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Escoamentos externos viscosos: camada limite 
 
 
Introdução 
 
O escoamento é considerado externo quando se estuda os efeitos causados sobre um corpo totalmente envolvido pelo 
escoamento de um fluido. 
 
 
Em um estudo de um escoamento externo, em geral, procura-se obter as forças de arrasto e sustentação produzidas 
pelo escoamento sobre o corpo. Essas forças se devem aos efeitos da viscosidade e aos efeitos de pressão. A força de 
arrasto atua na direção do escoamento e a força de sustentação atua na direção normal ao escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças que atuam sobre corpos imersos em um fluido que apresenta movimento é um resultado a interação entre o 
corpo e o fluido. 
 
- Em algumas ocasiões o fluido ao longe do corpo está estacionário e o corpo se move através do fluido com uma 
velocidade U (ex. carro, avião). 
 
- Em outras, o corpo está estacionário e o fluido passa por ele com uma velocidade U (ex. vento sobre um prédio). 
 
- Em ambos os casos, o sistema de coordenadas pode ser fixado no corpo e tratar como se o fluido estivesse escoando 
em torno do corpo estacionário com velocidade ao longe U. 
 
 
 
 
 
 
O estudo de escoamentos externos (ao redor de corpos imersos) pode ser tratado como dois escoamentos distintos: 
 
- ao longe do corpo sólido, onde o escoamento não é afetado pelos efeitos da viscosidade, podendo ser tratado com 
inviscido; 
 
- próximo à parede sólida e na esteira, onde os efeitos da viscosidade são dominantes. 
 
 
 
 
Os efeitos do cisalhamento (tensão produzida pela viscosidade) estão presentes em uma região próxima ao corpo 
sólido, onde um gradiente de velocidades é estabelecido desde a velocidade do corpo até o valor da velocidade do 
escoamento ao longe.  camada limite 
 
A espessura da camada limite é definida como o lugar geométrico dos pontos em que a velocidade u paralela ao corpo 
sólido atinge 99% da velocidade externa U. 
 
O conceito de camada-limite foi introduzido por Ludwig Prandtl em 1904. Antes disso, o estudo de escoamento era 
dividido na hidrodinâmica teórica, que tratava os fluidos como invíscidos - de acordo com essa abordagem o 
escoamento não era capaz de produzir esforços sobre os corpos. E a hidráulica, criada pelos engenheiros, baseada em 
dados experimentais que era capaz de prever os esforços de cisalhamento. Essa divergência nos resultados era 
conhecida como paradoxo de d’Alembert. 
 
Existem duas abordagens para a obtenção das informações sobre as forças causadas pelo escoamento sobre o corpo 
imerso. 
- técnicas teóricas: analíticas e numéricas 
- técnicas experimentais. 
 
 
Camada limite 
 
A geração de camada limite está diretamente relacionada ao Número de Reynolds, que é um grupo adimensional que 
relaciona os efeitos de inércia com os efeitos viscosos presentes no escoamento. 
 
 
 
 
 
 
O escoamento sobre uma placa plana aguda de comprimento L com números de Reynolds baixos (entre 1 e 103) 
produzem uma região viscosa ampla que se estende a montante e para os lados do corpo. O corpo retarda a corrente de 
aproximação e pequenas variações do escoamento causam grandes mudanças na distribuição de pressões. 
Para esses casos a justaposição de um escoamento invíscido ao longe e uma camada limite próxima ao corpo não 
resultam em soluções adequadas. 
Esses escoamentos são, geralmente, estudados experimentalmente ou por modelagem numérica computacional. 
 
Para números de Reynolds mais elevados, de acordo com a solução de Blasius (1908), as fórmulas para camada limite 
são: 
 
- Para regime laminar ( 103 < Rx < 10
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Para regime turbulento (106 < Rex) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde Rx é o Reynolds local. 
 
Alguns resultados: 
 
Rx 10
4 105 106 107 108 
(δ/x)lam 0,050 0,016 0,005 
(δ/x)turb 0,022 0,016 0,011 
 
 
Como as camadas limites são muito delgadas: 
- o seu efeito de deslocamento sobre a camada não viscosa externa é desprezível; 
- a distribuição de pressões ao longo da placa pode ser calculada usando a teoria não viscosa, como se a camada limite 
não estivesse presente. 
 
