Slides - Unidade II Matemática para Economia

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Profa. Dra. Deiby Gouveia
UNIDADE II
Matemática para Economia
 Plano Cartesiano
Formado por duas retas reais perpendiculares, denominadas eixo x e y.
Funções – Plano cartesiano
Fonte: Livro-texto
2º quadrante 1º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
Ponto de origem
Y (eixo das ordenadas)
x (eixo das abscissas)
0
 Par Ordenado
Representa um único ponto no plano cartesiano e vice-versa. 
 Notação: P = (a; b), P (a; b) ou P  (a; b)
Exemplo: A (1; 3) C (0; 2) 
B (-1; -2) D (3; 0)
Funções – Par ordenado
Fonte: autoria própria
1 2 3 0
-1
-2
1
2
3
4
5
-2 -1 
y
x
 Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. Determinar a 
área desse triângulo:
Funções – Aplicação
0 1 2 3 4 5 
7
6
5
4
3
2
1
x
y
 Área do triângulo:
A = (b x h)
2
Fonte: autoria própria
 É o conjunto de todos os pares ordenados (x; y). 
 Notação matemática:
 A e B não podem ser conjuntos vazios
Representação:
 Notação de conjuntos,
 Diagrama de flechas e
 Plano Cartesiano.
Funções – Produto cartesiano: A x B
A x B = {x |x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo: Dados os conjuntos A = {-2;3} e B = {0;1;3}, pede-se: 
a) Representar o Produto Cartesiano A x B utilizando:
1) Notação do conjunto: 
A x B =
Funções – Produto cartesiano: A x B
3) Plano Cartesiano
-2 -1 0 1 2 3
3
2
1
-2
-3
x
y
2) Diagrama de Flechas
Fonte: autoria própria
 Função:
Funções – Relação entre conjuntos
f : A  B , 
- A e B não podem
ser conjuntos vazios.
- Cada elemento de A 
é relacionado a apenas um 
elemento de B.
R1: A BA
1
2
3
4
B1
2
3
4
5
R3: A  B 
A 1
2
3
4
B1
2
3
4
5
A 1
2
3
4
B1
2
3
4
5
R2: A  B
Fonte: autoria própria
Exemplo: Verificar se o conjunto de pares 
{(3; 5), (2; 4), (5; 8), (6;12), (7; 12), (18; 15)}
Constitui ou Não uma função. Se a resposta for afirmativa, determine o conjunto 
imagem dessa função.
Funções – Relação entre conjuntos
Fonte: autoria própria
Exemplo: Verificar se o conjunto de pares 
{(2; 10), (3; 8), (5; 13), (3; 4), (8; 20)}
Constitui ou Não uma função. Se a resposta for afirmativa, determine o conjunto 
imagem dessa função.
Funções – Relação entre conjuntos
Fonte: autoria própria
 Exemplos: Determinar o Domínio das funções
Funções – Definindo o domínio de uma função
O domínio da função é:
a) -3
b) 3
c) 9
d) R - {0}
e) R
Interatividade
 Resposta: e) R
Resolução:
D = R
Resposta
 f: A → B pode ser representada por uma lei, como y = f(x)
 Tipos: Funções de 1 grau, Funções de 2 grau, Função Exponencial, Função
Logarítmica
 Representação: Tabela, Diagrama de Flechas, Representação no Plano 
Cartesiano
Funções – Funções definidas por fórmulas matemáticas
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 2; 4; 6; 8}, nos quais a relação 
de f: A → B é definida pela função f(x) = 2x.
A) Tabela B) Diagrama de Flechas C) Plano Cartesiano
 D (f) = 
 CD (f) = 
 Im (f) = 
Funções – Funções definidas por fórmulas matemáticas
x y = 2x (x; y)
 Função do 1 grau é toda função f: R → R definida pela regra
Obs.: a e b constantes  coeficientes da função.
b = coeficiente linear
a = coeficiente angular da reta 
Funções do 1º grau (função linear ou afim)
y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R
a > 0  crescente 
a < 0  decrescente
a = 0  constante
Exemplo: Representar graficamente as funções e identificar suas raízes:
a) f(x) = 2x + 6 b) f(x) = -2x – 6 c) f(x) = 2x – 6 d) f(x) = 2x
Função do 1º grau (função linear ou afim)
Exemplo: Dado o Sistema de Equações 
Ponto de intersecção de duas retas
 Função do 2 grau é toda função f: R → R definida pela regra
1º passo: Análise do coeficiente “a”
 se a > 0  CVC
 se a < 0  CVB
2º passo: Calcular os zeros ou raízes da função
Função do 2º grau (função quadrática)
y = f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R
OBS.: 
 = 0  a Equação admite duas raízes reais e iguais (x’ = x”).
 > 0  a Equação admite duas raízes reais e diferentes (x’ e x”).
 < 0  a Equação não admite duas raízes reais.
3º passo: 
Calcular o vértice da parábola
4º passo: Calcular o ponto que intercepta o eixo y 
(eixo vertical).
