Circuitos Magnéticos

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PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
INSTITUTO POLITÉCNICO 
 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA MÁQUINAS ELÉTRICAS I 
 
PROF. MÁRCIO JOSÉ DA SILVA 
 
 
1. CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
1.1. GRANDEZAS MAGNÉTICAS - DEFINIÇÕES 
 
1.1.1. Campo Magnético 
 
 Dizemos que numa região há um campo magnético quando sobre uma 
carga elétrica que se move nessa região atua uma força de natureza não 
eletrostática. 
 Seja uma carga móvel q , movendo-se numa velocidade V
→
, em uma 
região onde há um campo magnético. Esta carga ficará sujeita a uma força F
→
 
a qual será proporcional ao valor da carga, à velocidade da carga no sentido 
perpendicular ao campo e ao campo magnético. 
 
 
 
 
 
 F qV B ou F F qVB
→ → → →= × = = sen α 
 
 
 
 
 
 1
 O campo magnético é representado por linha chamadas de LINHAS DE 
FORÇA DO CAMPO MAGNÉTICO. 
 
 
 
 Para uma carga de prova positiva, a regra prática de descobrirmos o 
sentido de força é fazer o uso da REGRA DA MÃO ESQUERDA, onde com os 
dedos POLEGAR, INDICADOR e MÉDIO fazendo entre si um ângulo reto 
(90o) teremos: 
 INDICADOR - indica o sentido do campo magnético. 
 MÉDIO - indica o sentido da velocidade da carga. Ou corrente elétrica. 
 POLEGAR - indica o sentido da força. 
 
 
1.1.2 - Circuito Magnético 
 
 Entende-se por circuito magnético como sendo a trajetória seguida ou 
descrita pela linha de força magnética ou pelo fluxo de energia magnética. 
 O meio que constitui o circuito magnético pode ser muito permeável ou 
pouco permeável às linhas de força magnética. 
 
 
 
 
 2
 Na Fig. 3 temos alguns exemplos de meios indicando a trajetória e o 
sentido das linhas de força de campos magnéticos produzidos por: 
 
(a) - Bobina Solenóide imersa no ar e campo magnético. produzido por 
corrente elétrica. 
(b) - Campo magnético produzido por imã permanente, com meio 
constituído por imã (material ferromagnético) e ar. 
(c) - Campo magnético produzido por eletroímã com meio constituído 
por material ferromagnético em sua grande parte. 
 
 
1.1.3 - Força Magnetomotriz - ( F ou f.m.m.) 
 
 A f.m.m. tende a impelir o fluxo de energia magnética através do 
circuito magnético. Desta forma, comporta-se como a f.e.m. do circuito 
elétrico. 
 
 = f .m.m. ↔ f .e.m. = E 
 
 A f.m.m. é dada pelo produto do número de espiras N de um condutor e 
a corrente elétrica i que o percorre, isto é, 
 
 = N i 
 
 
1.1.4 - Fluxo Magnético - (φ) 
 
 É o número total de linhas de força existente num determinado circuito 
magnético. Comporta-se como a corrente (elétrica) no circuito elétrico. 
 
 ∅ ↔ I 
 
 
1.1.5 - Relutância - ( ℜ ) 
 
 É a resistência oferecida pelo circuito magnético à passagem do fluxo 
magnético. 
 Corresponde à resistência R no circuito elétrico. 
 
 ℜ ↔ R 
 
 A relutância varia de maneira direta com o comprimento do circuito 
magnético e de maneira inversa com a área da seção transversal através da 
qual o fluxo está passando e com a permeabilidade do meio, isto é, 
 
 ℜ = ×1µ
l
A
 
 onde: = comprimento do circuito magnético l
 A = seção transversal 
 µ = permeabilidade magnética do meio 
 3
1.1.6 - Permeabilidade Magnética - ( µ ) 
 
 É a capacidade que possui cada meio em deixar fluir, com maior ou 
menor facilidade, as linhas de forças do campo magnético. 
 É uma característica intrínseca do meio. Para um determinado meio, a 
permeabilidade pode variar de acordo com a intensidade do campo magnético 
(ou com a força magnetomotriz). 
 A permeabilidade do vácuo é tomada como a unidade padrão e, com 
exceção do ferro, aço, níquel, oxigênio liquefeito e certos óxidos de ferro, a 
maioria das substâncias como o cobre, o alumínio e o ar podem ser 
considerados como tendo uma permeabilidade igual à do vácuo. 
 
