisor cujo preço à vista era R$830,00, incidiu-se, em um mês, taxa de juros 
de 3,5%. Qual o valor a ser pago?
Cálculo do valor a ser pago:
 VN = 830 . (1+ 0,035 . 1)
 VN = 859,05
Se quisermos saber qual a taxa de desconto (desconto comercial) a ser utilizada para que o tele-
visor volte ao valor de R$830,00, devemos utilizar a expressão:
VA = VN . (1 – id . n)
96 | Desconto simples
Em que:
VA = valor do televisor na data atual: R$830,00
VN = valor do televisor na data anterior: R$859,05
N = 1 mês
id = ?
VA = VN . (1 – id . n)
830,00 = 859,05 . (1 – id . 1)
 830 = 1 – id859,05
0,966 – 1 = –id
–0,033816 = –id
0,033816 = id
3,38% = id
Ou seja, para a taxa de juros simples de 3,5% a.m., há uma correspondente taxa de desconto de 
3,38% a.m. Isso significa que, se o cálculo for feito sobre o valor atual, a taxa é de juros (3,5% a.m.), mas 
se for feito sobre o valor nominal, a taxa será de desconto (3,38% a.m.).
Relação entre taxa de desconto e taxa de juros
Como você já sabe, na operação de desconto racional (DR) o valor nominal (VN) é dado pela 
expressão VN = VA . (1 + i . n) e que, na operação de desconto comercial, o valor atual é dado pela ex-
pressão VA = VN . (1 – id . n). Igualando os valores atuais das duas expressões, podemos demonstrar que 
existe uma relação direta entre essas taxas de juros e de desconto:
id =
 i
(1 + i . n ) 
e 
 
i =
 id
(1 – id. n )
Com essas expressões você pode calcular diretamente a taxa de desconto comercial (id) a partir da 
taxa de juros (i), ou vice-versa. Veja para a situação que tínhamos anteriormente:
i = 3,5%
id = ?
Utilizando a expressão id =
 i
(1 + i . n )
 , teremos:
id = 
 0,035 = 0,035 = 0,033816 = 3,38%
(1 + 0,035 . 1) 1,035
97|Desconto simples
Dessa forma, sempre que tivermos uma incidência de taxa de juros, estaremos falando em 
cobrança sobre o capital inicial, ou valor atual. Sempre que tivermos uma taxa de desconto, estare-
mos nos referindo a uma taxa que incide sobre o valor de face do título, ou seja, no valor do título 
na data do seu vencimento. Caso queiramos saber a relação entre essas taxas, basta utilizarmos as 
expressões estudadas.
Atividades
1. Um título de valor igual a R$75,40 sofreu o desconto racional de 1,5% a.m., 1 mês e 17 dias antes 
do seu vencimento. Qual o valor atual?
 
2. Qual o valor dodesconto de um título de R$2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 
desconto de 2,5% a.m.?
 
3. Qual a taxa de desconto mensal utilizada numa operação de 120 dias cujo resgate é R$1.000,00, 
com valor atual de R$880,00?
 
4. Calcule a taxa de juros mensal utilizada numa operação de desconto durante 120 dias, na qual o 
valor resgatado do título foi R$1.000,00 e o valor atual de R$880,00.
 
5. Sabendo-se que o desconto de um título com valor de R$6.800,00 resultou em um crédito de 
R$6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 38,4% a.a., calcule 
o prazo do título em dias.
 
Ampliando conhecimentos
É importante entender e verificar a diferença entre taxas de juros e de descontos, bem como 
quando e onde pôr em prática cada uma delas. Procure aplicar nos exercícios propostos esses conceitos 
e, sempre que necessário, retomar as definições vistas.
98 | Desconto simples
Autoavaliação 
1. Em uma nota promissória de valor nominal R$452,40 foi abatida a taxa de desconto de 21% 
a.m., faltando 18 dias para o seu vencimento. Calcule o valor do desconto e a taxa de juros, 
respectivamente.
 
 
 
2. Uma promissória foi descontada no dia 14 de agosto e a taxa de desconto foi de 15% a.m., 
resultando em um valor líquido de R$250,00; o valor descontado foi R$40,69. Qual a data do 
vencimento da nota promissória?
 
 
 
3. Um título de R$320,00 foi resgatado 1 mês e 23 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 
18% a.a. Qual o desconto?
 
 
 
4. Qual o valor líquido de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$120,75, à taxa de desconto 
de 6% a.a., 4 meses antes do vencimento?
 
 
 
5. Determine o desconto de um título de valor nominal equivalente a R$135,00, pago 2 meses antes 
do vencimento, à taxa de juros de 1% a.m.
 
 
6. Uma letra de câmbio no valor de R$480,00 foi resgatada 2 meses e 26 dias antes do vencimento, 
à taxa de desconto de 1,2% a.m. Qual o valor do resgate?
 
 
99|Desconto simples
7. Um título de R$200,00 sofreu desconto racional de 20% a.a., 4 meses e 12 dias antes do venci-
mento. Qual o valor do desconto?
 
 
8. Qual o valor atual de um título de R$180,00, descontado 3 meses antes do seu vencimento, com 
taxa de juros de 2% a.m.?
 
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003.
100 | Desconto simples
Gabarito 
Atividades
1. R$73,67.
2. R$150,00.
3. 3%.
4. 3,41%.
5. 125 dias.
Autoavaliação 
1. R$57,00 e 24,03% a.m.
2. 11 de setembro.
3. R$8,48.
4. R$118,34.
5. R$2,65.
6. R$463,49.
7. R$13,66.
8. R$169,81.
Resumo
Dizemos que dois ou mais capitais diferidos (capitais com vencimentos 
em datas diferentes) são equivalentes em certa época se, nessa época, 
seus valores atuais forem iguais. 
Em geral, existem dois tipos de problemas envolvendo equivalência de ca-
pitais:
:::: substituir um título, ou seja, transferir a data de vencimento de 
um título para um valor futuro ou, até mesmo, adiantar seu paga-
mento;
:::: mudar a forma de pagamento.
Equivalência de capitais
 Igualando os valores atuais
A maneira mais usual de verificar a equivalência desses capitais é estabelecendo uma data (data 
de comparação) e comparar os valores atuais dos títulos em questão. Se nessa data resultar uma igual-
dade, podemos concluir que os capitais são equivalentes.
102 | Equivalência de capitais
Igualar os valores atuais (A) em questão:
Título(s) que tenho (A1) = Título(s) que quero trocar (A2)
Ou ainda:
 N1 = 
 N2 . (1– id . n2)
(1 – id . n1)
Aplicação
Exemplo 1 
Um título, com valor nominal de R$450,00 e vencimento para 4 meses, será substituído por outro 
com vencimento para 10 meses. Se a taxa de desconto utilizada nessa operação é de 3% a.m., qual o 
valor nominal do novo título?
N1 . (1 – id . n1) = N2 . (1 – id . n2)
450 . (1 – 0,03 . 4) = N2 . (1 – 0,03 . 10)
450 . 0,88 = N2 . 0,7
396 = 0,7 . N2
396 = N20,7
565,71 = N2
Dessa forma, para que esse título seja pago no vencimento de 10 meses, ele valerá R$565,71.
E qual será o valor atual desse título?
 VA = VN . (1 – id . n)
 VA = 450 . (1 – 0,03 . 4)
 VA = R$396,00
Observação
Esse cálculo também poderia ser feito utilizando-se o valor R$565,71 com vencimento em 10 
meses (n = 10).
103|Equivalência de capitais
Exemplo 2 
Um título no valor nominal equivalente a R$1.000,00, com vencimento em 3 meses, será substitu-
ído por outro, com vencimento em 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados à 
taxa de desconto de 1% a.m., qual o valor nominal do outro título?
Dados do problema:
Valor nominal inicial (N1): R$1.000,00 
Vencimento desse valor (n1): 3 meses 
Novo valor nominal (N2): ?
Vencimento desse valor (n1): 5 meses
Taxa de desconto: 1% = 0,01
Como os valores atuais devem ser igualados, teremos:
N1 . (1–id . n1) = N2 . (1 – id . n2)
1.000 . (1 – 0,01. 3) = N2 . (1 – 0,01. 5)
1.000 . 0,97 = N2 . 0,95
970 = N2 . 0,95
970
0,95
N2 = = R$1.021,05
Logo, o valor nominal do outro título é de R$1.021,05. Veja que a resposta é bem coerente, 
uma vez que o título vencível em 5 meses deverá ter um valor nominal maior que um vencível em 
3 meses, uma vez que seus valores atuais são os mesmos. Veja:
Cálculo do valor atual do título vencível em 3 meses Cálculo do valor atual do título vencível em 5 meses
Valor nominal: R$1.000,00
Cálculo de seu valor atual
 A = N1 . (1 – id . n1)
 A = 1 000 . (1 – 0,01 . 3)
 A = 970
Valor nominal: R$1.000,00
Cálculo de seu valor atual
 A = N1 . (1 – id . n1)
 A = 1 021,05 . (1 – 0,01 . 5)
 A = 970
Como você pôde perceber, o valor atual dos dois títulos é o mesmo.
Exemplo 3 
Um título de R$14.400,00, vencível em 50 dias foi substituído por outro de R$15.100,00. Calcular 
o prazo do novo título considerando-se a taxa de desconto de 2% a.m.
Para essa situação temos duas opções que podem simplificar nosso cálculo: podemos passar a 
taxa de juros de mensal para diária ou, ainda, transformar dias em meses. Veja:
Pela primeira opção – passando a taxa de juros de mensal para diária:
 2% a.m. ÷ 30 dias = 0,00067 a.d.
 N1 . (1– id . n1) = N2 . (1 – id . n2)
 14.400 . (1 – 0,00067 . 50) = 15 100 . (1 – 0,00067 . n2)
104 | Equivalência de capitais
 13.917,60 = 15.100 – 10,117 . n2
 
n2 = = 116,8 ≈ 117 dias
1.182,40
10,117
ou seja, 3 meses (90 dias) e 27 dias.
Pela segunda opção – transformando dias em meses:
50 dias = 50 ÷ 30 = 1,67 meses
N1 . (1 – id . n1) = N2 . (1 – id . n2)
14.400 (1 – 0,02 . 1,67) = 15.100 . (1 – 0,02 . n2)
13.919,04 = 15.100 – 302 . n2
n2=
1.180,96
302
 = 3,91 meses
ou seja, 3 meses + 0,91 meses (= 0,91 . 30 dias = 27 dias)
Logo, também 3 meses e 27 dias.
Como você percebeu, para fazermos a equivalência entre capitais, devemos compará-los em 
uma mesma data. Em geral, utilizamos a data zero (valor atual do título), pois é mais simples compa-
rá-los trazendo para o valor atual do que em datas futuras. 
Atividade 
 Um credor deve a uma financeira dois títulos, um de R$1.500,00, com vencimento para 5 meses 
e outro de R$1.800,00 com vencimento para 5 meses. Esse credor pretende substituir esses dois 
títulos por outros dois com vencimentos para 12 meses e 24 meses, respectivamente, sendo o 
segundo, com o dobro do valor nominal do primeiro. Admitindo-se uma taxa de 2,4% a.m., qual 
o valor nominal desses novos títulos? 
1.º título 2.º título 3.º título 4.º título
105|Equivalência decapitais
Ampliando conhecimentos 
O cálculo com equivalência de capitais é bastante simples. Lembre-se de que estamos tratando 
de juros simples e de taxas de juros. Caso a taxa seja de desconto, será necessário transformá-la para 
taxa de juros ou utilizar as expressões para esse tipo de incidência. Procure, portanto, rever os conceitos 
de taxas de juros e de desconto.
Autoavaliação
1. Certa pessoa deve pagar dois títulos:
 1.º) R$7.200,00 no fim de 60 dias;
 2.º) R$9.600,00 para 90 dias.
 Não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-lo por um único título para 
120 dias. Calcule o valor nominal do novo título com desconto comercial de 2% a.m.
 
 
 
 
2. Um título de R$3.000,00 com vencimento para 4 meses será substituído por dois novos títulos de 
mesmo valor nominal com vencimento respectivamente para 3 e 6 meses, considerando a taxa 
de desconto de 2% a.m. Qual o valor nominal dos novos títulos?
 
 
 
3. Dois títulos de R$1.000,00 cada, exigíveis em 3 e 4 meses respectivamente, serão substituídos por 
dois títulos de mesmo valor nominal para 5 e 6 meses respectivamente, com taxa de desconto de 
3% a.m. Calcule o valor nominal dos novos títulos.
 
 
 
 
106 | Equivalência de capitais
4. Dois títulos de valores nominais de R$50.000,00 e R$80.000,00 vencem respectivamente em 40 
e 50 dias. O devedor pretende reformá-los de modo a fazer dois pagamentos, sendo o primeiro 
igual ao dobro do segundo, respectivamente em 70 e 85 dias. Sabendo que o credor desconta 
comercialmente a taxa de 21% a.m., o valor desses pagamentos será:
 
 
 
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: economia, administra-
ção e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
107|Equivalência de capitais
Gabarito 
Atividades 
2 títulos substituídos por 2 títulos A1 + A2 = A3 + A4 
1.º título
N1 = 1.500
n1 = 2 meses
id = 2,4% a.m.
2.º título
N2 = 1.800
n2 = 5 meses
id = 2,4% a.m.
3.º título
N3 = N
n3 = 12 meses
id = 2,4% a.m.
4.º título
N4 = 2N
n4 = 24 meses
id = 2,4% a.m.
A = N. (1 – id .n)
A1 = N1 . (1 – id . n1)3
A1=1.500(1 - 0,024.2)3
A1 = 1 428
A2 = N1 . (1 – id . n2)
A2=1.800.(1 – 0,024 . 5)
A2 = 1 584
A3 = N3 . (1 – id . n3)
A3= N3 . (1 – 0,024 . 12)
A3 = 0,712.N
A4 = N4 . (1 – id . n4)
A4=2N.(1 – 0,024 . 24)
A3 = 0,848N
A1 + A2 = A3 + A4
1.428 + 1.584 = 0,712N3 + 0,848N3
3 012 = 1,56N
N3 = 1.930,77
N4 = 2N3 = 3.861,54
Autoavaliação 
1. R$17.321,74.
2. R$1.516,48.
3. R$1.071,86.
4. R$123.508,77 e R$61.754,39.
108 | Equivalência de capitais
Resumo
Nesta aula estudaremos os juros compostos, prática mais comumente utili-
zada em nossa economia.
Juro composto é aquele que, em cada período financeiro a partir do se-
gundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. É, por 
exemplo, a conhecida taxa de juros das cadernetas de poupança (popular-
mente chamado de “juros sobre juros”). 
Operações com 
juros compostos 
Definição de juros compostos
No regime de juro composto, o juro produzido ao fim de cada período é somado ao capital que 
o produziu, passando os dois, capital mais juros, a render no período seguinte.
110 | Operações com juros compostos
Veja a situação abaixo:
Senhor Joaquim depositou em um fundo de renda fixo, que pagava 2% de juros a.m., a quantia de 
R$1.000,00 para resgate em 6 meses. Acompanhe, linha após linha, o progresso do valor aplicado pelo 
Senhor Joaquim:
n Capital Juros Montante (capital + juros)
1 1.000 J1 = 1.000 . 0,02 = 20 1 020
2 1.020 J2 = 1.020 . 0,02 = 20,40 1.040,40
3 1.040,4 J3 = 1.040,4 . 0,02 = 20,81 1.061,21
4 1.061,208 J4 = 1.061,208 . 0,02 = 21,22 1.082,43
5 1.082,43 J5 = 1.082,43 . 0,02 = 21,65 1.104,08
6 1.104,08 J6 = 1.104,08 . 0,02 = 22,08 1.126,16
Perceba que o montante para um certo período é o capital do período seguinte e, consequente-
mente, o montante desse novo período será o montante anterior multiplicado por (1 + i).
Generalizando, podemos escrever:
VF = VP . (1 + i)n
em que o termo (1 + i)n chama-se fator de capitalização.
Veja como fica simples a obtenção do valor final a ser resgatado pelo Senhor Joaquim, utilizando 
a expressão anterior, na situação do início desta aula.
Dados do problema:
 VP = 1.000
 i = 0,02
 n = 6 meses
Solução:
 VF = 1.000 . (1 + 0,02)6 
 VF = 1.000 . (1,02)6 
 VF = 1.126,16
Dessa forma, o valor futuro a ser resgatado pelo Senhor Joaquim será R$1.126,16, que é o mesmo 
valor que encontramos capitalizando mês a mês (tabela).
Veja outra situação:
Um aplicador investiu R$500,00 em um fundo de renda fixa durante 1 ano e resgatou, após esse 
período, R$755,53. Qual foi a taxa de juros compostos utilizada?
111|Operações com juros compostos
Solução:
 VP = 500
 VF = 755,53
 n = 1 ano = 12 meses
 VF = VP . (1 + i)n
 755,53 = 500 . (1 + i)12 
 = (1 + i)12
755,53
500
 1,51106 = (1 + i)12
 1,51106 = (1 + i)
12
 1,035 = 1 + i
 i = 0,035 = 3,5% a.m.
Abaixo segue o Boletim do Banco Central do Brasil de março de 2005, que demonstra as 
principais taxas de juros cobradas nos meses de dezembro dos anos de 2001, 2002, 2003 e nos 12 
meses do ano de 2004. É importante entendermos um pouco dessas taxas, pois elas seguidamente 
aparecem em nosso cotidiano.
Boletim do Banco Central do Brasil março 2005
Taxas de juros
Período
 Selic CDI TR1/ TBF1/ TJLP2/
% a.m. % a.a. % a.m. % a.a. % a.m. % a.a. % a.m. % a.a. % a.m. % a.a.
2001 Dez 1,39 19,05 1,39 19,05 0,20 2,53 1,27 17,28 0,80 10,00 
2002 Dez 1,74 23,03 1,73 22,91 0,36 4,42 1,66 21,78 0,80 10,00 
2003 Dez 1,37 16,91 1,37 16,81 0,19 2,20 1,33 16,37 0,87 11,00 
 
