Linhas de Influência

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7. LINHAS DE INFLUÊNCIA7. LINHAS DE INFLUÊNCIA7. LINHAS DE INFLUÊNCIA7. LINHAS DE INFLUÊNCIA
Teoria das Estruturas I
Prof. Ricardo Silveira
Deciv/EM/UFOP
SUMÁRIOSUMÁRIO
7.1. Aplicações
7.2. Objetivos
7.3. Trem-Tipo
7. Linhas de Influência
7.3. Trem-Tipo
7.4. Definição
7.5. Vigas
7.6. Treliças
7.1. APLICAÇÕES
7. LINHAS DE INFLUÊNCIA7. LINHAS DE INFLUÊNCIA
a. Pontes em vigas
LINHAS DE INFLUÊNCIA
b. Pontes treliçadas
Teoria das Estruturas I 4
LINHAS DE INFLUÊNCIA
c. Pontes rolantes
Teoria das Estruturas I 5
LINHAS DE INFLUÊNCIA
d. Pontes rodoviária e ferroviária
Ponte rodoviária
Teoria das Estruturas I
Ponte ferroviária
6
LINHAS DE INFLUÊNCIA
7.2. OBJETIVOS
Teoria das Estruturas I 7
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Teoria das Estruturas I 8
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Teoria das Estruturas I 9
LINHAS DE INFLUÊNCIA
7.3. TREM-TIPO
Barreira
Lateral
Vigas
Principais
Veículo
Tipo
Faixa
Secundária
Faixa
Principal
15 tf15 tf
15 tf
0,5 tf/m2
0,5 tf/m2 0,5 tf/m2
Teoria das Estruturas I 10
6,63,1
12,8
3,1
Projeto
q = 3,57 tf/m
14,88 tf 14,88 tf 14,88 tf
1,5 m 1,5 m Anteprojeto
q = 3,57 tf/m
44,64 tf
LINHAS DE INFLUÊNCIA
ba rre ira
la te ra l
2
0 ,5 tf/m 0 ,5 tf/m0 ,5 tf/m
15 tf
1 5 tf
1 5 tf
2 22
Teoria das Estruturas I
Projeto
q = 5 tf/m
12 tf 12 tf 12 tf
1,5 m 1,5 m Anteprojeto
q = 5 tf/m
36 tf
11
10
LINHAS DE INFLUÊNCIA
VP1 VP2 VP3
10 tf
10 tf
10 tf
0,5 tf/m 0,5 tf/m0,5 tf/m2 2 2
Teoria das Estruturas I
4 4
q = 2,48 tf/m
7 tf 7 tf 7 tf
1,5 m 1,5 m
q = 2,48 tf/m
21 tf
Projeto Anteprojeto
12
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Linha de influência de um efeito elástico em uma dada seção S é a representação
gráfica ou analítica do valor desse efeito, naquela seção S, produzido por uma carga
unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura.
7.4. DEFINIÇÃO
Exemplo:
Teoria das Estruturas I 13
rótula
P = 1
A s B
-
-
+
a
b
• Ms = a → P = 1 em A
• Ms = - b → P = 1 em B
LINHAS DE INFLUÊNCIA
� A seção e o efeito estudados são fixos, a posição da carga é que varia.
� Não confundir: linha de Influência x diagrama Solicitante.
� Efeitos elásticos: momento fletor, esforço cortante, reação de apoio e deformação
(flecha).
� Considerar válido o Princípio da Superposição dos Efeitos.
Observações:
Teoria das Estruturas I 14
Fases de Solução do Problema:
2a FASE: Dada a estrutura, o efeito elástico E e a seção S, obter a linha de influência.
1a FASE: Definida a classe da ponte e as plantas arquitetônicas, obter o trem-tipo.
3a FASE: Conhecidos o trem-tipo e a linha de influência, obter os efeitos devido a 
esse trem-tipo. Sejam os exemplos:
LINHAS DE INFLUÊNCIA
a. TREM-TIPO formado apenas por CARGAS CONCENTRADAS
P1 P2 Pi Pn
η2η1 η i η n
LIEs
Teoria das Estruturas I
n
s i i
i 1
E P
=
= η∑ ( Princípio da superposição dos efeitos)
15
LINHAS DE INFLUÊNCIA
LIEs
η
q
a
b
dz
qdz
A
i
b. TREM-TIPO formado apenas por CARGAS DISTRIBUÍDAS
Teoria das Estruturas I
( Princípio da superposição dos efeitos)
ηA i
∫
∫
∫
η==
∴η=
η=
b
a
is
b
a
is
i
b
a
s
dzA,poisAqE
dzqE
,sejaou,)qdz(E
16
LINHAS DE INFLUÊNCIA
c. CASO GERAL (superposição dos casos 1 e 2)
n
s i i
i 1
E P q A
=
= η +∑
( Princípio da superposição dos efeitos)
Teoria das Estruturas I
q tf/m
P tf P tf P tf
1,5 m 1,5 m
17
LINHAS DE INFLUÊNCIA
►Os princípios estudados até aqui são válidos para estruturas isostáticas 
e hiperestáticas.
► É fácil verificar que as unidades das linhas de influência de momentos
fletores são unidades de comprimento, e que as linhas de influência de
esforços cortantes, normais e reações de apoio são adimensionais.
Observações:
Teoria das Estruturas I
esforços cortantes, normais e reações de apoio são adimensionais.
18
LINHAS DE INFLUÊNCIA
a. Viga Engastada-livre
s
P = 1
z
A
7.5. VIGAS
Teoria das Estruturas I
• Reações de apoio
• Esforços simples
x
L
19
Efeitos Elásticos 
LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Reações de Apoio
Representação Analítica Representação gráfica
s
P = 1
z
A
x
L
Teoria das Estruturas I 20
RA = + 1
MA = - z
LIRA
LIMA
A
+1+1 +
A
-
L
45o
L
LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Esforços Simples
Representação Analítica Representação gráfica
s
P = 1
z
A
x
L
Teoria das Estruturas I 21
LIVS
LIMS
Vs = 
0, para z < x
+1,para z > x
A
x
s
-
45o
(L - x)
A
+1 +1+
x
s
Ms = 
0, para z ≤ x
- (z - x), para z > x
LINHAS DE INFLUÊNCIA
b. Viga Simplesmente Apoiada
s
P = 1
z
A
x
B
Teoria das Estruturas I
L
22
• Reações de apoio
• Esforços simples
Efeitos Elásticos 
LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Reações de Apoio
Representação Analítica Representação gráfica
s
P = 1
z
A
x
L
B
Teoria das Estruturas I 23
RA = + (L - z)/L
RB = z/L
LIRA
LIRBBA
+
1
BA
+
1
LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Esforços Simples
Representação Analítica Representação gráfica
LIVSVs = 
-z/L (= - RB), para z < x
-+ (L - z)/L (= RA), para z > x
BA
1
1
s-
+
s
Teoria das Estruturas I 24
LIMS
sA B
x
L - x
++
Ms = 
z/L (L - x) , para z ≤ x
(L - z) x/L , para z > x
LINHAS DE INFLUÊNCIA
• No estudo das L.I. de esforços simples, devemos sempre examinar
separadamente as possibilidades da carga unitária estar à esquerda ou à
direita da seção em estudo.
• A L.I. de esforço cortante numa seção apresenta sempre uma
descontinuidade igual a 1 nessa seção, conforme verificado nos casos já
Observações:
Teoria das Estruturas I 25
descontinuidade igual a 1 nessa seção, conforme verificado nos casos já
analisados.
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Pontes rodoviárias e ferroviárias
7.6. TRELIÇAS
Teoria das Estruturas I 26
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Pontes rodoviárias e ferroviárias; pontes rolantes
Teoria das Estruturas I 27
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Aplicações:
1. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GB da ponte treliçada 
mostrada na figura a seguir.
Teoria das Estruturas I 28
LINHAS DE INFLUÊNCIA
2. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GC da ponte treliçada 