 
 
 
Para corpos rombudos, como o escoamento sobre um cilindro, há outros efeitos envolvidos. 
O escoamento não viscoso prevê o escoamento da figura (a), contudo isso não é o que acontece. 
O escoamento real é dado pela figura (b). A camada limite é delgada no lado de montante, onde a pressão decresce ao 
longo da superfície (gradiente de pressão favorável). A partir da posição diametral, inicia o aumento da pressão 
(gradiente de pressão adverso) que em um determinado momento provoca um colapso na camada limite, causando a 
separação e produzindo uma esteira pulsante. O escoamento principal é defletido por essa esteira, de modo que o 
escoamento externo é muito diferente daquele previsto pela teoria não viscosa. 
 
 
Geração de camada-limite 
 
 
Diversos fenômenos ocorrem em um escoamento externo sobre um corpo. O escoamento da corrente livre divide-se no 
ponto de estagnação e circunda o corpo. O fluido em contato com a superfície adquire a velocidade do corpo como 
resultado da condição de não deslizamento. Camadas-limite formam-se tanto na superfície superior como na superfície 
inferior do corpo. 
 
 
O escoamento na camada-limite é inicialmente laminar. A certa distância do ponto de estagnação ocorre o início da 
transição para escoamento turbulento. Essa distância depende, entre outras coisas, das condições do escoamento livre 
(ao longe), da rugosidade da superfície e do gradiente de pressão. A camada-limite turbulenta se desenvolve mais 
rapidamente do que a camada-limite laminar. 
 
As linhas de corrente do escoamento externo sofrem um leve deslocamento devido ao engrossamento das camadas 
limites. Uma região onde a pressão é crescente é denominada de gradiente de pressão adverso, pois ele se opõe ao 
movimento do fluido, tendendo a desacelerar as partículas fluidas. Esse gradiente pode ser o responsável por uma 
separação da camada limite (descolamento). Nesse caso, o fluido que estava nas camadas-limite sobre a superfície do 
corpo forma uma esteira viscosa atrás dos pontos de separação. 
 
Características da camada limite 
 
A borda da camada limite, definido como espessura δ(x), não é claramente definida no escoamento real. Considera-se, 
arbitrariamente, como o conjunto de pontos nos quais a velocidade é igual a 99% da velocidade da corrente livre. Como 
a camada limite é muito delgada, a pressão na camada limite é considerada como a pressão p(x) na parede, como 
previsto pela solução do escoamento não-viscoso. 
 
 
 
 
 
 
 
Em um escoamento sobre uma placa plana, a camada-limite começa como um escoamento laminar de espessura zero 
na borda frontal. Após uma distância x que depende da velocidade e do nível de flutuação da corrente livre, da 
viscosidade, do gradiente de pressão, da rugosidade e da rigidez da parede, o escoamento laminar passa por um 
processo de transição e, após, em um escoamento turbulento. Esse processo de transição ocorre quando: 
 
- 
 
 
 para escoamento sobre placas rugosas ou com alta intensidade de flutuação da corrente livre; 
 
- 
 
 
 para escoamento sobre placas rígidas lisas com baixa intensidade de flutuação na corrente livre. 
 
Para o ar na condição padrão, com velocidade de corrente livre U = 30 m/s, isso corresponde a x = 0,24 m. 
 
 
 
 
 
 
 
A espessura da camada-limite turbulenta aumenta muito mais rapidamente que a da camada laminar. Ela também 
apresenta um cisalhamento na parede substancialmente maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O processo de transição envolve instabilidade do campo de escoamento. Pequenas perturbações impostassobre a 
camada limite, como vibrações na placa, rugosidade da superfície, pulsações no escoamento principal aumentam ou 
diminuem a instabilidade dependendo do lugar onde a perturbação for introduzida: 
 
- Se a perturbação ocorre em Rex < Rec são amortecidas fazendo com que a camada limite retorne ao regime laminar 
- Se a perturbação ocorre em Rex > Rec irão crescer transformando o escoamento em regime turbulento. 
 
