Aulas 12 e 13 Modelagem de Sistemas físicos - Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos

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MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS 
MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS 
 
Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULAS 09 e 10- Página 1 
 
MODELAGEM 
Modelo, definido de forma ampla, é alguma forma de representar algo. Também pode ser definido como o 
resultado do processo de produzir uma representação abstrata, conceitual, gráfica ou visual, de fenômenos, 
sistemas ou processos com o propósito de analisar, descrever, explicar, simular – em geral, explorar, 
controlar e predizer estes fenômenos ou processos. Considera-se que a criação de um modelo é uma parte 
essencial de qualquer atividade científica e tecnológica. 
Os modelos geralmente são representações simplificadas da realidade. Embora seja necessário um grande 
número de dados para explicar ou prever um fenômeno, muitas vezes um pequeno número deles já permite 
chegar a uma explicação satisfatória. 
O processo de modelagem tem como ponto de partida o objeto real que está sendo considerado. Na 
modelagem, o objeto real é substituído por outro entre abstrato, ou modelo mais simples, geralmente com a 
mesma designação, em forma gráfica, textual ou simbólica. O conhecimento do mundo real, considerado 
como domínio de conhecimento, é estruturado no modelo, sendo todas as características do objeto real 
reduzidas aos fenômenos e aspectos considerados importantes. 
 
PROPÓSITO DOS MODELOS 
Os modelos são criados com os seguintes propósitos: 
 Explicar: são modelos empregados para descrever o comportamento de natureza ou da 
humanidade. São exemplos os modelos físicos do cosmo, termodinâmica, do espaço-tempo (teoria 
da relatividade), modelos biológicos predador-presa e epidemiológicos, modelo econômico, entre 
outros. 
 Prever: os modelos desenvolvidos para explicar certos fenômenos podem ser usados para prever o 
desenvolvimento futuro de determinado fenômeno. Por exemplo, especialistas em recursos hídricos 
fazem modelos de bacias hidrográficas para prever a ocorrência de enchentes para determinadas 
precipitações. 
 Tomada de decisão: são aqueles empregados para decidir a melhor decisão a tomar para atingir o 
objetivo de forma menos dispendiosa e/ou rápida. Por exemplo, são empregados modelos hidrológicos 
incluídos métodos de otimização para a tomada de decisão de controlar a produção de energia em cada 
hidrelétrica do sistema brasileiro, de forma a aperfeiçoar o consumo de água das barragens e a capacidade de 
carga das linhas. 
 Comunicação: informar e descrever as características do sistema em estudo para outras pessoas interpretá-
las. 
 
 
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MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS 
 
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A modelagem matemática de um sistema dinâmico é constituída por um conjunto de equações diferenciais 
que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de uma forma aceitável. 
Existem dois métodos básicos de modelagem: 
1- Modelagem Teórica (ou Analítica): utiliza os princípios da física e da química para obter as equações 
diferenciais que regem o processo a ser modelado. 
2- Modelagem Experimental (ou Empírica): usa a observação direta dos dados operacionais do 
processo para obter as equações diferenciais que o descrevem. 
Geralmente aplica-se um sinal de entrada conhecido e mede-se a saída correspondente. 
Um modelo matemático analítico de um sistema dinâmico é gerado em duas etapas: 
1- Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo comportamento se ajuste suficientemente 
bem ao comportamento do sistema real 
2- Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico, isto é, escrever as equações 
dinâmicas do modelo físico. Para tanto, as leis físicas e/ou químicas apropriadas são aplicadas para 
gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e de saída. 
Com o modelo matemático obtido analiticamente, pode-se estudar o comportamento dinâmico do sistema, 
através da solução das equações diferenciais que o descrevem e projetar estratégias de controle para obter-
se o comportamento desejado. 
Um modelo físico representa um sistema físico imaginário que se assemelha ao sistema físico real em suas 
características mais importantes, mas que é mais simples (uma idealização) e, portanto, mais propício ao 
estudo. 
A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração. 
Os seguintes tipos de aproximação são possíveis: 
1- Desprezar pequenos defeitos 
2- Assumir que o ambiente em torno do sistema não seja afetado por ele 
3- Substituir características distribuídas por concentradas 
4- Assumir relações lineares de causa-efeito entre as variáveis físicas 
5- Assumir que os parâmetros físicos não variem com o tempo 
6- Desprezar incertezas e ruídos 
Para obter as equações dinâmicas de um processo, os seguintes passos devem ser seguidos: 
1- Definição das variáveis de entrada e de saída 
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2- Escrever as relações sistêmicas (relações de equilíbrio ou de compatibilidade inter-elementos) 
3- Escrever as relações constitutivas para cada elemento (são puramente empíricas) 
4- Combinar as relações obtidas, obtendo as equações dinâmicas. 
 