 
 
 Permeabilidade Relativa - ( µ r ) 
 
 É definida por : 
r
O
µ µµ= 
 onde : µ = permeabilidade do material 
 µo = permeabilidade do vácuo (ar) 
 µ r = permeabilidade relativa 
 
 A permeabilidade relativa dos materiais util izados na construção de 
equipamentos elétricos possui valores típicos de 2.000 e 210.000. 
 
 
1.1.7 - Indução Magnética ou Densidade de Fluxo Magnético - (B) 
 
 Diz respeito sobre a concentração de linhas de força em uma dada 
região. 
 É a razão entre o fluxo magnético ∅ e a área da seção transversal A 
atravessada pelo fluxo ∅ . 
 
 ∅ = ∫ B dAS .
 
 4
 
No caso B
→
 de ser constante em módulo, e em qualquer lugar, ser 
perpendicular à superfície da área A, a equação acima reduz-se a: 
∅ = = ∅BA ou B
A
 
 
 
1.1.8 - Intensidade de Campo Magnético - (H) 
 
 É a razão entre a f.m.m. e o comprimento médio do circuito magnético, 
isto é, H = Fl 
 Pode também ser definido como: H d i
→ →∫ =. l (Lei de Ampère) e 
significa que a integral da componente tangencial de H
→
 ao longo do caminho 
fechado é igual a corrente total envolvida pelo caminho. 
 Quando ao caminho fechado é atravessado pela corrente N vezes, como 
na fig. 6, a integral torna-se: H d Ni
→ →∫ = =. l F 
 
 
 5
1.2 - LEIS DOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
a) Em alguns aspectos, um circuito magnético é análogo a um circuito 
elétrico resistivo de c.c.; como mostrado no quadro abaixo. 
 
CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO 
Tensão: V [Volt] F.M.M.: [Ampère-espira] 
Corrente: I [Ampère] Fluxo: ∅ [Weber] 
lei de Ohm : I = V/ R ∅ = / R 
Resistência: R A= lσ [Ohm ou Ω] Relutância: ℜ = lµA 
Densidade de corrente: J [A/m2] Densidade de fluxo (indução 
magnética): β [Wb / m2 ou Tesla] 
Condutividade: σ Permeabilidade: µ [Wb /Ae.m ou 
H/m ] 
Condutância : G = 1/R Permeância : 1/ℜ 
Intensidade de campo elétrico: ε [V/m] Intensidade de campo magnético: H 
[Ae/m] 
 
 
 No quadro, l é o comprimento e A é a área da seção transversal do 
caminho, ou para a corrente no circuito elétrico, ou para o fluxo (magnético) 
no circuito magnético. Porque ∅ é análogo a I e R é análogo a ℜ , as leis 
para resistores em série ou paralelo também valem para as relutâncias. A 
diferença básica entre a resistência elétrica, R, e a resistência magnética ℜ , é 
que a primeira está associada a uma perda de energia, Pj = R I² , enquanto a 
última não. Além disso, o fluxo magnético apresenta caminhos de dispersão, 
enquanto que as correntes elétricas normalmente, não o fazem. 
 
b) - Relações entre as Grandezas: 
 
1− ℜF= Ni = ∅ 2− ∅ = = ∅BA ou B A 
3− =B Hµ 4 − =H Ni l 
5− ℜ = lµA 
 
 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Semelhanças e Diferenças entre C.E. e C.M. do Ponto de Vista de Cálculo: 
 
Semelhanças: 1 0 2− ∅ = − ∅ =∑ ∑ ∑; R Ni 
Diferenças: 
- Maior dispersão; . Relutância de um ramo de CM, função do fluxo neste 
ramo (conforme o fluxo aumenta, o circuito tende a saturar). 
- Não existe perda do tipo ℜ ∅² . Existem perdas histerese e correntes 
parasitas só quando existe fluxo variável no tempo. 
 