mostrada na figura abaixo.
Teoria das Estruturas I 29
LINHAS DE INFLUÊNCIA
3. Determine o máximo esforço normal que pode ser desenvolvido na barra BC da
ponte treliçada mostrada a seguir, devido a uma carga acidental concentrada de
20 k e uma acidental uniformemente distribuída de 0,6 k/ft.
Teoria das Estruturas I 30
8. DESLOCAMENTOS EM 8. DESLOCAMENTOS EM 
ESTRUTURASESTRUTURASESTRUTURASESTRUTURAS
Teoria das Estruturas I
Prof. Ricardo Silveira
Deciv/EM/UFOP
SUMÁRIOSUMÁRIO
8.1. Introdução
8.2. Causas
8. Linhas de Influência
8.2. Causas
8.3. Métodos de Análise
8.3.1. Método da Integração Dupla
8.3.2. Método da Viga-Conjugada
8.3.3. Método do Trabalho Virtual
8.4. Treliças: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual
8.5. Vigas e Pórticos: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual
8.1. INTRODUÇÃO
8. DESLOCAMENTOS EM8. DESLOCAMENTOS EM
ESTRUTURASESTRUTURAS
a. Possíveis causas dos deslocamentos (flechas e rotações) nas estruturas:
� Cargas
� Temperatura
� Erros de fabricação
� Erros de montagem
DESLOCAMENTOS
b. Importância da avaliação dos deslocamentos nas estruturas:
� Projeto: os deslocamentos devem ser pequenos no sentido de se evitar
fissuras e fraturas (concreto, plástico, madeira, etc).
� Conforto:pequenas vibrações e deflexões.
� Método das Forças: estruturas estaticamente indeterminadas (fundamentos
baseados no método do trabalho virtual – método da carga unitária).
Teoria das Estruturas I 34
DESLOCAMENTOS
a. Carregamento: peso próprio + sobrecarga + acidental
8.2. CAUSAS
Teoria das Estruturas I 35
DESLOCAMENTOS
Teoria das Estruturas I 36
DESLOCAMENTOS
Teoria das Estruturas I 37
DESLOCAMENTOS
b. Temperatura
Teoria das Estruturas I 38
DESLOCAMENTOS
Teoria das Estruturas I 39
DESLOCAMENTOS
1. Método da Integração-Dupla
2. Método da Viga-Conjugada
3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)
8.3. MÉTODOS DE ANÁLISE
Teoria das Estruturas I 40
DESLOCAMENTOS
8.3.1. Método da Integração-Dupla
a. Equações Básicas
Hipóteses:
• Euler-Bernoulli
• Lei de Hooke
Teoria das Estruturas I 41
• Pequenos deslocamentos e rotações 
DESLOCAMENTOS
(1)Md dx
EI
θ =
sendo M o momento atuante na seção, E o módulo de elasticidade do material e I 
o momento de inércia da seção.
Tem-se:
Mas, dxdθ =
ρ
Teoria das Estruturas I 42
Mas, dθ =
ρ
(2)
Então:
( )
2 2
3 / 22
1 M 1 d v dx
EI 1 dv dx
= ∴ =
ρ ρ  + 
onde v é a deflexão da viga.
DESLOCAMENTOS
( )
2 2
3 / 22
M d v dx
EI 1 dv dx
=
 + 
(3)
2
2
d v M
EIdx
=
2
2
d vEI M
dx
=
Teoria das Estruturas I 43
Condições de contorno e continuidade Atenção !!!
DESLOCAMENTOS
b. Procedimento de Análise
1. Curva Elástica
� Desenhe a configuração deformada da viga (forma exagerada).
� Estabeleça as coordenadas x e v.
� O(s) sistema(s) x(x´s) deve(m) ser paralelo(s) à viga indeformada.
� No caso de cargas descontínuas, estabeleça coordenadas x´s válidas em cada 
região da viga entre as descontinuidades.
Teoria das Estruturas I 44
região da viga entre as descontinuidades.
� O eixo positivo da deflexão v normalmente é direcionado para cima.
2. Avaliação da Função Momento
� Em cada região que existe uma coordenada x, defina a expressão do momento 
M como uma função de x.
� Sempre assuma que M atua na direção positiva quando aplicar a equação de 
equilíbrio do momento.
DESLOCAMENTOS
3. Deflexão e Rotação
� Aplique a equação , que requer duas integrações.)x(Mdx/vdEI 22 =
Teoria das Estruturas I 45
� Para cada integração inclua uma constante de integração.
� Essas constantes são avaliadas através das condições de bordo e continuidade.
DESLOCAMENTOS
c. Aplicações
Problema 1: Para a viga mostrada abaixo, submetida a um momento M0 na sua 
extremidade, obtenha a curva elástica. 
Teoria das Estruturas I 46
Solução:
i. Curva elástica (desenho aproximado)
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre) 
0M M=
Aplique a equação
iii. Deflexão e rotação
)x(Mdx/vdEI 22 =
Teoria das Estruturas I 47
Aplique a equação )x(Mdx/vdEI 22 =
22
0
0 0 1 1 22
M xd v dvEI M EI M x C EIv C x C
dx 2dx
= ∴ = + ∴ = + +
Condições de contorno:
1
2
x 0 : dv / dx 0 C 0
x 0 : v 0 C 0
= = → =
= = → =
DESLOCAMENTOS
Ou seja:
0M x
EI
θ =
2
0M xv
2EI
=
Teoria das Estruturas I 48
Problema 2: Para a viga mostrada a seguir, pede-se avaliar o deslocamento vertical 
do ponto C. 
A
B C
DESLOCAMENTOS
Solução:
i. Curva elástica (desenho aproximado) e definição do sistema de coordenadas
A
B
C
P
vC
x1
x2
2a a
Teoria das Estruturas I 49
ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre) 
Trecho x1: 1 1
PM x
2
= −
Trecho x2:
2 2 2 2
P 3PM x (x 2a) Px 3Pa
2 2
= − + − = −
x2
M2
2a
x2
P/2
3P/2
DESLOCAMENTOS
Aplique a equação
iii. Deflexão e Rotação
)x(Mdx/vdEI 22 =
Trecho x1:
2
2 31 1
1 1 1 1 1 1 22
11
d v dvP P PEI x EI x C EIv x C x C
2 dx 4 12dx
= − ∴ = − + ∴ = − + +
Teoria das Estruturas I 50
Trecho x2:
2
22 2
2 2 2 32
22
d v dv PEI Px 3Pa EI x 3Pax C
dx 2dx
= − ∴ = − +
3 2
2 2 2 3 2 4
P 3EIv x Pax C x C
6 2
= − + +
DESLOCAMENTOS
Condições de contorno:
1 1Em x 0, v 0= = 20 0 0 C= + +∴
1 1Em x 2a, v 0= =
3
1 2
P0 (2a) C (2a) C
12
= − + +∴
2 2Em x 2a, v 0= = 3 2 3 4
P 30 (2a) Pa(2a) C (2a) C
6 2
= − + +∴
dv (2a) dv (2a) 2 2P P
− + = − +
Teoria das Estruturas I 51
1 2
1 2
dv (2a) dv (2a)
dx dx
=
2 2
1 3
P P(2a) C (2a) 3Pa(2a) C
4 2
− + = − +∴
Solução do sistema:
2 2 3
1 2 3 4
1 10C Pa ; C 0; C Pa e C 2Pa
3 3
= = = = −
DESLOCAMENTOS
Para o trecho x2 (v2):
Finalmente, fazendo x2 = 3a:
2 3
3 2
2 2 2 2
P 3 Pa 10 Pa Pa
v x x x 2
6EI 2 EI 3 EI EI
= − + −
3
C
Pa
v
EI
= −
Teoria das Estruturas I 52
8.3.2. Método da Viga-Conjugada
a. Considerações Iniciais
• Idealizado por Otto Mohr em 1860 
• Base do método: princípios da estática
DESLOCAMENTOS
1. Esforço Cortante <=> Rotação
• Base do método: similaridade entre as equações
dV
w
dx
= −
d M
dx EI
θ
=
Teoria das Estruturas I 53
2. Momento Fletor <=> Deslocamento
2
2
d M
w
dx
= −
2
2
d y M
EIdx
=
DESLOCAMENTOS
• Integrando... 
1. Esforço Cortante <=> Rotação
<=>
V wdx= −∫
M dx
EI
 θ = −  
 ∫
Teoria das Estruturas I 54
2. Momento Fletor <=> Deslocamento
M wdx dx = −
  ∫ ∫
My dxdx
EI
 