EQUACIONAMENTO DE SISTEMAS FÍSICOS (MODELAGEM) 
 Os sistemas dinâmicos, independente de serem mecânicos, elétricos, térmicos, hidráulicos, biológicos ou 
econômicos podem ser caracterizados por equações diferenciais. A resposta destes sistemas a uma 
determinada entrada ou excitação pode ser obtida se estas equações são resolvidas. 
 
VARIÁVEIS DE ESTADO 
Estado de um sistema se refere as condições passadas, presentes e futuras do sistema. Matematicamente, 
um conjunto de variáveis, x1(t), x2(t),..., xn(t), podem definir as características escolhidas para descrever as 
características dinâmicas de um sistema. Para que estas variáveis possam ser definidas como variáveis de 
estado algumas condições devem ser satisfeitas: 
 
- Em qualquer instante t = t0, as variáveis de estado x1(t0), x2(t0),..., xn(t0), definem os estados do sistema 
no instante escolhido; 
- Uma vez especificadas as entradas para t  0 e os estados iniciais para t = t0, as variáveis de estado 
devem definir completamente o comportamento futuro do sistema; 
 
Ou seja, as variáveis de estado de um sistema são o conjunto mínimo de variáveis que conhecidos seus 
valores para um tempo inicial t0, bem como a excitação a ser aplicada subsequentemente, pode-se 
determinar o estado do sistema para t  t0. 
As variáveis de estado não são a saída de um sistema. A saída de um sistema pode ser medida, enquanto 
que as variáveis de estado, muitas vezes, não podem ser medidas. A saída de um sistema é normalmente 
definida como uma função das variáveis de estado. As variáveis de estado estão diretamente relacionadas 
com os elementos armazenadores de energia do sistema. A tabela 1 apresenta alguns elementos 
armazenadores de energia encontrados em sistemas físicos. 
 
 
 
 
 
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TABELA 1 - Elementos armazenadores de energia. 
ELEMENTO ENERGIA VARIÁVEL FÍSICA 
Capacitância C 
Cv
2
2 
Tensão v 
Indutância L 
Li
2
2 
Corrente i 
Massa M 
Mv
2
2 
Velocidade de translação v 
Momento de inércia J 
Jw
2
2 
Velocidade angular w 
Elastância KKx
2
2 
Deslocamento x 
 
 O conjunto das variáveis de estado pode ser representado por um vetor n-dimencional x(t): 
 x(t) 






























nx
2
x
1
x
(t)nx
(t)
2
x
(t)
1
x

 x [1] 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Conceitos: 
 Leis de Kirchhoff (somatório das tensões em um circuito fechado e somatório das correntes em um nó); 
 Tensão (V), corrente (A); 
 Resistência (Ohm) - lei de Ohm , 
)Ri(t(t)rv 
; [2] 
 Indutância (H) - lei de Faraday, 
dt
di(t)
L(t)
l
v 
; [3] 
 Capacitância (F) - 

t
o
i(t)dt
C
1
(t)cv
 [4] 
 