 
1.1.10 - Conversão de Unidades 
 
Símbolo 
 
Significado Unidades 
SI 
Unidades 
CGS 
Unidades 
Inglesas 
 
φ 
 
Fluxo Magnético 
 
Wb (Weber) 
 
108 Maxwells 
 
108 linhas 
 
 
β 
 
Densidade de 
Campo Magnético
 
T (Tesla) 
(1T = 1wb/m2)
 
104 Gauss 
 
6,452 x 104 
linha/pol2 
 
H 
 
Intensidade de 
Campo Magnético
 
Ae/m 
 
4π x 10-3 
Oersteds 
 
0,0254 
Amperes/pol 
 
 
 
F.M.M. 
 
Ae 
 
4π x 10-1 
GILBERT 
 
Ae 
 
 7
1.2 - Funcionamento em C.A. 
 
1.2.1 - Histerese Magnética 
 
 Uma curva de magnetização exprime a relação entre a densidade de 
fluxo B e a corresponde intensidade de campo H; desde que a substância 
esteja inicialmentedesmagnetizada, e a corrente seja aumentada 
gradualmente a partir de zero. 
 
a) Se H for aumentado gradativamente a partir de zero, teremos a curva 
ascendente 0 a b; onde: - Para H oe teremos B ae= =, 
 - Para H of teremos B bf= =, 
b) Se H for diminuído gradativamente a partir de f, teremos a curva 
decrescente b c d; onde: - Para H oe teremos B oe= =, 
 - Para H zero teremos B do= = =0 , 
 Para a condição de H zero e B do= = =0 ≠ zero, dizemos que o 
material é dotado de uma MEMÓRIA MAGNÉTICA, se recorda de ter sido 
magnetizado até o ponto b. Quando atinge o ponto d, o material transforma-se 
num imã permanente. 
 O fato da curva B = f (H) crescente não coincidir com a curva 
decrescente, é denominado HISTERESE. 
 
 Se variarmos o corrente i , de zero até um valor máximo positivo, 
depois reduzirmos a zero, em seguida aumentar até um valor máximo negativo 
e novamente reduzir a zero; e se isto acontecer ciclicamente, a curva de 
magnetização descreverá a trajetória a-b-c-d-e-f-a denominada de CICLO DE 
HISTERESE. 
 
 
 8
 
Pontos a e d : H = 0 e B = Br, onde Br é a indução remanente ou residual 
Pontos b e e : H = Hc e B = 0, onde Hc é a intensidade de campo coercitivo 
 
 Devido ao fato da curva de magnetização ascendente ser diferente da 
curva descendente, adota-se como CURVA NORMAL DE MAGNETIZAÇÃO 
(curva “foc”) ao lugar geométrico dos vértices dos vários ciclos de histerese. 
 
 Os materiais util izados para confecção de imãs permanentes devem 
possuir: 
 1) Alto Br - faz com que o imã seja potente 
 2) Alto Hc - para que a magnetização não seja destruída por eventuais 
campos externos. 
 “A área do ciclo de histerese pode ser expressa em função de Bmáx”. 
 
 
1.2.2 - Perdas por Histerese 
 
 Uma das conseqüências do ciclo de histerese é a produção de calor no 
interior das substâncias ferromagnéticas. Esse calor provém de uma espécie 
de atrito interno entre os domínios magnéticos, quando estes mudam de 
sentido. Verifica-se que o calor desenvolvido por unidade de volume (ou 
massa), em cada ciclo, é proporcional a área limitada pelo “ciclo de 
histerese”. Por esse motivo deseja-se que as peças de máquinas elétricas em 
que o fluxo é alternativo ou variável, tenham um ciclo de histerese bastante 
estreito (pequena área). 
 Seja o anel de substância ferromagnética da figura abaixo, onde: 
 l = comprimento médio em metros 
 A = área da seção reta em metros quadrados 
 N = número de espiras do solenóide 
 i = corrente no enrolamento magnetizante em Ampère 
 l〉〉 A : para que não haja dispersão e a indução seja uniforme na seção. 
 