Considerar x = 0
Função do 2º grau (função quadrática)
Exemplo: Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 4x – 5:
Função do 2º grau (função quadrática)
Exemplo: Dada a função R(q) =-q2 +800q, determinar a quantidade de peças que 
deve ser vendida para que a receita seja máxima.
Função do 2º grau (função quadrática): Aplicação
Dado o Sistema de Equações 
1 Passo: Representar as duas funções no mesmo
plano cartesiano.
y = -2x + 5
Raízes: (0; 5) (2,5; 0)
Ponto de intersecção: reta e parábola
y = -x2 + 4x + 4
 = 32
x’ = -0,83
x’’ = -4,83
Fonte: Livro-texto
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
-2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
-1,0
-2,0
-3,0
-4,0
-5,0
-6,0
-7,0
2 Passo: Obter o PI das duas equações.
A) Calcular as raízes da função.
 = 32 x’ = 0,17 e x” = 5,83
B) Achar os valores de y:
Substituir x’ e x’’ em uma das equações.
y' = 2(0,17) + 5  y’ = 4,66
y" = 2(5,83) + 5  y” = 6,66
Ponto de intersecção: reta e parábola
Ao igualar as duas funções, uma 
nova função quadrática é formada.
 Representação gráfica
Ponto de intersecção: reta e parábola
Fonte: Livro-texto
PI (5,83; -6,66)
PI (0,17; 4,66)
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
-2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
-1,0
-2,0
-3,0
-4,0
-5,0
-6,0
-7,0
Dadas as funções:
O Ponto de Intersecção das funções é:
a) PI (140, -720)
b) PI (-720, 140)
c) PI (-140, 720)
d) PI (20, 240)
e) PI (240, 20)
Interatividade
Resposta: d) PI (20, 240)
Resolução: Determinar o PI das duas retas.
A) Igualar as duas equações:
6x + 120 = -8x + 400
14x = 280
x = 20
B) Substituir o valor de x = 20 em uma das equações para 
achar y:
y = 6(20) + 120
y = 240 PI (20; 240)
Resposta
 Definição:
Exemplo: Determinar o valor de x da equação exponencial:
a) 2x = 16 b) (1/3)x = 81 
Equação Exponencial – Definição
ax1 = ax2  x1 = x2
 Definição matemática:
 Exemplos:
f(x) = 2x  função exponencial de base a = 2 e b = 1
f(x) = 5 . 8x  função exponencial de base a = 8 e b = 5
 Comportamento da curva: 
Função Exponencial – Definição
f(x) = b.ax b  0, a > 0 e a  1
a > 1 e b > 0  função crescente
b < 0  função decrescente
0 < a < 1 e b > 0  função decrescente
b < 0  função crescente
1 caso: a > 1 e b > 0
Função Exponencial – Gráfico: curva exponencial: y = b.ax
Crescente
2 caso: 0 < a < 1 e b > 0
Decrescente
3 caso: a > 1 e b < 0
Crescente
Decrescente
4 caso: 0 < a < 1 e b < 0
Fonte: autoria própria
Exemplo: Classifique as funções do tipo y = b.ax, em Crescente ou Decrescente:
a) y = -(1/2)x b) y = 2x c) y = 2-x
Função Exponencial – Gráfico: curva exponencial: y = b.ax
a > 1 e b > 0  função crescente
b < 0  função decrescente
0 < a < 1 e b > 0  função decrescente
b < 0  função crescente
 Definição matemática:
Exemplos: log28 = log232 =
 Sistema de Logaritmo:
 Decimal –
 Neperiano (de Neper) – Sistema de base e
(e = 2,71828...), também chamado de sistema de 
logaritmos naturais. 
Logaritmo – Definição
log10x = log x
logex = ln x
logba = x  a
x = b a> 0, a  1 e b > 0
Propriedades
Logaritmo – Consequências da definição
Fonte:
acervo próprio
C1 loga1=0
C2 logaa=1
C3 logaa
n=n
C4 a
logan=n
C5 Se x=y logax = logay
P1
Logaritmo do Produto
loga (M.N)= loga M + logaN
P2
Logaritmo do Quociente
logaa= logaM – logaN
P3
Logaritmo da Potência
logab
n=n.logab
P4
Mudança de Base
loga
b=
M
N
logc
b
logc
a
Exemplo: Utilizando as propriedades operatórias, calcular log216, sabendo que
log24 = 2.
Logaritmo 
 Definição matemática:
 Exemplos: f(x) = 2.log2x, f(x) = – log x
 Gráfico da função y = b.logax está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só 
é definida para x > 0.