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a) Circuito RL - série 
 
FIGURA .1 - Circuito RC série 
Considerando-se uma fonte de tensão como função do tempo, e(t) , pode-se escrever: 
 vr (t) + vl(t) = e(t) ou 
e(t)
dt
di(t)
L+Ri(t) 
. [5] 
Considerando-se que o único elemento armazenador de energia é o indutor, que a variável de estado é x1= 
i(t) = i e fazendo-se e(t) = u, tem-se de [5]: 
 
 
u
1
xL
1
Rx  
 ou 
u
L
1
+
1
x
L
R
1
x 
 [6] 
A equação [6] é a equação de estado do sistema e é suficiente para representar o desempenho futuro do 
sistema. O termo u é a notação convencional para a função de excitação, chamada de variável de controle. 
 
b) Circuito RLC - série 
 
FIGURA 2 - Circuito RLC série 
e(t)
R
Li(t)
+
_
e(t)
R
Li(t)
+
_
C .
a
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 Pode-se escrever: 
 vr (t) + vl(t) + vc = e(t) ou 
e(t)cvdt
di(t)
L+Ri(t) 
, [7] 
 
 
)i(t
dt
dv(t)
C 
 (sobre o nó a) [8] 
 
 Variáveis de estado : 






indutor no corrente , 
l
i
2
x
capacitor no tesão , cv1
x 
 
 Reescrevendo as equações [7] e [8], tem-se: 
 
 
2
x
C
1
1
x ou 
2
x
1
xC  
 [9] 
 
 
 u
L
1
+
2
x
L
R
 -
1
x
L
1
2
x ou u =
1
x
2
Rx
2
xL  
 [10] 
 
 Em notação matricial: 
  u
L
1
0
2
x
1
x
L
R
L
1
C
1
0
2
x
1
x







































 [11] 
 De modo mais geral: 
 
BuAxx 
 [12] 
 Onde: 
 A é a matriz de evolução do processo ou matriz de estado; 
 x é o vetor de estado; 
 B é a matriz de controle ou matriz de entrada; 
 u é um vetor de controle. 
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Supondo que a grandeza de saída y(t), seja a tensão no capacitor, vc: 
 y(t) = vc = x1 ou 
 









2
x
1
x
01y(t)
. [11] 
 De modo mais geral: 
 y = Cx+Du, [12] 
onde: 
 C é a matriz resposta ou matriz de saída; 
 y é o vetor resposta; 
 D é a matriz de transmissão direta. 
 
Exercício 1 : Dado o circuito da figura 3, obtenha as equações de estado e de resposta do sistema, onde a 
resposta do sistema é i2. 
 
 
FIGURA 3 - Circuito elétrico do exercício 1. 
 
 Considere as seguintes variáveis de estado: x1 = i1, x2 = i2 e x3 = vc. Pode-se escrever as seguintes 
equações: 
 
 u =
3
x+
1
x
1
L
1
Rx 
 [13] 
 
 0 =
2
x
2
L
2
x
2
R
3
x 
 [14] 
 
e(t)
R1
i1(t)
+
_
C
i2(t)C
L1 L2
R2
.a
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 0 =
3
xC
2
x
1
x 
 [15] 
 Equação de estado na forma matricial: 
 
u
0
0
1
L
1
x
0
C
1
C
1
L
1
2
L
2
R
0
L
1
0
1
L
1
R
x









































 [16] 
 Equação de resposta do sistema: 
 
 x010y 
 [17] 
 
Exercício 2: Dado o circuito da figura 4, obtenha as equações de estado e de resposta do sistema na forma 
matricial, onde a resposta do sistema é a tensão vc, sobre o capacitor C. 
 