 
 9
 
 
 
 Quando a chave é fechada e a corrente i começa a fluir, estabelece um 
fluxo no anel. Á medida em que o fluxo cresce haverá o surgimento de uma 
f.c.e.m. que se opõe a f.e.m. aplicada pela bateria. A potência fornecida pela 
bateria ao circuito magnético é: 
 
 p = e i [ Watt = joule / s ] , onde e N d
dt
= ∅ 
 A energia acumulada no campo magnético é [ joule ] 
(1.2.1) 
W p
t
t= ∫ .
1
2 dt
 
 Considerando que: 
 a) e N d
dt
= ∅ 
 b) ∅ = BA (campo magnético uniforme) 
 c) i
H
N
= l 
 
 a equação de energia fica: 
 
 w e i dt
t
t N A dB
dt
H l
N
dt
B
B= ∫ = ∫ ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟. . . . .12 12 ∴ (1.2.2) w H dBBB= ∫ .12
 ( energia acumulada de B1 e B2 ) W Vol H dBB
B= ∫ .
1
2
 Vol: Volume do núcleo 
 HdB : Densidade de energia magnética no núcleo 
 A integração da equação (1.2.2) deve ser feito por processos gráficos 
conhecendo a curva de histerese da substância em questão. 
 Para o ciclo a equação da energia perdida é: 
 
 W Vol HdB= ∫ (1.2.3) 
 
 10
 Se a corrente i for alternativa, H também o será e assim HdB∫ = área 
do ciclo. 
 A perda de energia por unidade de volume por ciclo é: 
 w H d= ∫ . B [ joule/m3/ciclo ] 
 
 onde: [B] = Wb/m2 e [H] = Ae/m 
 
 A perda de energia por histerese é diretamente proporcional a 
freqüência f da corrente i e ao volume do material ferromagnético, para uma 
dada indução máxima. Não existe lei teórica que determine essa variação. 
Não obstante, como resultado de uma prolongada série de testes, STEIMETZ 
obteve uma equação empírica cuja expressão para ciclos simétricos é: 
 
 
P K fB maxH H
X= −10 7 (1.2.3) 
 
PH : perda por histerese em Watt / m
3 ou Watt / Kg 
Bmáx : amplitude da indução magnética em Wb/ m2 
f : freqüência de oscilação de B em Hz 
KH : coeficiente de perdas por histerese. Depende de cada material 
x : expoente que depende do material e de Bmáx. Varia de 1,5 a 2,5. 
Normalmente, o valor usado é x = 2. 
 
 
1.2.3 - Perdas por Corrente de Foucault Lei Farady-Lenz 
 
 Um fluxo alternativo (chamado INDUTOR) variando na direção da seta 
da figura abaixo induz tensões em uma espira fictícia. Esta espira sendo 
fechada circulará uma corrente no material originando um fluxo (chamado 
INDUZIDO) que se opões a variação do fluxo indutor. 
 
 
 Esta corrente circulando através da resistência do material 
ferromagnético provoca aquecimento do núcleo. 
 