=   ∫ ∫
DESLOCAMENTOS
Viga Real Viga-Conjugada
b. Viga Conjugada
Teoria das Estruturas I
Teorema 1: A inclinação de um ponto na viga real é igual ao esforço cortante
no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente.
Teorema 2: O deslocamento de um ponto na viga real é igual ao momento fletor 
no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente.
55
DESLOCAMENTOS
pin pin
roller roller
fixed free
Viga Real Viga Conjugada
θ
∆ = 0
V
M = 0
θ
∆ = 0
V
M = 0
θ = 0
∆ = 0
V = 0
M = 0
c. Condições de apoio (viga conjugada)
Teoria das Estruturas I
fixedfree
hinge
hinge
hinge roller
internal pin
internal roller
∆ = 0 M = 0
θ
∆
V
M 
θ
∆ = 0
V
M = 0
θ
∆ = 0
V
M = 0
θ
∆
V
M 
56
DESLOCAMENTOS
Viga Real Viga Conjugada
Teoria das Estruturas I 57
DESLOCAMENTOS
1. Viga-Conjugada
� Desenhe a viga-conjugada para a viga real.
� A viga-conjugada deve ter o mesmo comprimento da viga real.
� Se um apoio na viga real permite uma inclinação, o apoio correspondente 
na viga-conjugada deverá desenvolver um esforço cortante. 
d. Procedimento de análise
Teoria das Estruturas I
� Se um apoio na viga real permite um deslocamento, o apoio correspondente 
na viga-conjugada deverá desenvolver um momento fletor.
� A viga-conjugada é carregada com o diagrama M/EI da viga real.
� Esse carregamento é assumido ser distribuído sobre a viga conjugada e é
direcionado para cima quando M/EI é positivo e é direcionado para baixo
quando M/EI é negativo.
58
DESLOCAMENTOS
2. Equilíbrio 
� Avalie as reações nos apoios da viga-conjugada.
� Usando as equações de equilíbrio, avalie o esforço cortante (V’) ou o
momento fletor (M’) na viga conjugada onde a inclinação (θθθθ) ou o
deslocamento (∆∆∆∆) deve ser determinado na viga real.
� Se esses valores são positivos, a inclinação acontece no sentido contrário
ao do ponteiro do relógio e o deslocamento é para cima .
Teoria das Estruturas I 59
DESLOCAMENTOS
e. Aplicações
Problema 1. Determine a inclinação e o deslocamento no ponto B da viga metálica 
mostrada na figura abaixo. As reações já foram calculadas. 
Assuma: E = 29 (103) ksi e I = 800 in4. 
A
B75 kft
5 k
5 k
Teoria das Estruturas I 60
Solução:
i. Viga-Conjugada
15 ft15 ft15 ft 15 ft
B’ 
75/(EI)
A
DESLOCAMENTOS
ii. Equilíbrio da viga-conjugada
Diagrama de corpo-livre:
25 ft5 ft
VB’
MB’
Teoria das Estruturas I 61
2
y B'
562.5 k ftF 0 V 0
EI
⋅
+ ↓ = ∴ + =∑
2 2
B B' 3 2 2 2 4 4 4 4
562.5 k ft 562.5 k ftV
EI 29(10 ) k/in (144 in /ft ) 800 in (1 ft 12 in )
⋅ ⋅θ = = − =
⋅ ⋅ ⋅
B B'V 0.00349 radθ = = −
562.5/(EI)
DESLOCAMENTOS
3 3
B B' 3 2 2 2 4 4 4 4
14062.5 k ft 14062.5 k ftM
EI 29(10 ) k/in (144 in /ft ) 800 in (1 ft 12 in )
⋅ ⋅∆ = = − =
⋅ ⋅ ⋅
B B'M 0.0876 ft 1.05 in∆ = = − = −
( )
2
B ' B '
562.5 k ft
 M 0 M 025 ftEI
⋅
+ = ∴ + =∑
Teoria das Estruturas I 62
∆B = -14062.5/(EI)
θB = -562.5/(EI)B
A
DESLOCAMENTOS
Problema 2: Determine a deflexão máxima da viga metálica mostrada na figura 
abaixo. As reações já foram calculadas. 
Assuma: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4. 
A
9 m
8 kN
3 m
B
Teoria das Estruturas I 63
Solução:
i. Viga-Conjugada
9 m
2 kN 6 kN
3 m
A’ B’
18/(EI)
9 m 3 m
DESLOCAMENTOS
ii. Equilíbrio da viga-conjugada
Diagrama de corpo-livre:
Análise: A deflexão máxima da viga real ocorre no ponto onde a inclinação é
nula. Portanto, nesse mesmo ponto, o esforço cortante é nulo na viga conjugada.
Assim:
81/EI 27/EI 18 2xx
=
EI EI9
 
