Segunda lista de Geometria Analítica

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UFERSA - Universidade Federal Rural do Semiárido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais - Pau dos
Ferros
Curso: Ciência e Tecnologia
Disciplina: Geometria Analítica Turmas: 02 e 03 Semestre: 2014.2
Professor: Bruno Fontes de Sousa
Aluno(a):
Lista de exercícios da segunda unidade
Sistema de coordenadas
1. Represente graficamente os pontosA(1, 3, 2), B(0,−1, 0), C(−1,−2,−3),D(−1,−2,−3), E(0, 0, 8)
e F (−2, 0, 1).
2. Represente graficamente
a) a reta definida pelos pontos A(2, 1, 3) e A(4, 5,−2).
b) o plano definido pelos pontos A(0, 0, 3), B(2, 3, 1) e C(0, 3, 4).
3. Represente graficamente os seguintes conjuntos.
a) A = {(x, y, z)|x = y = 0};
b) B = {(x, y, z)|x = 2 e y = 3};
c) C = {(x, y, z)| z = 1};
d) D = {(x, y, z)| z = 0}.
4. Um tanque de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões: base 5 × 6 e altura 3.
Dois terços do volume do tanque são ocupados por água. Na superfície superior da forma-se
uma pequena bolha de ar. A bolha está a igual das distâncias das superfícies das paredes de 5
m de base e, em relação às paredes de 6 m de base, sua posição é tal, que a distância a uma
das paredes é o dobro da distância à outra. Estabeleça um sistema de coordenadas, tendo como
origem um dos cantos inferiores do tanque e como um dos planos de coordenadas a parede, de
base 6 m, mais próxima da bolha, e dê, em relação a este sistema, as coordenadas do ponto onde
se encontra a bolha.
5. Identifique o conjunto que representa a interseção dos conjuntos
A = {(x, y, z)| z = −1} e B = {(x, y, z)|x = 2 e y = −1}
Distância entre dois pontos e esfera
6. Sejam A(0, 0, 1) e B(x, 4, 1). Determine x para que se tenha d(A,B) = 5.
7. Determine o centro e o raio das seguintes esferas:
a) x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 2z = 10.
b) x2 + y2 + z2 + 2y − 10z = 27.
c) x2 + y2 + z2 − x+ 3y = 3.
d) x2 + y2 + z2 = 3.
e) x2 + y2 + z2 + 2x− y = 1.
8. Determine a equação da esfera que tem como um dos diâametros o segmento de extremos
A(8, 0, 3) e B(−6, 2, 5).
9. Determine a equação da esfera que
a) é concêntrica (tem o mesmo centro) com a circunferência
x2 + y2 + z2 − 3x+ 4y = 0
e contém o ponto A(1, 2, 3).
b) contém os pontos A(0, 0, 4), B(1, 2, 3) e C(0, 2, 6) e tem o centro no plano xy.
10. Mostre que o conjunto dos pontos P (x, y, z) tais que
d(P,O) = 2d(P,A),
onde O é a origem e A(0, 3, 0) é uma esfera. Determine o centro e o raio desta esfera.
11. Determine uma equação da esfera de centro na origem, sabendo que sua interseção com um
plano paralelo ao plano xy e distante duas unidades da origem é uma circunferência de raio 3.
12. Determine o valor de t para que o ponto
(t, t+ 1, t+ 2)
pertença à esfera de centro C(0, 1, 2) e raio r =
√
12.
Vetores no espaço, produto vetorial, produto misto
13. Dados os vetores u = (2,−3, 1), v = (2, 2, 0) e w = (1,−3, 4), calcule:
a) u · v e v · u;
b) u× v e v × u;
c) (u× v) · w e u · (v × w);
d) (u× v)× w e u× (v × w);
e) (u× v)× (u× w);
f) (u+ v)× (u+ w);
g) o ângulo entre u e v.
14. Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontos:
a) A(0, 0, 0), B(2, 3, 0) e C(0, 0, 5);
b) A(2,−1, 1), B(2, 1,−1) e C(0, 3, 5).
15. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (2, 3, 1) e v = (1, 5,−3).
16. Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u = (2,−1, 1), v = (1, 3, 2) e w =
(−1, 4,−3).
17. Sejam u = (1, 1, 0) e v = (2, 0, 1). Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores
w1 = 3u− 2v, w2 = u+ 3v e w3 = (1, 1,−2).
18. Sejam i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Mostre que
i× j = k, j × k = i e k × i = j
19. Determine os ângulos agudos que a reta definida pelos pontos A(1,−3, 2) e B(3,−9, 6)faz com
os eixos do sistema de coordenadas.
20. Sejam u = (2, 1,−3) e v = (1,−2, 1).
a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a u e v.
