estabilidade_de_corpos_flutuantes2

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60 Mfr( 
^Nr( ^ rx)s FLrJrDos vlc i-o4 L , 1TI..B-€7ë:1L
€d. v lcç&Aw 
-.4(LL tu 4QaStL LT?ft , lq ' ìV
orrrlo 't,, t! o volume submerso,7 é o peso especÍfico da água e Ií,/ éo peso do
rl rrírrxlrro- Nesta posição dev€rá se m€Ícar 1,m na haste para indicar a densidâde
,/ urrtíri ir. Ouando o densímetro flutuar em outÍo líquido, a equação do equilí-
lr ft, $tx í
(1 , , , \ ( ' ) ( /7 : l l , '
rnÍh ,\(ì rr Á,à. Resolvendo as Êqs. (2.7.2) e í '2.7.31 em M,
. , 
t , , i ,1
rkr rrrxlo verifica.se que a haste pode ser graduada para uma leituÍa direta da
(Íí||xrh(lc.
lrrrnplo 2.11 VeÍificou-se que um pedaço de minério que pesa 7 lb (3,2 kgÍ)
rrru rr, pesa 5,6 lb (2,5 kgÍ) quando submerso em água. Oual o seu volume e
tuìr (lonsidade?
l)cspíezando-sê o empuxo devido ao ar, pela Fi1.2.23
t 5.6 | 62,41 1) = 0,0224 ft3 (634 cm3)
ESTÁTrcÁ DOS FLTNDOS 6I
FrÍ, 225 Exêmplos de oquilíbior 6távot, inrtável e neútÍo.
camento angular pequeno, o conjunto assumirá a posiçaìo indicada em {a); {c) uma
esfera homogênea ou um cilindÍo de seção circular, 6tatão em equilíbrio para
qualqueÍ d6locamento angulaÍ, isto é. de íÍìaneira algume setìá gerado um conru-
gado por tal deslocamento.
Um obieto submerso tem êstabilidade angular somente quando seu centro
d€ gravidad€ estiver abaixo do centro de carena, como na Fig. 2.26a- Ouarúo o
obieto for girado no sêntido anti-horário, como m Fig, 2.26b, o empuxo e o
peso produzirão um conjugado em sentido horário.
Normalmente, s€ um corpo Íor pesado demais parâ flutuar, submergirá, afun-
daÍdo até rêpousar no fundo. Embora o p€so especíÍim de um líquido cresça
muito pouco com a pÍofundidade, as maiores pressões t€ndem a causar uma oom-
pressão do corpo ou uma penetrâção de líquidos pelos sans ioros, de forma que
o empuxo diminui. Um navio, por exemplo, se submergir completamente, irá ceÍt8.
mênte para o fundo devido à compressão do ar pÍeso em diversos locais no seu
interior.
(2.7 .3)
(2.7 .4)
o.o224 X 62,4
.= 5
2.8 Estabilidade de Corpos Subnrersos e Flutuantes
Um corpo que Ílutua num líquido em repouso tem estabilidade vertical.
UrÌt grqueno deslocamento para cirna causa uma diminuição no volume de lÍquido
(kÌilocado, resultando numr Íorça paía baixo, não equilibrada, que faz com que
') (Ìnpo tenda novamente para a posição origiml. Da mesma forma, um pequeno(lorlocâmento para baixo resulta num acráscimo do empuxo causando uma força,
rìdo rìquil ibrada, para cima.
Um corpo tem estabilidade linear sempre que, um pequeno deslocamento,
orr (tu ktuer direção, dê origem a Íorças rÉo equilibradas que tÈÍúem a levar
o cüt)o para a posição original. Trá estabilidade angular quandg um conjugado
rsríoulrdor da posição original Íor geÍado por qualquer deslocamentp angular
prxluorìo.
Ntr diíxrsúo que se segue serão deserwolvidos métodos para verificar a exis.
têrxrlí rlll {rt{l)ilidsde angular. Um corpo pode flutuar em equilÍbrio estável, instá-
vül rÍr írorrlÍr. Ouonrlo um corpo estiver em equilíbrio instável, qualqu€r deslo-
riârÍrírto Ín0ulôr lrrqrreno dará origem a um conjugado que tende a aumentar
trl rlorlr8'nrrÌ$ Ir). So o corpo ejtiver em equilíbrio neutÍo, nenhum coniugado
0 $qfd(lfr fÍrf rk'rl(xÌrrlrotrtoi tngrrlares pequenos- A Fi$.2.25 i lustra os três casos
{lí oilrúlí l hr' {rt l urrr ltrtdnço lovo dc madeira, com um peso de metal em sua
ctlí$||rklô.|í lr lnrlr[, í ortdvol; {/r} qrrando o pcro de metal estiver em sua extíe-
rrlr l{rlrr \r lÍrír(Í, o rr-. lrrÌt írt iÍ,1 t.rrr orlrri l í lr lro, r|(r t!rìt i | |rtrì, Para quaklrtr 'r rkrslo-
\
lle 2,2õ tìnDo tuhnrsÍ) com olt8bitidado emutar.