2004 Jan 1,27 16,32 1,26 16,22 0,13 1,55 1,21 15,52 0,80 10,00 
Fev 1,08 16,30 1,08 16,22 0,05 0,64 1,05 15,69 0,80 10,00 
 Mar 1,38 16,19 1,37 16,13 0,18 1,97 1,31 15,32 0,80 10,00 
Abr 1,18 15,96 1,17 15,85 0,09 1,11 1,13 15,19 0,78 9,75 
Mai 1,23 15,77 1,22 15,73 0,15 1,87 1,18 15,06 0,78 9,75 
Jun 1,23 15,80 1,22 15,71 0,18 2,13 1,22 15,63 0,78 9,75 
 Jul 1,29 15,77 1,28 15,71 0,20 2,26 1,25 15,26 0,78 9,75 
Ago 1,29 15,86 1,29 15,76 0,20 2,32 1,26 15,46 0,78 9,75 
Set 1,25 16,09 1,24 15,99 0,17 2,09 1,20 15,45 0,78 9,75 
Out 1,21 16,41 1,21 16,34 0,11 1,41 1,17 15,81 0,78 9,75 
Nov 1,25 16,96 1,25 16,93 0,11 1,45 1,19 16,01 0,78 9,75 
 Dez 1,48 17,50 1,48 17,46 0,24 2,66 1,43 16,87 0,78 9,75 
Nessa tabela, encontramos as seguintes siglas:
112 | Operações com juros compostos
:: CDB (Certificado de Depósito Bancário): esse tipo de aplicação pode render tanto uma 
taxa de juros fixa quanto variável, dependendo da forma como foi negociado. Está entre as 
aplicações mais comuns do mercado, além da caderneta de poupança.
:: CDI (Certificado de Depósito Interbancário): assim como o CDB, essa é uma modalidade 
de aplicação que pode render tanto uma taxa de juros fixa quanto variável. No entanto, esse 
certificado é negociado exclusivamente entre bancos.
:: Selic: a Selic se origina de taxas de juros efetivamente observadas no mercado. As taxas de 
juros relativas às operações em questão refletem, basicamente, as condições instantâneas de 
liquidez no mercado monetário (oferta versus demanda de recursos).
:: TR (Taxa Referencial de Juros): a TR foi criada no Plano Collor II com a intenção de ser 
uma taxa básica referencial dos juros a serem praticados no mês. Atualmente, é utilizada 
no cálculo do rendimento de vários investimentos,tais como títulos públicos, caderneta 
de poupança e também em outras operações, como empréstimos do SFH, pagamentos 
a prazo e seguros em geral. Sobre a média apurada das taxas dos CDBs é aplicado um 
redutor que varia mensalmente.
:: TBF (Taxa Básica Financeira): criada com o objetivo de alongar o perfil das aplicações em 
títulos com uma taxa de juros de remuneração superior à TR. Sua metodologia de cálculo é 
idêntica à da TR, com a diferença fundamental de que não se aplica nela o redutor.
:: TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo): criada para estimular os investimentos nos setores 
de infraestrutura e consumo. A TJLP é válida para os empréstimos a longo prazo, seu custo é 
variável, mas permanece fixo por períodos mínimos de três meses. 
Cálculo do montante de juros 
compostos para períodos não inteiros
Até esse estágio de nossa disciplina, trabalhamos somente com períodos inteiros de capitalizações, 
porém, muitas vezes, deseja-se conhecer o montante de uma aplicação em um período não inteiro, ou 
ainda, em um período inteiro mais uma fração desse período. 
Ex.: 4 meses e 12 dias
 2 anos, 4 meses e 8 dias
Para solucionar situações como essas existem duas convenções: a exponencial (CE) e a linear (CL). A 
convenção linear tem aplicações quando a parte correspondente aos juros compostos é cobrada em períodos 
inteiros, como os meses, e a parte não inteira, que seriam os dias, é calculada sobre juros simples. A convenção 
exponencial é aplicável quando todo o período é calculado com incidência em juros compostos.
113|Operações com juros compostos
Convenção Exponencial (CE)
Para a convenção exponencial utilizaremos basicamente os mesmos conceitos de montante nos 
juros compostos, porém o período (n) deverá ser representado com uma parte não inteira. Veja:
5 meses e 5 dias podem ser representados:
Se a taxa tiver capitalização diária: 150 dias + 6 dias = 156 dias.
Se a taxa tiver capitalização mensal: 5 meses + 6
30
 dias = 5 meses + 0,2 meses = 5,2 meses.
E, da mesma forma que nas taxas de juros compostos:
VF = VP . (1 + i)n
n = período na forma de número decimal
Exemplo:
Calcular o montante de um capital de R$500,00 aplicados durante 72 dias à taxa composta de 
2,3% a.m./c.m. utilizando a convenção exponencial:
Dados da situação:
 VP = 500
 i = 0,023
 n = 72 dias = 2 meses + 12 dias 
 2 meses + 12
30
 = 2,4 meses  “n” em meses porque a capitalização é mensal.
Solução:
 VF = VP . (1 + i)n
 VF = 50 . (1 + 0,023)2,4
 VF = 500 . (1,023)2,4
 VF = 528,05
Convenção Linear (CL)
Para essa convenção, a parte inteira do prazo corresponde a juros compostos e a parte fracionária 
corresponde a juros simples. A expressão para o montante fica da seguinte forma:
VF = VP . (1 + i)ñ . (1 + i . nf)
ñ = parte inteira do período
nf = parte fracionária do período
114 | Operações com juros compostos
 Veja as situações que seguem:
1.ª situação:
Um capital de R$1.200,00 foi aplicado durante 1 ano, 2 meses e 15 dias a uma taxa de i = 10% a.m./c.m. 
Aplicando as regras da convenção linear, qual o montante ao final desse prazo?
Dados dessa situação:
 VP = 1.200
 i = 10% a.m./c.m. 
 n = 1 ano, 2 meses 15 dias
Como a taxa tem uma capitalização mensal, teremos:
 ñ = 1 ano + 2 meses = 14 meses
 nf = 15 dias = 15
30
 = 0,5 meses
 VF = 1.200 . (1 + 0,1)14 . (1 + 0,1 . 0,5)
 VF = 4.784,85
2.ª situação:
Ao aplicar R$192,70 à taxa de juros de 5,3% a.m./c.m., obteve-se um montante de R$303,63. Para o 
cálculo desse montante foi adotada a regra de CL e o resgate ocorreu 6 dias antes do término do último 
período. Pergunta-se por quanto tempo o capital ficou aplicado.
Solução:
 É importante ressaltar que, seis dias antes do último período = 30 – 6 = 24 dias 
 VF = VP . (1 + i)ñ . (1 + i . nf)
 ñ = ?
 nf = 24 dias = 24
30
 = 0,8 meses
 303,63 = 192,70 . (1 + 0,053)ñ . (1 + 0,053 . 0,8)
 303,63 = 192,70 . (1,053)ñ . (1,0424)
 303,63 = 200,87 . (1,053)ñ
 303,63
200,87
 = (1,053)ñ
 1,5116 = (1,053)ñ
 Log 1,5116 = ñlog . (1,053) 
 0,179 = ñ . 0,0224
 ñ =
0,179
0,0224
= 8 meses
 Assim: n = 8 meses e 24 dias.
:: Os valores encontrados, com taxas baixas, pela convenção exponencial e pela linear são bastante 
próximos, o que não ocorre em grandes aplicações ou aplicações com grandes incidências de 
115|Operações com juros compostos
taxas. Embora a convenção linear esteja em desuso, ao fazer qualquer negociação é importante 
verificar como é a incidência das taxas quando o período não for inteiro, pois por se tratar de juros 
simples, a cobrança, pela convenção linear, resulta em montantes de menores valores finais.
Atividades
1. Imagine que você aplicou R$3.000,00 em um CBD, durante 1 ano, com taxa fixa de 1,5% a.m./c.m. 
Construa a planilha de movimentação financeira, mês a mês, em que conste mês, capital, juros do 
mês e montante.
2. Aplicando a expressão para o montante de juros compostos, calcule e valor do montante no 6.º e 
no 12.º mês e verifique com os resultados da planilha que você construiu.
 
 
 
 
 
 
 
 
116 | Operações com juros compostos
3. Por um imóvel um proprietário recebeu as seguintes ofertas:
 1.ª oferta: R$7.200,00 de entrada e mais R$7.800,00 após 10 meses.
 2.ª oferta: R$7.000,00 de entrada e mais R$7.500,00 após 6 meses.
 3.ª oferta: R$14.700,00 após 4 meses.
 Se para esse proprietário o dinheiro vale 2% ao mês de juros compostos, que oferta lhe é mais 
lucrativa? Justifique.
 
 
 
 
4. Aplicou-se um capital de R$1.300,00, a uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m./c.m. e, após 
um certo período, resgatou-se R$1.442,80. Qual o período de aplicação?
 
 
 
 
 
Ampliando conhecimentos 
É importante saber utilizar a sua calculadora, seja ela científica ou financeira. Há problemas que, 
com cálculos manuais, seriam praticamente impossíveis e que, com essas calculadoras, podem ser re-
solvidos em segundos. Além disso, a planilha Excel pode auxiliar muito, se bem utilizada, na resolução 
de problemas. O livro do professor Fábio Kruse (a seguir especificado) traz uma série de aplicações e 
exercícios resolvidos sobre o tema estudado e o livro Matemática Financeira Aplicada, de Anísio Costa 
Castelo Branco, traz várias dicas de como utilizar esses conceitos com a planilha Excel.
117|Operações com juros compostos
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
Autoavaliação 
1. O valor de R$550.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 12% a.m. com capitalização 
mensal durante 5 meses. Qual o valor acumulado no final da operação?
 
2. Ao aplicar R$654.000,00 durante 7 meses, resgatou-se o montante de R$2.145.883,80. Qual a 
taxa mensal de juros compostos da operação?
 
3. Por quantos meses ficou aplicado o capital de R$78.000,00, à taxa de juro composto de 12% a.m. 
com capitalização mensal, para produzir um montante de R$137.462,65?
 
4. Calcule o montante produzido por um capital de R$20.000,00 aplicado em regime de juro 
composto a uma taxa de 5% a.m. capitalizado mensalmente, durante 2 meses.
 
5. Calcule o capital que produziu um montante de R$3.200,00 aplicado em regime de juro composto 
à 2% a.m., capitalizado mensalmente, durante 4 meses.
 
6. Expresse, em meses, os períodos indicados abaixo (utilizar 2 casas após a vírgula, se necessário).
a) 2 anos e 3 meses.
b) 3 meses e 24 dias.
c) 1 ano, 4 meses e 18 dias. 
d) 4 anos e meio.
e) 3 anos e 12 dias.
f ) 21 dias.
 
 
 
 
118 | Operações com juros compostos7. O capital de R$810,00 estava aplicado para 1 ano, 2 meses e 12 dias, à taxa de juros de 14% a.m./
c.m. Aplicando-se as regras de CE, qual o valor do resgate?
8. Resolva a atividade anterior aplicando as regras da convenção linear.
9. Qual o valor resgatado após a aplicação do capital de R$480,00, à taxa de juros de 6,5% a.t., 
durante 1 ano, 5 meses e 12 dias, aplicando-se as regras da convenção exponencial?
119|Operações com juros compostos
10. Resolva a atividade anterior aplicando as regras da convenção linear.
120 | Operações com juros compostos
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: economia, administração 
e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
Gabarito 
Atividades
1.
n VP J VF
0 3.000 0 3.000
1 3.000 45 3.045
2 3.045 45,68 3.090,68
3 3.090,68 46,36 3.137,04
4 3.137,04 47,06 3.184,09
5 3.184,09 47,76 3.231,85
6 3.231,85 48,48 3.280,33
7 3.280,33 49,20 3.329,53
8 3.329,53 49,94 3.379,48
9 3.379,48 50,69 3.430,17
10 3.430,17 51,45 3.481,62
11 3.481,62 52,22 3.533,85
12 3.533,85 53,01 3.586,85
2. R$3.280,33 e R$3.586,85.
3. A primeira oferta representa, à vista, R$13.598,72.
 A segunda oferta representa, à vista, R$13.659,79.
 A terceira oferta representa, à vista, R$13.580,53.
121|Operações com juros compostos
4. 7 meses.
Autoavaliação
1. R$969.287,93.
2. 18,5% a.m./c.m.
3. 5 meses.
4. R$22.050,00.
5. R$2.956,31.
6. a) 27 meses.
 b) 3,8 meses.
 c) 16,6 meses.
 d) 54 meses.
 e) 36,4 meses.
 f ) 0,7 meses.
7. R$5.344,59.
8. R$5.355,71.
9. R$691,62.
10. R$691,83.
122 | Operações com juros compostos
Resumo
Chamamos de taxas efetivas de juros aquelas em que o período de capitali-
zação da taxa coincide com seu período de referência. Existem também as 
chamadas taxas nominais de juros, que são aquelas cujo período de capita-
lização não coincide com o período de referência da taxa. É acerca dessas 
taxas que trataremos nesta aula, visualizando, além das transformações, a 
utilização e aplicação desses conceitos.
Equivalência de taxas 
efetivas e nominais 
Taxas nominais de juros
As taxas nominais são aquelas em que o período de capitalização não coincide com o período de 
referência da taxa.
Veja que o período de capitalização (mês) é igual ao período de referência (mês).
Ex.: 10% a.m./c.b. (lê-se dez por cento ao mês com capitalização bimestral). Como você pôde 
perceber, o período de capitalização é bimestral e o de referência é mensal, ou seja, o juro é de 10% 
ao mês, mas só capitalizado a cada dois meses.
124 | Equivalência de taxas efetivas e nominais
Importante
Existem algumas notações para os períodos de capitalização – assim como existem para o 
período de juros – tanto para taxas nominais quanto para as efetivas. Veja:
c.d. = capitalização diária
c.m. = capitalização mensal
c.b. = capitalização bimestral
c.s. = capitalização semestral
c.t. = capitalização trimestral
c.a. = capitalização anual
Apesar de utilizadas, as taxas nominais não representam as taxas efetivas que estamos buscando 
e, para realizarmos qualquer cálculo, devemos primeiramente transformá-las nas taxas efetivas 
correspondentes, o que é bastante simples, já que precisamos apenas dividir ou multiplicar pelo 
período que estamos buscando.
Na situação trazida anteriormente (10% a.m./c.b.), temos uma taxa de 10% ao mês, mas capitalizada 
somente a cada dois meses, ou seja, 20% a.b./c.b. Como percebe-se, apenas a taxa foi dividida por dois, 
já que um bimestre tem dois meses e a capitalização é bimestral.
Veremos algumas formas de transformar taxas, mas é importante salientar que, tranquilamente, 
elas podem ser transformadas sem qualquer uso de fórmulas, como fizemos antes.
Para transformarmos taxa nominal (in) em taxa efetiva (i), apenas dividimos a taxa nominal em 
questão pelo número de capitalizações no período, ou seja:
i =
 in
nc
em que nc = número de capitalizações no período
Ex.: Se a taxa nominal in = 120% a.a./c.m., qual o valor da taxa efetiva equivalente ao mês com 
capitalização mensal? (a.m./c.m.) 
Importante
Se não nos fosse dito que a taxa 120% a.a./c.m. era uma taxa nominal, 
poderíamos logo perceber isso, uma vez que o período de capitalização 
(mensal) não coincide com o período de referência da taxa (anual). Dessa 
forma:
 in = 120 
 nc = 12, já que 1 ano equivale a 12 meses
Assim:
 i = 
120
12
 = 10
 Portanto, i = 10% a.m./c.m.
125|Equivalência de taxas efetivas e nominais
Como foi visto anteriormente, essa transformação de taxa nominal para a respectiva taxa efetiva 
poderia ser feita simplesmente verificando-se que, se um ano tem 12 meses, e a capitalização é mensal, 
120% a.a./c.m. é o mesmo que i = 10% a.m./c.m.
Para transformarmos taxa efetiva (i) em taxa nominal (in), basta multiplicarmos a taxa nominal em 
questão pelo número de capitalizações no período, ou seja:
in = i . nc
em que nc = número de capitalizações no período
Ex.: Se a taxa efetiva i = 10% a.m./c.m., qual o valor da taxa nominal equivalente ao ano com 
capitalização mensal (a.a./c.m)?
Solução:
 i = 10% a.m./c.m.
 nc= 12 
 in = i . nc
 in = 10 . 12 = 120
 in = 120% a.a./c.m.
Dica
Na verdade, as expressões i =
 in
nc
 e in = i . nc são a mesma expressão, porém vista de formas 
diferentes, veja:
Se i =
 in
nc
 e passamos o termo nc (que está dividindo no lado direito da igualdade) multiplicando 
para o lado esquerdo, teremos a expressão para in .
Transformando taxas efetivas de juros
Como você já sabe, para transformarmos taxas efetivas não basta multiplicarmos ou dividirmos 
pelo número de meses, já que temos uma capitalização composta e sua variação não é linear. A partir da 
expressão dos juros compostos, facilmente obtemos a seguinte relação para essas taxas:
ia= (1 + ib)
a/b – 1
 
Em que:
 ia = taxa desejada ib = taxa dada
 a = prazo da taxa desejada (ia) b = prazo da taxa dada (ib)
126 | Equivalência de taxas efetivas e nominais
Importante
Em geral, transformamos os prazos “a” e “b” em meses para facilitar os cálculos, o que não 
impede que outra unidade de tempo seja utilizada.
Em um Boletim do Banco Central do Brasil (disponível em: <www.bcb.gov.br>), consta que, 
no ano de 2003, a taxa Selic mensal era de 1,37% a.m. e que essa mesma taxa anual foi de 17,737% 
a.a. Caso tivéssemos somente a taxa mensal, como calcularíamos a taxa anual? Para respondermos 
a questões como essa é que estudaremos como transformar taxas efetivas de juros em regime de 
juros compostos.
Veja o cálculo para a situação anteriormente citada:
 ia = ?
 a = 1 ano = 12 meses
 ib = 1,37% a.m. = 0,0137
 b = 1 mês
 Solução: 
 ia= (1 + ib)
a/b – 1
 ia= (1 + 0,0137)
12/1 – 1
 ia = 0,17737 = 17,737 %
Ou seja, em regime de capitalização composta, 1,37% a.m./c.m. é o mesmo que 17,737% a.a./c.a.
Veja outra situação:
No ano de 2002, a taxa TBF ficou em 21,78% a.a. Qual a taxa média ao mês?
 ia = ?
 ib = 21,78 % a.a. = 0,2178
 a = 1 mês
 b = 1 ano = 12 meses
Solução:
 ia= (1 + ib)
a/b – 1
 ia= (1 + 0,2178)
1/12 – 1
 ia = 0,01655 ≅ 1,66%
Dica
Como você pôde perceber, a razão a/b serve apenas para indicar quantas vezes o tempo da 
taxa que queremos é maior (ou menor) do que o tempo da taxa que temos. No nosso exemplo 
anterior, tínhamos a taxa em meses e queríamos uma taxa em anos (12 vezes maior).
127|Equivalência de taxas efetivas e nominais
Vejaoutras situações:
Situação 1: 
Venda de importados encolhe 57,79%
Mesmo fechando novembro com crescimento de 4,26% nas vendas em relação ao mês 
anterior, as empresas filiadas à Associação Brasileira das Empresas Importadoras de Veículos 
Automotores (Abeiva) registraram queda de 57,79% no acumulado dos 11 primeiros meses, na 
comparação com igual período do ano passado.
(Disponível em <www.clicrbs.com.br/jornais/zerohora>. Acesso em: 11 dez. 2003.)
A partir da situação anterior, podemos calcular a taxa média de queda mensal que corresponde à 
57,79% em um ano. Veja:
Taxa desejada (ia) = ? 
Taxa dada (ib) = 0,5779 = 57,79%
Prazo da taxa desejada (a) = 1 mês 
Prazo da taxa dada (b) = 11 meses
Solução:
 ia= (1 + 0,5779)
1/11 – 1
 ia = (1,5779)
0,0909 – 1
 ia = 0,0423
 ia = 4,23 % a.m./c.m.
Dessa forma, a taxa efetiva 57,79 % a.a./c.a. é equivalente à taxa 4,23% a.m./c.m.
Importante
:::: O período a ser considerado na avaliação do prazo é sempre o período de capitalização da 
taxa.
:::: Muitas vezes não é dito que o regime de capitalização é composto, pois essa informação é 
implícita nas situações em que o período de capitalização é mencionado. Dessa forma, juro 
composto de 5% a.m. é o mesmo que dizer apenas 5% a.m./c.m.
Situação 2:
O capital de R$810,00 estava aplicado segundo as regras de CL para 1 ano, 2 meses e 12 dias, à 
taxa de juros de 28% a.b./c.m. Pergunta-se qual o valor do resgate.
Solução:
Transformando a taxa para taxa efetiva: 28% a.b./c.m. = 14% a.m./c.m.::::
Cálculo do período: 1 ano, 2 meses e 12 dias = 14 meses e 12 dias ou seja:::::
 ñ = 14
 nf = 12
30
 = 0,4
128 | Equivalência de taxas efetivas e nominais
:::: Valor do resgate:
VF = 810 . (1 + 0,14)14 . (1 + 0,14 . 0,4)
VF = 5.355,71
Situação 3:
Um capital de R$2.700,00 foi aplicado durante 1 ano, 4 meses e 15 dias com uma taxa de 6% 
a.m./c.t. Qual será o montante ao final desse período?
Dados dessa situação:
 i = 6% a.m./c.t.
Como nossa capitalização é trimestral, deveremos primeiramente transformar nosso período 
em trimestres:
 n = 1 ano, 4 meses e 15 dias
 4 t + 1 t + 1 m + 15 d
 4 t + 1 t + 30 d + 15 d
 5 trimestres e 45 dias
Dessa forma:
 ñ = 5 trimestres
 nf = 45 dias = 45
90
 = 0,5 trimestres
Portanto:
 VF = VP . (1 + i)ñ . (1 + i . nf)
 VF = 2.700 . (1 + 0,06)5 . (1 + 0,06 . 0,5)
 VF = 2.700 . (1,06)5 . (1,03)
 VF = 3.721,61
É importante tomar cuidado com o tipo de transformação de taxa que se está fazendo: quando 
transformarmos taxas nominais em efetivas, ou vice-versa, a transformação é linear, ou seja, apenas 
multiplicamos ou dividimos o período da taxa para igualarmos ao seu período de capitalização. 
Quando formos transformar taxas efetivas em efetivas com outro período de capitalização, estamos 
tratando de transformações não lineares, portanto, deveremos, por exemplo, utilizar as definições 
apresentadas. 
129|Equivalência de taxas efetivas e nominais
Atividades
1. Transforme as taxas indicadas abaixo em taxas a.m./c.m.
a) 6% a.t./c.m.
b) 9% a.s./c.s.
c) 5,75% a.b./c.a.
 
 
 
2. Qual é a taxa a.b./c.b. de um capital de R$2.500,00 aplicado durante 12 meses, que gerou um 
montante de R$3.000,00? 
 
 
 
3. A taxa média anual da TR no ano de 2004 foi de 2,2% a.a./c.a. Transforme-a para:
a) a.m./c.m.
b) a.t./c.m.
c) a.s./c.s.
d) a.t./c.t.
 
