Aula 9 - Integrais_de_Linha

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Integrais de Linha
Prof. Ronaldo Portela
Integrais de Linha
A integral de linha é semelhante à integral unidimensional, exceto que, em vez de integrarmos sobre um intervalo [a,b], integraremos sobre uma curva C.
Foram inventadas no século XIX para resolver problemas que envolviam:
escoamento de fluidos;
forças;
eletricidade;
magnetismo.
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Seja C uma curva plana dada pelas equações paramétricas:
x = x(t)	y = y(t)
a ≤ t ≤ b
Desta forma, a equação vetorial de C será:
R(t) = x(t) i + y(t) j
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Se f é definida sobre uma curva lisa C dada pelas equações x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, então a integral de linha de f sobre C é
 se esse limite existir.
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Podemos observar que:
Desta forma, a fórmula a seguir pode ser utilizada parca calcular a integral de linha:
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Se considerarmos a curva C como sendo um segmento de reta unindo (a, 0) a (b, 0), teremos:
y = 0		a ≤ x ≤ b
Assim,
E, neste caso, a integral de linha se reduz a uma integral unidimensional.
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Exemplo: Calcule
onde C é a metade superior do círculo unitário x2 + y2 = 1.
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Definição: Uma curva C é dita lisa por trechos (seccionalmente suave) se for a união de um número finito de curvas lisas (suaves) C1, C2, ..., Cn .
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Se C for uma curva lisa por partes (seccionalmente suave), então definimos a integral de f ao longo de C como a soma das integrais de f ao longo de cada trecho liso de C:
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Exemplo: Calcule
onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0, 0) a (1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2).
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Suponhamos agora que C seja uma curva espacial lisa dada pelas equações paramétricas
x = x(t)	y = y(t)	z = z(t)	a ≤ t ≤ b
ou pela equação vetorial
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
Se f é uma função de três variáveis que é contínua em alguma região contendo C, então:
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Desta forma, podemos calcular a integral de linha de maneira análoga:
Observação:
Podemos escrever estas integrais de linha em notação vetorial!
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Referências Bibliográficas
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 1994.
STEWART, J. Cálculo. Volume 2. 5ª edição. São Paulo, Thomsom Learning. 2006.
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