 11
( )P R IF F F= 0 3 perda por Foucault 
 
 A fórmula empírica obtida por STEIMTZ é: 
 
P abc
p
a f maxF B= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
π 2 2 2 2
6
 [Watts] 
abc = Vol. :volume em m3
 
A perda por unidade de volume fica: 
P a f maxF B= ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟
π 2 2
6
. . [ Watts / m3 ] (1.2.5) 
 
onde: PF = perdas por Foucault em Watts / m
3 
 Bmáx: amplitude da indução em Wb / m2 
 f : freqüência da chapa do material em m 
 ρ : resistividade do material em Ω x m 
 
 Notamos pela fórmula (1.2.5) que a perda PF é proporcional ao 
quadrado da espessura da chapa, da indução máxima e de freqüência: e é 
inversamente proporcional a resistividade do material. Por isso as chapas 
para confecção de peças para máquinas que irão trabalhar com fluxo 
magnético variável devem ter pequena espessura (finas) e com grande 
resistividade. O ferro silício se adapta bem a estas condições. 
 Na prática, a espessura de laminação varia de 0,25 a 0,65 mm. 
Não compensa diminuir mais a espessura, pois, o custo da laminação começa 
a ficar anteeconômico e diminui o fator de empacotamento (fe mp.) já que as 
lâminas são isoladas entre si. 
emp
Seç ão ú til do ferro
Seç ão bruta
f .= 
 
 
1.2.3 - Perda Total no Núcleo ou no Ferro 
 
 Os catálogos de fabricantes de chapas (ou material magnético) 
trazem curvas de perdas totais do material ou perdas por histerese mais 
perdas por Foucault (PHF) por unidade de massa (ou peso), para uma dada 
freqüência e substância. 
 
 12
 
 
 
1.3 – Cálculo de Indutâncias 
 
 A indutância é definida como sendo a razão entre fluxo magnético 
concatena λ e corrente elétrica i . 
i
N
i
L φλ == (1) 
onde L é dado em Henry, λ em Weber-espiras (Wb.e) e i em A. 
 
Consideremos um toróide magnético envolvido com n bobinas distintas, 
conforme mostrado na figura abaixo. Cada bobina possui a propriedade de 
apresentar uma indutância própria e indutâncias mútuas. Para simplificação 
de análise, nos sempre nos referimos às indutâncias mútuas definidas entre 
pares de bobinas. Deste modo, n2 indutâncias podem ser definidas se cada 
bobina possuir algum grau de interação magnética com as outras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No toróide de substância ferromagnética temos: 
 l = comprimento médio em metros 
 A = área da seção reta em metros quadrados 
 l〉〉 A : para que não haja dispersão e a indução seja uniforme na seção. 
 
Sejam p e q duas bobinas quaisquer. Aplicando-se a definição de indutância a 
estas duas bobinas, fica: 
 
bobinaésimaqnaCorrente
bobinaésimaqnacorrenteàdevidobobinaésimapaenlaçandoFluxoLpq −
−−= 
 13
 ( )
q
qpqp
pq i
kN
L
φ= (2) 
 
onde o termo entre parênteses refere-se à parcela do fluxo produzidopela 
bobina q (φq) que envolve a bobina p , iq é a corrente na bobina q , Nq é o 
número de espiras da bobina p e kp q é o coeficiente de acoplamento (de fluxo) 
magnético entre as duas bobinas. kp q determina o grau de acoplamento 
magnético entre as duas bobinas, ou seja, ele é a relação entre fluxo parcial 
(da bobina q) que envolve a bobina p e o fluxo total (da bobina q). 
 
TotalFluxo
ParcialFluxokpq = (3) 
que conseqüentemente, . Isto é, duas bobinas podem estar, no máximo, 
100% acopladas. 
0,1≤pqk
 
Como exemplo, considere que neste circuito tivéssemos três bobinas e que 
cada uma delas fosse percorrida por uma corrente elétrica i . A bobina 1 gera 
um fluxo magnético que envolve ela própria e parte dele envolvendo as 
espiras das bobinas 2 e 3, produzindo a indutância própria da bobina 1 (L1 1) e 
as indutâncias mútuas entre as bobinas 2 (L2 1) e 3 (L3 1). Da mesma forma, a 
bobina 2 gera um fluxo magnético que envolve ela própria (L2 2) e parte dele 
envolvendo as bobinas 1 (L1 2) e 3 (L3 2). O mesmo raciocínio pode ser feito 
para a bobina 3 que possui uma indutância própria (L3 3) e duas indutâncias 
mútuas com as bobinas 1 (L1 3) e 2 (L2 3). 
 