 
 
 
Ampliando conhecimentos
Sempre que nos referirmos a uma taxa com seu respectivo período de capitalização, estamos 
falando em juros compostos. Porém, em geral, essa informação não é dita. Portanto, sempre verifique 
que regime é utilizado. Além disso, é importante atentar se o período em que a taxa será capitalizada é 
o mesmo dela. Nesses casos, teremos taxas efetivas de juros; do contrário, taxas nominais. Procure reto-
mar e entender bem esses conceitos. Os livros de Matemática Financeira apresentam essas definições 
de diferentes formas. Procure utilizar a que mais você se adequar, mas é interessante utilizar somente 
uma, para que não haja má interpretação e consequente erro nas resoluções dos problemas.
130 | Equivalência de taxas efetivas e nominais
Autoavaliação
1. Em uma loja havia uma superpromoção: todos os produtos em 12 vezes com juros compostos 
de apenas 1,99% a.m./c.m. Qual a taxa de juros acumulada ao longo dos 12 meses com 
capitalização anual?
2. E se a promoção fosse em 24 vezes, qual seria o juro composto acumulado no final desse 
período?
3. Uma taxa acumulada em 23% a.s./c.s. representa que taxa bimestral?
131|Equivalência de taxas efetivas e nominais
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo: Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: economia, administração 
e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
132 | Equivalência de taxas efetivas e nominais
Gabarito
Atividades
1. a) 2% a.m./c.m.
 b) 1,45% a.m./c.m.
 c) 2,5% a.m./c.m.
2. 3,09% a.b./c.b.
3. a) 0,18% a.m./c.m.
 b) 0,54% a.t./c.m.
 c) 1,09% a.s./c.s.
 d) 0,55% a.t./c.t.
Autoavaliação
1. 26,67% a.a./c.a. 
2. 60,47%.
3. 7,14 % a.b./c.b.
Séries de pagamento I
Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia 
em caderneta de poupança. Quando queremos comprar um bem qualquer, podemos, por exemplo, 
adquiri-lo em prestações a serem pagas mensalmente.
Podemos, portanto, construir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certas 
quantias em épocas distintas.
No primeiro caso (construir um capital), temos uma capitalização e no segundo (resgatar uma 
dívida), uma amortização, mas, em ambos os casos, estamos lidando com uma série de pagamentos.
Abaixo estão indicados os principais elementos de uma série postecipada.
VP (PV) = valor presente, valor atual, soma dos termos descapitalizados
VF (FV) = valor futuro, valor nominal, montante, soma dos termos capitalizados
PMT = valor de cada prestação, pagamento, termo
n = número de períodos
i = taxa
O cálculo com séries postecipadas
Série postecipada é aquela em que o pagamento é efetuado no final de cada período e o valor fu-
turo coincide com o pagamento da última prestação. É como se você primeiramente usufruísse o bem e 
depois começasse a pagá-lo. (É o modo de pagamento que geralmente utilizamos: compramos e, após 
um mês, vamos pagar, seguindo de séries mensais de pagamento).
134 | Séries de pagamento I
O gráfico a seguir representa as prestações (PMT) de uma série de pagamentos postecipadas, o 
valor futuro, ou acumulado dessa série (VF) e o valor presente ou atual (VP).
O valor presente de uma série postecipada é definido como o somatório das prestações des-
capitalizadas. Devemos descapitalizar cada prestação para o dia de hoje (chamado de instante 
zero). Utilizando-se a definição de séries matemáticas, demonstra-se que, para séries postecipadas, 
o cálculo do valor presente (VP) pode ser dado pela expressão:
 
VP = PMT 
1 – (1 + i)-n
i
 
presente
Dessa forma, a expressão para o valor presente pode ser escrita como:
VP = PMT . fvp (i%, n)
Para calcularmos o valor presente de uma transação financeira, dispomos de três maneiras:
aritmeticamente (a partir da expressão dada);::::
por tabela financeira [veja tabela 1 fvp (i%, n), no anexo no final deste livro] que nos dá direta-::::
mente o termo que multiplicará a prestação [fvp (i%, n)];
pela calculadora financeira (HP-12C).::::
Não utilizaremos aqui a calculadora financeira por não serseu uso o objetivo da disciplina.
Veja uma situação resolvida a partir desses dois métodos:
Determinado bem está à venda em 3 pagamentos iguais de R$200,00 cada, sem entrada, em 30, 
60 e 90 dias. Se a taxa de juros é de 5% a.m./c.m., qual o valor à vista do bem?
135|Séries de pagamento I
Dados dessa situação:
 PMT = 200
 i = 5% = 0,05
 n = 3 prestações
Solução:
Aritmeticamente ::::
VP = PMT 1– (1 + i)
-n
0,05
VP = PMT 
1– (1 + 0,05)-3
0,05
VP = 200 . 2,723248
VP = 544,65
Pela tabela financeira::::
Para utilizarmos a tabela financeira [fvp (i%,n)], nessa situação, buscamos na coluna 
5,00% e na linha com n = 3, obtendo fvp = 2,723248, portanto:
VP = 200 . 2,723248
VP = 544,65
Veja outra situação:
Um imóvel está à venda na seguinte condição: uma entrada de R$2.000,00 e mais 5 prestações 
iguais postecipadas de R$300,00 cada uma. Se a taxa de juros é de 12% a.m./c.m., abaixo de que valor 
vale a pena adquirir o imóvel à vista?
Solução:
Essa situação é bastante comum: temos a taxa de juros e o valor das prestações e queremos pagar à 
vista. Qual será o melhor negócio? Resumindo: abaixo de quanto vale a pena pagar à vista esse imóvel?
VP = PMT 1– (1 + i)
-n
i
300 .
1– (1 + 0,12)-5
0,12
VP = 300 . 3,60477620234
VP = R$1.081,43
Acrescentando o valor da entrada, teremos R$3.081,43.
136 | Séries de pagamento I
Série postecipada: cálculo de valor futuro
O valor futuro é definido como o somatório das prestações capitalizadas. Devemos capitalizar cada 
prestação para um dia futuro (chamado de instante “n”). Utilizando-se a definição de séries matemáticas, 
demonstra-se que, para séries postecipadas, o cálculo do valor futuro (VF) pode ser dado pela expressão:
i
VF = PMT. 
(1 + i)n – 1
 
Dessa forma, a expressão para o valor futuro pode ser escrita como:
VP = PMT . fvf . (i%, n)
Assim como no cálculo do valor presente, para calcularmos o fator do valor futuro dispomos de 
duas maneiras:
aritmeticamente (a partir da expressão dada);::::
por tabela financeira [veja tabela 2 fvf (i%, n), no anexo no final deste livro] fator de cálculo-fvf.::::
Veja uma situação resolvida a partir desses dois métodos:
Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de 
R$100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros de 2% a.m./c.m.
Dados dessa situação:
 PMT = 100
 i = 2% = 0,02
 n = 5
Solução:
Aritmeticamente ::::
VF = 100 . 5,204040
VF = 520,40
i
VF = PMT 
(1 + i)n – 1
VF = PMT 
(1 + 0,02)5 – 1
0,02
137|Séries de pagamento I
 
Pela tabela financeira ::::
Para utilizarmos a tabela financeira [(fvf (i%,n)], nessa situação, buscamos na coluna 2,00% e na 
linha com n = 5, obtendo fvf = 5,204040, portanto:
VF = 100 . 5,204040
VF = 520,40
Veja outro exemplo:
Um bem é vendido em 6 pagamentos iguais postecipados no valor de R$185,00, mais uma parce-
la extra de R$250,00 paga juntamente com a 3.ª parcela. A taxa de juros é de 15% a.m./c.m. Qual o valor 
do bem imediatamente após a sua quitação?
Solução:
Calculando o valor futuro acumulado dessas prestações:::::
i
VF = PMT 
(1 + i)n – 1
0,15
VF = 185
(1 + 0,15)6 – 1
VF = 185 . 8,75373843747
VF = R$1.619,44
Capitalizando a parcela de R$250,00 (com n = 3, pois da 3.ª até a 6.ª parcela, existem ::::
3 meses).
VF = 250 . (1 + 0,15)3
VF = R$380,22
Portanto o valor final será: R$1.619,44 + R$380,22 = R$1.999,66.
Como você pôde perceber, o cálculo utilizando tabelas financeiras, que é o que a maioria dos 
lojistas utiliza, é bem mais simples do que o cálculo algébrico; porém, quando não tivermos acesso 
a essas tabelas ou ainda os valores de meses ou de juros não forem inteiros ou não tabelados, as 
expressões fornecidas se tornam imprescindíveis. Portanto, é importante realizar todos os cálculos 
das mais diversas formas.
138 | Séries de pagamento I
Atividades
1. Em qual das propostas abaixo o valor à vista do bem é menor? E em qual é maior?
 Primeira proposta:
 12 prestações mensais postecipadas de R$110,00, com taxa de juros de 2,5% a.m./c.m. mais dois 
reforços de R$240,00 na 6.ª e na 10.ª prestação.
 Segunda proposta:
 15 prestações mensais postecipadas de R$120,00 com taxa de juros de 2,5% a.m./c.m.
 Terceira proposta:
 Uma entrada de R$350,00 mais 5 prestações mensais postecipadas de R$250,00, com taxas de 
juros de 1,75% a.m./c.m.
 
 
2. Suponha que você possa investir, mensalmente, no máximo R$850,00 em prestações postecipadas 
de um automóvel e que o valor que você precisará financiar é de R$16.000,00. Qual (quais) 
das alternativas abaixo se enquadrariam no seu orçamento? Justifique, indicando o valor das 
prestações em cada caso.
1.ª alternativa) Financiar em 20 parcelas, com juros de 0,99% a.m./c.m.
2.ª alternativa) Financiar em 24 parcelas, com juros de 2,4% a.m./c.m.
3.ª alternativa) Financiar em 36 parcelas, com juros de 3,8% a.m./c.m.
 
 
 
Ampliando conhecimentos
Procure realizar todos as atividades propostas com as fórmulas apresentadas e, quando pos-
sível, também com as tabelas financeiras. É uma maneira de você exercitar os conceitos estudados 
e aprofundar seu campo de conhecimentos. Se você tiver uma HP-12C ou outra calculadora finan-
ceira qualquer, procure identificar como realizar esses cálculos diretamente nelas. É um diferencial 
139|Séries de pagamento I
profissional saber utilizar, além do raciocínio lógico e capacidade de resolver problemas, recursos 
tecnológicos. O livro do professor Fábio Kruse, Matemática Financeira: conceitos e aplicações com 
o uso da HP-12C, traz várias dicas de como utilizar a HP-12C.
Autoavaliação
1. Determinado bem está à venda em 3 pagamentos iguais de R$200,00 cada, sem entrada, em 30, 
60 e 90 dias. Se a taxa de juros é de 25% a.m./c.m., qual o valor à vista do bem?
 
 
2. Um televisor foi adquirido com uma entrada de R$700,00 mais 6 prestações mensais postecipa-
das de R$250,00 cada. Se a taxa de juros é de 14% a.m./c.m., qual o valor total pago pelo televisor 
após o último pagamento?
 
 
3. Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de 
R$100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros de 2% a.m./c.m.
 
 
4. Um bem cujo preço à vista é R$1.500,00 está à venda nas seguintes condições: uma entrada de 
R$400,00 mais 4 prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros é de 8% a.m./c.m., calcule o 
valor de cada prestação.
 
 
 
5. Um bem está à venda por uma entrada de R$517,00 mais 3 prestações iguais com vencimentos 
para 30, 60 e 90 dias após a compra. Se o valor da prestação é de R$150,00 e a taxa de juros é de 
10% a.m./c.m., calcule o preço à vista do bem.
 
 
 
 
140 | Séries de pagamento I
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: economia, administra-
ção e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
141|Séries de pagamento I
Gabarito
Atividades
1. Menor valor é o da segunda proposta: VP = R$1.485,77
 Maior valor é o da terceira proposta: VP = 350 + 1. 186,96 = R$1.536,96.
2. A única seria a terceira, pois
 1.ª R$885,75.
 2.ª R$884,75.
 3.ª R$822,90.
Autoavaliação 
1. R$390,40.
2. R$3.421,87.
3. R$520,40.
4. R$332,11.
5. R$890,03.
142 | Séries de pagamento I
Séries de pagamento II
Série antecipada é aquela em que o pagamento é efetuadono início de cada período e o valor 
futuro é obtido num intervalo de tempo após o pagamento da última prestação. É como se você, ao adquirir 
o bem, já pagasse a primeira prestação (como uma “entrada” no mesmo valor das prestações ou um 
depósito em conta poupança, porém com valor final um mês após o último depósito). 
Abaixo seguem os principais elementos de uma série antecipada.
VP (PV) = valor presente, valor atual, soma dos termos descapitalizados
VF (FV) = valor futuro, valor nominal, montante, soma dos termos capitalizados
PMT = valor de cada prestação, pagamento, termo
n = número de períodos
i = taxa
O cálculo com séries antecipadas
O gráfico a seguir representa as prestações (PMT) de uma série de pagamentos antecipadas, o 
valor futuro, ou acumulado dessa série (VF) e o valor presente ou atual (VP).
144 | Séries de pagamento II
Séries antecipadas: cálculo de valor presente
Para calcularmos o valor presente em uma série antecipada [VP (ant)], podemos pensar que este 
é a capitalização de um período do valor presente de uma série postecipada [VP (post)], ou seja, basta 
multiplicarmos a expressão, que se obtém o valor presente de uma série postecipada. Assim:
VP = PMT . (1 + i)1– (1 + i)
-n
i
 
Ou ainda, pela tabela fvp (i%, n):
VP (ant) = PMT . fvp (i%, n) . (1 + i)
Veja uma situação comentada:
Um bem pode ser adquirido em 10 pagamentos mensais antecipados de R$180,00 e mais um 
pagamento adicional de R$310,00, juntamente com a 4.ª prestação. Se a taxa de juros é de 15% a.m./c.m., 
qual o valor à vista do bem?
Solução:
 Cálculo do valor presente:
 
VP = PMT. . (1 + i)1– (1 + i)
-n
i
VP = 180. . (1 + 0,15)1– (1 + 0,15)
-10
0,15
 VP = 180 . [ 5,0187686285 ] . (1,15 )
 VP= R$1.038,89 
Descapitalizando o pagamento adicional de R$310,00 em 3 meses (porque, se é juntamente com a 
4.ª prestação, para uma série antecipada, que é o mesmo que uma série que tem seu pagamento inicial 
no ato da compra, na 4.ª parcela passaram-se 3 meses):
VP = = R$203,83310
(1 + 0,15)3
Assim, o valor final é:
 1.038,89 + 203,83 = R$1.242,72 
145|Séries de pagamento II
Veja outro exemplo de aplicação:
Uma dívida de R$1.235,97 será paga da seguinte forma: 5 prestações mensais antecipadas no valor 
de R$221,00 e mais um reforço juntamente com a 3. ª prestação. Se a taxa de juros é de 7% a.m./c.m., qual 
o valor do reforço?
Solução:
VP = PMT. . (1 + i) + 1– (1 + i)
-n1
i
x
(1 + i ) n2
 
1.235,97 = 221 . [ 4,110019743594] . (1,07) + 
1.235,97 = 969,5736876 + 0,8734387282x
1.235,97 – 969,5736876 = 0,8734387282x
266,3963123 = 0,8734387282x
1.235,97 = 221 . . (1 + 0,07) + 
x = = 304,997
1– (1 + 0,07)-5 X
266,3963123
X
0,07 (1 + 0,07)2
0,8734387282
1,1449
 Observar os expoentes n1 e n2.
Séries antecipadas: cálculo de valor futuro
Para calcularmos o valor futuro em uma série antecipada [VF(ant)], podemos pensar, também, que 
este é a capitalização de um período do valor futuro de uma série postecipada [VF (post)]. Dessa forma:
VF (ant) = VF (post) (capitalizado 1 período) 
VF = PMT . . (1 + i) (1 + i)
n – 1
i
 
Ou ainda, pela tabela, basta multiplicar:
146 | Séries de pagamento II
VF (ant) = PMT . fvf (i%, n) . (1 + i)
Veja um exemplo de aplicação:
Em uma conta remunerada são efetuados depósitos mensais no valor de R$220,00; juntamente 
com o 5.º depósito, fez-se um depósito adicional de R$400,00. Se a taxa de juros é de 8% a.m./c.m., qual 
o saldo da conta em 30 dias após ter-se efetuado o 8.º depósito mensal?
Solução:
 PMT = 220
 Cálculo do saldo obtido a partir dos depósitos mensais de R$220,00.
:::: Calculando a partir da fórmula: VF = PMT . . (1 + i) (1 + i)
n – 1
i
VF = 220 . 
VF = 220 . 10,636628. (1,08)
VF = 2.527,26
. (1 + 0,08) (1 + 0,08)
8 – 1
0,08
:::: Cálculo do saldo obtido a partir do depósito adicional de R$400,00.
Esse depósito renderá juros compostos por 4 meses (5.º, 6.º, 7.º e 8.º depósitos).
 Cn = 400 . (1 + 0,08)
4 
 Cn = 544,20 
 Cálculo do valor total:
 2.527,26 + 544,20 = 3.071,46
:::: Efetuando-se o mesmo cálculo a partir das tabelas financeiras. A partir da expressão:
VF (Ant) = PMT . (fvf (i%, n)) . (1 + i)
Buscando diretamente na tabela:
 VF = 220 . (fvf (8%, 8) – 1)
Buscando na tabela fvf (8%, 9), temos 12,48755784. Assim:
 VF = 220 . 10,636628. (1 + 0,08)
 VF = 2.527,26
:::: Cálculo do saldo obtido a partir do depósito adicional de R$400,00.
Esse depósito renderá juros compostos por 4 meses (5.º, 6.º, 7.º e 8.º depósitos).
Cn = 400 . (1 + 0,08)
4
Cn = 544,20
Cálculo do valor total:
 2.527,26 + 544,20 = 3.071,46
147|Séries de pagamento II
1 Verificar anexo no final do livro.
Séries diferidas
Conceito 
Séries diferidas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre após um certo período de 
carência (também chamado de diferimento inicial). Podemos, também, chamá-lo diferimento final, 
quando é avaliado o valor futuro de uma certa quantia certo período após o último pagamento.
Cálculo de valor presente
Para calcularmos o valor presente em uma série diferida, devemos descapitalizar em m períodos 
o valor presente da série (normalmente antecipada), ou seja, devemos primeiramente calcular o valor 
presente antecipado [VP (ant)] para após obtermos o valor presente diferido [VP (dif)], pois este nada 
mais é do que a descapitalização relativa ao período de diferimento. Veja graficamente:
Dessa forma, podemos escrever que:
 VP (dif) = VP (ant) (descapitalizado m períodos) 
Ou seja:
 
VF = PMT . . (1 + i) . (1 + i)–m 1 – (1 + i)
–n 
i
Ou, agrupando os termos:
 
VF = PMT . . (1 + i)–m + 1 1 – (1 + i)
–n 
i
Ou ainda, pela tabela1 fvp (i%, n):
VP (dif) = [PMT . fvp (i%, n)] . (1 + i)-m+1
148 | Séries de pagamento II
Assim, a expressão para o cálculo do valor presente fica igual à expressão dada para o valor 
presente de uma série antecipada, porém, multiplicada pelo fator (1 + i)-m.
Veja a situação abaixo:
A propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: “Compre tudo e pague em 10 
vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% a.m./c.m., 
qual o valor da prestação de um refrigerador cujo preço à vista é de R$2.800,00?
Solução:
Como você pode perceber, se o preço à vista é de R$2.800,00 e há um período de carência, 
esse valor simboliza o valor presente em uma série diferida, logo podemos aplicar a 
expressão:
 VP (dif) = [PMT . fvp (i%, n) . (1 + i)] . (1 + i)– m + 1
Em que:
 VP = 2.800
 PMT = ?
fvp (i%, n) = fvp (3%,10) que, como você já sabe, pode ser calculado algebricamente ou 
pela tabela financeira, resultando em 8,530203
 i = 0,03
 m = 3 meses
Dessa forma:
 VP (dif) = [PMT . fvp (i%, n) . (1 + i)] . (1 + i)– m
 2.800 = [PMT . 8,530203 . (1 + 0,03)] . (1 + 0,03)– 3
 2.800 = [PMT . 8,530203.1,03] . (1,03)– 3
 2.800 = PMT . 8,78610909 . (0,91514166)
 PMT = 348,24
 Logo, para essa situação o valor na parcela será de R$348,24.
Poderíamos ter calculado, também, pela fórmula:
 
VP = PMT . . (1 + i):m + 1 1 – (1 + i)
–n 
i 
2.800 = PMT . 8,53023 . (1,03)–2
2.800 = PMT . 8,5302028 . 0,9425959
PMT = 348,24
= PMT2.800
0,80405
2.800 = PMT . . (1 + 0,03)–3 + 1 1– (1 + 0,03)
–10
0,07
149|Séries de pagamento II
Cálculo de valor futuro
É a capitalização em m períodos do valor futuro da série (normalmente postecipada).
VF (dif) = VF (post) (capitalizado m período) 
Assim, a expressão para o cálculo do valor futuro fica igual à expressão dada para o valor futuro 
de uma série antecipada, porém, multiplicada pelo fator (1 + i)m, pois a série de prestações deverá ser 
capitalizada por mais um período.Veja:
 
VF = PMT . . (1 + i) . (1 + i)m (1 + i)
n –1 
i
ou ainda:
 
VF = PMT . . (1 + i) m + 1 (1 + i)
n –1 
i
E, pela tabela [fvf (i%, n)], temos2:
VF (dif) = PMT . fvf (i%, n) . (1 + i)m+1
Como você pôde notar, o cálculo com séries diferidas é praticamente o mesmo feito com séries 
antecipadas, porém é necessário capitalizar (no caso do valor futuro), ou descapitalizar (no caso do valor 
presente) a série em questão. 
2 Verificar anexo no final do livro.
150 | Séries de pagamento II
Atividades
1. Suponha que você possa investir, mensalmente, no máximo R$850,00 em prestações antecipadas 
de um automóvel e que o valor que você precisará financiar é de R$16.000,00. Qual(is) da(s) 
alternativa(s) abaixo se enquadraria(m) no seu orçamento? Justifique numericamente, indicando 
o valor das prestações em cada caso.
1.ª alternativa) Financiar em 20 parcelas com juros de 0,99% a.m./c.m.
 