 Comportamento da curva:
Logaritmo – Função logarítmica
f(x) = b. logax com b  0, a > 0, a  1, x > 0
a > 1 e b > 0  função crescente
b < 0  função decrescente
0 < a < 1 e b > 0  função decrescente
b < 0  função crescente
Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax
Função Decrescente: 0 < a < 1 e b > 0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0
x
-2.0 -1.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
y
Fonte: Livro-texto
Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax
Função Crescente: 0 < a < 1 e b < 0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0
x
-2.0 -1.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
y
Fonte: Livro-texto
Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax
Função Crescente: a > 1 e b > 0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0
x
-2.0 -1.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
y
Fonte: Livro-texto
Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax
Função Decrescente: a > 1 e b < 0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0
x
-2.0 -1.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
y
Fonte: Livro-texto
Exemplo: Classifique as funções Logarítmicas do tipo f(x) = b.logax em Crescente
ou Decrescente:
a) f(x) = log2x b) f(x) = log1/2x c) f(x) = -log2x
Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax
a > 1 e b > 0  função crescente
b < 0  função decrescente
0 < a < 1 e b > 0  função decrescente
b < 0  função crescente
 Definição:
 Domínio = Reais com Q(x) ≠ 0. 
Exemplo:
Outras funções – Função Racional
f(x) = P(x) Q(x)  0
Q(x)
 Função Hipérbole
Propriedades:
1) Domínio são os reais, exceto o zero;
2) Quando x se aproxima de zero 
tende ao infinito.
Outras funções – Função racional
Fonte: Livro-texto
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
-1,0
-2,0
-3,0
-4,0
-5,0
Nos EUA, em anos recentes, a população pode ser modelada pela função 
exponencial p(t) = 205.(1,0068)t, na qual p é a população (em milhões) e t é o tempo 
em anos, com t = 0 correspondendo a 1970. Em que ano a população ultrapassa a 
casa dos 300 milhões de pessoas?
a) 1914
b) 1970
c) 1956
Interatividade
d) 2000
e) 2026
 Resposta correta: e) 2026
Resolução:
p(t) = 205 . (1,0068)t
300 = 205 . (1,0068)t
300 = (1,0068)t
205
1,46341 = (1,0068)t
Resposta
OBS.: Como a variável está no expoente, utiliza log 
dos dois lados da igualdade.
1,46341 = (1,0068)t
log 1,46341 = log (1,0068)t
log 1,46341 = t . log 1,0068
log 1,46341 = t
log 1,0068 
t = 0,165366018 = 56,1856
0,002943206
t ≈ 56 
Se 1970 é t = 0, então, 1970 + 56 = 2026
 Sistema linear com duas equações e duas incógnitas.
 Sistema linear com três equações e três incógnitas.
 Métodos
1) Método de substituição; 
2) Método de adição.
Sistema de equações – Introdução
É um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas.
 Está relacionada ao número de soluções
que ele possui.
Sistema de equações – Classificação do sistema
Fonte: acervo próprio
Sistema
Possível
Impossível
(Sl: sistema impossível)
Conjunto solução vazio
Indeterminado (SPl: sistema 
possível e indeterminado)
Conjunto solução infinito
Determinado (SPD: sistema 
possível e determinado)
Conjunto solução unitário
Exemplos:
Sistema de equações – Classificação do sistema
 SPI
S = {(1; 1; 2), (0; 2; 4), (1; 0; 1) etc.
 SI
Não apresenta solução.
 SPD
S = {1, 6}
Exemplo: Resolver o sistema
Sistema de equações – Solução do sistema
S: x =1 e y = 1
 Dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. 
 Exigência: número de equações = número de incógnitas.
 Resolução de sistemas usando a Regra de Cramer:
1° passo: Calcular o determinante da matriz dos coeficientes (D)
2° passo: Verificar se a Regra de Cramer pode ser aplicada:
- se D ≠ 0, se aplica a Regra de Cramer pois temos SPD;
- se D = 0, não se aplica a Regra de Cramer.
3° passo: Aplicar a Regra de Cramer:
x = Dx y = Dy
D D
Sistema de equações – Regra de Cramer 
Exemplo: Determinar os valores de x e y do sistema: 
Sistema de equações 
S: x =1 e y = 1
 Uso: Sistemas do tipo 3 x 3, 4 x 4 etc.
 Passos:
Sistema de equações: Regra de Sarrus 
Det = Diagonal principal – Diagonal secundária
Fonte: Adaptado de: 
https://www.todamat
eria.com.br/regra-
de-sarrus/
a11 a12 a13
a21 a22 a23 
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23 
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22 
a31 a32
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22 
a31 a32 a33 a31 a32
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22 
a31 a32 a33 a31 a32
Exemplo: Determinar os valores de x e y do sistema: 
Sistema de equações: Regra de Sarrus 
Det = 15
Dx = 75
Dy = 45
Dz = 15
X = 5
Y = 3
Z = 1
 A relojoaria do Sr. Joaquim consegue vender dez relógios a um preço de U$ 80,00.
Desejando aumentar as vendas, ele resolveu reduzir o preço para R$ 60,00 e
verificou que a quantidade de relógios vendidos duplicou. Utilizando a Regra de
Cramer, determine a função Demanda, admitindo que seja uma função linear.
Sistema de equações – Aplicação
Dado o sistema a soma das incógnitas x e y é igual a:
a) 0,5
b) 1,5
c) 1,9
d) 3,5
e) 2
Interatividade
Resposta: b) 1,5
Resolução:
 Logo, a soma de x e y é igual a 1,5.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!