 
 
Teoria das Estruturas I 64
45/EI 63/EI 45/EI
V = 0
M’
y
45 1 2xF 0 x 0 x 6.71 m (0 x 9 m) OK
EI 2 EI
 + ↓ = ∴− + = ∴ = ≤ < 
 
∑
DESLOCAMENTOS
Usando esse valor de x:
3 3
máx 6 4 4 3 4 46 2
201.2 kNm 201.2 kNmM'
EI 60(10 ) mm (1 m (10 ) mm200(10 ) kN/m
0.0168 m 16.8 mm
−∆ = = − = =
     
= − = −
( )45 1 12(6.71) M 0 (6.71) 6.71 M ' 06.71EI 2 3EI
  + = ∴ − + − =    
∑
Teoria das Estruturas I 65
DESLOCAMENTOS
8.3.3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)
a. Considerações Iniciais
• Métodos anteriores: eficientes para vigas submetidas a carregamentos simples.
• Métodos energéticos: eficientes para vigas, treliças e pórticos sujeitos a 
carregamentos quaisquer.
• Base dos métodos energéticos: Princípio da Conservação de Energia
Teoria das Estruturas I 66
• Base dos métodos energéticos: Princípio da Conservação de Energia
e iU U=
onde:
Ue : trabalho realizado pelas forças que atuam na estrutura.
Ui : trabalho interno (energia de deformação) armazenado quando a estrutura 
se deforma.
DESLOCAMENTOS
b. Fundamentos
Trabalho Externo: Força P
∆= P
2
1Ue
Teoria das Estruturas I 67
Trabalho Externo: Força P (aplicada primeiro) + Força P’ 
'''
e F2
1PP
2
1U ∆+∆+∆=
DESLOCAMENTOS
Trabalho Externo: Momento M
Trabalho Externo: Momento M (aplicado primeiro) + Momento M’ 
θ= M
2
1Ue
Teoria das Estruturas I 68
Trabalho Externo: Momento M (aplicado primeiro) + Momento M’ 
'''
e M2
1MM
2
1U θ+θ+θ=
DESLOCAMENTOS
Trabalho Interno (Energia de Deformação): Força Axial S
� Material elástico linear
� Lei de Hooke: σ = Eε
� Deformação: ε = ∆/L
Hipóteses:
Teoria das Estruturas I 69
� Tensão: σ = S/A
Deslocamento ∆:
AE
SL
=∆
Trabalho Interno:
AE2
LSS
2
1U
2
i =∆=
DESLOCAMENTOS
Trabalho Interno (Energia de Deformação): Flexão (Momento Fletor M)
Rotação dθ (elemento diferencial):
dx
EI
Md =θ
Trabalho Interno:
Teoria das Estruturas I 70
Trabalho Interno:
i
1dU Md
2
= θ
dx
EI2
MU
L
0
2
i ∫=
DESLOCAMENTOS
c. Princípio da Conservação da Energia
Nesse caso:
∆= P
2
1Ue
Teoria das Estruturas I 71
∆= P
2
Ue
EI
LP
6
1dx
EI2
)Px(dx
EI2
MU
32L
0
2L
0
2
i =
−
== ∫∫
ie UU =Como, :
2 3 31 1 P L 1 PLP
2 6 E I 3 E I
∆ = ∴ ∆ =
DESLOCAMENTOS
d. Princípio do Trabalho Virtual (PTV)
• Baseado no princípio da conservação de energia: Ue = Ui .
• Foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717.
• Conhecido também como o Método da Carga Unitária.
• Considere uma estrutura deformável submetida a uma série de cargas P que irão
causar o aparecimento de forças internas u ao longo de toda a estrutura. Essas
forças estão relacionadas por Equações de Equilíbrio.
Teoria das Estruturas I 72
• Considere também que deslocamentos externos ∆∆∆∆ irão acontecer nos locais de
aplicação das cargas P e deslocamentos internos δδδδ irão ocorrer nos locais da
forças internas u. Esses deslocamentos não precisam ser elásticos, podem não
ser relacionados com as cargas, e ∆∆∆∆ e δδδδ estão relacionados por Equações de
Compatibilidade.
• Princípio do Trabalho Virtual (PTV):
)TVCI()TVCE(
uP δ=∆ ∑∑
DESLOCAMENTOS
Considere: Cargas reais P1, P2 e P3 aplicadas na estrutura (deseja-se avaliar ∆∆∆∆)
Considere agora a carga virtual P’ = 1 aplicada na direção de ∆∆∆∆
P1
P2
P3∆
Teoria das Estruturas I 73
Considere agora a carga virtual P’ = 1 aplicada na direção de ∆∆∆∆
Princípio do Trabalho Virtual (PTV):
 1 u dL
(TVCE) (TVCI)
× ∆ =∑
P’ = 1
A
DESLOCAMENTOS
Se a rotação θ em um determinado ponto da estrutura é para ser determinada,
um momento fletor virtual de magnitude unitária (M’ = 1) é aplicado nesse
ponto. Como conseqüência da aplicação de M’ = 1 na estrutura, forças internas
uθθθθ aparecerão no sistema. Assim, o PTV pode ser escrito como:
Forças virtuais
Teoria das Estruturas I
dLu1 θ∑=θ×
Deslocamentos reais
74
DESLOCAMENTOS
8.4. TRELIÇA (Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual)
a. Efeito: Carregamento externo
Expressão Geral: dLn1 ∑=∆×
nNL1
AE
× ∆ =∑
onde:
Teoria das Estruturas I 75
onde:
1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆
n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais
N = forças normais reais atuantes nas barras causadas pelas forças externas reais
L = comprimento de uma barra
A = área da seção transversal de uma barra
E = módulo de elasticidade
DESLOCAMENTOS
b. Efeito: Temperatura
Expressão Geral: dLn1 ∑=∆×
LTn1 ∆α=∆× ∑
onde:
1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆
Teoria das Estruturas I 76
1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆
n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pela mudança de temperatura
α = coeficiente de dilatação térmica (depende do material)