b) Determine um vetor, de módulo 5 e, que seja simultaneamente perpendicular a u e a v.
21. Mostre que se u e v são vetores de direções diferentes e a, b, c e d são números reais tais que
au+ bv = cu+ dv,
então a = c e b = d.
22. Os ângulos α, β e γ que o vetor u = (x, y, z) faz, respectivamente, com os vetores i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) são chamados ângulos diretores do vetor u (Ver figura 1). Mostre que
a) cosα =
x
‖u‖ , cos β =
y
‖u‖ e cos γ =
z
‖u‖ .
b) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Figura 1
23. Sejam u e v vetores não nulos e não paralelos.
a) Mostre que u× v é perpendicular a u e a v.
b) Mostre que u× v = −v × u.
24. Sejam v e w vetores não nulos e não paralelos e w um vetor perpendicular a u e a v. Calcule
(u, v, w), sabendo que v e w formam um ângulo de 30o e que ‖u‖ = 6, ‖v‖ = 3 e ‖w‖ = 3.
25. Sejam u e v vetores não nulos e não paralelos e α o plano gerado por u e v é o plano paralelo
aos vetores u e v e que contém a origem O(0, 0, 0). Mostre que a projeção ortogonal do vetor w
sobre o plano α gerado por u e v é o vetor
Pwα = P
w
u + P
w
v ,
onde Pwu e P
w
v são, respectivamente, as projeções ortogonais de u e v sobre w.
26. Determine a projeção do vetor w = (2, 1,−3) sobre o plano
a) yz;
b) definido pelos pontos O(0, 0, 0), A(2, 3,−1) e B(−3, 2, 0).
Equação do plano e equação da reta no espaço
27. Escreva uma equação do plano que contém o ponto A(1, 1, 1) e é perpendicular ao vetor (2,−1, 8).
28. Escreva uma equação do plano definido pelos pontos:
a) A(2, 1,−3), B(0, 2, 1) e C(1, 3, 2).
b) A(0, 0, 0), B(2, 1, 0) e C(1, 0, 0).
c) A(0, 0, 2), B(1, 2, 2 e C(1, 0, 2).
29. Escreva uma equação do plano definido pelo ponto A(2, 1, 3) e a interseção do plano 2x−y−z = 2
com o plano xy.
30. Escreva uma equação do plano
a) paralelo ao eixo z e que contém os pontos A(2, 0, 0) e B(0, 3, 2).
b) paralelo ao eixo y e que contém os pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1).
c) paralelo ao plano yz e que contém o ponto A(3, 4,−1).
d) perpendicular ao eixo z e que contém o ponto A(1, 1, 1).
31. Determine uma equação do plano cujas interseções com os eixos do sistema de coordenadas são
os pontos A(3, 0, 0), B(0,−2, 0) e C(0, 0,−3).
32. Deduza uma equação do plano definido pelo eixo z e pelo ponto A(4, 4, 1).
33. Eecreva as equações paramétricas da reta definida pelos pontos
a) A(2, 1, 3) e B(1, 3, 7).
b) A(0, 0, 0) e B(0, 5, 0).
c) A(1, 1, 0) e B(2, 2, 0)
34. Escreva as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(2, 1, 0) e é perpendicular ao
plano 2x− y + z = 0.
35. Escreva uma equação do plano mediador do segmento definido pelos pontosA(2, 3, 6) eB(4, 1,−2).
36. Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes (que tem a mesma distância) dos pontos
A(2, 1, 3), B(2, 0, 3) e C(0, 3,−1).
37. Determine as equações dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos xz e yz.
38. Escreva uma equação do plano tangente à esfera x2 + y2 + z2 = 6 no ponto A(1, 2,−1).
39. Verifique que o ponto A(2, 1, 3) pertence a esfera x2 + y2 + z2 = 21. Em seguida, determine o
ponto B tal que AB seja um diâmetro desta esfera.
40. Dados os pontos A(2, 1, 3), B(4, 1, 1) e C(0, 0, 0), escreva as equações paramétricas da reta que
contém a mediana, relativa ao lado AB, do triângulo ABC.
Interseção de dois planos e interseção de uma reta com um plano
41. Escreva as equações paramétricas da interseção dos planos:
a) 2x+ y − z = 0 e x+ y + z = 1;
b) x+ 2y = 1 e z = 2.
42. Determine o ponto de interseção da reta
r :

x = 1 + t,
y = −2,
z = 4 + 2t, t ∈ R
com o plano
a) x− 2y + 3z = 8;
b) 2x+ z = 5;
c) x = 2.
43. Verifique que a reta
r :

x = −1 + t,
y = 2 + 3t,
z = 5t, t ∈ R
está contida no plano 2x+ y − z = 0.
44. Verifique que a reta
r :

x = 2 + 2t,
y = 1 + t,
z = 2 + 3t, t ∈ R
não intersepta plano x+ y − z = 3.
Bons estudos!