 
 
2.ª alternativa) Financiar em 24 parcelas, com juros de 2,4% a.m./c.m.
 
 
 
3.ª alternativa) Financiar em 36 parcelas, com juros de 3,8% a.m./c.m.
 
 
 
Ampliando conhecimentos
Assim como nas séries postecipadas, é importante resolver as atividades tanto pelas expressões 
algébricas quanto pelas tabelas financeiras ou por meio das calculadoras financeiras. Procure resolver 
por mais de um método e conferir os resultados por outro. Crie situações do seu interesse ou de seu 
cotidiano e resolva por mais de um método.
Autoavaliação
1. Uma indústria financia suas vendas a prazo cobrando uma taxa de juros efetiva de 2,5% a.m./c.m. 
Determine o valor das prestações para uma operação no valor de R$25.000,00, sabendo que a loja 
oferece pagamento em 12 prestações mensais antecipadas.
 
 
 
 
151|Séries de pagamento II
2. Sabendo-se que o valor futuro de uma série antecipada é de R$1.500,00, calcule o valor das 8 
prestações com uma taxa de juros de 4% a.m./c.m.
 
 
3. Um determinado bem é vendido por R$521,00 à vista ou em prestações iguais antecipadas de 
R$48,50 mais um pagamento adicional na 5.ª prestação de R$142,63. Se a taxa de juros é de 7% 
a.m./c.m., qual o número de prestações?
 
 
Dica: lembre-se de que, ao descapitalizar a 5.ª prestação, descapitalizamos 4 meses, já que é série 
antecipada – a primeira é paga na entrada.
4. Em uma conta remunerada efetuaram-se 19 depósitos mensais antecipados e, juntamente com 
o 10.º depósito, uma retirada de R$70,00. Se o saldo da conta 30 dias após o último depósito é de 
R$2.042,21 e a taxa de juros do período foi de 8% a.m./c.m., qual o valor do depósito mensal?
Dica: capitalize para mais 10 meses (já que é antecipado, até a 19.ª) o valor de R$70,00, para ser 
descontado no final:
Cn = 70 . (1 + 0,08)
10
Cn = 151,12
 Acrescente esse valor do valor final (já que as prestações foram calculadas sobre o valor total). 
Dessa forma, o valor futuro será 2.042,21 + 151,12.
 
 
 
5. Um empréstimo será pago em 20 parcelas mensais de R$860,00, tendo uma carência de 6 meses 
e à taxa de 2% a.m./c.m. Qual é o valor do financiamento na ocasião do contrato?
 
 
6. Um televisor 20” pode ser pago com uma entrada de R$120,00, mais 12 prestações fixas de 
R$85,00. Se a loja oferece primeiro pagamento para 90 dias e cobra uma taxa de 3,5 % a.m., qual 
o valor à vista desse televisor?
 
 
152 | Séries de pagamento II
7. O preço de venda à vista de um apartamento é de R$46.582,00. Qual deve ser o período de carência 
após o pagamento de uma entrada de R$6.000,00? O saldo será financiado em 12 prestações 
mensais de R$8.000,00 cada. A taxa de juros é de 9% a.m./c.m.
 
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: economia, administração 
e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003. 
153|Séries de pagamento II
Gabarito 
Atividades
1. A resposta correta é apenas a 3.ª alternativa, pois
 1.ª R$877,07.
 2.ª R$864,02.
 3.ª R$792,78.
Autoavaliação
1. R$2.377,73.
2. R$156,53.
3. 12.
4. R$49,00.
5. R$12.736,60.
6. R$886,77.
7. 5 meses.
154 | Séries de pagamento II
Resumo
Nesta aula, estudaremos um dos principais sistemas de amortização uti-
lizados em nossa economia – o sistema de amortização francês (também 
conhecido como tabela price). Como qualquer sistema de amortização, 
ele consiste em um processo de extinção de uma certa dívida. Dessa for-
ma, quando falamos em nossa economia em pagamento de prestações, 
estamos nos referindo a duas parcelas: amortização (reembolso do valor 
emprestado) e juros (custo pelo empréstimo desse valor). Graficamente 
podemos representar:
Ou seja, para o pagamento de uma dívida, fazemos prestações, e estas, 
na nossa economia, compõem-se de amortização mais juros. É conve-
niente lembrar que o valor que é amortizado (deduzido) mensalmente 
de nossa dívida é somente o relativo à amortização. Os juros apenas fa-
zem parte da parcela, mas não são deduzidos da dívida total. Como não 
é o objetivo da disciplina demonstrações nem deduções matemáticas, 
faremos a exposição desses conceitos a partir de situações práticas.
156 | Sistema de amortização progressiva (SAP)
 Sistema de amortização 
progressiva (SAP)
Sistema de amortização francês, sistema price ou sistema de 
amortização progressiva – SAP
O sistema de amortização francês consiste em um procedimento no qual a prestação se man-
tém fixa e os juros incidem sobre o saldo devedor; dessa forma, esses juros decrescem à medida que 
as prestações são pagas. É o sistema mais utilizado pelos bancos e instituições financeiras em geral. 
Como a prestação é constante e igual a juros mais amortização, à medida que os juros diminuem, a 
amortização aumenta. 
Veja um exemplo de aplicação:
Um empréstimo de R$4.000,00 será pago utilizando o sistema de amortização francês, em 6 pres-
tações mensais postecipadas e com juros de 5% a.m.
Como você já estudou, pode-se escrever o valor presente para uma série postecipada como 
VP = PMT . fvp (i%, n), ou seja:
 PMT = VP
fvp (i%,n)
Utilizando-se a tabela 1 fator de cálculo para valor presente1, obtemos:
fvp (5%,6) = 5,075692. 
Dessa forma:
 PMT = = R$788,07
4.000
5,075692
Assim a prestação será de R$788,07.
Em geral, para representar essas movimentações financeiras, utiliza-se uma tabela composta de 
cinco colunas: mês, saldo devedor, valor amortizado, juros, valor da prestação. Sendo assim, antes de 
construir nossa tabela, vamos retomar alguns conceitos fundamentais:
1 Verificar anexo no final deste livro.
157|Sistema de amortização progressiva (SAP)
Juros (J:::: t): 
É um valor pago com relação ao que devemos, logo:
 J = i . SDt-1
 Em que:
 i = taxa de juros
 SDt-1 = saldo devedor do período anterior
Amortização (A:::: t) 
Conforme comentamos no início do capítulo, no sistema de amortização francês a prestação é 
a soma do valor amortizado com os juros do período, ou seja:
 PMT = At + J
Isolando o valor a ser amortizado, temos:
 At = PMT – J
Saldo devedor (SD:::: t):
É o saldo devedor do período anterior menos o valor amortizado.
 SDt = SDt-1 – At
Importante
Siga a sequência lógica apresentada na tabela. Ela é que lhe dará a noção de como os cál-
culos são feitos. 
Basta você verificar mês a mês e perceber a sequência das operações. A prestação, conforme cal-
culamos no exemplo anterior, é de R$788,07 e nela está incluído o valor a ser amortizado e os juros do 
mês, que variam, mas suasoma é sempre, nessa situação, R$788,07.
Mês (t) Saldo devedorSDt = SDt– 1 – At
Amortização
At = PMTt – Jt
Juros
Jt = i x SDt– 1
Prestação
(PMT)
0 4.000 0 0 0
1 SDt = 4.000 – 588,07
SDt = 3.411,93
At = 788,07 – 200
At = 588,07
Jt = 0,05 . 4.000
Jt = 200
788,07
2 SDt = 3.411,93 – 617,47
SDt = 2.794,46
At = 788,07 – 170,6
At = 617,47
Jt =0,05 . 3.411,93
Jt = 170,6
788,07
3 SDt = 2.794,46 – 648,35
SDt = 2.146,11
At = 788,07 – 139,72
At = 648,35
Jt = 0,05 . 2.794,46
Jt = 139,72
788,07
4 SDt = 2.146,11 – 680,76
SDt = 1.465,34
At = 788,07 – 107,31
At = 680,76
Jt = 0,05 . 2.146,11
Jt = 107,31
788,07
5 SDt = 1.465,34 – 714,8
SDt = 750,54
At = 788,07 – 73,27
At = 714,8
Jt = 0,05 . 1.465,34
Jt = 73,27
788,07
6 SDt = 750,54 – 750,54
SDt = 0
At = 788,07 – 37,53
At = 750,54
Jt = 0,05 . 750,54
Jt = 37,53
788,07
158 | Sistema de amortização progressiva (SAP)
Como você pôde perceber, na sexta prestação o saldo devedor ficou nulo.
Em uma planilha eletrônica (como o Excel) fica bastante fácil construir essa tabela. Veja:
Digitamos na primeira coluna os meses (1 a 6).::::
Na quinta coluna, digitamos a prestação fixa para os seis meses.::::
Na primeira linha (mês zero), digitamos o saldo devedor (que, quando inicia, é o valor todo, no ::::
nosso caso R$4.000,00) e zero para a amortização (nada foi amortizado ainda) e juros.
Na segunda linha, digitamos as relações entre as colunas, conforme está descrito entre parên-::::
teses, na primeira linha da tabela a seguir. Veja:
Em seguida, arrastamos as três colunas até o mês 6:::::
Como você pode ver, planilhas eletrônicas são de grande valia para a construção de movimenta-
ções financeiras como essa. 
159|Sistema de amortização progressiva (SAP)
Cálculo das variáveis para um período qualquer no SAP
Existem expressões matemáticas simples que permitem o cálculo direto das variáveis envol-
vidas nesse sistema quando não necessitamos da tabela por completo, mas em um só momento. 
Veja:
Saldo devedor 
Para uma série de prestações postecipadas, o saldo devedor, em um determinado período, 
pode ser representado pela expressão:
SD = VP . (1 + i)
n – (1 + i)t
(1 + i)n –1
 Em que:
 SD = saldo devedor
 VP = valor total da dívida
 i = taxa de juros
 n = número de prestações
 t = número da prestação que queremos calcular o saldo devedor.
Veja este cálculo para o mês 4 da situação do primeiro exemplo desta aula (SD = 1.465,34).
 SD = 4.000 . = 1.465,34
(1 + 0,05)6 – (1 + 0,05)4
(1 + 0,05)6 – 1
Correto! Valor igual ao encontrado na tabela.
Amortização
A expressão para a amortização é:
 At = VP .
(1 + i)t–1. i
(1 + i)n –1
Veja o cálculo para a mesma situação (SD = 680,76).
At = 4.000 . = 680,76(1 + 0,05)
4 – 1 . 0,05
(1 + 0,05)6 – 1
Correto! Valor igual ao encontrado na tabela.
Juros
Os juros podem ser calculados diretamente pela expressão:
J = VP . i . (1 + i)
n – (1 + i)t–1 
(1 + i)n –1
160 | Sistema de amortização progressiva (SAP)
Veja este cálculo para o mês 4 da situação anterior (At = 107,31).
J = 4.000 . 0,05 . = 107,31(1 + 0,05)
6 – (1 + 0,05)4 – 1
(1 + 0,05)6 – 1
Calcule outros valores diretamente pelas expressões dadas e você conseguirá todas as informa-
ções que precisar.
Como pôde perceber, é bastante simples realizar cálculos no sistema SAP e organizar a conhecida 
tabela price. Todas essas expressões podem ser programadas na planilha Excel para que se possa calcu-
lar as variáveis no período de sua necessidade.
Atividades
1. Um imóvel de R$120.000,00 foi adquirido, por meio do sistema SAP, em 120 meses. A empresa 
que concedeu o financiamento cobra taxa de juros de 1,5% a.m./c.m. Foi dado de entrada 20% 
do valor do imóvel. A partir dessas informações, responda às questões que seguem.
a) Qual o valor a ser financiado?
 
b) Calcule o fvp (1,5%,120).
 
c) Qual deverá ser o valor das prestações?
 
d) Construa a planilha de amortizações (tabela price) para os três primeiros meses.
e) Na primeira prestação, qual percentual representa juros e qual representa valor amortizado?
 
f ) Qual será o saldo devedor quando for paga a 50.ª parcela?
 
g) Quando for paga a 100.ª parcela, qual o percentual que é amortizado e qual percentual 
representa os juros?
 
 
161|Sistema de amortização progressiva (SAP)
Ampliando conhecimentos
Construa uma situação de seu interesse ou necessidade, utilizando os conceitos do sistema SAP 
que estudamos. Procure fazer pelo menos uma planilha manualmente e, a mesma, no Excel. Compare 
os valores obtidos e calcule algumas das variáveis para um período qualquer. Nessa situação você po-
derá, assim, construir algo de sua necessidade e corrigir os resultados encontrados. 
Autoavaliação
1. Construa uma planilha eletrônica para a seguinte situação:
 Um empréstimo de R$20.000,00 será pago utilizando-se o sistema de amortização francês, em 12 
prestações mensais postecipadas e com juros de 1,5% a.m. Em seguida, utilize os procedimentos 
de cálculo para saldo devedor, amortização e juros em um período qualquer e confira com os 
resultados obtidos na tabela.
2. Construa, em uma outra planilha eletrônica, a situação que segue:
 Um empréstimo de R$30.000,00 será pago utilizando-se o sistema SAP, com 6 prestações mensais 
postecipadas com juros de 1% a.m.
 Em seguida, utilize os procedimentos de cálculo para saldo devedor, amortização e juros em um 
período qualquer e confira com os resultados obtidos na tabela.
3. Uma pessoa paga prestações mensais, no sistema SAP, de R$1.501,16, a uma taxa de juros de 6,5% 
a.m./cm. Se o saldo devedor após uma determinada prestação é de R$9.991,88, calcule os saldos 
devedores referentes aos meses posterior e anterior.
 
 
4. Um empréstimo de R$22.800,00 foi amortizado via SAP em prestações mensais durante 4 anos, a 
uma taxa de juros de 36% a.a./c.m. Calcule:
a) a 15.ª quota de amortização.
 
b) os juros pagos na 20.ª prestação.
 
c) o total amortizado após o pagamento da 25.ª prestação.
 
d) o saldo devedor após o pagamento da 22.ª prestação. 
 
162 | Sistema de amortização progressiva (SAP)
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 
DI AGUSTINI, Carlos Alberto. Matemática Aplicada à Gestão de Negócios. Rio de Janeiro: FGV, 
2005.
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: economia, administra-
ção e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2000.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003.
163|Sistema de amortização progressiva (SAP)
Gabarito 
Atividades
1. a) R$96.000,00.
 b) 55,498454.
 c) R$1.729,78.
 d) 
n SD Amortização Juros PMT
0 96.000 0 0 0
1 SD1 = 95.710,22 A1 = 289,78 J1 = 1.440,00 1.729,78
2 SD2 = 95.416,10 A2 = 294,12 J2 = 1.435,65 1.729,78
3 SD3 = 95.714,64 A3 = 298,54 J3 = 1.431,24 1.729,78
 e) % Juros = 83,25%.
 % Amortizado = 16,75%.
 f ) R$74.648,34.
 g) A100 = 1.265,33 = 73,15%.
 J100= 464,45 = 26,85%.
164 | Sistema de amortização progressiva (SAP)
Autoavaliação
1. Questão aberta.
2. Questão aberta.
3. An-1 = R$10.791,59; An+1 = R$9.140,19.
4. a) R$330,30.
 b) R$519,46.
 c) R$7.961,61.
 d) R$16.131,53.
Resumo
Nesta aula, estudaremos o sistema de amortização constante (SAC), que, 
como o próprio nome diz, em vez de prestação fixa como o SAP, tem 
uma amortização fixa, ou seja, os juros e a prestação variam, mas a taxa 
de amortização permanece constante.
Sistema de amortização 
constante (SAC)
A planilha de cálculos no SAC
Como você sabe, prestação é o mesmo que jurosmais amortização:
PMT = J + At
Como os juros sempre são calculados sobre o saldo devedor (que, logicamente, tem de diminuir 
com o tempo) e a amortização é constante, o valor da prestação é decrescente ao longo do tempo.
Nesse sistema, as chamadas quotas de amortização (m) são calculadas dividindo-se a dívida total 
pelo número de prestações:
 
m = PMT
n
166 | Sistema de amortização constante (SAC)
Veja uma aplicação:
Um investidor fez um empréstimo de R$20.000,00 via SAC em 4 prestações mensais à taxa de 5% 
a.m./c.m. A partir disso, construa a planilha financeira de amortização da dívida.
Solução:
Primeiramente, calculamos as quotas de amortização (que são constantes) nas prestações:::::
m = = R$5.000,00=PMT
n
20.000
4
 e construímos uma tabela semelhante a do sistema de 
amortização francês, porém mais simples, já que podemos preencher toda a coluna do saldo 
devedor de uma só vez (como a amortização é constante, basta subtraírmos a cada linha o 
valor fixo da amortização).
A coluna dos juros também é muito simples, já que basta multiplicarmos a taxa fixa de juros ::::
pelo saldo devedor da coluna anterior e a prestação simplesmente é a soma da amortização 
(fixa) com os juros. Veja:
Mês (t) Saldo Devedor SDt = SDt–1– At
Amortização At
Juros 
Jt = i . SDt-1
Prestação 
PMT = At + Jt
0 20.000 0 0 0
1 SDt = 20.000 – 5 
000
SDt = 15.000
5.000 Jt = 0,05 . 20.000 
Jt = 1 000
5.000 + 1.000= 6.000
2 SDt = 15.000 – 5 
000
SDt = 10.000
5.000 Jt = 0,05 . 15.000 
Jt = 750
5.000 + 750 = 5.750
3 SDt = 10.000 – 5 
000 SDt = 5.000
5.000 Jt = 0,05 . 10.000 
Jt = 500
5.000 + 500 = 5.500
4 SDt = 5.000 – 5.000 
SDt = 0
5.000 Jt = 0,05 . 5.000 
Jt = 250
5.000 + 250 = 5.250
Na planilha Excel também podemos construir a situação anterior e, de forma eletrônica, temos a 
movimentação mês a mês. Veja:
 
167|Sistema de amortização constante (SAC)
Veja como ficaria essa situação no sistema de amortização progressiva (SAP):
PMT = VP
fvp . (i%,n)
PMT = 20.000 ÷ 3,545951
PMT = 5.640,24
Como você pôde perceber, dependendo do sistema de amortização utilizado, temos diferentes 
valores de prestações e cálculo da dívida. 
Cálculo das variáveis para um período qualquer no sistema SAC
Assim como no SAP, nesse sistema existem expressões matemáticas simples que permitem o cál-
culo direto das variáveis envolvidas quando não necessitamos da tabela por completo, mas em um só 
momento. Veja:
Quota de amortização (m)
A quota de amortização é constante e dada por m = PV
n
 
Saldo devedor (Sd)
Sd = PV . (1 – )
p
n
 
Em que: 
PV = valor presente das dívidas em questão
p = número da prestação na qual queremos calcular o saldo devedor
n = número de prestações
168 | Sistema de amortização constante (SAC)
Veja o cálculo do saldo devedor para o mês 3 de uma situação em que a dívida é de R$20.000,00 
e pagamento em 4 parcelas pelo sistema SAC:
 PV = 20.000
 p = 3 (queremos no terceiro mês)
 n = 4 (total de prestações)
 
Sd = 20.000 . (1 – 0,75)
Sd = 20.000 . (0,25)
Sd = 5.000
Sd = 20.000 . (1 – )
3
4
 
Prestações (PMTp)
PMTp = . [1 + (n – p + 1) . i]
PV
n
Veja o cálculo da quarta prestação do mesmo exemplo citado anteriormente:
PMT3 = 
PMT3 = 5.000 [1 + (2) . 0,05]
PMT3 = 5.000 . [1 + 0,1]
PMT3 = 5.000 . 1,1
PMT3 = 5.500 
. [1 + (4 – 3 + 1) . 0,05]20.000
4
Realizar cálculos pelo SAC é bastante simples, já que a amortização é constante e os juros incidem 
sobre um saldo devedor, portanto, de decréscimo linear. Isso implica em um cálculo de variáveis para 
um período qualquer bastante simplificado.
169|Sistema de amortização constante (SAC)
Atividades
 Um empresário fez, por meio do sistema SAC, um empréstimo de R$40.000,00 para ser pago em 
25 meses, em uma financeira que cobra taxa de juros de 4% a.m. A partir dessas informações, 
responda às questões que seguem.
a) Construa o quadro de amortização para os três primeiros meses.
b) Qual será o saldo devedor no 13.º mês?
 
 
c) Qual será o valor da prestação no 13.º mês?
 
 
d) Qual será o valor da última prestação?
 
 
e) Essa última prestação representa qual valor no ato do fechamento do empréstimo?
 
 
f ) Suponha que o empresário deseje, após o pagamento das seis primeiras prestações, quitar o 
saldo devedor, renegociando a dívida com juros de 3% a.m./c.m. para pagamento único em 
120 dias. Qual deverá ser o valor a pagar?
 