L = comprimento de uma barra
∆T = variação de temperatura da barra
DESLOCAMENTOS
c. Efeito: Erros de fabricação e montagem
Expressão Geral: dLn1 ∑=∆×
Ln1 ∆=∆× ∑
onde:
Teoria das Estruturas I 77
1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆
n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelo erro de fabricação e montagem
∆L = diferença de comprimento da barra (comprimento projetado – comprimento
observado após a montagem ou fabricação da peça)
DESLOCAMENTOS
d. Procedimento de análise
1. Forças Normais Virtuais n
• Coloque a força unitária na junta e na direção do deslocamento que se deseja 
determinar.
• Resolva a treliça para essa carga unitária atuante (método das juntas ou seções).
• Assuma as forças normais de tração como positivas. 
Teoria das Estruturas I 78
• Assuma as forças normais de tração como positivas. 
2. Forças Normais Reais N
• Resolva a treliça para as forças externas reais atuantes (método das juntas ou 
seções).
• Assuma as forças normais de tração como positivas.
DESLOCAMENTOS
3. Equação do Trabalho Virtual
• Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento desejado.
• Mantenha o sinal de u e N obtidos nos passos anteriores.
• No caso de atuar simultaneamente forças externas,temperatura e erros de 
fabricação: 
LnLTn
AE
NL
n1 ∆+∆α+=∆× ∑∑∑
Teoria das Estruturas I 79
LnLTn
AE
n1 ∆+∆α+=∆× ∑∑∑
DESLOCAMENTOS
e. Aplicações
Problema 1: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica 
mostrada na figura abaixo. Considere: E = 29 (103) ksi e A = 0.5 in2. 
B C D
EF
10 ft
Teoria das Estruturas I 80
Solução:
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado) 
A
10 ft
4 k
2 kN
B
4 k
C D
10 ft 10 ft
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes)
+ 0.333 k + 0.667 k + 0.667 k
0.667 k1 k0.333 k
- 0.333 k
+
 
0
.
3
3
3
 
k
+ 1 k
C
Teoria das Estruturas I 81
- 4 k
+ 4 k + 4 k + 4 k
4 k4 k4 k4 k
+
 
4
 
k
+
 
4
 
k
0
DESLOCAMENTOS
iii. Aplicação da equação do PTV: ∑=∆× AE
NL
n1
Membro n (k) N (k) L (ft) nNL (k2.ft)
AB
BC
CD
DE
FE
EB
0.333
0.667
0.667
-0.943
-0.333
-0.471
4
4
4
-5.66
-4
0
10
10
10
14.14
10
14.14
13.33
26.67
26.67
75.47
13.33
0
Teoria das Estruturas I 82
BF
AF
CE
0.333
-0.471
1.000
4
-5.66
4
10
14.14
10
13.33
37.70
40
Σ 246.50
Assim:
v
2 2
C 2 3 2
nNL 246.50 k ft (246.50 k ft)(12 in/ft)1k
AE AE (0.5 in )(29(10 ) k/in )
⋅ ⋅
⋅ ∆ = = =∑ vC 0.204 in∴∆ =
DESLOCAMENTOS
Problema 2: Considere para a treliça mostrada abaixo, cada barra com E = 200 GPa
e A = 400 mm2. Pede-se:
a. O deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN
for aplicada nesse mesmo ponto.
b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical em
C se a barra AB for 5 mm menor do que o tamanho definido em
projeto?
Teoria das Estruturas I 83
A
5 m
B
4 kN
C
4 m 4 m
3 m 5 m
DESLOCAMENTOS
Solução:
a.
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado). 
Teoria das Estruturas I 84
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes).
DESLOCAMENTOS
iii. Aplicação da equação do PTV: ∑=∆× AE
NL
n1
Membro n (k) N (k) L (ft) nNL (k2.ft)
AB
AC
CB
0.667
-0.833
-0.833
2
2.5
-2.5
8
5
5
10.67
-10.41
10.41
Σ 10.67
Teoria das Estruturas I 85
Assim:
v
2 2
C
-6 2 6 2
nNL 10.67 kN m (10.67 kN m)1kN
AE AE
 400(10 ) m (200(10 ) kN/m )
⋅ ⋅
⋅ ∆ = = =∑
vC 0.133 mm∆ =
DESLOCAMENTOS
b.
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado) 
Teoria das Estruturas I 86
ii. Note que apenas a barra AB é deformada (tem o tamanho diferente daquele de 
projeto) 
m005.0LAB −=∆
DESLOCAMENTOS
iii. Aplicação da Equação do PTV (no caso: erro de fabricação ou montagem)
1 n L× ∆ = ∆∑
No caso:
vC1 (0.667kN)( 0.005m)× ∆ = −
∆ = − = −
Teoria das Estruturas I 87
vC 0.00333 m 3.33 mm∆ = − = −
DESLOCAMENTOS
Problema 3: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica
mostrada na figura abaixo. Devido ao calor radiante da parede, a
barra AD é submetida a um aumento da temperatura de ∆T = +120º F.
Considere: E = 29 (103) ksi e α = 0.6 (10-5)/oF. A seção A de todas as
barras é indicada na figura.
6 ft
Teoria das Estruturas I 88
A B
60 kC
8 ft
D
80 k
6 ftparede
2 in2
2 in2
2 in2
2 in2
1.5 in2
DESLOCAMENTOS
i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na 
direção do deslocamento vertical procurado) 
Teoria das Estruturas I 89
ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes)
DESLOCAMENTOS
iii. Aplicação da equação do PTV (efeitos: forças externas + temperatura, barra AD)
vC
NL1 n n T L
AE
× ∆ = + α ∆ =∑ ∑
3 3 3
5
(0.75)(120)(6)(12) (1)(80)(8)(12) ( 1.25)( 100)(10)(12)
2 2 1.529(10 ) 29(10 ) 29(10 )
(1) (120)(8)(12)0.6(10 )−
− −
= + + +
          