FIGURA 4 - Circuito elétrico do exercício 2. 
 Variáveis de Estado: x1 = i1 - i2 e x3 = vc. 
 Equações diferenciais: 
 
u)
2
i+
1
(x
1
R
1
xL 
 [18] 
 
0
2
x+
2
i
2
R
1
Lx- 
 [19] 
 
2
xC
2
i 
 [20] 
 Substituindo-se [20] em [18] e [19]: 
e(t)
R1
i1(t)
+
C
i2(t)
R2
L
C
-
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u
2
xC
1
R+
1
x
1
R
1
xL  
 ou 
1
x
1
RuC)
1
(R
2
x(L)
1
x  
 [21] 
 
0x+xCRLx- 2221  
 ou 
2221 xC)(Rx(-L)x  
 [22] 
 Resolvendo o sistema formado por [21] e [22]: 
 
 
u
)RL(R
R
x
)RL(R
R
x
)RL(R
RR-
 =x
21
2
2
21
1
1
21
21
1






 [23] 
 
 
u
)
2
R
1
C(R
1
2
x
)
2
R
1
C(R
1
1
x
)
2
R
1
C(R
1
R-
 =
2
x






 [24] 
 
 Equação de estado do sistema: 
 u
)RC(R
1
)RL(R
R
x
x
)RC(R
1
)RC(R
R-
)RL(R
R
 
)RL(R
RR-
 =x
21
21
2
2
1
2121
1
21
1
21
21



































 [25] 
 
 Equação de resposta do sistema: 
 
 xy 10
 [26] 
 
SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO 
 Conceitos: 
 Lei de Newton (F = Ma); 
 Massa (kg); 
 Força (N); 
 Elastância, rigidez ou constante elástica K (N/m) - mola linear; 
 Amortecimento ou coeficiente de atrito viscoso B ( N/m/s) - amortecedor. 
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a) Sistema Massa – mola – amortecedor. 
A figura 5 apresenta representa um sistema mecânico de translação com uma massa, uma mola e um 
amortecedor. 
 
 
K 
M 
B 
y 
U = f(t) , função excitação 
 
FIGURA 5 – Sistema massa-mola-amortecedor. 
A equação diferencial do sistema é encontrada aplicando-se a 2a lei de Newton sobre a massa: 
yBkyyMf(t)  
 [27] 
Os elementos que armazenam energia no sistema são M e K. B só dissipa energia. As equações de energia 
são 
2
2yM  para a massa e 
2
2yK para a mola. Logo, as variáveis de estado são: 
y
2
x
y
1
x

 
 
Em função das variáveis de estado propostas, as equações de estado do sistema são: 
1
x
2
x 
 [28] 
 
f(t)
M
1
1
x
M
B
2
x
M
K
1
x
1
Bx2
Kx
1
xMf(t)  
 [29] 
 
Na forma matricial: 
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)
001
f(tM
1
2
x
1
x
M
K
M
B
2
x
1
x





































 [30] 
 
Um sistema mecânico possui grandezas análogas com um sistema elétrico. Esta analogia é baseada na 
similaridade das equações diferenciais obtidas para sistemas elétricos e mecânicos. A tabela 2 apresenta os 
elementos análogos. 
TABELA 2 - Elementos análogos em sistemas mecânicos e elétricos. 
SISTEMA MECÂNICO SISTEMA ELÉTRICO 
força F tensão e 
massa M indutância L 
amortecimento B resistência R 
elastância K capacitância C 
deslocamento x carga elétrica q 
velocidade v corrente i 
 
A massa é um elemento armazenador de energia cinética e a mola é um armazenador de energia potencial. 
Exemplo 3 – Para o sistema da figura 6 encontre: 
a) Equações diferenciais do sistema. 
Sobre a massa M2: 
)
1
y
2
y(
2
B
2
y
2
k
2
y
2
Mf(t)  
 [31] 
Sobre a massa M1: 
 
1
y
1
B
1
y
1
k
1
y
1
M)
1
y
2
y(
2
B  
 [32] 
 
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K1 
M1 
M2 
B1 
K2 
y1 
y2 
U = f(t) - função excitação 
B2 
 
FIGURA 6 – Figura do exemplo 3 
 
b) Equações diferenciais do sistema. 
Sobre a massa M2: 
 
)
1
y
2
y(
2
B
2
y
2
k
2
y
2
Mf(t)  
 [33] 
Sobre a massa M1: 
 
1
y
1
B
1
y
1
k
1
y
1
M)
1
y
2
y(
2
B  
 [34] 
c) proposta de variáveis de estado para o sistema. 
 