 
A mudança do escoamento laminar para turbulento também provoca uma mudança na forma do perfil médio de 
velocidades. 
 
 
 
 
Equações de camada limite 
 
Considerando um escoamento bidimensional, permanente em um espaço x-y. As equações que regem qualquer 
escoamento nestas condições são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Os termos de gravidade podem ser desprezados, pois esse termo só é importante em escoamentos em que o empuxo 
do fluido é importante. 
- Como a camada limite é muito fina para números de Reynolds elevados, pode-se afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando em (3), resulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pequeno pequeno muito peq. pequeno 
 
assim: 
 
 
 
 
ou  a pressão varia ao longo da camada limite e não através dela. 
 
 
Para a equação (2): 
 
Como a espessura da camada limite é pequena, a pressão pode ser conhecida a partir do escoamento externo através 
da Equação de Bernoulli: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diferenciando em relação a x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
resulta 
 
 
 
 
 
 
 
 
Além disso, as hipóteses para camada limite delgada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, as equações para camada limite ficam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação (2a) pode também ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações devem ser resolvidas para: u(x,y) e v(x,y), sendo U(x) uma função conhecida. 
 
As condições de contorno são: 
 
y = 0  u = v = 0 
 
y = δ(x)  u = U(x) 
 
Soluções para escoamento em camada limite: 
 
1) Escoamento laminar: solução analítica - Blasius 
 
2) Solução usando equação integral de Von Karman 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.1) Escoamento laminar (perfil parabólico) 
 
 2.2) Escoamento turbulento (perfil de lei de potência) 
 
 
 
Exercício: para os três métodos, encontrar expressões para: 
 
- 
 
 
 (espessura adimensional) 
 
- coeficiente de atrito local (cf) 
 
- coeficiente de atrito superficial (Cf) 
 
 
 
Efeito de Gradientes de Pressão 
 
Uma placa plana infinita tem um gradiente de pressão nulo: as partículas fluidas têm suas velocidades reduzidas por 
tensões de cisalhamento apenas, resultando no crescimento da camada limite. 
 
Sobre corpos com formas diferentes da placa plana, um gradiente de pressão não nulo é gerado nos escoamentos. 
 
Um gradiente de pressão favorável é aquele no qual a pressão diminui no sentido do escoamento . Ele é 
chamado de favorável porque tende a agir contra a redução da velocidade das partículas fluidas na camada limite. Esse 
gradiente de pressão aparece quando a velocidade da corrente livre U está aumentando com x. Por exemplo, o 
escoamento sobre a parte esquerda da esfera. 
 
Um gradiente adverso de pressão é aquele no qual a pressão cresce no sentido do escoamento . Ele 
provoca uma redução da velocidade das partículas fluidas a uma taxa maior do que aquela devido ao atrito na camada 
limite. O gradiente adverso pode levar as partículas ao repouso ou até mesmo a uma velocidade contrária ao 
escoamento principal. Nesse caso, ocorre o fenômeno chamado separação do escoamento. Isso resulta em uma esteira 
turbulenta a jusante. Como por exemplo na parte à direita da esfera. 
 
Efeito do gradiente de pressão sobre os perfis de camada limite. (PI = ponto de inflexão) 
(White) 
 
 
 
Escoamento ao redor de um cilindro circular. 
(a) separação laminar; 
(b) separação turbulenta; 
(c) distribuições de pressões teóricas 
e real sobre a superfície do cilindro. 
(White) 
 
 
 
 
 
Provocar que a camada limite, inicialmente laminar, chegue a turbulenta o mais rápido possível, é uma forma de 
aumentar a quantidade de movimento no escoamento fazendo com que o escoamento resista mais ao gradiente 
adverso de pressão e o descolamento ocorra mais tarde. Isso reduz o arrasto do escoamento. Exemplo da esfera abaixo 
e bola de golfe. 
 
 
 
 
ARRASTO E SUSTENTAÇÃO 
 
A interação que ocorre na interface fluido-corpo pode ser descrita por forças que ocorrem em função da tensão de 
cisalhamento na parede , provocada pelos efeitos visocosos e da tensão normal devida a pressão p. 
 