+   
temperatura, barra AD
Teoria das Estruturas I 90
in658.0
vC =∆
temperatura, barra AD
DESLOCAMENTOS
8.5. VIGAS E PÓRTICOS (Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual)
Expressão Geral: dx
EI
mM1
L
0
∫=∆×
Objetivo: avaliar o deslocamento ∆
a. Energia de Deformação Virtual: Momento Fletor
Teoria das Estruturas I 91
Cargas reais 
Cargas virtuais
DESLOCAMENTOS
Expressão Geral: dx
EI
mM1
L
0
∫=∆×
onde:
1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de ∆
m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pela força 
unitária externa virtual
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais
Teoria das Estruturas I 92
∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais
M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças 
externas reais
E = módulo de elasticidade
I = momento de inércia da seção transversal da barra
L = comprimento da barra
DESLOCAMENTOS
Expressão Geral:
Objetivo: avaliar o deslocamento θ
dx
EI
Mm1
L
0
∫ θ=θ×
onde:
1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de θ
m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pelo 
Teoria das Estruturas I 93
momento unitária externo virtual
θ = rotação a ser avaliada causada pelas forças externas reais
M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças 
externas reais
E = módulo de elasticidade
I = momento de inércia da seção transversal da barra
L = comprimento da barra
DESLOCAMENTOS
Casos
Solução 1: Escolher coordenadas x`s para aquelas regiões que não apresentam
Cuidado !!!
Cargas reais Cargas virtuais
• Forças ou momentos concentrados atuantes
• Carga distribuídas descontínuas atuantes
Teoria das Estruturas I 94
Solução 1: Escolher coordenadas x`s para aquelas regiões que não apresentam
descontinuidade no carregamento e avaliar a integral para
cada região.
∫ dx)EI/mM(
Solução 2: Forma TABULAR (Método TABULAR)
Os diagramas de momentos são avaliados (cargas reais e virtuais). Os
diagramas para m e M são comparados com aqueles da tabela e assim a
integral pode ser determinada através de fórmula apropriada.∫ dx)mM(
DESLOCAMENTOS
L
0
mm' dx∫
mm'L 1mm'L
2 ( )' '1 2
1
m Lm m2 +
2
mm'L
3
1
mm'L
2
1
mm'L
3 ( )' '1 2
1
m Lm 2m6 +
5
mm'L
12
Avaliação de
L
0
mm' dx∫
Teoria das Estruturas I 95
( )1 21m' Lm m2 + ( )1 21m' Lm 2m6 +
( )'1 1 21 6 m 2m m ++
( )'2 1 2m Lm 2m + +  ( )1 2
1
m' L3m 5m
12
+
1
mm'L
2
1
mm'L
2
( )1mm' L a
6
+
1
mm'L
6 ( )' '1 2
1
m L2m m6 +
1
mm'L
4
( )'1 11 6m m L b ++
( )2m L a + + 
2
2
1 3a a
mm' 3 L
12 L L
 