Quando os índices p e q são iguais, a indutância é chamada de auto-
indutância ou indutância própria (Lq q) e quando eles forem diferentes, a 
indutância é chamada de indutância mútua. As indutâncias mútuas são iguais 
(Lp q =Lq p). 
 
Para expressar em função dos parâmetros do circuito magnético, vamos 
substituir a expressão do fluxo 
pqL
eequivalent
qq
q
iN
ℜ=φ . 
 
eequivalent
qpqp
pq
NkN
L ℜ= (4) 
onde é a relutância equivalente do circuito magnético à passagem do 
fluxo 
eequivalentℜ
qφ . Desta expressão, podem notar que a indutância é um parâmetro do 
circuito. Ela independe da bobina ser ou não percorrida por corrente. 
 
 
 
No caso da indutância própria, a expressão (4) fica: 
 14
eequivalent
q
qq
N
L ℜ=
2
 (5) 
 
Exemplo 
O circuito magnético heterogêneo da figura abaixo é constituído por um 
núcleo de aço cuja permeabilidadeµn é considerada infinitamente maior que a 
do ar µo. 
As dimensões dos entreferros laterais são: 
c) mmgg 22 21 == 
d) 221 104 cmAA ==
e) 
mAe
Wb
o ⋅⋅=
−7104πµ 
e o número de espiras das bobinas são: espirasN 000.11 = ; 
 espirasN 5002 = ; 
 espirasN 8003 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: Determinar as indutâncias próprias e mútuas das bobinas N3, N1 e 
N2. 
 
 
Solução 
De acordo com o enunciado, a relutância do núcleo de aço é infinitamente 
pequena já que sua permeabilidade é infinitamente alta. Ou seja: 
01 ≈ℜ∴∞→∝ℜ nnn µ (6) 
 
As relutâncias dos entreferros laterais não podem ser desprezadas, pois a 
permeabilidade do ar é muito baixa. 
1
1
1 A
g
o
g ⋅=ℜ µ (7) 
2
2
2 A
g
o
g ⋅=ℜ µ (8) 
 15
Com dispomos das relações das dimensões dos entreferros, podemos fazer 
uma comparação entre elas: 
24
2 2
2
2
1
1
1
ℜ=⋅=⋅=ℜ A
g
A
g
oo µµ (9) 
 
Ou seja, o entreferro1, à direita da perna central do núcleo, possui uma 
relutância duas vezes menor que a do entreferro à esquerda. Os valores destas 
relutâncias são: 
( ) WbAemAeWbg m
m 43,549.591.1
1010104
102
247
3
1 =⋅⋅⋅
⋅=ℜ −
⋅
−
−
π (10) 
 
( ) WbAemAeWbg m
m 86,098.183.3
105,2104
101
247
3
2 =⋅⋅⋅
⋅=ℜ −
⋅
−
−
π (11) 
 
a) Determinação da indutância própria da bobina 3 ( ) e das 
indutâncias mútuas entre as bobinas 3 e 1 ( ) e 3 e 2 ( ). 
33L
13L 23L
Para determinarmos tais indutâncias, imaginem que a “bobina 3” fosse 
percorrida por uma corrente , entrando no terminal superior. O fluxo 
magnético total 
3i
3φ criado pela f.m.m. 333 iN ⋅=ℑ percorre o trecho “uv”. No 
ponto “v” as linhas de força se dividem originando os fluxos parciais 31φ e 
32φ que são inversamente proporcionais às relutâncias dos caminhos que terão 
que percorrer. Como a relutância do entreferro 1 é a metade da do entreferro 
2, o fluxo 31φ é o dobro do fluxo 32φ . Isto que acabamos de descrever pode 
ser demonstrado a partir do circuito equivalente mostrado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32313 φφφ += (12) 
333223113 φφφ ⋅ℜ=⋅ℜ=⋅ℜ=ℑ eqgg (13) 
 