í r Ì Mt; 
^Nr( ^ tx)s l j l tJ tDos
ÉU 2.27 Êstabilidade cle um coípo prismátic!.
l)t tt'trtitu+a-o da Estabilidade Angular de Obietos Fhrtuantes
Oualquer objeto Ílutuante cujo centro de gravidade estiver abaixo do centÍo
,t(r r:arena {centro de gravidade do volume deslocado} flutua em equilÍbrio estável,
rx,rìo indica a Fig- 2.25a. No entanto, certos obietos Ílutuantes estarão em equi'
lr lÍ io mesmo quando seu centÍo de gravidade estiver acima do centro de carena.
() 
' | rs ideíaremos, em primeiro lugar, a estabil idade de corpos pÍismáticos, anali-r, rrrlo, em seguida, o caso de flutuantes quaisquer, para pequenos ângulos de
r(r t ;4ìão.
A Fig. 2.27 a mostÍa a seção transversal de um corpo no qual todas as outras
s,sõcs transversais são idênticas a esta. O centro dé caíena localiza'se sempre no
rr:ntr(iide do volume deslocado, o qual, neste caso, mincide com o centro de
rrravidade da seção tÍansversal submersâ. Ouando o corpo for girado, como moíra
t Fig. 2-27h, o centro de carena ocupará o cent.o de gravidade B'do trapezóide
,,1/Ì(Y); teremos, então, o empuxo agindo para cima no ponto I 'e o peso agindo
para baixc no centro de gravidade, G, do corpo. Se a vertical, que passa por B',
irìtcrceptar a l inha central original acima de G, por exemplo em14, será gerado um
r:oljugaclo contrário ao movimento, estando o corpo em equilÍbrio estável. O ponto
ít, inters€cção do empuxo com a linha de centro, é chamado metacentro. Ouando
It estiver acima de G, o equilíbrio será estável, se abaixo será instável e se coincidir
,:rrm (,' será neutro, A distância,ftíG é chamada altura metacênfiicq e seu valor
r! unra medida direta da estabil idade do corpo. O conlugado restaurador é dado
l Ín 11
trEíc sën 0 '
rxrrfc 0 é o deslocamento angular e l4 é o peso do corpo.
Excmplo 2.12 A barcaça da Fig. 2.27, tem 20 Ít {18,3 m) de largura, 60 ft
(114,9 nr) de comprimento e um peso total de 225 tons (2,043 X 105 kgfl
(l ron 2ooo lb, unidade usual nos Estados Unidos)' Seu centÍo de gÍavidade
r.í.1 1,0 Ít (0,30 m) acima da superÍície da água. Determinar a altuÍa metacêntrica
rr o <:onjugado íestauÍdor, quaÍìdo AJ, = 1,0 ft (0.30 m).
A profundidade ,t da parte submersa na água é
?2\ x 2000
h 
- 
= O.UII
20x60x62,4
O c€ntÍo de gravidade na posição inclinâdâ é localizado pelo cálculo d()s
Ínom€ntos em relaça-o a AB e BC,
b.?-, t
5 x 20 x rò + z x 20 x + >' "" t ' ( ^
, : ----= : 9.45 11 
L- ' e\''
bxzu { \ :
6 x 20 x +, + 2 x 20 * à t5 : r,oruv = - 6 xzo
Pefa semefhança dos triãngulos 7!!p e !![,
tsr'Á C^ D()s l jt-(i lrx):; 6.1
6b: )
^" 
G
, 
. . . , - )
EP = 7,oo - 3,03 = 3,97 ft
Mre = tíÌF - G-F = 5,4o - 3,97 = 1,43 ft (o,,t4m)
A barcaça será estável, jér que frÌd é positivo e o coniugado restauÌadoÍ será
WGA sen 0 = 225 X 2ooo X 1,43 X ,! = Mooo lb.ft (8832 m.ksf)
v 101
Seções Transvercais Não Prismáticas
Para um obíeto de seção tranw€rsal variável, como um navio lFig, 2.2fuJ,
deverá ser desenvolvida uma fórmula coriveniente para a determinaÇão da altura
metacêntrica, no caso de ângulos de rotação e, muito p€quenos. O deslócamento
horizontal t do centro de carena lFiS.2.28bl é determinado pelâ variação da distri-
buição dos empuxos, iá que do lado esquerdo teremos um acréscimo da parte
submersa e poÍtanto um acréscimo na força. enquanto que do lado direito o
empuxo diminuirá da mesmâ quantidãde 
^.É.. 