+ − 
 
DESLOCAMENTOS
Procedimento de Análise
1. Momentos Virtuais m ou mθ
� Aplique a força unitária na viga ou pórtico na direção do deslocamento que se
deseja determinar.
� Caso se deseje determinar a rotação de um ponto, deve-se aplicar um momento
unitário nesse ponto.
Teoria das Estruturas I 96
unitário nesse ponto.
� Estabeleça de forma apropriada as coordenadas x`s (objetivo: evitar
descontinuidade do carregamento).
� Resolva a viga ou pórtico para essa força ou momento unitário atuante (obtenha os
momentos internos m ou mθ).
DESLOCAMENTOS
2. Momentos Reais M
� Usando as mesmas coordenadas x`s usadas para avaliar m ou mθ, calcule os 
momentos internos M causados pelas forças reais atuantes.
� Assuma a mesma convenção de sinal da etapa anterior.
3. Equação do Trabalho Virtual
Teoriadas Estruturas I 97
� Aplique a equação do trabalho virtual para determinar. 
� O deslocamento ou a rotação desejada.
� Mantenha o sinal de m (ou mθθθθ) e M obtidos nos passos anteriores. 
∑∫=∆× dxEI
mM1 ∑∫ θ=θ× dxEI
Mm1ou
DESLOCAMENTOS
Aplicações
Problema 1: Determine o deslocamento do ponto B da viga metálica mostrada abaixo. 
Considere: E = 200 GPa e I = 500 (106) mm4. 
A B
12 kN/m
10 m
Teoria das Estruturas I 98
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
xm −=
10 m
1 kN
A B
x
1 kN
xv
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação do momento real M
2x6M −=
iii. Aplicação da equação do PTV
A B
12 kN/m
10 m
x
x/2
12x
xV
Teoria das Estruturas I 99
dx
EI
mM1
L
0
B ∫=∆×
( )( )10 2
B
0
1x 6x1 dx 
EI
−
−×∆ = ∴∫
( )3 2 3
B
15 10 kN m1 kN 
EI
×∆ =
( )
( ) ( ) ( )
3 3
B 6 2 6 4 12 4 4
15 10 kNm 0.150 m 150 mm
200 10 kN/m 500(10 ) mm 10 m /mm−∆ = = =
DESLOCAMENTOS
Problema 2: Determine a inclinação θ no ponto B da viga metálica mostrada abaixo. 
Considere: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4. 
Solução:
A
B
3 kN
5 m 5 m
C
Teoria das Estruturas I 100
Solução:
i. Avaliação do momento virtual mθθθθ
1
m 0θ =
2
m 1θ =
A
B C
1 kNm
x1 x2
5 m x2
x1
1 kNm v2
v1
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação do momento real M
1 1M 3x= −
( )2 2M 3 5 x= − +
A
B
3 kN
C
x1 x2
x1
x2
3 kN
V2
V1
3 kN
5 m
Teoria das Estruturas I 101
iii. Aplicação da equação do PTV
( )( ) ( ) ( )5 10L 21
B 1 2
0 0 5
3 5 x3x 1m M 01 dx dx dx
EI EI EI
θ  − +−  × θ = = +∫ ∫ ∫
2
B
112.5 kNm
EI
−θ =
x25 m
DESLOCAMENTOS
Observação: Método Tabular
1. Construção dos diagramas:
M (kNm)m (kNm)
x (m) x (m)
5 10
1
5 10
-15
Teoria das Estruturas I 102
2. Da apropriada linha e coluna da tabela:
( ) ( )( )( )
10
2 3
1 2
5
1 1
m Mdx m L 112.5 kN mM M 15 30 512 2θ
= = = −+
− −∫
-15
-30
DESLOCAMENTOS
Assim:
( ) 2 2B 6 2 12 4 46 4
112.5 kN m
 0.00938 rad1 kNm
200(10 ) kN/m (10 m /mm )60(10 ) mm −
−
× θ = = −
  
Problema 3: Determine o deslocamento vertical no ponto D da viga metálica a seguir. 
Que é o mesmo valor obtido anteriormente.
Teoria das Estruturas I 103
Problema 3: Determine o deslocamento vertical no ponto D da viga metálica a seguir. 
Considere: E = 29(103) ksi e I = 800 in4. 
A
B
80 kft
C D
6 k
10 ft 10 ft 10 ft
DESLOCAMENTOS
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
1 k
0.75 k 1.75 k
x1x2x3
1 k
Teoria das Estruturas I 104
1 1m 1x= −
2 2m 0.75x 15= −
3 3m 0.75x= −
1 k
v1 x1
x2
1.75 k
x2 +15
v2
v3
0.75 k
x3
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação do momento real M
1M 0=
6 k
1 k 7 k
x1x2x3
80 kft
x1
V1
Teoria das Estruturas I 105
2 2M 7x=
3 3M 80 1x= −
x1
x2
x3
1
V2
V3
80 kft
7 k
1 k
DESLOCAMENTOS
iii. Aplicação da equação do PTV
( )( ) ( )( ) ( )( )15 10 10L 3 31 2 2
D 1 2 3
0 0 0 0
0.75x 80 1x1x 0 0.75x 15 7xmM1 dx dx dx dx
EI EI EI EI
−− −
× ∆ = = + +∫ ∫ ∫ ∫
3
D
0 3500 2750 6250 k ft
EI EI EI EI
⋅∆ = − − = −
( )33 3 36250 k ft 12 in / ft⋅
Teoria das Estruturas I 106
( )
( ) ( )
3 3 3
D 3 2 4
6250 k ft 12 in / ft 0.466 in
29 10 k/in 800 in
⋅∆ = − = −
DESLOCAMENTOS
Problema 4. Determine a rotação θ no ponto C do pórtico metálico a seguir. 
Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4. 
Teoria das Estruturas I 107
DESLOCAMENTOS
Solução:
i. Avaliação do momento virtual mθθθθ
Barra BC Barra AB
Teoria das Estruturas I 108
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação do momento real M
1 1M 2.5x= −
2M 7.5=
Teoria das Estruturas I 109
1 1M 2.5x= −
iii. Aplicação da equação do PTV
( ) ( ) ( ) ( )3L 2 21
C 1 2
0 0 0
2.5xm M 11.25 15 26.25 KN m1 7.511 dx dx dx
EI EI EI EI EI EI
θ − ⋅−× θ = = + = + =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
2
C 6 2 6 4 12 4 4
26.25 KN m 0.00875 rad
200 10 KN/m 16 10 mm 10 m /mm−
⋅θ = =
  
DESLOCAMENTOS
Problema 5: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico 
mostrado abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4. 
B
4 k/ft
C8 ft
x2
Teoria das Estruturas I 110
A
4 k/ft
10 ft
x1
DESLOCAMENTOS
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
2 2m 1.25x=
1 k
8 ft
x2
1 k
n2
v2
1.25 k
Teoria das Estruturas I 111
1 1m 1x=
8 ft
10 ft
x1
1.25 k
1.25 k1.25 k
1 k1 k
n1
v1
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação do momento real M
2 2M 25x=
8 ft
x2
N2
V2
40 k
25 k
25 k
Teoria das Estruturas I 112
2
1 1 1M 40x 2x= −
5 ft
25 k25 k
N1
V1
40 k
4x1 40 k
40 k
DESLOCAMENTOS
iii. Aplicação da equação do PTV
( )( ) ( )( )
h
10 8L 2
1 1 1 2 2
C 1 2
0 0 0
1x 40x 2x 1.25x 25xmM1 dx dx dx
EI EI EI
−
× ∆ = = +∫ ∫ ∫
h
3
C
8333.3 5333.3 13666.6 k ft
EI EI EI
⋅∆ = + =
Observação: Método Tabular
Teoria das Estruturas I 113
1. Construção dos diagramas
Força Virtual Força Real
10 kft
10 kft
10 ft
8 ft
10 ft
8 ft
200 kft
200 kft
DESLOCAMENTOS
2. Das apropriadas linhas e colunas da tabela
( )( )( ) ( )( )( ) 2 35 1mMdx 10 200 10 10 200 8 8333.3 5333.3 13666.6 k ft
12 3
= + = + = ⋅∫
Que é o mesmo valor obtido anteriormente. Assim:
( ) ( )( ) ( )( )h
3
C 2 43 2 2 2 4 4 4
13666.7 k ft 0.113 ft 1.36 in
29 10 k / in 12 in / ft 600 in ft / 12 in
⋅∆ = = =
   