Os elementos que armazenam energia no sistema são M1, M2, K1 e K2. B1 e B2 só dissipam energia. As 
equações de energia são 
2
2
1
y
1
M  e 
2
2
2
y
2
M  para as massas , 
2
2
1
y
1
K e
2
2
2
y
2
K para as molas. Logo, sejam 
as variáveis de estado: 
 
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2
y
4
x
1
y
3
x
2
y
2
x
1
y
1
x






 
d) em função das variáveis de estado propostas, as equações de estado do sistema. 
 
Substituindo-se as variáveis de estado nas equações diferenciais: 
f(t)
2
M
1
4
x
2
M
2
B
3
x
2
M
2
B
2
x
2
M
2
K
4
x)
3
x
4
(x
2
B
2
x
2
K
4
x
2
Mf(t)  
 
4
x
1
M
2
B
3
x
1
M
)
2
B
1
(B
1
x
1
M
1
K
3
x
3
x
1
B
1
x
1
k
3
x
1
M)
3
x
4
(x
2
B 

 
 
Temos ainda: 
4
x
2
x
3
x
1
x



 
 
Na forma matricial: 
)f(t
2
M
1
0
0
0
4
x
3
x
2
x
1
x
2
M
2
B
2
M
2
B
2
M
2
K
0
1
M
2
B
1
M
)
2
B
1
(B
0
1
M
1
K
1000
0100
4
x
3
x
2
x
1
x









































































 [35] 
 
e) equação resposta para a saída sendo o deslocamento da massa 2 (y2). 
 















4
x
3
x
2
x
1
x
0010y [36] 
 
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MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS 
 
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f) circuito elétrico equivalente. 
 
As equações diferenciais resultantes usando a analogia entre força e tensão são: 
 
)
1
i
2
(i
2
R
2
i
2
Ldt
2
i
2
C
1
e(t) 

 e 
1
i
1
R
1
i
1
Ldt
1
i
1
C
1
)
1
i
2
(i
2
R 
 
 
, que são as duas equações de malha do circuito da figura 7 
 
 
u(t) R1 
i1(t) 
+ 
i2(t) 
R2 
L2 
- 
C2 C1 
L1 
 
FIGURA 7 – Circuito elétrico equivalente do exemplo 3. 
 
Exemplo 4– O sistema da figura 8 representa de forma simplificada a suspensão de uma da rodas de um 
automóvel. Encontre: 
a) Equações diferenciais do sistema. 
Sobre a massa M2: 
 
)(
1
y
2
y
1
K)
1
y
2
yB(
2
y
2
k
2
y
2
Mf(t)  
 [37] 
Sobre a massa M1: 
 
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1
y
1
M)
1
y
2
(y
1
K)
1
y
2
yB(  
 [38] 
 
 
K1 
M1 
M2 
B 
K2 
y1(t) 
y2(t) 
f(t)
2 
 
FIGURA 8 – Figura do exemplo 4 
 
b) Uma representação por diagrama de blocos do sistema. Considere que a entrada seja a força f(t) e a 
saída seja o deslocamento y1(t). 
 Aplicando-se a transformada de Laplace às equações [37] e [38] e considerando-se as condições 
iniciais nulas, tem-se: 
 
(s))
1
 Y- (s)
2
(Y
1
k(s))
1
Y-(s)
2
Bs(Y(s)
2
Y
2
k (s)
2
Y2s
2
M F(s) 
 [39] 
 