Da expressão (13) tiramos a relação entre os fluxos 31φ e 32φ : 
3232
1
2
31 2 φφφ ⋅=⋅ℜ
ℜ=
g
g (14) 
Substituindo (14) em (12) obtemos: 
32313 35,1 φφφ ⋅=⋅= (15) 
 
Podemos calcular a indutância própria da bobina 3 utilizando a expressão (5) 
onde o índice “q“ é igual a “3” e 3eqeequivalent ℜ=ℜ : 
 16
Wb
Ae
gg
gg
gg
eq 95,032.061.13
1
3
2
21
21
21
3 =ℜ=ℜ=ℜ+ℜ
ℜ⋅ℜ=ℜ (16) 
 
Substituindo os valores em (5) obtemos: 
H
N
L
eq
603186,0
95,032.062.1
8002
3
2
3
33 ==ℜ= ∴ mHL 19,60333 = 
 
 
Para calcularmos a indutância mútua entre as bobinas 3 e 1 ( ) usaremos a 
expressão (4) onde os índices “q” e “p” são iguais a “3” e “2” respectivamente e o 
fator de acoplamento magnéticos entre as bobinas 3 e 1 ( ) é igual a 
31L
13k
667,0
5,1 31
31
3
31
13 =⋅== φ
φ
φ
φk , s ignif icando que 66,7% do f luxo gerado pela “bobina 3” 
enlaça ou concatena a “bobina 1” e os outros 33,3% concatenam a “bobina 2” isto 
é, mHL 65,50231 = 333,0
3
32
23 == φ
φk . Assim temos: 
 
 HNkNL
eq
502654,0
95,032.061.1
8006667,0000.1
3
3131
31 =⋅⋅=ℜ
⋅⋅= ∴ mHL 65,50231 =
 
HNkNL
eq
125664,0
95,032.061.1
8003333,0500
3
3232
32 =⋅⋅=ℜ
⋅⋅= ∴ mHL 65,12532 = 
 
 
b) Determinação da indutância própria da bobina 1 ( ) e das 
indutâncias mútuas entre as bobinas 1 e 2 ( ) e 1 e 3 ( ). 
11L
21L 31L
Vamos agora imaginar que a “bobina 1” fosse percorrida por uma corrente , 
entrando no terminal superior. O fluxo magnético total 
1i
1φ criado pela f.m.m. 
 percorre o trecho “xw”. No ponto “v” as linhas de força se dividem 
originando os fluxos parciais 
111 iN ⋅=ℑ
12φ e 13φ que são inversamente proporcionais às 
relutâncias dos caminhos que terão que percorrer. Como a relutância da perna 
central do núcleo , então o fluxo 0=ℜn 112 φφ = e 013 =φ . Isto que acabamos de 
descrever pode ser demonstrado a partir do circuito equivalente mostrado 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
As expressões que tiramos do circuito equivalente são: 
 13121 φφφ += (17) 
122111311111 φφφφ ⋅ℜ+⋅ℜ=⋅ℜ+⋅ℜ=⋅=ℑ ggngiN (18) 
12213 φφ ⋅ℜ=⋅ℜ gn (19) 
2
2
11
gn
gn
geq ℜ+ℜ
ℜ⋅ℜ+ℜ=ℜ (20) 
As relutâncias e estão em paralelo e como nℜ 2gℜ 0=ℜn e 013 =φ então as 
expressões acima ficam: 
13121 φφφ += (17’) 
11111 φ⋅ℜ=⋅=ℑ giN (18’) 
012213 =⋅ℜ=⋅ℜ φφ gn (19’) 
11 geq ℜ=ℜ (20’) 
 
Passemos então ao cálculo da indutância própria da “bobina 1” usando a 
expressão (5) onde o índice “q” é igual a “1”: 
 HNL
eq
628319,0
43,549.519.1
000.1 2
1
2
1
11 ==ℜ= 
 mHL 32,62811 = 
 