O sistema de forças, que consiste
do empuxo original em I e do conjugado M X s devido ao deslocamento, ileve
ter como resultante o mesmo empuxo em B'. Pela igualdade dos momentos enì
relação a B, podemos deteÍminar o deslocamento r,
AE X s = l4r (2.8_ r)
O valor do aoniugado pode 3er determinado pelo cálculo dos momentos
em relação a O, que é a linha de simetria da seção do corpo contida no íìl tx)
'" ' i ' '1'
ar4 l l , l l i ( '^Nl( 
^ 
l)0S FLUIDOS
Fh. Z2a R.bçõê. parâ â êsrabilidad€ de corpos de reio
rrsnsversal vaÍiável.
dã sup€Ífície da água ou seção de flutuação. Chamando ôl o elemento de área
rra seção de Ílutuação horizontal, um elemento do volume gerado çrelo desloca-
rnento angular *rá x06A'; o empuxo devido â este elemento será 7x0ôl e seu
ínomento em relação a O, seÍát 70x26A, onde 0 é o pequeno ângulo de rotação,
dado em radianos. IntegrandopaÍa toda a área da seção de flutuação horizontâl
v{rriÍica-se que o coniugado é dado por
. ÌAr l X r- = t0 l^ t , t ÌA: t | I
,rrxlc / é o momento de inércia da área em relaçâo ao eixo.Ty
Suhstituindo na Eq. {2.8.1) teremos
rtì I ll/ r lJÌÍ
,rrrrlr ' 1' c o volume total d€ líquido deslocado.
liï r1(|r: l) ri muito pequeno,
tttì '.n tì ttÌÌio Ì
A altura metacêntrica será
*te: l . tB+en
ou
l -
I I IG::+ cB
1Ì
ESTÁTIC^ tx)s tr l l i lD( )s í)5
(2.8.3)
(ò)
O sinal negativo é utilizado se G estiver acima de .8 e o positivo se (ì estivo
abaixo de .R.
Exemy'o 2.13 Um navio que deslocâ 1OO0 tons {9,08 X los kgf} tem a seção
de flutuação horizontal mostrada nâ Fiq.2.29, Seu centro de carena localiza-sr:
6,0 ft (1,83 m) abaixo da superfície da água, enquanto que o centro de gravidadc
está 1,0 ft (0,30 m) abaixo da mesma. Determinar a altura metacêntrica oara
oscilações em toÍno dos eixos yy (tranwerrisl e rr (longitudinais).
l1D _ En i000 x 2000= 321ü) ft3
62,4
1,, : ii v.8O X (30)3 * 4 X r! X 20 X (15)r : 202500 ft'
1." : Ìn x 30 x (80)3 * 2 X r'r x 30 x (20X * uoo,,ouf?lorooo 
n.
Fig. 2.29 Seçôìo de flutuação
hoÍizoÍÌtal do navio.
(2.8.2)
lFig. 2.28a1.
_I_ I
-e-uv. l ì =7 t-o.'ìc r"r c'lqctnhi ao
(Ír 4tt '^Nt( A tX)S |TLUIDOS
| ÍÍì | r:litÇão a //
l is l Al I ( 
^ 
rx)s l , t . ( [ txts 67
U
"u 
='::# 
- s = 1,s2Ít (o,40 m)
0.40
0.30
0.20
0,10
0
0 0.2
Fts. 231. G.átìco de dc/d em Íuí4árl.
a Eq. {2.8.3),
Lm rclação a xÌ
t l ( l 
- . ' 
-U
. 
', 
-d
G-F =
_5:".:T^l: 
2j4^ 
,Ur.cubo homogêneo, de densidade ú|c, fturua num tíquido de(fofìsfoaoe rr. Lretermtnar os valores da rela$o dçfd, entre as densidades, paÍa quellutue com as arestas na vertical.
. 
Na FjSt 2-3O, b é o comprimento da aíesta do cübo. A altura z, oa parle${rbÍtersa, é deteÍminada aplicando-se a equação do empuxo.
I t 'yd" = 527y4
orr<le 7 é o peso específico da água. Resolvendo em relação à altura suomersa,
O centro de carctìÉ está a zf2 do(lo mesmo. Logo
fundo e o centro de gravidade a b/2 Aplicando
ue=I--en
't)
.ou
MG
b
zb2
I
72D-;
+i +(,- +)
òXbô b-z
, -#,
MIC* =
Se FiG, Íor nulo, dcld = 0,212 ou O,7gg. Substituindo.se veriÍica-se oue fi7
é oositivo se
d" d.
o < -: < 0,212 0,788 < -; < r,0ua
A Fig. 2.31 é um gíáÍìco de ìldf b en Íungo de d"fd.
2.9 Equilíbrio Relativo
Na estática dos Íluidos é simples deteÍminar-s€ a variação da pressão poÌ(ausa da ausência de tensões de cisalhamento. Se o movimento do fluido for talque não haja desrocamento relativo entre câmadas adiacentes. as tensões de cisa_
lhamento também serão nulas. Um fluido em translação com velocidade conrtante.l lu , : l ( ) { : "1! ' l l " t ' rxÌ lo r Ìo 'n t íquido.