(s)
1
Y2s
1
M (s))
1
 Y- (s)
2
(Y
1
K (s))
1
 Y- (s)
2
Bs(Y  [40] 
De [39]: 
(s)
1
Y
2
k
1
kBs2s
1
M
1
kBs
F(s)
2
k
1
kBs2s
2
M
1
(s)
2
Y





 [41] 
 
M1 – massa do carro 
M2 – massa do pneu 
B – amortecedor 
K1 – mola 
K2 – elasticidade do pneu 
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De [40]: 
(s)
2
Y
1
kBs2s
1
M
1
kBs
(s)
1
Y



 [42] 
Chamando: 
 
1
kBs2s
1
M
1
kBs
(s)
1
G



,
2
k
1
kBs2s
2
M
1
(s)
2
G


e 
2
k
1
kBs2s
1
M
1
kBs
(s)
3
G



, 
Tem-se: 
 
(s)
2
(s)Y
1
G(s)
1
Y 
 [43] 
 
(s)
1
(s)Y
3
G(s)F(s)
2
G(s)
2
Y 
 [44] 
 
O que permite obter a representação por diagrama de blocos da figura 9: 
 
 
G1(s) 
G3(s) 
+ 
+ 
G2(s) 
F(s) Y1(s) Y2(s) 
 
FIGURA 9 – Possível representação do sistema na forma de diagrama de blocos. 
c) A função de transferência considerando que a entrada seja a força f(t) e a saída seja o deslocamento 
y1(t). 
 
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A função de transferência do sistema será: 
 
(s)
2
(s)G
1
G-1
(s)
1
(s)G
2
G
F(s)
(s)
1
Y

 [45] 
SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO 
Os sistemas mecânicos com translação são similares aos sistemas mecânicos de trasnlação. Escrever a 
equação do torque é semelhante a escrever a equação de força. Neste caso o deslocamento, a velocidade 
e a aceleraçãoserão angulares. 
São aqueles construídos a partir da combinação de três componentes básicos, que representam 
idealizações de fenômenos físicos que ocorrem nos sistemas reais: massa em rotação (inércia), mola 
torcional e amortecedor rotacional. 
Conceitos: 
  - posição angular (rad) 
 w – velocidade angular (rad/s) 
  - aceleração angular (rad/s2) 
 K – elastância ou rigidez da mola – (N.m/rad) 
 B – coeficiente de amortecimento viscoso (N.m/rad/s) 
 J – momento de inércia (kg.m2) 
 Equação de torque: T = J. 
 Sobre uma mola : Tk = K(a - b) 
 Sobre um amortecedor: Tb = B(wa-wb) 
 Equação de energia sobre a mola: Ek = K2/2 
 Equação de energia sobre o momento de inércia: Ej =Jw2/2 
A figura 10 apresenta um exemplo de sistema de segunda ordem rotacional: 
 
 
B 
B 
K 
T(t ) 
K T(
t )
2 
J 
 
FIGURA 10 – Exemplo de sistema rotacional mecânico. 
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Balanço de torques: a soma de todos os torques externos agindo em uma massa rotacional é igual ao 
torque inercial agindo na mesma massa. 
Lei dos Deslocamentos: se dois corpos estão unidos, então os mesmos são forçados a se deslocarem com 
a mesma posição, velocidade e aceleração angular. 
 
 
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SISTEMAS ELETROMECÂNICOS 
São sistemas que convertem energia elétrica em mecânica e vice-versa. 
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São extensivamente utilizados em engenharia e automação, como por exemplo: motores, geradores, 
sensores, microfones, alto-falantes. 
 
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OBS: MAIORES DETALHES, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS ENCONTRAM-SE NOS CAPÍTULOS 3 E 4 
DO LIVRO OGATA PASSADO PARA A TURMA. 
 
 
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EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
 
 
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Ex: Ache a função de transferência do sistema mecânico translacional abaixo 
 
Ex: Ache as equações de estado do sistema 
 
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