A força de arrasto (drag) atua na direção do escoamento e a força de sustentação (lift) atua na direção normal ao 
escoamento. Essas forças podem ser obtidas pela integração das tensões de cisalhamento e normais ao corpo que está 
sendo considerado. A figura mostra distribuições típicas de pressão e tensão de cisalhamento sobre um aerofólio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças de arrasto e sustentação são calculadas como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Normalmente é muito difícil obter as distribuições de pressão e tensão de cisalhamento, seja analítica, numérica ou 
experimentalmente. 
 
Grande parte dos escoamentos não dispõe de soluções analíticas e, portanto, as distribuições de pressão e tensão de 
cisalhamento não são conhecidas. Uma solução alternativa é definir coeficientes adimensionais de arrasto e sustentação 
e determinar seus valores aproximados através de uma análise simplificada, técnica numérica ou experimental. O 
coeficiente de sustentação CL e o coeficiente de arrasto CD são definidos como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
A é a área característica do objeto, em geral a área frontal do 
corpo imerso 
ρ é a massa específica do fluido 
U é a velocidade relativa fluido/corpo ao longe 
 
Exemplo de coeficiente de sustentação CL 
e coeficiente de arrasto CD. 
 
 
DESPRENDIMENTO DE VÓRTICES 
 
Objetos rombudos, como cilindros circulares, exibem um fenômeno particularmente interessante, quando colocados na 
direção normal a um escoamento de fluido. Vórtices ou turbilhões são desprendidos do objeto de forma regular e 
alternada entre os lados opostos. 
O escoamento resultante é conhecido por esteira de vórtices ou esteira de Von Kármán (em homenagem a Theodor Von 
Kármám – 1881-1963) 
 
 
 
Para escoamentos com números de Reynolds altos, ou seja, onde as forças viscosas são menos atuantes, a freqüência 
de desprendimento f, em hertz, depende somente da velocidade e de uma dimensão transversal característica 
(diâmetro. p. ex.). Essa freqüência, normalmente é expressa como uma quantidade adimensional na forma do número 
de Strouhal: 
 
 
 
 
 
 
A partir de dados experimentais,observa-se que o número de Strouhal é praticamente constante de 300 < Re < 105. 
 
As oscilações na esteira provocam oscilações no campo de pressão que devem ser levadas em conta na análise dos 
esforços sobre as estruturas. Além disso, as oscilações no campo de pressão provocam deformações nos corpos que 
podem afetar o escoamento. Quando as oscilações causadas pelos vórtices atuam em freqüências próximas a 
freqüência natural da estrutura, pode haver acoplamento conduzindo ao fenômeno da ressonância. 
 
 
 
 
 
 
MASSA ADICIONADA 
 
Quando um corpo acelera em um meio fluido, não somente o corpo é acelerado, mas também uma parte do fluido ao 
seu redor. A aceleração do fluido que envolve o corpo exige uma força adicional acima da força necessária para acelerar 
somente o corpo. Uma forma simples de levar em conta a massa de fluido acelerada é adicionar uma massa, chamada 
massa adicionada (ma) à massa do corpo. Somando as forças na direção do movimento, para um corpo simétrico 
movendo-se horizontalmente na direção de seu eixo de simetria temos: 
 
 
 
 
 
 
onde: 
Vc é a velocidade do corpo 
FA é a força de arrasto 
 
 
A massa adicionada está relacionada com a massa de fluido mf deslocada pelo corpo através da equação: 
 
 
 
onde k é coeficiente de massa adicionada que é característica da forma do corpo. 
 
- para uma esfera k= 0,5, 
- para um elipsóide com o eixo maior com o dobro do comprimento do eixo menor e movendo-se na direção do eixo 
maior, k= 0,2. 
- para um cilindro longo movendo-se na direção normal ao seu eixo, k = 1,0 
 
Observação: 
- Corpos que aceleram na atmosfera a massa adicionada é muito pequena e normalmente ignorada. 
- Massas que aceleram em líquidos são mais influenciadas pela massa adicionada e, normalmente, deve ser levada em 
conta. 
- Estruturas em alto-mar, sujeitas aos movimentos de oscilação das ondas, experimentam forças periódicas cuja 
determinação deve incluir o efeito da massa adicionada.