Ampliando conhecimentos
Crie uma planilha referente a uma situação de seu interesse ou necessidade, utilizando os con-
ceitos que estudamos do SAC. Procure fazer pelo menos uma planilha manual e, a mesma, no Excel. 
Compare os valores obtidos e calcule algumas das variáveis para um período qualquer. A partir disso, 
você poderá construir algo de sua necessidade e corrigir os resultados encontrados. 
170 | Sistema de amortização constante (SAC)
Autoavaliação
1. Construa em uma planilha eletrônica a seguinte situação:
 Um empréstimo de R$20.000,00 será pago utilizando-se o sistema de amortização constante 
(SAC), em 12 prestações mensais postecipadas e com juros de 1,5% a.m.
 Em seguida, utilize os procedimentos de cálculo para saldo devedor, amortização e juros em um 
período qualquer e confira com os resultados obtidos na tabela.
 
 
 
2. Construa, em uma outra planilha eletrônica, a situação que segue:
 Um empréstimo de R$30.000,00 será pago utilizando-se o SAC, com 6 prestações mensais poste-
cipadas com juros de 1% a.m.
 Em seguida, utilize os procedimentos de cálculo para saldo devedor, amortização e juros em um 
período qualquer e confira com os resultados obtidos na tabela.
 
 
 
 
3. Um empréstimo de R$250.000,00 deve ser pago, por meio do SAC, com juros de 8% a.m./c.m., e 
em 20 parcelas mensais. Qual será o valor da última parcela?
 
 
4. Um empréstimo no valor de R$80.000,00 será pago pelo SAC em 40 parcelas mensais. A taxa de 
juros da operação é de 4% a.m./c.m. Determine:
a) o valor das amortizações mensais.
 
 
b) o valor dos juros da prestação referente ao 22.º pagamento.
 
 
171|Sistema de amortização constante (SAC)
c) o valor da última prestação.
 
 
 
d) o saldo devedor após o pagamento da 10.ª prestação. 
 
 
 