Para o cálculo da indutância mútua entre as bobinas 3 e 1 ( ) vamos usar a 
expressão (4) onde os índices “q” e “p” são iguais a “1” e “3” respectivamente e 
o fator de acoplamento magnéticos entre as bobinas 1 e 3 ( ) é igual a 
31L
31k
0,1
1
13
13 == φ
φk , s ignif icando que 100% do fluxo gerado pela “bobina 1” enlaça ou 
concatena a “bobina 3” e nenhum fluxo (0%) concatena a “bobina 2” isto é, 
0
1
12
12 == φ
φk . Assim temos: 
 
 HNkNL
eq
502655,0
43,591549.1
000.10,1800
1
1313
31 =⋅⋅=ℜ
⋅⋅= ∴ mHL 66,50231 = 
 
que é o mesmo valor de calculada no item a). 31L
 
Agora, para o cálculo da indutância mútua entre as bobinas 2 e 1 ( ) vamos 
usar novamente a expressão (4) onde os índices “q” e “p” são iguais a “1” e “2” 
respectivamente e o fator de acoplamento magnéticos entreas bobinas 1 e 2 ( ) é 
igual a 
21L
21k
0
1
12
12 == φ
φk . Como nenhuma linha de força gerada pela “bobina 1” 
enlaça a “bobina 3” concluímos que a indutância mútua entre elas é zero . Ou 
seja: 
 
 18
0
43,591549.1
000.10800
1
1212
21 =⋅⋅=ℜ
⋅⋅=
eq
NkNL ∴ 021 =L 
 
 
 
c) Determinação da indutância própria da bobina 2 ( ) e das 
indutâncias mútuas entre as bobinas 2 e 1 ( ) e 2 e 3 ( ). 
22L
12L 32L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os cálculos para a determinação das 
indutâncias podem ser feitos de maneira semelhante ao item “b)”. 
 
Confira se os resultados são mHL 54,7822 = ; mHL 65,12532 = e . 012 =L
 
Como observação final, as indutâncias se manifestam no circuito 
magnético do Exemplo acima quando elas forem percorridas por correntes 
elétricas variáveis no tempo. Se por exemplo, a “bobina 3” for percorrida 
pela corrente , o fluxo magnético 3i 3φ irá induzir nela própria uma f.e.m. 
dada por ( )
dt
idL
dt
dNe 3333333 == φ , 
onde a indutância própria é considerada constante. 33L
Os fluxos magnéticos parciais 31φ e 32φ , também variáveis no tempo, irão 
induzir nas bobinas 1 e 2 as forças eletromotrizes 
dt
diL
dt
dNe 33131113 == φ e 
dt
diL
dt
dNe 33232223 == φ 
 
Da mesma forma, se a “bobina 1” for percorrida pela corrente , o fluxo 
magnético 
1i
1φ irá induzir nela própria uma f.e.m. dada por 
dt
diL
dt
dNe 1111111 == φ 
 
Note que na “bobina 1” estão presentes as tensões “ ” e “ ” sendo que 
poderá se somar ou subtrair de dependendo se os fluxos 
11e 13e 13e
11e 1φ e 31φ estão no 
mesmo sentido (aditivos) ou em sentidos opostos (subtrativos). Também na 
“bobina 3” estarão presentes as tensões própria “ ” , a mútua “ ” .e a mútua 33e 31e
 19
“ ” se a “bobina 2” for percorrida pela corrente . A mesma análise pode 
ser feita para a “bobina 2”. 
32e 2i
 
 
 
Bibliografia 
FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY JR., Charles; UMANS D., Stephen. 
Electric Machinery . 6a. Edição. Mc Graw-Hill. New York. 2003. 
 
E. E. STAFF – M.I.T. Circuitos Magnéticos y Transformadores . Editorial 
Reverte. Buenos Aires. 
 
 
 
Belo Horizonte, Agosto de 2004. 
 20
	DISCIPLINA MÁQUINAS ELÉTRICAS I
	PROF. MÁRCIO JOSÉ DA SILVA
	Exemplo
	Solução
	Bibliografia