Aulas 2 e 3 Cálculo II

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19/08/18
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Cálculo II
Aulas 02 e 03
Cálculo II
Profa. PhD. Paula Regina Corain Lopes
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REVISANDO CONCEITOS IMPORTANTES....
CÁLCULO
• O cálculo é a matemá,ca das variações!
Principal• instrumento para estudar as taxas de variação® DERIVADA!"#$%Ø &' ($'&)*': [- . / . ]1 = -1 . / . + - . /1 .
Exercícios:
1-) Dada a função f(t) = (t2 + 1)(4t3 – 2), encontre f’(t).
2-) Determine f’(x) sabendo que - . = .(5 + 6.)
Ø !"#$% &' ()'*+",-": /(1)3(1) 4 = /6 1 3 1 7/ 1 36 13(1) 8REVISANDO CONCEITOS IMPORTANTES....
Exercícios:
1-) Dada a função 9 = 1:;117< , determine y’.
2-) Derive a função f(x) = tg(x).
3-) Derive f(x) = cotg(x).
Lembrando: 
y = sen x → 94 = cos A
y = cos x → 94 = − senA1cos A = sec A1FGH A = IJFFGI A
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REVISANDO CONCEITOS IMPORTANTES....
Ø !"#$% &% '%&"(%: *+*, = *+*. *.*,
Exercícios:
1-) Determine as derivadas das funções a seguir:
a) f(x) = (x3 + 2x)2
b) / 0 = 1(1345,)7
c) f(x) = esen(x) + sen(ex)
d) f(x) = sen2x + sen(2x)
e) / 0 = (30 + 1) ;<,=;
Lembrando: 
y = sen x → ?@ = cos 0
y = cos x → ?@ = − sen01cos 0 = sec 01GHI 0 = JKGGHJ 0
2-) Uma par)cula está em um movimento harmônico simples se a
equação do seu movimento é dado por:! " = $ %&'()" + +). 
Encontre a equação da velocidade dessa par)cula.
3-) Da Física, sabe-se que a corrente -, que atravessa um circuito, é uma
função do tempo e é dada por: - = ./.0 , onde a carga Q de um capacitor,
que inicia a descarga no instante t = 0, é dada por:
1 " = 2 3454 " ≤ 02890 :;< 3454 " > 0
R e C são constantes posiJvas que dependem do circuito. Determine a
corrente -, em função do tempo.
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Respostas do Exercício 1 de Regra da Cadeia:
1-) a-) !’ # = 6#& + 16#) + 8#
b-) +’ = − -.(0123 .)5
c-) +’ = cos # 9:;<. + 9.=>?(9.)
d-) f’(x) = 2(sen # . cos # + cos 2#)
e-) f’(x) = - @&.AB 0
Respostas dos Exercícios 2 e 3 de Regra da Cadeia:
2-) C(D) = −EF ?9G(FD + H).
3-) I = − ;J KLMN
Introdução ao Conceito de Integral: 
Antiderivada ou Primitiva
• Definição: Uma função ! " é chamada de antiderivada ou
primitiva de # " se:$!$" = !& " = # "
para qualquer " no domínio de #. O conjunto de todas as
an=derivadas ou primi=vas de #, é a integral indefinida de # em
relação a ", denotada por: '# " $"
Símbolo de 
integral # é o Integrando " é a variável de integração
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Dada a derivada de uma função:•
Qual a função que gerou a derivada?•
-6 -4 -2 0 2 4 6
-5
0
5
10
15
20
25
x2
x2-4
x2+5
Antiderivação
• Propriedade Fundamental das Antiderivadas: Se ! " é
uma antiderivada de uma função contínua # " ,
qualquer outra antiderivada de # " tem a formaG " = ! " + ', onde ' é uma constante.
(# " )" = ! " + '
! " é a
primi>va
' é a constante de 
de integração ou 
constante arbitrária
Integral Indefinida
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Verificando a Integral
• Partindo da integral ∫ " # $# = & # + (, podemos
verificar se o cálculo está correto derivando & # .
– Se &′ # = " # → a integração está correta;
– Se &′ # ≠ " # → a integração não está correta.
• A ligação que existe entre derivação e antiderivação
permite obter regras de antiderivação a partir de
regras de derivação já conhecidas.