Referências
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12 C, Microsoft 
Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
DI AGUSTINI, Carlos Alberto. Matemática Aplicada à Gestão de Negócios. Rio de Janeiro: FGV, 2005.
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY. Matemática Administração e Contabilidade. Porto Alegre: Bookman: 2002.
KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com o uso da HP-12 C. Novo Hamburgo: 
Feevale, 2003.
172 | Sistema de amortização constante (SAC)
Gabarito 
Atividades
1. a)
n Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 40.000 0 0 0
1 SD1 = 38.400,00 A1 = 1.600,00 J1 = 1.600,00 PMT1 = 3.200,00
2 SD2 = 36.800,00 A2 = 1.600,00 Jt = 1.536,00 PMT2 = 3.136,00
3 SD3 = 35.200,00 A3 = 1.600,00 Jt = 1.472,00 PMT2 = 3.072,00
 b) R$19.200,00.
 c) R$2.432,00.
 d) R$1.664,00.
 e) R$624,19.
 f ) Comentado.
 SD6 = R$30.400,00.
 VF = 34.215,47.
173|Sistema de amortização constante (SAC)
Autoavaliação
1. Questão aberta.
2. Questão aberta.
3. R$13.500,00.
4. a) R$2.000,00.
 b) J22 = R$1.520,00. 
 c) PMT40 = R$2.080,00.
 d) S10 = R$60.000,00.
174 | Sistema de amortização constante (SAC)
Anexos 
Tabela 1
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%
1 0,995025 0,990099 0,985222 0,980392 0,975610 0,970874 0,966184 0,961538 0,956938 0,952381
21,985099 1,970395 1,955883 1,941561 1,927424 1,913470 1,899694 1,886095 1,872668 1,859410
3 2,970248 2,940985 2,912200 2,883883 2,856024 2,828611 2,801637 2,775091 2,748964 2,723248
4 3,950496 3,901966 3,854385 3,807729 3,761974 3,717098 3,673079 3,629895 3,587526 3,545951
5 4,925866 4,853431 4,782645 4,713460 4,645828 4,579707 4,515052 4,451822 4,389977 4,329477
6 5,896384 5,795476 5,697187 5,601431 5,508125 5,417191 5,328553 5,242137 5,157872 5,075692
7 6,862074 6,728195 6,598214 6,471991 6,349391 6,230283 6,114544 6,002055 5,892701 5,786373
8 7,822959 7,651678 7,485925 7,325481 7,170137 7,019692 6,873956 6,732745 6,595886 6,463213
9 8,779064 8,566018 8,360517 8,162237 7,970866 7,786109 7,607687 7,435332 7,268790 7,107822
10 9,730412 9,471305 9,222185 8,982585 8,752064 8,530203 8,316605 8,110896 7,912718 7,721735
11 10,677027 10,367628 10,071118 9,786848 9,514209 9,252624 9,001551 8,760477 8,528917 8,306414
12 11,618932 11,255077 10,907505 10,575341 10,257765 9,954004 9,663334 9,385074 9,118581 8,863252
13 12,556151 12,133740 11,731532 11,348374 10,983185 10,634955 10,302738 9,985648 9,682852 9,393573
14 13,488708 13,003703 12,543382 12,106249 11,690912 11,296073 10,920520 10,563123 10,222825 9,898641
15 14,416625 13,865053 13,343233 12,849264 12,381378 11,937935 11,517411 11,118387 10,739546 10,379658
16 15,339925 14,717874 14,131264 13,577709 13,055003 12,561102 12,094117 11,652296 11,234015 10,837770
17 16,258632 15,562251 14,907649 14,291872 13,712198 13,166118 12,651321 12,165669 11,707191 11,274066
18 17,172768 16,398269 15,672561 14,992031 14,353364 13,753513 13,189682 12,659297 12,159992 11,689587
19 18,082356 17,226008 16,426168 15,678462 14,978891 14,323799 13,709837 13,133939 12,593294 12,085321
20 18,987419 18,045553 17,168639 16,351433 15,589162 14,877475 14,212403 13,590326 13,007936 12,462210
21 19,887979 18,856983 17,900137 17,011209 16,184549 15,415024 14,697974 14,029160 13,404724 12,821153
22 20,784059 19,660379 18,620824 17,658048 16,765413 15,936917 15,167125 14,451115 13,784425 13,163003
23 21,675681 20,455821 19,330861 18,292204 17,332110 16,443608 15,620410 14,856842 14,147775 13,488574
176 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%
24 22,562866 21,243387 20,030405 18,913926 17,884986 16,935542 16,058368 15,246963 14,495478 13,798642
25 23,445638 22,023156 20,719611 19,523456 18,424376 17,413148 16,481515 15,622080 14,828209 14,093945
26 24,324018 22,795204 21,398632 20,121036 18,950611 17,876842 16,890352 15,982769 15,146611 14,375185
27 25,198028 23,559608 22,067617 20,706898 19,464011 18,327031 17,285365 16,329586 15,451303 14,643034
28 26,067689 24,316443 22,726717 21,281272 19,964889 18,764108 17,667019 16,663063 15,742874 14,898127
29 26,933024 25,065785 23,376076 21,844385 20,453550 19,188455 18,035767 16,983715 16,021889 15,141074
30 27,794054 25,807708 24,015838 22,396456 20,930293 19,600441 18,392045 17,292033 16,288889 15,372451
31 28,650800 26,542285 24,646146 22,937702 21,395407 20,000428 18,736276 17,588494 16,544391 15,592811
32 29,503284 27,269589 25,267139 23,468335 21,849178 20,388766 19,068865 17,873551 16,788891 15,802677
33 30,351526 27,989693 25,878954 23,988564 22,291881 20,765792 19,390208 18,147646 17,022862 16,002549
34 31,195548 28,702666 26,481728 24,498592 22,723786 21,131837 19,700684 18,411198 17,246758 16,192904
35 32,035371 29,408580 27,075595 24,998619 23,145157 21,487220 20,000661 18,664613 17,461012 16,374194
36 32,871016 30,107505 27,660684 25,488842 23,556251 21,832252 20,290494 18,908282 17,666041 16,546852
37 33,702504 30,799510 28,237127 25,969453 23,957318 22,167235 20,570525 19,142579 17,862240 16,711287
38 34,529854 31,484663 28,805052 26,440641 24,348603 22,492462 20,841087 19,367864 18,049990 16,867893
39 35,353089 32,163033 29,364583 26,902589 24,730344 22,808215 21,102500 19,584485 18,229656 17,017041
40 36,172228 32,834686 29,915845 27,355479 25,102775 23,114772 21,355072 19,792774 18,401584 17,159086
41 36,987291 33,499689 30,458961 27,799489 25,466122 23,412400 21,599104 19,993052 18,566109 17,294368
42 37,798300 34,158108 30,994050 28,234794 25,820607 23,701359 21,834883 20,185627 18,723550 17,423208
43 38,605274 34,810008 31,521232 28,661562 26,166446 23,981902 22,062689 20,370795 18,874210 17,545912
44 39,408232 35,455454 32,040622 29,079963 26,503849 24,254274 22,282791 20,548841 19,018383 17,662773
45 40,207196 36,094508 32,552337 29,490160 26,833024 24,518713 22,495450 20,720040 19,156347 17,774070
46 41,002185 36,727236 33,056490 29,892314 27,154170 24,775449 22,700918 20,884654 19,288371 17,880066
47 41,793219 37,353699 33,553192 30,286582 27,467483 25,024708 22,899438 21,042936 19,414709 17,981016
48 42,580318 37,973959 34,042554 30,673120 27,773154 25,266707 23,091244 21,195131 19,535607 18,077158
49 43,363500 38,588079 34,524683 31,052078 28,071369 25,501657 23,276564 21,341472 19,651298 18,168722
50 44,142786 39,196118 34,999688 31,423606 28,362312 25,729764 23,455618 21,482185 19,762008 18,255925
Anexos 177
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 5,50% 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% 8,00% 8,50% 9,00% 9,50% 10,00%
1 0,947867 0,943396 0,938967 0,934579 0,930233 0,925926 0,921659 0,917431 0,913242 0,909091
2 1,846320 1,833393 1,820626 1,808018 1,795565 1,783265 1,771114 1,759111 1,747253 1,735537
3 2,697933 2,673012 2,648476 2,624316 2,600526 2,577097 2,554022 2,531295 2,508907 2,486852
4 3,505150 3,465106 3,425799 3,387211 3,349326 3,312127 3,275597 3,239720 3,204481 3,169865
5 4,270284 4,212364 4,155679 4,100197 4,045885 3,992710 3,940642 3,889651 3,839709 3,790787
6 4,995530 4,917324 4,841014 4,766540 4,693846 4,622880 4,553587 4,485919 4,419825 4,355261
7 5,682967 5,582381 5,484520 5,389289 5,296601 5,206370 5,118514 5,032953 4,949612 4,868419
8 6,334566 6,209794 6,088751 5,971299 5,857304 5,746639 5,639183 5,534819 5,433436 5,334926
9 6,952195 6,801692 6,656104 6,515232 6,378887 6,246888 6,119063 5,995247 5,875284 5,759024
10 7,537626 7,360087 7,188830 7,023582 6,864081 6,710081 6,561348 6,417658 6,278798 6,144567
11 8,092536 7,886875 7,689042 7,498674 7,315424 7,138964 6,968984 6,805191 6,647304 6,495061
12 8,618518 8,383844 8,158725 7,942686 7,735278 7,536078 7,344686 7,160725 6,983839 6,813692
13 9,117079 8,852683 8,599742 8,357651 8,125840 7,903776 7,690955 7,486904 7,291178 7,103356
14 9,589648 9,294984 9,013842 8,745468 8,489154 8,244237 8,010097 7,786150 7,571852 7,366687
15 10,037581 9,712249 9,402669 9,107914 8,827120 8,559479 8,304237 8,060688 7,828175 7,606080
16 10,462162 10,105895 9,767764 9,446649 9,141507 8,851369 8,575333 8,312558 8,062260 7,823709
17 10,864609 10,477260 10,110577 9,763223 9,433960 9,121638 8,825192 8,543631 8,276037 8,021553
18 11,246074 10,827603 10,432466 10,059087 9,706009 9,371887 9,055476 8,755625 8,471266 8,201412
19 11,607654 11,158116 10,734710 10,335595 9,959078 9,603599 9,267720 8,950115 8,649558 8,364920
20 11,950382 11,469921 11,018507 10,594014 10,194491 9,818147 9,463337 9,128546 8,812382 8,513564
21 12,275244 11,764077 11,284983 10,835527 10,413480 10,016803 9,643628 9,292244 8,961080 8,648694
22 12,583170 12,041582 11,535196 11,061240 10,617191 10,200744 9,809796 9,442425 9,096876 8,771540
23 12,875042 12,303379 11,770137 11,272187 10,806689 10,371059 9,962945 9,580207 9,220892 8,883218
24 13,151699 12,550358 11,990739 11,469334 10,982967 10,528758 10,104097 9,706612 9,334148 8,984744
25 13,413933 12,783356 12,197877 11,653583 11,146946 10,674776 10,234191 9,822580 9,437578 9,077040
26 13,662495 13,003166 12,392373 11,825779 11,299485 10,809978 10,354093 9,928972 9,532034 9,160945
27 13,898100 13,210534 12,574998 11,986709 11,441381 10,935165 10,464602 10,026580 9,618296 9,237223
28 14,121422 13,406164 12,746477 12,13711111,573378 11,051078 10,566453 10,116128 9,697074 9,306567
29 14,333101 13,590721 12,907490 12,277674 11,696165 11,158406 10,660326 10,198283 9,769018 9,369606
30 14,533745 13,764831 13,058676 12,409041 11,810386 11,257783 10,746844 10,273654 9,834719 9,426914
31 14,723929 13,929086 13,200635 12,531814 11,916638 11,349799 10,826584 10,342802 9,894721 9,479013
32 14,904198 14,084043 13,333929 12,646555 12,015478 11,434999 10,900078 10,406240 9,949517 9,526376
33 15,075069 14,230230 13,459088 12,753790 12,107421 11,513888 10,967813 10,464441 9,999559 9,569432
34 15,237033 14,368141 13,576609 12,854009 12,192950 11,586934 11,030243 10,517835 10,045259 9,608575
35 15,390552 14,498246 13,686957 12,947672 12,272511 11,654568 11,087781 10,566821 10,086995 9,644159
36 15,536068 14,620987 13,790570 13,035208 12,346522 11,717193 11,140812 10,611763 10,125109 9,676508
37 15,673999 14,736780 13,887859 13,117017 12,415370 11,775179 11,189689 10,652993 10,159917 9,705917
38 15,804738 14,846019 13,979210 13,193473 12,479414 11,828869 11,234736 10,690820 10,191705 9,732651
39 15,928662 14,949075 14,064986 13,264928 12,538989 11,878582 11,276255 10,725523 10,220735 9,756956
40 16,046125 15,046297 14,145527 13,331709 12,594409 11,924613 11,314520 10,757360 10,247247 9,779051
178 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 5,50% 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% 8,00% 8,50% 9,00% 9,50% 10,00%
41 16,157464 15,138016 14,221152 13,394120 12,645962 11,967235 11,349788 10,786569 10,271458 9,799137
42 16,262999 15,224543 14,292161 13,452449 12,693918 12,006699 11,382293 10,813366 10,293569 9,817397
43 16,363032 15,306173 14,358837 13,506962 12,738528 12,043240 11,412252 10,837950 10,313762 9,833998
44 16,457851 15,383182 14,421443 13,557908 12,780026 12,077074 11,439864 10,860505 10,332203 9,849089
45 16,547726 15,455832 14,480228 13,605522 12,818629 12,108402 11,465312 10,881197 10,349043 9,862808
46 16,632915 15,524370 14,535426 13,650020 12,854539 12,137409 11,488767 10,900181 10,364423 9,875280
47 16,713664 15,589028 14,587254 13,691608 12,887943 12,164267 11,510384 10,917597 10,378469 9,886618
48 16,790203 15,650027 14,635919 13,730474 12,919017 12,189136 11,530308 10,933575 10,391296 9,896926
49 16,862751 15,707572 14,681615 13,766799 12,947922 12,212163 11,548671 10,948234 10,403010 9,906296
50 16,931518 15,761861 14,724521 13,800746 12,974812 12,233485 11,565595 10,961683 10,413707 9,914814
Anexos 179
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 10,50% 11,00% 11,50% 12,00% 12,50% 13,00% 13,50% 14,00% 14,50% 15,00%
1 0,904977 0,900901 0,896861 0,892857 0,888889 0,884956 0,881057 0,877193 0,873362 0,869565
2 1,723961 1,712523 1,701221 1,690051 1,679012 1,668102 1,657319 1,646661 1,636124 1,625709
3 2,465123 2,443715 2,422619 2,401831 2,381344 2,361153 2,341250 2,321632 2,302292 2,283225
4 3,135858 3,102446 3,069614 3,037349 3,005639 2,974471 2,943833 2,913712 2,884098 2,854978
5 3,742858 3,695897 3,649878 3,604776 3,560568 3,517231 3,474743 3,433081 3,392225 3,352155
6 4,292179 4,230538 4,170294 4,111407 4,053839 3,997550 3,942505 3,888668 3,836005 3,784483
7 4,789303 4,712196 4,637035 4,563757 4,492301 4,422610 4,354630 4,288305 4,223585 4,160420
8 5,239188 5,146123 5,055637 4,967640 4,882045 4,798770 4,717735 4,638864 4,562083 4,487322
9 5,646324 5,537048 5,431064 5,328250 5,228485 5,131655 5,037652 4,946372 4,857714 4,771584
10 6,014773 5,889232 5,767771 5,650223 5,536431 5,426243 5,319517 5,216116 5,115908 5,018769
11 6,348211 6,206515 6,069750 5,937699 5,810161 5,686941 5,567857 5,452733 5,341404 5,233712
12 6,649964 6,492356 6,340583 6,194374 6,053476 5,917647 5,786658 5,660292 5,538344 5,420619
13 6,923045 6,749870 6,583482 6,423548 6,269757 6,121812 5,979434 5,842362 5,710344 5,583147
14 7,170176 6,981865 6,801329 6,628168 6,462006 6,302488 6,149281 6,002072 5,860563 5,724476
15 7,393825 7,190870 6,996708 6,810864 6,632894 6,462379 6,298926 6,142168 5,991758 5,847370
16 7,596221 7,379162 7,171935 6,973986 6,784795 6,603875 6,430772 6,265060 6,106339 5,954235
17 7,779386 7,548794 7,329090 7,119630 6,919818 6,729093 6,546936 6,372859 6,206409 6,047161
18 7,945146 7,701617 7,470036 7,249670 7,039838 6,839905 6,649283 6,467420 6,293807 6,127966
19 8,095154 7,839294 7,596445 7,365777 7,146523 6,937969 6,739456 6,550369 6,370137 6,198231
20 8,230909 7,963328 7,709816 7,469444 7,241353 7,024752 6,818904 6,623131 6,436801 6,259331
21 8,353764 8,075070 7,811494 7,562003 7,325647 7,101550 6,888902 6,686957 6,495023 6,312462
22 8,464945 8,175739 7,902685 7,644646 7,400575 7,169513 6,950575 6,742944 6,545871 6,358663
23 8,565561 8,266432 7,984471 7,718434 7,467178 7,229658 7,004912 6,792056 6,590281 6,398837
24 8,656616 8,348137 8,057822 7,784316 7,526381 7,282883 7,052786 6,835137 6,629066 6,433771
25 8,739019 8,421745 8,123607 7,843139 7,579005 7,329985 7,094965 6,872927 6,662940 6,464149
26 8,813592 8,488058 8,182607 7,895660 7,625782 7,371668 7,132128 6,906077 6,692524 6,490564
27 8,881079 8,547800 8,235522 7,942554 7,667362 7,408556 7,164870 6,935155 6,718362 6,513534
28 8,942153 8,601622 8,282979 7,984423 7,704322 7,441200 7,193718 6,960662 6,740927 6,533508
29 8,997423 8,650110 8,325542 8,021806 7,737175 7,470088 7,219135 6,983037 6,760635 6,550877
30 9,047442 8,693793 8,363715 8,055184 7,766378 7,495653 7,241529 7,002664 6,777847 6,565980
31 9,092707 8,733146 8,397951 8,084986 7,792336 7,518277 7,261259 7,019881 6,792880 6,579113
32 9,133672 8,768600 8,428655 8,111594 7,815410 7,538299 7,278642 7,034983 6,806008 6,590533
33 9,170744 8,800541 8,456193 8,135352 7,835920 7,556016 7,293958 7,048231 6,817475 6,600463
34 9,204293 8,829316 8,480891 8,156564 7,854151 7,571696 7,307452 7,059852 6,827489 6,609099
35 9,234654 8,855240 8,503041 8,175504 7,870356 7,585572 7,319341 7,070045 6,836235 6,616607
36 9,262131 8,878594 8,522907 8,192414 7,884761 7,597851 7,329816 7,078987 6,843873 6,623137
37 9,286996 8,899635 8,540723 8,207513 7,897565 7,608718 7,339045 7,086831 6,850544 6,628815
38 9,309499 8,918590 8,556703 8,220993 7,908947 7,618334 7,347176 7,093711 6,856370 6,633752
39 9,329863 8,935666 8,571034 8,233030 7,919064 7,626844 7,354340 7,099747 6,861459 6,638045
40 9,348292 8,951051 8,583887 8,243777 7,928057 7,634376 7,360652 7,105041 6,865903 6,641778
180 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 10,50% 11,00% 11,50% 12,00% 12,50% 13,00% 13,50% 14,00% 14,50% 15,00%
41 9,364970 8,964911 8,595414 8,253372 7,936051 7,641040 7,366213 7,109685 6,869784 6,645025
42 9,380064 8,977397 8,605753 8,261939 7,943156 7,646938 7,371113 7,113759 6,873174 6,647848
43 9,393723 8,988646 8,615025 8,269589 7,949472 7,652158 7,375430 7,117332 6,876135 6,650302
44 9,406084 8,998780 8,623341 8,276418 7,955086 7,656777 7,379233 7,120467 6,878720 6,652437
45 9,417271 9,007910 8,630799 8,282516 7,960077 7,660864 7,382585 7,123217 6,880978 6,654293
46 9,427394 9,016135 8,637488 8,287961 7,964513 7,664482 7,385537 7,125629 6,882950 6,655907
47 9,436556 9,023545 8,643487 8,292822 7,968456 7,667683 7,388138 7,127744 6,884673 6,657310
48 9,444847 9,030221 8,648867 8,297163 7,971961 7,670516 7,390430 7,129600 6,886177 6,658531
49 9,452350 9,036235 8,653692 8,301038 7,975076 7,673023 7,392450 7,131228 6,887491 6,659592
50 9,459140 9,041653 8,658020 8,304498 7,977845 7,675242 7,394229 7,132656 6,888638 6,660515
Anexos 181
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 15,50% 16,00% 16,50% 17,00% 17,50% 18,00% 18,50% 19,00% 19,50% 20,00%
1 0,865801 0,862069 0,858369 0,854701 0,851064 0,847458 0,843882 0,840336 0,836820 0,833333
2 1,615412 1,605232 1,595167 1,585214 1,575373 1,565642 1,556018 1,546501 1,537088 1,527778
3 2,264426 2,245890 2,227611 2,209585 2,191807 2,174273 2,156978 2,139917 2,123086 2,106481
4 2,8263432,798181 2,770481 2,743235 2,716432 2,690062 2,664116 2,638586 2,613461 2,588735
5 3,312851 3,274294 3,236465 3,199346 3,162921 3,127171 3,092081 3,057635 3,023817 2,990612
6 3,734070 3,684736 3,636450 3,589185 3,542911 3,497603 3,453233 3,409777 3,367211 3,325510
7 4,098762 4,038565 3,979786 3,922380 3,866307 3,811528 3,758003 3,705695 3,654570 3,604592
8 4,414513 4,343591 4,274494 4,207163 4,141538 4,077566 4,015192 3,954366 3,895037 3,837160
9 4,687890 4,606544 4,527463 4,450566 4,375777 4,303022 4,232230 4,163332 4,096266 4,030967
10 4,924580 4,833227 4,744603 4,658604 4,575129 4,494086 4,415384 4,338935 4,264657 4,192472
11 5,129506 5,028644 4,930990 4,836413 4,744791 4,656005 4,569944 4,486500 4,405571 4,327060
12 5,306932 5,197107 5,090978 4,988387 4,889184 4,793225 4,700375 4,610504 4,523490 4,439217
13 5,460547 5,342334 5,228308 5,118280 5,012071 4,909513 4,810443 4,714709 4,622168 4,532681
14 5,593547 5,467529 5,346187 5,229299 5,116657 5,008062 4,903327 4,802277 4,704743 4,610567
15 5,708699 5,575456 5,447371 5,324187 5,205665 5,091578 4,981711 4,875863 4,773843 4,675473
16 5,808397 5,668497 5,534224 5,405288 5,281417 5,162354 5,047857 4,937700 4,831668 4,729561
17 5,894716 5,748704 5,608776 5,474605 5,345887 5,222334 5,103677 4,989664 4,880057 4,774634
18 5,969451 5,817848 5,672769 5,533851 5,400755 5,273164 5,150782 5,033331 4,920550 4,812195
19 6,034157 5,877455 5,727699 5,584488 5,447451 5,316241 5,190534 5,070026 4,954435 4,843496
20 6,090179 5,928841 5,774849 5,627767 5,487192 5,352746 5,224079 5,100862 4,982791 4,869580
21 6,138683 5,973139 5,815321 5,664758 5,521015 5,383683 5,252387 5,126775 5,006519 4,891316
22 6,180678 6,011326 5,850061 5,696375 5,549800 5,409901 5,276276 5,148550 5,026376 4,909430
23 6,217037 6,044247 5,879880 5,723397 5,574298 5,432120 5,296436 5,166849 5,042993 4,924525
24 6,248517 6,072627 5,905477 5,746493 5,595147 5,450949 5,313448 5,182226 5,056898 4,937104
25 6,275772 6,097092 5,927448 5,766234 5,612891 5,466906 5,327804 5,195148 5,068534 4,947587
26 6,299370 6,118183 5,946307 5,783106 5,627992 5,480429 5,339919 5,206007 5,078271 4,956323
27 6,319801 6,136364 5,962495 5,797526 5,640845 5,491889 5,350143 5,215132 5,086419 4,963602
28 6,337490 6,152038 5,976391 5,809851 5,651783 5,501601 5,358770 5,222800 5,093238 4,969668
29 6,352805 6,165550 5,988318 5,820386 5,661092 5,509831 5,366051 5,229243 5,098944 4,974724
30 6,366065 6,177198 5,998557 5,829390 5,669014 5,516806 5,372195 5,234658 5,103719 4,978936
31 6,377546 6,187240 6,007345 5,837085 5,675757 5,522717 5,377380 5,239209 5,107714 4,982447
32 6,387485 6,195897 6,014888 5,843663 5,681495 5,527726 5,381755 5,243033 5,111058 4,985372
33 6,396091 6,203359 6,021363 5,849284 5,686379 5,531971 5,385447 5,246246 5,113856 4,987810
34 6,403542 6,209792 6,026921 5,854089 5,690535 5,535569 5,388563 5,248946 5,116198 4,989842
35 6,409993 6,215338 6,031692 5,858196 5,694072 5,538618 5,391192 5,251215 5,118157 4,991535
36 6,415579 6,220119 6,035787 5,861706 5,697083 5,541201 5,393411 5,253122 5,119797 4,992946
37 6,420414 6,224241 6,039302 5,864706 5,699645 5,543391 5,395284 5,254724 5,121169 4,994122
38 6,424601 6,227794 6,042320 5,867270 5,701826 5,545247 5,396864 5,256071 5,122317 4,995101
39 6,428226 6,230857 6,044909 5,869461 5,703681 5,546819 5,398197 5,257202 5,123278 4,995918
40 6,431365 6,233497 6,047133 5,871335 5,705261 5,548152 5,399323 5,258153 5,124082 4,996598
182 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 15,50% 16,00% 16,50% 17,00% 17,50% 18,00% 18,50% 19,00% 19,50% 20,00%
41 6,434082 6,235773 6,049041 5,872936 5,706605 5,549281 5,400272 5,258952 5,124755 4,997165
42 6,436435 6,237736 6,050679 5,874304 5,707749 5,550238 5,401074 5,259624 5,125318 4,997638
43 6,438471 6,239427 6,052085 5,875473 5,708722 5,551049 5,401750 5,260188 5,125789 4,998031
44 6,440235 6,240886 6,053292 5,876473 5,709551 5,551737 5,402321 5,260662 5,126183 4,998359
45 6,441762 6,242143 6,054328 5,877327 5,710256 5,552319 5,402802 5,261061 5,126513 4,998633
46 6,443084 6,243227 6,055217 5,878058 5,710856 5,552813 5,403209 5,261396 5,126789 4,998861
47 6,444229 6,244161 6,055980 5,878682 5,711367 5,553231 5,403552 5,261677 5,127020 4,999051
48 6,445219 6,244966 6,056635 5,879215 5,711802 5,553586 5,403841 5,261913 5,127214 4,999209
49 6,446077 6,245661 6,057198 5,879671 5,712172 5,553886 5,404085 5,262112 5,127375 4,999341
50 6,446820 6,246259 6,057680 5,880061 5,712487 5,554141 5,404291 5,262279 5,127511 4,999451
Anexos 183
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 20,50% 21,00% 21,50% 22,00% 22,50% 23,00% 23,50% 24,00% 24,50% 25,00%
1 0,829876 0,826446 0,823045 0,819672 0,816327 0,813008 0,809717 0,806452 0,803213 0,800000
2 1,518569 1,509460 1,500449 1,491535 1,482716 1,473990 1,465358 1,456816 1,448364 1,440000
3 2,090099 2,073934 2,057983 2,042241 2,026707 2,011374 1,996241 1,981303 1,966557 1,952000
4 2,564397 2,540441 2,516858 2,493641 2,470781 2,448272 2,426106 2,404277 2,382777 2,361600
5 2,958006 2,925984 2,894533 2,863640 2,833291 2,803473 2,774175 2,745384 2,717090 2,689280
6 3,284652 3,244615 3,205377 3,166918 3,129217 3,092254 3,056012 3,020471 2,985614 2,951424
7 3,555728 3,507946 3,461216 3,415506 3,370789 3,327036 3,284220 3,242316 3,201297 3,161139
8 3,780687 3,725576 3,671783 3,619268 3,567991 3,517916 3,469004 3,421222 3,374535 3,328911
9 3,967375 3,905434 3,845089 3,786285 3,728972 3,673102 3,618627 3,565502 3,513683 3,463129
10 4,122303 4,054078 3,987727 3,923184 3,860386 3,799270 3,739779 3,681856 3,625448 3,570503
11 4,250874 4,176924 4,105125 4,035397 3,967662 3,901846 3,837878 3,775691 3,715220 3,656403
12 4,357572 4,278450 4,201749 4,127375 4,055234 3,985240 3,917310 3,851363 3,787325 3,725122
13 4,446118 4,362355 4,281275 4,202766 4,126722 4,053041 3,981627 3,912390 3,845241 3,780098
14 4,519600 4,431698 4,346728 4,264562 4,185079 4,108163 4,033706 3,961605 3,891760 3,824078
15 4,580581 4,489007 4,400600 4,315215 4,232717 4,152978 4,075876 4,001294 3,929124 3,859263
16 4,631187 4,536369 4,444938 4,356734 4,271606 4,189413 4,110021 4,033302 3,959136 3,887410
17 4,673184 4,575512 4,481430 4,390765 4,303352 4,219035 4,137669 4,059114 3,983242 3,909928
18 4,708037 4,607861 4,511465 4,418660 4,329267 4,243118 4,160056 4,079931 4,002604 3,927942
19 4,736960 4,634596 4,536185 4,441525 4,350422 4,262698 4,178183 4,096718 4,018156 3,942354
20 4,760963 4,656691 4,556531 4,460266 4,367691 4,278616 4,192860 4,110257 4,030647 3,953883
21 4,780882 4,674951 4,573277 4,475628 4,381789 4,291558 4,204745 4,121175 4,040680 3,963107
22 4,797412 4,690042 4,587059 4,488220 4,393297 4,302079 4,214369 4,129980 4,048739 3,970485
23 4,811131 4,702514 4,598403 4,498541 4,402691 4,310634 4,222161 4,137080 4,055212 3,976388
24 4,822515 4,712822 4,607739 4,507001 4,410360 4,317588 4,228470 4,142807 4,060411 3,981111
25 4,831963 4,721340 4,615423 4,513935 4,416621 4,323243 4,233579 4,147425 4,064588 3,984888
26 4,839803 4,728380 4,621747 4,519619 4,421731 4,327839 4,237716 4,151149 4,067942 3,987911
27 4,846310 4,734199 4,626952 4,524278 4,425903 4,331577 4,241066 4,154152 4,070636 3,990329
28 4,851709 4,739007 4,631237 4,528096 4,429309 4,334615 4,243778 4,156575 4,072800 3,992263
29 4,856190 4,742981 4,634763 4,531227 4,432089 4,337086 4,245974 4,158528 4,074538 3,993810
30 4,859909 4,746265 4,637665 4,533792 4,434358 4,339094 4,247752 4,160103 4,075934 3,995048
31 4,862995 4,748980 4,640053 4,535895 4,436211 4,340727 4,249192 4,161373 4,077056 3,996039
32 4,865556 4,751223 4,642019 4,537619 4,437723 4,342054 4,250358 4,162398 4,077956 3,996831
33 4,867681 4,753077 4,643637 4,539032 4,438958 4,343134 4,251302 4,163224 4,078680 3,997465
34 4,869445 4,754609 4,644969 4,540190 4,439965 4,344011 4,252066 4,163890 4,079261 3,99797235 4,870909 4,755875 4,646065 4,541140 4,440788 4,344724 4,252685 4,164428 4,079728 3,998377
36 4,872123 4,756922 4,646967 4,541918 4,441460 4,345304 4,253186 4,164861 4,080102 3,998702
37 4,873131 4,757786 4,647709 4,542555 4,442008 4,345776 4,253592 4,165211 4,080404 3,998962
38 4,873968 4,758501 4,648321 4,543078 4,442455 4,346159 4,253921 4,165492 4,080645 3,999169
39 4,874662 4,759092 4,648823 4,543507 4,442821 4,346471 4,254187 4,165720 4,080840 3,999335
40 4,875238 4,759580 4,649237 4,543858 4,443119 4,346724 4,254402 4,165903 4,080996 3,999468
184 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 20,50% 21,00% 21,50% 22,00% 22,50% 23,00% 23,50% 24,00% 24,50% 25,00%
41 4,875717 4,759984 4,649578 4,544146 4,443362 4,346930 4,254577 4,166051 4,081121 3,999575
42 4,876113 4,760317 4,649859 4,544382 4,443561 4,347098 4,254718 4,166170 4,081222 3,999660
43 4,876443 4,760593 4,650089 4,544575 4,443723 4,347234 4,254832 4,166266 4,081303 3,999728
44 4,876716 4,760820 4,650279 4,544734 4,443856 4,347345 4,254925 4,166344 4,081368 3,999782
45 4,876943 4,761008 4,650436 4,544864 4,443964 4,347435 4,255000 4,166406 4,081420 3,999826
46 4,877131 4,761164 4,650564 4,544970 4,444052 4,347508 4,255061 4,166457 4,081462 3,999861
47 4,877287 4,761293 4,650670 4,545058 4,444124 4,347567 4,255110 4,166497 4,081495 3,999888
48 4,877417 4,761399 4,650757 4,545129 4,444183 4,347616 4,255150 4,166530 4,081522 3,999911
49 4,877524 4,761487 4,650829 4,545188 4,444231 4,347655 4,255182 4,166556 4,081544 3,999929
50 4,877613 4,761559 4,650888 4,545236 4,444270 4,347687 4,255208 4,166578 4,081561 3,999943
Anexos 185
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 25,50% 26,00% 26,50% 27,00% 27,50% 28,00% 28,50% 29,00% 29,50% 30,00%
1 0,796813 0,793651 0,790514 0,787402 0,784314 0,781250 0,778210 0,775194 0,772201 0,769231
2 1,431723 1,423532 1,415426 1,407403 1,399462 1,391602 1,383821 1,376119 1,368495 1,360947
3 1,937628 1,923438 1,909428 1,895593 1,881931 1,868439 1,855114 1,841953 1,828954 1,816113
4 2,340740 2,320189 2,299943 2,279994 2,260338 2,240968 2,221878 2,203064 2,184520 2,166241
5 2,661944 2,635071 2,608650 2,582673 2,557128 2,532006 2,507298 2,482996 2,459089 2,435570
6 2,917884 2,884977 2,852688 2,821002 2,789904 2,759380 2,729415 2,699997 2,671111 2,642746
7 3,121820 3,083315 3,045603 3,008663 2,972474 2,937015 2,902269 2,868214 2,834835 2,802112
8 3,284318 3,240726 3,198105 3,156428 3,115666 3,075793 3,036785 2,998616 2,961262 2,924702
9 3,413800 3,365656 3,318660 3,272778 3,227973 3,184214 3,141467 3,099702 3,058890 3,019001
10 3,516972 3,464806 3,413961 3,364392 3,316057 3,268917 3,222931 3,178064 3,134278 3,091539
11 3,599181 3,543497 3,489297 3,436529 3,385143 3,335091 3,286328 3,238809 3,192493 3,147338
12 3,664686 3,605950 3,548851 3,493330 3,439328 3,386790 3,335664 3,285899 3,237446 3,190260
13 3,716881 3,655516 3,595930 3,538055 3,481826 3,427180 3,374057 3,322402 3,272159 3,223277
14 3,758471 3,694854 3,633146 3,573272 3,515157 3,458734 3,403936 3,350699 3,298965 3,248675
15 3,791610 3,726074 3,662566 3,601001 3,541300 3,483386 3,427187 3,372635 3,319664 3,268211
16 3,818016 3,750853 3,685823 3,622836 3,561804 3,502645 3,445282 3,389640 3,335648 3,283239
17 3,839057 3,770518 3,704208 3,640028 3,577885 3,517692 3,459363 3,402821 3,347990 3,294800
18 3,855822 3,786125 3,718741 3,653565 3,590498 3,529447 3,470322 3,413040 3,357522 3,303692
19 3,869181 3,798512 3,730230 3,664225 3,600391 3,538630 3,478850 3,420961 3,364882 3,310532
20 3,879825 3,808343 3,739313 3,672618 3,608150 3,545805 3,485486 3,427102 3,370565 3,315794
21 3,888307 3,816145 3,746492 3,679227 3,614235 3,551410 3,490651 3,431862 3,374954 3,319842
22 3,895065 3,822338 3,752168 3,684430 3,619008 3,555789 3,494670 3,435552 3,378343 3,322955
23 3,900451 3,827252 3,756654 3,688528 3,622751 3,559210 3,497797 3,438412 3,380959 3,325350
24 3,904741 3,831152 3,760201 3,691754 3,625687 3,561883 3,500231 3,440630 3,382980 3,327192
25 3,908161 3,834248 3,763005 3,694295 3,627990 3,563971 3,502126 3,442349 3,384541 3,328609
26 3,910885 3,836705 3,765221 3,696295 3,629796 3,565602 3,503600 3,443681 3,385746 3,329700
27 3,913056 3,838655 3,766973 3,697870 3,631213 3,566877 3,504747 3,444714 3,386676 3,330538
28 3,914785 3,840202 3,768358 3,699110 3,632324 3,567873 3,505640 3,445515 3,387395 3,331183
29 3,916164 3,841430 3,769453 3,700087 3,633195 3,568650 3,506334 3,446135 3,387950 3,331679
30 3,917262 3,842405 3,770319 3,700856 3,633878 3,569258 3,506875 3,446617 3,388378 3,332061
31 3,918137 3,843178 3,771003 3,701461 3,634414 3,569733 3,507296 3,446990 3,388709 3,332355
32 3,918834 3,843792 3,771544 3,701938 3,634835 3,570104 3,507623 3,447279 3,388964 3,332581
33 3,919390 3,844280 3,771971 3,702313 3,635165 3,570394 3,507878 3,447503 3,389162 3,332754
34 3,919833 3,844666 3,772309 3,702609 3,635423 3,570620 3,508076 3,447677 3,389314 3,332888
35 3,920185 3,844973 3,772577 3,702842 3,635626 3,570797 3,508230 3,447811 3,389432 3,332991
36 3,920466 3,845217 3,772788 3,703025 3,635785 3,570935 3,508351 3,447916 3,389523 3,333070
37 3,920690 3,845410 3,772955 3,703169 3,635910 3,571043 3,508444 3,447997 3,389593 3,333131
38 3,920869 3,845564 3,773087 3,703283 3,636008 3,571127 3,508517 3,448059 3,389647 3,333177
39 3,921011 3,845685 3,773191 3,703372 3,636085 3,571193 3,508573 3,448108 3,389689 3,333213
40 3,921124 3,845782 3,773274 3,703443 3,636145 3,571245 3,508617 3,448146 3,389721 3,333241
186 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Presente – fvp (i%, n)
Período 25,50% 26,00% 26,50% 27,00% 27,50% 28,00% 28,50% 29,00% 29,50% 30,00%
41 3,921215 3,845859 3,773339 3,703498 3,636192 3,571285 3,508652 3,448175 3,389746 3,333262
42 3,921287 3,845920 3,773390 3,703542 3,636229 3,571316 3,508678 3,448198 3,389765 3,333279
43 3,921344 3,845968 3,773431 3,703576 3,636258 3,571341 3,508699 3,448215 3,389780 3,333291
44 3,921390 3,846006 3,773463 3,703603 3,636281 3,571360 3,508715 3,448229 3,389792 3,333301
45 3,921426 3,846037 3,773489 3,703625 3,636299 3,571375 3,508728 3,448239 3,389800 3,333308
46 3,921455 3,846061 3,773509 3,703642 3,636313 3,571387 3,508738 3,448248 3,389807 3,333314
47 3,921478 3,846080 3,773525 3,703655 3,636324 3,571396 3,508745 3,448254 3,389813 3,333319
48 3,921496 3,846095 3,773537 3,703665 3,636332 3,571403 3,508751 3,448259 3,389817 3,333322
49 3,921511 3,846107 3,773547 3,703673 3,636339 3,571409 3,508756 3,448263 3,389820 3,333325
50 3,921523 3,846117 3,773555 3,703680 3,636344 3,571413 3,508759 3,448266 3,389822 3,333327
Anexos 187
Tabela 2
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,005000 2,010000 2,015000 2,020000 2,025000 2,030000 2,035000 2,040000 2,045000 2,050000
3 3,015025 3,030100 3,045225 3,060400 3,075625 3,090900 3,106225 3,121600 3,137025 3,152500
4 4,030100 4,060401 4,090903 4,121608 4,152516 4,183627 4,214943 4,246464 4,278191 4,310125
5 5,050251 5,101005 5,152267 5,204040 5,256329 5,309136 5,362466 5,416323 5,470710 5,525631
6 6,075502 6,152015 6,229551 6,308121 6,387737 6,468410 6,550152 6,632975 6,716892 6,801913
7 7,105879 7,213535 7,322994 7,434283 7,547430 7,662462 7,779408 7,898294 8,019152 8,142008
8 8,141409 8,285671 8,432839 8,582969 8,736116 8,892336 9,051687 9,214226 9,380014 9,549109
9 9,182116 9,368527 9,559332 9,754628 9,954519 10,159106 10,368496 10,582795 10,802114 11,026564
10 10,228026 10,462213 10,702722 10,949721 11,203382 11,463879 11,731393 12,006107 12,288209 12,577893
11 11,279167 11,566835 11,863262 12,168715 12,483466 12,807796 13,141992 13,486351 13,841179 14,206787
12 12,335562 12,682503 13,041211 13,412090 13,79555314,192030 14,601962 15,025805 15,464032 15,917127
13 13,397240 13,809328 14,236830 14,680332 15,140442 15,617790 16,113030 16,626838 17,159913 17,712983
14 14,464226 14,947421 15,450382 15,973938 16,518953 17,086324 17,676986 18,291911 18,932109 19,598632
15 15,536548 16,096896 16,682138 17,293417 17,931927 18,598914 19,295681 20,023588 20,784054 21,578564
16 16,614230 17,257864 17,932370 18,639285 19,380225 20,156881 20,971030 21,824531 22,719337 23,657492
17 17,697301 18,430443 19,201355 20,012071 20,864730 21,761588 22,705016 23,697512 24,741707 25,840366
18 18,785788 19,614748 20,489376 21,412312 22,386349 23,414435 24,499691 25,645413 26,855084 28,132385
19 19,879717 20,810895 21,796716 22,840559 23,946007 25,116868 26,357180 27,671229 29,063562 30,539004
20 20,979115 22,019004 23,123667 24,297370 25,544658 26,870374 28,279682 29,778079 31,371423 33,065954
21 22,084011 23,239194 24,470522 25,783317 27,183274 28,676486 30,269471 31,969202 33,783137 35,719252
22 23,194431 24,471586 25,837580 27,298984 28,862856 30,536780 32,328902 34,247970 36,303378 38,505214
23 24,310403 25,716302 27,225144 28,844963 30,584427 32,452884 34,460414 36,617889 38,937030 41,430475
24 25,431955 26,973465 28,633521 30,421862 32,349038 34,426470 36,666528 39,082604 41,689196 44,501999
25 26,559115 28,243200 30,063024 32,030300 34,157764 36,459264 38,949857 41,645908 44,565210 47,727099
26 27,691911 29,525631 31,513969 33,670906 36,011708 38,553042 41,313102 44,311745 47,570645 51,113454
27 28,830370 30,820888 32,986678 35,344324 37,912001 40,709634 43,759060 47,084214 50,711324 54,669126
28 29,974522 32,129097 34,481479 37,051210 39,859801 42,930923 46,290627 49,967583 53,993333 58,402583
29 31,124395 33,450388 35,998701 38,792235 41,856296 45,218850 48,910799 52,966286 57,423033 62,322712
30 32,280017 34,784892 37,538681 40,568079 43,902703 47,575416 51,622677 56,084938 61,007070 66,438848
31 33,441417 36,132740 39,101762 42,379441 46,000271 50,002678 54,429471 59,328335 64,752388 70,760790
32 34,608624 37,494068 40,688288 44,227030 48,150278 52,502759 57,334502 62,701469 68,666245 75,298829
33 35,781667 38,869009 42,298612 46,111570 50,354034 55,077841 60,341210 66,209527 72,756226 80,063771
34 36,960575 40,257699 43,933092 48,033802 52,612885 57,730177 63,453152 69,857909 77,030256 85,066959
35 38,145378 41,660276 45,592088 49,994478 54,928207 60,462082 66,674013 73,652225 81,496618 90,320307
36 39,336105 43,076878 47,275969 51,994367 57,301413 63,275944 70,007603 77,598314 86,163966 95,836323
37 40,532785 44,507647 48,985109 54,034255 59,733948 66,174223 73,457869 81,702246 91,041344 101,628139
38 41,735449 45,952724 50,719885 56,114940 62,227297 69,159449 77,028895 85,970336 96,138205 107,709546
39 42,944127 47,412251 52,480684 58,237238 64,782979 72,234233 80,724906 90,409150 101,464424 114,095023
40 44,158847 48,886373 54,267894 60,401983 67,402554 75,401260 84,550278 95,025516 107,030323 120,799774
188 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%
41 45,379642 50,375237 56,081912 62,610023 70,087617 78,663298 88,509537 99,826536 112,846688 127,839763
42 46,606540 51,878989 57,923141 64,862223 72,839808 82,023196 92,607371 104,819598 118,924789 135,231751
43 47,839572 53,397779 59,791988 67,159468 75,660803 85,483892 96,848629 110,012382 125,276404 142,993339
44 49,078770 54,931757 61,688868 69,502657 78,552323 89,048409 101,238331 115,412877 131,913842 151,143006
45 50,324164 56,481075 63,614201 71,892710 81,516131 92,719861 105,781673 121,029392 138,849965 159,700156
46 51,575785 58,045885 65,568414 74,330564 84,554034 96,501457 110,484031 126,870568 146,098214 168,685164
47 52,833664 59,626344 67,551940 76,817176 87,667885 100,396501 115,350973 132,945390 153,672633 178,119422
48 54,097832 61,222608 69,565219 79,353519 90,859582 104,408396 120,388257 139,263206 161,587902 188,025393
49 55,368321 62,834834 71,608698 81,940590 94,131072 108,540648 125,601846 145,833734 169,859357 198,426663
50 56,645163 64,463182 73,682828 84,579401 97,484349 112,796867 130,997910 152,667084 178,503028 209,347996
Anexos 189
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 5,50% 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% 8,00% 8,50% 9,00% 9,50% 10,00%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,055000 2,060000 2,065000 2,070000 2,075000 2,080000 2,085000 2,090000 2,095000 2,100000
3 3,168025 3,183600 3,199225 3,214900 3,230625 3,246400 3,262225 3,278100 3,294025 3,310000
4 4,342266 4,374616 4,407175 4,439943 4,472922 4,506112 4,539514 4,573129 4,606957 4,641000
5 5,581091 5,637093 5,693641 5,750739 5,808391 5,866601 5,925373 5,984711 6,044618 6,105100
6 6,888051 6,975319 7,063728 7,153291 7,244020 7,335929 7,429030 7,523335 7,618857 7,715610
7 8,266894 8,393838 8,522870 8,654021 8,787322 8,922803 9,060497 9,200435 9,342648 9,487171
8 9,721573 9,897468 10,076856 10,259803 10,446371 10,636628 10,830639 11,028474 11,230200 11,435888
9 11,256260 11,491316 11,731852 11,977989 12,229849 12,487558 12,751244 13,021036 13,297069 13,579477
10 12,875354 13,180795 13,494423 13,816448 14,147087 14,486562 14,835099 15,192930 15,560291 15,937425
11 14,583498 14,971643 15,371560 15,783599 16,208119 16,645487 17,096083 17,560293 18,038518 18,531167
12 16,385591 16,869941 17,370711 17,888451 18,423728 18,977126 19,549250 20,140720 20,752178 21,384284
13 18,286798 18,882138 19,499808 20,140643 20,805508 21,495297 22,210936 22,953385 23,723634 24,522712
14 20,292572 21,015066 21,767295 22,550488 23,365921 24,214920 25,098866 26,019189 26,977380 27,974983
15 22,408663 23,275970 24,182169 25,129022 26,118365 27,152114 28,232269 29,360916 30,540231 31,772482
16 24,641140 25,672528 26,754010 27,888054 29,077242 30,324283 31,632012 33,003399 34,441553 35,949730
17 26,996403 28,212880 29,493021 30,840217 32,258035 33,750226 35,320733 36,973705 38,713500 40,544703
18 29,481205 30,905653 32,410067 33,999033 35,677388 37,450244 39,322995 41,301338 43,391283 45,599173
19 32,102671 33,759992 35,516722 37,378965 39,353192 41,446263 43,665450 46,018458 48,513454 51,159090
20 34,868318 36,785591 38,825309 40,995492 43,304681 45,761964 48,377013 51,160120 54,122233 57,274999
21 37,786076 39,992727 42,348954 44,865177 47,552532 50,422921 53,489059 56,764530 60,263845 64,002499
22 40,864310 43,392290 46,101636 49,005739 52,118972 55,456755 59,035629 62,873338 66,988910 71,402749
23 44,111847 46,995828 50,098242 53,436141 57,027895 60,893296 65,053658 69,531939 74,352856 79,543024
24 47,537998 50,815577 54,354628 58,176671 62,304987 66,764759 71,583219 76,789813 82,416378 88,497327
25 51,152588 54,864512 58,887679 63,249038 67,977862 73,105940 78,667792 84,700896 91,245934 98,347059
26 54,965981 59,156383 63,715378 68,676470 74,076201 79,954415 86,354555 93,323977 100,914297 109,181765
27 58,989109 63,705766 68,856877 74,483823 80,631916 87,350768 94,694692 102,723135 111,501156 121,099942
28 63,233510 68,528112 74,332574 80,697691 87,679310 95,338830 103,743741 112,968217 123,093766 134,209936
29 67,711354 73,639798 80,164192 87,346529 95,255258 103,965936 113,561959 124,135356 135,787673 148,630930
30 72,435478 79,058186 86,374864 94,460786 103,399403 113,283211 124,214725 136,307539 149,687502 164,494023
31 77,419429 84,801677 92,989230 102,073041 112,154358 123,345868 135,772977 149,575217 164,907815 181,943425
32 82,677498 90,889778 100,033530 110,218154 121,565935 134,213537 148,313680 164,036987 181,574057 201,137767
33 88,224760 97,343165 107,535710 118,933425 131,683380 145,950620 161,920343 179,800315 199,823593 222,251544
34 94,077122 104,183755 115,525531 128,258765 142,559633 158,626670 176,683572 196,982344 219,806834 245,476699
35 100,251364 111,434780 124,034690 138,236878 154,251606 172,316804192,701675 215,710755 241,688483 271,024368
36 106,765189 119,120867 133,096945 148,913460 166,820476 187,102148 210,081318 236,124723 265,648889 299,126805
37 113,637274 127,268119 142,748247 160,337402 180,332012 203,070320 228,938230 258,375948 291,885534 330,039486
38 120,887324 135,904206 153,026883 172,561020 194,856913 220,315945 249,397979 282,629783 320,614659 364,043434
39 128,536127 145,058458 163,973630 185,640292 210,471181 238,941221 271,596808 309,066463 352,073052 401,447778
40 136,605614 154,761966 175,631916 199,635112 227,256520 259,056519 295,682536 337,882445 386,519992 442,592556
190 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 5,50% 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% 8,00% 8,50% 9,00% 9,50% 10,00%
41 145,118923 165,047684 188,047990 214,609570 245,300759 280,781040 321,815552 369,291865 424,239391 487,851811
42 154,100464 175,950545 201,271110 230,632240 264,698315 304,243523 350,169874 403,528133 465,542133 537,636992
43 163,575989 187,507577 215,353732 247,776496 285,550689 329,583005 380,934313 440,845665 510,768636 592,400692
44 173,572669 199,758032 230,351725 266,120851 307,966991 356,949646 414,313730 481,521775 560,291656 652,640761
45 184,119165 212,743514 246,324587 285,749311 332,064515 386,505617 450,530397 525,858734 614,519364 718,904837
46 195,245719 226,508125 263,335685 306,751763 357,969354 418,426067 489,825480 574,186021 673,898703 791,795321
47 206,984234 241,098612 281,452504 329,224386 385,817055 452,900152 532,460646 626,862762 738,919080 871,974853
48 219,368367 256,564529 300,746917 353,270093 415,753334 490,132164 578,719801 684,280411 810,116393 960,172338
49 232,433627 272,958401 321,295467 378,999000 447,934835 530,342737 628,910984 746,865648 888,077450 1057,189572
50 246,217476 290,335905 343,179672 406,528929 482,529947 573,770156 683,368418 815,083556 973,444808 1163,908529
Anexos 191
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 10,50% 11,00% 11,50% 12,00% 12,50% 13,00% 13,50% 14,00% 14,50% 15,00%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,105000 2,110000 2,115000 2,120000 2,125000 2,130000 2,135000 2,140000 2,145000 2,150000
3 3,326025 3,342100 3,358225 3,374400 3,390625 3,406900 3,423225 3,439600 3,456025 3,472500
4 4,675258 4,709731 4,744421 4,779328 4,814453 4,849797 4,885360 4,921144 4,957149 4,993375
5 6,166160 6,227801 6,290029 6,352847 6,416260 6,480271 6,544884 6,610104 6,675935 6,742381
6 7,813606 7,912860 8,013383 8,115189 8,218292 8,322706 8,428443 8,535519 8,643946 8,753738
7 9,634035 9,783274 9,934922 10,089012 10,245579 10,404658 10,566283 10,730491 10,897318 11,066799
8 11,645609 11,859434 12,077438 12,299693 12,526276 12,757263 12,992731 13,232760 13,477429 13,726819
9 13,868398 14,163972 14,466343 14,775656 15,092061 15,415707 15,746750 16,085347 16,431656 16,785842
10 16,324579 16,722009 17,129972 17,548735 17,978568 18,419749 18,872561 19,337295 19,814246 20,303718
11 19,038660 19,561430 20,099919 20,654583 21,225889 21,814317 22,420357 23,044516 23,687312 24,349276
12 22,037720 22,713187 23,411410 24,133133 24,879125 25,650178 26,447106 27,270749 28,121972 29,001667
13 25,351680 26,211638 27,103722 28,029109 28,989016 29,984701 31,017465 32,088654 33,199658 34,351917
14 29,013607 30,094918 31,220650 32,392602 33,612643 34,882712 36,204823 37,581065 39,013609 40,504705
15 33,060035 34,405359 35,811025 37,279715 38,814223 40,417464 42,092474 43,842414 45,670582 47,580411
16 37,531339 39,189948 40,929293 42,753280 44,666001 46,671735 48,774957 50,980352 53,292816 55,717472