!"#$ = "$ + '
!$(#$ = $()*+ + 1 + '!1$ #$ = ln |$| + '!012#$ = 1" 012 + '
para $ > 0
para qualquer + ≠ −1
para " constante
!70+ "$ #$ = −cos "$" + '!cos "$ #$ = 70+ "$" + '
##$ "$ = "##$ $()*+ + 1 = $(##$ ;+$ = 1$##$ 1" 012 = 012
##$ 70+ "$" = cos "$
##$ −<=7 "$" = sen"$
Fórmula que a originou
Regras de Integração
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!"#$% & '& = )*& + , ''& )*& = "#$%&''& −$.)*& = $."#$%&
''& sec & = sec & )* &
''& −$."#$ & = $."#$ & $.)2*&
Fórmula que a originou
!$."#$% & '& = −$.)*& + ,
!"#$ & )*& '& = sec & + ,
!$."#$ & $.)*& '& = −$.sec & + ,
Integral Indefinida
Regras de Integração
Exemplos!"# $" =®
!&'( $& =®
!cos , $, =®
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Exemplos!"# $" = 15"( + *$$" 15 "( + * = $$" 15 "( + $$" * = "#porque
®
!+,- $+ = −12 +,0 + *®
0
$$+ −12 +,0 + * = $$+ −12 +,0 + $$+ * = +,-porque
0
!cos 4 $4 = 567 4 + *® $$4 567 4 + * = $$4 567 4 + $$4 * = cos 4porque 0
Exercícios
!"# "$ %" =®
! 1"$ %" =®
! ( ")%" =®
! *+",-." %" =®
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Exercícios
!"#$ 2& '& =®
!#)*+'& =®
!cos &2 '& =®
Respostas Exercícios
!"# "$ %" =!"'%" = 19"* + ,®
! 1"$ %" =!"-$%" = "-$./−3 + 1 = − 12"3 + ,®
! 4 "3%" =!" ⁄3 $%" = " ⁄3 $./3$ + 1 = 35" ⁄# $ + ,®
! 78"9:;" %" =!cos " 9:? "cos " %" = !9:? " %" = −cos " + ,®
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!"#$ 2& '& = −cos 2&2 + .®
!#/01'& = −13 #/01 + .®
!cos &2 '& = !cos 12 & '& = "#$ 12 &45 + . = 2 "#$ &2 + .®
Respostas Exercícios
Regras Algébricas para Integração
!"# $ %$ = "!# $ %$Regra da multiplicação por constante:
Regra da soma: ! # $ + ( $ %$ =!# $ %$ + !( $ %$
Regra da diferença: ! # $ − ( $ %$ =!# $ %$ − !( $ %$
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! 5#$ + 2 cos # *#®
Exemplos
! 8,$ − 6 , + 1,$ *,®
! #0 − 1 0#0 *#®
! 5#$ + 2 cos # *# = !5#$*# + !2 cos # *#®
= 5!#$*# + 2!cos # *#
= 5 #,4 + ./ + 2 012 # + .3= 5#,4 + 5./ + 2 012 # + 2.3= 54#, + 2 012 # + 5./ + 2.3= 54#, + 2 012 # + .
Geralmente omi+mos a
passagem:!45 # *# = 4!5 # *#
Mais um exemplo...
Exemplos
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! 8#$ − 6 # + 1#$ )# = ! 8#$ − 6# ⁄, - + #.$ )#®
= 8 / #04 − 6 / # ⁄$ -$- + #.-−2 + 3= 2#0 − 4# ⁄$ - − 12#- + C
Exemplos
! "# − 1 #"# &" = !"( − 2"# + 1"# &"® = ! "("# − 2"#"# + 1"# &"
= ! "# − 2 + "+# &"
= ",3 − 2" + "+.−1 + /= ",3 − 2" − 1" + /
Exemplos
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Podemos escrever a integral indefinida como:•
!" # $# = !&′ # $# =!$&$# $# = & # + )
Esta propriedade das integrais indefinidas é especialmente ú7l
em problemas aplicados, nos quais é conhecida a taxa de
variação &’ # e estamos interessados em determinar & # .$&$# = " # Þ equação diferencialonde
Problemas de Valor Inicial
Determine1) a função ! " cuja tangente tem uma
inclinação 3"$ + 1 para qualquer valor de " cuja
curva passa pelo ponto 2, 6 .
Exemplo
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!"!# = "% # = 3#' + 1
1) Determine a função " # cuja tangente tem uma inclinação 3#' + 1
para qualquer valor de # cuja curva passa pelo ponto 2, 6 .
A inclinação da tangente é " # = . 3#' + 1 !# = #/ + # + 0
Para determinar o valor da constante C, 
usamos o fato da função passar pelo 
ponto (2, 6)." 2 = 6 ⟹ 6 = 2/ + 2 + 0 ⇒ 0 = −4∴ " # = #/ + # − 4
-4 -2 0 2 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
Resolução
2) Depois que os freios são acionados, um carro perde
velocidade à taxa constante de 6 "/$. Se o carro está a65 &"/ℎ quando o motorista pisa no freio, que
distância o carro percorre até parar?
0
Pisa no freio
?
Exemplo
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! " = $%$" = −6(/*+
2) Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa 
constante de 6 (/*. Se o carro está a 65 -(/ℎ quando o motorista 
pisa no freio, que distância o carro percorre até parar?
Aceleração: 
% " = / −6 $" = −6/$"
Condição: " = 0® % 0 = 65 -(/ℎ, 
% 0 = −6 1 0 + 34 = 18∴ 34= 18∴ % " = −6" + 18
% 0 = 65 -(/ℎ3,6 = 18 (/*
0
Pisa no freio
?
% " = −6" + 34
Resolução
Quando o carro parar ® !(#) = 0! # = −6# + 18 = 0 ⇒ # = 3 .
Carro leva 3 s para parar ® . 3 = ?. 3 = −3 0 31 + 18 0 3∴ s 3 = 27 m
A distância percorrida até parar
será de 27 7.
! # = 8.8# = −6# + 18Sabe-se que: . # = 9 −6# + 18 8#
Condição: # = 0® . 0 = 0 7, . 0 = −3 0 01 + 18 0 0 + :1 = 0
∴ . # = −3#1 + 18#
. # = −69# 8# + 1898#
. # = −6 #12 + 18# + :1. # = −3#1 + 18# + :1
∴ :1 = 0
! # = −6# + 18. # = −3#1 + 18#Velocidade: Espaço: 
ResumindoResolução continuação
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3) Um balão que sobe a velocidade de 4 "/$ quando
a3nge a altura de 25 " acima do solo solta um pacote.
Quanto tempo o pacote demorará para a3ngir o chão?
25 m' = 4"/$ )
'*Ref.+
Exemplo