17 42,472130 44,500843 46,636161 48,883674 51,249252 53,739060 56,359577 59,117601 62,020275 65,075093
18 47,931703 50,395936 52,999320 55,749715 58,655408 61,725138 64,968120 68,394066 72,013215 75,836357
19 53,964532 56,939488 60,094242 63,439681 66,987334 70,749406 74,738816 78,969235 83,455131 88,211811
20 60,630808 64,202832 68,005080 72,052442 76,360751 80,946829 85,828556 91,024928 96,556125 102,443583
21 67,997043 72,265144 76,825664 81,698736 86,905845 92,469917 98,415411 104,768418 111,556763 118,810120
22 76,136732 81,214309 86,660615 92,502584 98,769075 105,491006 112,701491 120,435996 128,732494 137,631638
23 85,131089 91,147884 97,626586 104,602894 112,115210 120,204837 128,916193 138,297035 148,398705 159,276384
24 95,069854 102,174151 109,853643 118,155241 127,129611 136,831465 147,319879 158,658620 170,916517 184,167841
25 106,052188 114,413307 123,486812 133,333870 144,020812 155,619556 168,208062 181,870827 196,699412 212,793017
26 118,187668 127,998771 138,687796 150,333934 163,023414 176,850098 191,916151 208,332743 226,220827 245,711970
27 131,597373 143,078636 155,636892 169,374007 184,401340 200,840611 218,824831 238,499327 260,022847 283,568766
28 146,415097 159,817286 174,535135 190,698887 208,451508 227,949890 249,366183 272,889233 298,726160 327,104080
29 162,788683 178,397187 195,606675 214,582754 235,507946 258,583376 284,030618 312,093725 343,041453 377,169693
30 180,881494 199,020878 219,101443 241,332684 265,946440 293,199215 323,374752 356,786847 393,782464 434,745146
31 200,874051 221,913174 245,298109 271,292606 300,189745 332,315113 368,030343 407,737006 451,880921 500,956918
32 222,965827 247,323624 274,507391 304,847719 338,713463 376,516078 418,714439 465,820186 518,403655 577,100456
33 247,377238 275,529222 307,075741 342,429446 382,052645 426,463168 476,240889 532,035012 594,572185 664,665524
34 274,351848 306,837437 343,389451 384,520979 430,809226 482,903380 541,533409 607,519914 681,785151 765,365353
35 304,158792 341,589555 383,879238 431,663496 485,660379 546,680819 615,640419 693,572702 781,643998 881,170156
36 337,095466 380,164406 429,025351 484,463116 547,367927 618,749325 699,751875 791,672881 895,982378 1014,345680
37 373,490489 422,982490 479,363266 543,598690 616,788918 700,186738 795,218378 903,507084 1026,899823 1167,497532
38 413,706991 470,510564 535,490042 609,830533 694,887532 792,211014 903,572859 1030,998076 1176,800297 1343,622161
39 458,146225 523,266726 598,071396 684,010197 782,748474 896,198445 1026,555195 1176,337806 1348,436340 1546,165485
40 507,251579 581,826066 667,849607 767,091420 881,592033 1013,704243 1166,140147 1342,025099 1544,959609 1779,090308
192 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 10,50% 11,00% 11,50% 12,00% 12,50% 13,00% 13,50% 14,00% 14,50% 15,00%
41 561,512994 646,826934 745,652312 860,142391 992,791037 1146,485795 1324,569067 1530,908613 1769,978753 2046,953854
42 621,471859 718,977896 832,402327 964,359478 1117,889917 1296,528948 1504,385891 1746,235819 2027,625672 2354,996933
43 687,726404 799,065465 929,128595 1081,082615 1258,626157 1466,077712 1708,477986 1991,708833 2322,631394 2709,246473
44 760,937676 887,962666 1036,978384 1211,812529 1416,954426 1657,667814 1940,122514 2271,548070 2660,412947 3116,633443
45 841,836132 986,638559 1157,230898 1358,230032 1595,073729 1874,164630 2203,039053 2590,564800 3047,172824 3585,128460
46 931,228926 1096,168801 1291,312451 1522,217636 1795,457946 2118,806032 2501,449326 2954,243872 3490,012883 4123,897729
47 1030,007963 1217,747369 1440,813383 1705,883752 2020,890189 2395,250816 2840,144984 3368,838014 3997,064751 4743,482388
48 1139,158800 1352,699580 1607,506922 1911,589803 2274,501462 2707,633422 3224,564557 3841,475336 4577,639140 5456,004746
49 1259,770473 1502,496533 1793,370218 2141,980579 2559,814145 3060,625767 3660,880773 4380,281883 5242,396816 6275,405458
50 1393,046373 1668,771152 2000,607793 2400,018249 2880,790913 3459,507117 4156,099677 4994,521346 6003,544354 7217,716277
Anexos 193
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 15,50% 16,00% 16,50% 17,00% 17,50% 18,00% 18,50% 19,00% 19,50% 20,00%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,0000001,000000 1,000000 1,000000
2 2,155000 2,160000 2,165000 2,170000 2,175000 2,180000 2,185000 2,190000 2,195000 2,200000
3 3,489025 3,505600 3,522225 3,538900 3,555625 3,572400 3,589225 3,606100 3,623025 3,640000
4 5,029824 5,066496 5,103392 5,140513 5,177859 5,215432 5,253232 5,291259 5,329515 5,368000
5 6,809447 6,877135 6,945452 7,014400 7,083985 7,154210 7,225079 7,296598 7,368770 7,441600
6 8,864911 8,977477 9,091451 9,206848 9,323682 9,441968 9,561719 9,682952 9,805680 9,929920
7 11,238972 11,413873 11,591541 11,772012 11,955326 12,141522 12,330637 12,522713 12,717788 12,915904
8 13,981013 14,240093 14,504145 14,773255 15,047509 15,326996 15,611805 15,902028 16,197757 16,499085
9 17,148070 17,518508 17,897329 18,284708 18,680823 19,085855 19,499989 19,923413 20,356319 20,798902
10 20,806020 21,321469 21,850388 22,393108 22,949967 23,521309 24,107487 24,708862 25,325802 25,958682
11 25,030954 25,732904 26,455702 27,199937 27,966211 28,755144 29,567372 30,403546 31,264333 32,150419
12 29,910751 30,850169 31,820893 32,823926 33,860298 34,931070 36,037336 37,180220 38,360878 39,580502
13 35,546918 36,786196 38,071341 39,403993 40,785850 42,218663 43,704243 45,244461 46,841249 48,496603
14 42,056690 43,671987 45,353112 47,102672 48,923373 50,818022 52,789528 54,840909 56,975293 59,195923
15 49,575477 51,659505 53,836375 56,110126 58,484964 60,965266 63,555591 66,260682 69,085475 72,035108
16 58,259676 60,925026 63,719377 66,648848 69,719832 72,939014 76,313375 79,850211 83,557143 87,442129
17 68,289926 71,673030 75,233075 78,979152 82,920803 87,068036 91,431350 96,021751 100,850785 105,930555
18 79,874864 84,140715 88,646532 93,405608 98,431944 103,740283 109,346149 115,265884 121,516689 128,116666
19 93,255468 98,603230 104,273210 110,284561 116,657534 123,413534 130,575187 138,166402 146,212443 154,740000
20 108,710066 115,379747 122,478289 130,032936 138,072602 146,627970 155,731596 165,418018 175,723869 186,688000
21 126,560126 134,840506 143,687207 153,138535 163,235307 174,021005 185,541942 197,847442 210,990024 225,025600
22 147,176945 157,414987 168,395596 180,172086 192,801486 206,344785 220,867201 236,438456 253,133078 271,030719
23 170,989372 183,601385 197,180869 211,801341 227,541746 244,486847 262,727633 282,361762 303,494029 326,236863
24 198,492725 213,977607 230,715713 248,807569 268,361552 289,494479 312,332245 337,010497 363,675364 392,484236
25 230,259097 249,214024 269,783805 292,104856 316,324823 342,603486 371,113710 402,042491 435,592060 471,981083
26 266,949257 290,088267 315,298133 342,762681 372,681667 405,272113 440,769747 479,430565 521,532512 567,377300
27 309,326392 337,502390 368,322325 402,032337 438,900959 479,221093 523,312150 571,522372 624,231352 681,852760
28 358,271982 392,502773 430,095509 471,377835 516,708627 566,480890 621,124898 681,111623 746,956465 819,223312
29 414,804140 456,303216 502,061268 552,512066 608,132637 669,447450 737,033004 811,522831 893,612976 984,067974
30 480,098781 530,311731 585,901377 647,439118 715,555848 790,947991 874,384110 966,712169 1068,867506 1181,881569
31 555,514092 616,161608 683,575105 758,503768 841,778122 934,318630 1037,145170 1151,387481 1278,296670 1419,257883
32 642,618777 715,747465 797,364997 888,449408 990,089293 1103,495983 1230,017026 1371,151103 1528,564521 1704,109459
33 743,224687 831,267059 929,930221 1040,485808 1164,354919 1303,125260 1458,570176 1632,669812 1827,634602 2045,931351
34 859,424513 965,269789 1084,368708 1218,368395 1369,117030 1538,687807 1729,405659 1943,877077 2185,023350 2456,117621
35 993,635313 1120,712955 1264,289545 1426,491022 1609,712511 1816,651612 2050,345706 2314,213721 2612,102903 2948,341146
36 1148,648787 1301,027028 1473,897320 1669,994496 1892,412200 2144,648902 2430,659662 2754,914328 3122,462969 3539,009375
37 1327,689348 1510,191352 1718,090377 1954,893560 2224,584335 2531,685705 2881,331699 3279,348051 3732,343248 4247,811250
38 1534,481197 1752,821968 2002,575290 2288,225465 2614,886594 2988,389132 3415,378063 3903,424180 4461,150181 5098,373500
39 1773,325783 2034,273483 2334,000212 2678,223794 3073,491747 3527,299175 4048,223005 4646,074775 5332,074466 6119,048200
40 2049,191279 2360,757241 2720,110247 3134,521839 3612,352803 4163,213027 4798,144261 5529,828982 6372,828987 7343,857840
194 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 15,50% 16,00% 16,50% 17,00% 17,50% 18,00% 18,50% 19,00% 19,50% 20,00%
41 2367,815928 2739,478399 3169,928438 3668,390552 4245,514544 4913,591372 5686,800949 6581,496488 7616,530640 8813,629408
42 2735,827397 3178,794943 3693,966630 4293,016946 4989,479589 5799,037819 6739,859125 7832,980821 9102,754114 10577,35529
43 3160,880643 3688,402134 4304,471124 5023,829827 5863,638517 6843,864626 7987,733063 9322,247177 10878,79117 12693,82635
44 3651,817143 4279,546475 5015,708860 5878,880897 6890,775258 8076,760259 9466,46368 11094,47414 13001,15544 15233,59162
45 4218,848800 4965,273911 5844,300822 6879,290650 8097,660928 9531,577105 11218,75946 13203,42423 15537,38076 18281,30994
46 4873,770364 5760,717737 6809,610458 8049,770061 9515,751590 11248,26098 13295,22996 15713,07483 18568,17000 21938,57193
47 5630,204770 6683,432575 7934,196183 9419,230971 11182,00812 13273,94796 15755,84750 18699,55905 22189,96315 26327,28631
48 6503,886510 7753,781787 9244,338553 11021,50024 13139,85954 15664,25859 18671,67929 22253,47527 26518,00597 31593,74358
49 7512,988919 8995,386873 10770,65441 12896,15528 15440,33496 18484,82514 22126,93996 26482,63557 31690,01713 37913,49229
50 8678,502201 10435,64877 12548,81239 15089,50167 18143,39358 21813,09367 26221,42385 31515,33633 37870,57047 45497,19075
Anexos 195
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 20,50% 21,00% 21,50% 22,00% 22,50% 23,00% 23,50% 24,00% 24,50% 25,00%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,205000 2,210000 2,215000 2,220000 2,225000 2,230000 2,235000 2,240000 2,245000 2,250000
3 3,657025 3,674100 3,691225 3,708400 3,725625 3,742900 3,760225 3,777600 3,795025 3,812500
4 5,406715 5,445661 5,484838 5,524248 5,563891 5,603767 5,643878 5,684224 5,724806 5,765625
5 7,515092 7,589250 7,664079 7,739583 7,815766 7,892633 7,970189 8,048438 8,127384 8,207031
6 10,055686 10,182992 10,311856 10,442291 10,574313 10,707939 10,843184 10,980063 11,118593 11,258789
7 13,117101 13,321421 13,528904 13,739595 13,953534 14,170765 14,391332 14,615278 14,842648 15,073486
8 16,806107 17,118919 17,437619 17,762306 18,093079 18,430041 18,773295 19,122945 19,479097 19,841858
9 21,251359 21,713892 22,186707 22,670013 23,164022 23,668950 24,185019 24,712451 25,251475 25,802322
10 26,607887 27,273809 27,956849 28,657416 29,375927 30,112809 30,868498 31,643440 32,438087 33,252903
11 33,062504 34,001309 34,967572 35,962047 36,985510 38,038755 39,122596 40,237865 41,385418 42,566129
12 40,840317 42,141584 43,485599 44,873697 46,307250 47,787669 49,316406 50,894953 52,524845 54,207661
13 50,212582 51,991317 53,835003 55,745911 57,726381 59,778833 61,905761 64,109741 66,393432 68,759576
14 61,506162 63,909493 66,409529 69,010011 71,714817 74,527964 77,453615 80,496079 83,659823 86,949470
15 75,114925 78,330487 81,687578 85,192213 88,850651 92,669396 96,655214 100,815138 105,156480 109,686838
16 91,513485 95,779889 100,250407 104,934500 109,842047 114,983357 120,369190 126,010772 131,919817 138,108547
17 111,273749 116,893666 122,804244 129,020090 135,556508 142,429529 149,655949 157,253357 165,240173 173,635684
18 135,084868 142,441336 150,207157 158,404510 167,056722 176,188321 185,825097 195,994162 206,724015 218,044605
19 163,777266 173,354016 183,501696 194,253503 205,644485 217,711635 230,493995 244,032761 258,371398 273,555756
20 198,351605 210,758360 223,954560 237,989273 252,914494 268,785311 285,660084303,600624 322,672391 342,944695
21 240,013684 256,017615 273,104791 291,346913 310,820255 331,605932 353,790203 377,464774 402,727127 429,680869
22 290,216489 310,781315 332,822321 356,443234 381,754812 408,875297 437,930901 469,056320 502,395273 538,101086
23 350,710869 377,045391 405,379120 435,860746 468,649645 503,916615 541,844663 582,629836 626,482115 673,626358
24 423,606598 457,224923 493,535631 532,750110 575,095815 620,817437 670,178159 723,460997 780,970233 843,032947
25 511,445950 554,242157 600,645791 650,955134 705,492373 764,605447 828,670026 898,091636 973,307940 1054,791184
26 617,292370 671,633009 730,784636 795,165264 865,228157 941,464700 1024,407482 1114,633629 1212,768385 1319,488980
27 744,837306 813,675941 888,903333 971,101622 1060,904492 1159,001581 1266,143241 1383,145700 1510,896640 1650,361225
28 898,528954 985,547889 1081,017550 1185,743978 1300,608003 1426,571945 1564,686902 1716,100668 1882,066316 2063,951531
29 1083,727389 1193,512946 1314,436323 1447,607654 1594,244804 1755,683492 1933,388325 2128,964828 2344,172564 2580,939414
30 1306,891504 1445,150664 1598,040132 1767,081337 1953,949885 2160,490695 2388,734581 2640,916387 2919,494842 3227,174268
31 1575,804262 1749,632304 1942,618761 2156,839232 2394,588609 2658,403555 2951,087207 3275,736320 3635,771079 4034,967835
32 1899,844136 2118,055088 2361,281794 2632,343863 2934,371046 3270,836373 3645,592701 4062,913037 4527,534993 5044,709793
33 2290,312184 2563,846656 2869,957380 3212,459512 3595,604531 4024,128738 4503,306986 5039,012166 5637,781066 6306,887242
34 2760,826181 3103,254454 3487,998217 3920,200605 4405,615551 4950,678348 5562,584127 6249,375086 7020,037427 7884,609052
35 3327,795548 3755,937890 4238,917834 4783,644738 5397,879049 6090,334368 6870,791397 7750,225106 8740,946597 9856,761315
36 4010,993636 4545,684846 5151,285168 5837,046581 6613,401836 7492,111273 8486,427376 9611,279132 10883,47851 12321,95164
37 4834,247331 5501,278664 6259,811479 7122,196829 8102,417249 9216,296866 10481,73781 11918,98612 13550,93075 15403,43956
38 5826,268034 6657,547183 7606,670947 8690,080131 9926,461130 11337,04514 12945,94619 14780,54279 16871,90878 19255,29944
39 7021,652981 8056,632092 9243,105200 10602,89776 12160,91488 13945,56553 15989,24355 18328,87306 21006,52643 24070,12430
40 8462,091842 9749,524831 11231,37282 12936,53527 14898,12073 17154,04560 19747,71578 22728,80260 26154,12541 30088,65538
196 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 20,50% 21,00% 21,50% 22,00% 22,50% 23,00% 23,50% 24,00% 24,50% 25,00%
41 10197,82067 11797,92505 13647,11797 15783,57303 18251,19790 21100,47609 24389,42899 28184,71522 32562,88614 37611,81923
42 12289,37391 14276,48931 16582,24834 19256,95909 22358,71742 25954,58559 30121,94481 34950,04688 40541,79324 47015,77403
43 14809,69556 17275,55206 20148,43173 23494,49009 27390,42884 31925,14027 37201,60184 43339,05813 50475,53258 58770,71754
44 17846,68315 20904,41799 24481,34455 28664,27791 33554,27533 39268,92253 45944,97827 53741,43208 62843,03807 73464,39693
45 21506,25319 25295,34577 29745,83363 34971,41905 41104,98729 48301,77472 56743,04816 66640,37577 78240,58239 91831,49616
46 25916,03510 30608,36838 36142,18786 42666,13124 50354,60942 59412,18290 70078,66448 82635,06596 97410,52508 114790,3702
47 31229,82229 37037,12574 43913,75826 52053,68012 61685,39654 73077,98497 86548,15063 102468,4818 121277,1037 143488,9627
48 37632,93586 44815,92215 53356,21628 63506,48974 75565,61077 89886,92151 106887,9660 127061,9174 150990,9941 179362,2034
49 45348,68771 54228,26580 64828,80278 77478,91748 92568,87319 110561,9135 132007,6380 157557,7776 187984,7877 224203,7543
50 54646,16869 65617,20162 78767,99538 94525,27933 113397,8697 135992,1536 163030,4330 195372,6442 234042,0607 280255,6929
Anexos 197
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 25,50% 26,00% 26,50% 27,00% 27,50% 28,00% 28,50% 29,00% 29,50% 30,00%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,255000 2,260000 2,265000 2,270000 2,275000 2,280000 2,285000 2,290000 2,295000 2,300000
3 3,830025 3,847600 3,865225 3,882900 3,900625 3,918400 3,936225 3,954100 3,972025 3,990000
4 5,806681 5,847976 5,889510 5,931283 5,973297 6,015552 6,058049 6,100789 6,143772 6,187000
5 8,287385 8,368450 8,450230 8,532729 8,615954 8,699907 8,784593 8,870018 8,956185 9,043100
6 11,400668 11,544247 11,689541 11,836566 11,985341 12,135880 12,288202 12,442323 12,598260 12,756030
7 15,307839 15,545751 15,787269 16,032439 16,281309 16,533927 16,790340 17,050597 17,314747 17,582839
8 20,211338 20,587646 20,970895 21,361198 21,758670 22,163426 22,575587 22,995270 23,422597 23,857691
9 26,365229 26,940434 27,528182 28,128721 28,742304 29,369186 30,009629 30,663898 31,332263 32,014998
10 34,088362 34,944947 35,823150 36,723476 37,646437 38,592558 39,562373 40,556428 41,575280 42,619497
11 43,780894 45,030633 46,316285 47,638815 48,999207 50,398474 51,837649 53,317792 54,839988 56,405346
12 55,945022 57,738598 59,590101 61,501295 63,473989 65,510047 67,611379 69,779952 72,017784 74,326950
13 71,211003 73,750633 76,381478 79,106644 81,929336 84,852860 87,880623 91,016138 94,263031 97,625036
14 90,369809 93,925798 97,622569 101,465438 105,459904 109,611661 113,926600 118,410819 123,070625 127,912546
15 114,414110 119,346505 124,492550 129,861106 135,461378 141,302926 147,395681 153,749956 160,376459 167,286310
16 144,589708 151,376596 158,483076 165,923605 173,713256 181,867745 190,403450 199,337443 208,687515 218,472203
17 182,460084 191,734511 201,481091 211,722978 222,484402 233,790714 245,668433 258,145302 271,250332 285,013864
18 229,987406 242,585484 255,873580 269,888182 284,667613 300,252113 316,683937 334,007439 352,269180 371,518023
19 289,634194 306,657710 324,680079 343,757991 363,951206 385,322705 407,938859 431,869596 457,188588 483,973430
20 364,490913 387,388715 411,720300 437,572649 465,037788 494,213062 525,201433 558,111779 593,059221 630,165459
21 458,436096 489,109781 521,826179 556,717264 593,923179 633,592720 675,883842 720,964195 769,011691 820,215097
22 576,337301 617,278324 661,110117 708,030926 758,252053 811,998682 869,510737 931,043812 996,870140 1067,279626
23 724,303313 778,770688 837,304298 900,199276 967,771368 1040,358312 1118,321297 1202,046518 1291,946832 1388,463514
24 910,000657 982,251067 1060,189937 1144,253080 1234,908494 1332,658640 1438,042866 1551,640008 1674,071147 1806,002568
25 1143,050825 1238,636345 1342,140270 1454,201412 1575,508330 1706,803059 1848,885083 2002,615610 2168,922135 2348,803338
26 1435,528785 1561,681794 1698,807442 1847,835793 2009,773121 2185,707916 2376,817332 2584,374137 2809,754165 3054,444340
27 1802,588625 1968,719061 2149,991414 2347,751457 2563,460730 2798,706132 3055,210272 3334,842636 3639,631644 3971,777642
28 2263,248725 2481,586016 2720,739139 2982,644350 3269,412430 3583,343849 3926,945199 4302,947001 4714,322979 5164,310934
29 2841,377150 3127,798381 3442,735010 3788,958324 4169,500849 4587,680126 5047,124581 5551,801631 6106,048258 6714,604214
30 3566,928323 3942,025959 4356,059788 4812,977072 5317,113582 5873,230562 6486,555086 7162,824104 7908,332494 8729,985479
31 4477,495045 4967,952709 5511,415632 6113,480882 6780,319817 7518,735119 8336,223286 9241,043095 10242,29058 11349,98112
32 5620,256282 6260,620413 6972,940774 7765,120720 8645,907767 9624,980953 10713,04692 11921,94559 13264,76630 14755,97546
33 7054,421634 7889,381721 8821,770079 9862,703314 11024,53240 12320,97562 13767,26530 15380,30981 17178,87236 19183,76810
34 8854,299151 9941,620968 11160,53915 12526,63321 14057,27881 15771,84879 17691,93590 19841,59966 22247,63971 24939,89853
35 11113,14543 12527,44242 14119,08203 15909,82417 17924,03049 20188,96645 22735,13764 25596,66356 28811,69342 32422,86808
3613947,99752 15785,57745 17861,63876 20206,47670 22854,13887 25842,87706 29215,65186 33020,69599 37312,14298 42150,72851
37 17505,73689 19890,82759 22595,97303 25663,22541 29140,02706 33079,88264 37543,11264 42597,69783 48320,22515 54796,94706
38 21970,69979 25063,44276 28584,90589 32593,29627 37154,53450 42343,24978 48243,89975 54952,03020 62575,69158 71237,03118
39 27574,22824 31580,93788 36160,90595 41394,48627 47373,03149 54200,35972 61994,41118 70889,11896 81036,52059 92609,14053
40 34606,65644 39792,98172 45744,54602 52571,99756 60401,61515 69377,46044 79663,81836 91447,96346 104943,2942 120392,8827
198 Anexos
Fator de Cálculo do Valor Futuro – fvf (i%, n)
Período 25,50% 26,00% 26,50% 27,00% 27,50% 28,00% 28,50% 29,00% 29,50% 30,00%
41 43432,35383 50140,15697 57867,85072 66767,43690 77013,05932 88804,14936 102369,0066 117968,8729 135902,5659 156511,7475
42 54508,60406 63177,59778 73203,83116 84795,64486 98192,65063 113670,3112 131545,1735 152180,8460 175994,8229 203466,2718
43 68409,29810 79604,77321 92603,84642 107691,4690 125196,6296 145498,9983 169036,5479 196314,2913 227914,2957 264507,1533
44 85854,66911 100303,0142 117144,8657 136769,1656 159626,7027 186239,7178 217212,9641 253246,4358 295150,0129 343860,2993
45 107748,6097 126382,7979 148189,2551 173697,8403 203525,0459 238387,8388 279119,6588 326688,9022 382220,2667 447019,3890
46 135225,5052 159243,3254 187460,4077 220597,2572 259495,4335 305137,4337 358669,7616 421429,6838 494976,2453 581126,2058
47 169709,0091 200647,5900 237138,4158 280159,5166 330857,6778 390576,9151 460891,6437 543645,2922 640995,2377 755465,0675
48 212985,8064 252816,9634 299981,0960 355803,5861 421844,5391 499939,4514 592246,7621 701303,4269 830089,8328 982105,5877
49 267298,1870 318550,3739 379477,0864 451871,5544 537852,7874 639923,4978 761038,0893 904682,4207 1074967,334 1276738,264
50 335460,2247 401374,4711 480039,5143 573877,8741 685763,3040 819103,0771 977934,9447 1167041,323 1392083,697 1659760,743
Anotações