   
Teoria das Estruturas I 114
( ) ( )( ) ( )( )hC 2 43 2 2 2 4 4 429 10 k / in 12 in / ft 600 in ft / 12 in      
DESLOCAMENTOS
b. Energia de Deformação Virtual: Força Axial (Esforço Normal) 
∑= AE
nNLUa
onde:
n = forças normais virtuais internas atuantes nas barras causadas pela força 
Teoria das Estruturas I 115
externa virtual unitária 
N = forças normais internas atuantes nas barras causadas pelas forças reais
L = comprimento da barra
A = área da seção transversal da barra
E = módulo de elasticidade do material
DESLOCAMENTOS
c. Energia de Deformação Virtual: Esforço Cortante
dx
GA
VKU
L
0
s ∑∫ 



 ν
=
onde:
n = forças cisalhantes virtuais internas atuantes nas barras, expressas como 
funções de x, causadas pela força externa virtual unitária 
V = forças cisalhantes internas atuantes nas barras, pressas como funções de 
Teoria das Estruturas I 116
V = forças cisalhantes internas atuantes nas barras, pressas como funções de 
x, causadas pelas forças reais
K = fator dependente da forma da seção transversal
(K = 1.2 : seção transversal retangular)
(K = 10/9 : seção transversal circular)
(K = 1.0 : seção transversal I, perfil I)
A = área da seção transversal da barra
G = módulo de elasticidade transversal do material
DESLOCAMENTOS
d. Energia de Deformação Virtual: Torção
∑= GJ
TLtUt
onde:
t = momentos de torção virtuais internos atuantes nas barras causados pela 
força externa virtual unitária 
Teoria das Estruturas I 117
T = momentos de torção internos atuantes nas barras, causados pelas forças 
reais
L = comprimento da barra
J = momento de inércia polar da seção transversal
(J = pic4/2, onde c é o raio da seção transversal)
G = módulo de elasticidade transversal do material
DESLOCAMENTOS
d. Energia de Deformação Virtual: Temperatura
Efeito: Variação uniforme de temperatura ∆T
LTnUTemp ∆α=∑
Efeito: Diferença de temperatura ao longo da seção transversal do perfil
TL ∆α
Teoria das Estruturas I 118
dx
c
T
mU
L
0
m
Temp ∑∫
∆α
=
c
dxTd m∆α=θ
dx
T1
T2
T1 > T2
T1
T2
c
c
dx
δx
δx
c
c
M∆Tm
∆Tm
1 2
m
T TT
2
+
=
Rotação 
positiva
dθ
DESLOCAMENTOS
onde:
m = momento virtual interno nas barra causado pela força virtual externa 
unitária
α = coeficiente de dilatação térmica
∆Tm = diferença entre a temperatura média e a temperatura do topo ou base 
da seção da viga
c = metade da altura da seção
Teoria das Estruturas I 119
c = metade da altura da seção
L = comprimento da barra
DESLOCAMENTOS
Aplicações
Problema 1: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico
mostrado abaixo. Considere: E = 29(103) ksi, G = 12(103) ksi, I = 600 in4,
e A = 80 in2 para ambos os membros.
B C8 ft
x
Teoria das Estruturas I 120
A
4 k/ft
10 ft
x1
x2
DESLOCAMENTOS
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
2 2m 1.25x=
1 k
8 ft
x2
1 k
n2
v2
1.25 k
Teoria das Estruturas I 121
1 1m 1x=
8 ft
10 ft
x1
1.25 k
1.25 k1.25 k
1 k1 k
n1
v1
DESLOCAMENTOS
ii. Avaliação do momento real M
2 2M 25x=
8 ft
x2
N2
V2
40 k
25 k
25 k
Teoria das Estruturas I 122
2
1 1 1M 40x 2x= −
5 ft
25 k25 k
N1
V1
40 k
4x1 40 k
40 k
DESLOCAMENTOS
iii. Aplicação da equação do PTV
� Deformação de Flexão:
� Deformação Axial:
( )
( ) ( )
2 3 3 3 3
b 3 2 4
mM 13666.6 k ft 12 in / ftU dx 1.357 in k
EI 29 10 k / in 600 in
⋅
= = = ⋅
  ∫
( )( )( ) ( )( )( )nNL 1.25k 25k 120 in 1 k 0 96 inU 0.001616 in k= = + = ⋅∑
Teoria das Estruturas I 123
� Deformação Cisalhante:
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )a 2 3 2 2 3 2
nNL 1.25k 25k 120 in 1 k 0 96 inU 0.001616 in k
AE 80 in 29 10 k / in 80 in 29 10 k / in
= = + = ⋅
      
∑
( )
( ) ( )
2
3 2 2
540 k ft 12 in / ft 0.00675 in k
12 10 k / in 80 in
⋅
= = ⋅
  
( ) ( ) ( )( )10 8L 1
s 1 2
0 0 0
1.2 1 40 4xV 1.2 1.25 25U K dx dx dx
GA GA GA
−υ − − 
= = + = 
 ∫ ∫ ∫
DESLOCAMENTOS
hC1 k 1.357 in k 0.001616 in k 0.00675 in k× ∆ = ⋅ + ⋅ + ⋅
hC 1.37 in∆ =
Problema 2: A viga mostrada abaixo é usada num sistema estrutural sujeito a duas
temperaturas diferentes. Se a temperatura do topo da seção é 80º F e
a da base é 160º F, determine o deslocamento vertical no meio da viga
devido a esse gradiente de temperatura. Considere: α = 6.5(10-6)/oF.
Teoria das Estruturas I 124
devido a esse gradiente de temperatura. Considere: α = 6.5(10-6)/ F.
80º F
160º F
10 ft
10 in
DESLOCAMENTOS
Solução:
i. Avaliação do momento virtual m
1
m x
2
=
1/2 lb 1/2 lb
1 lb
5 ft 5 ft
x x x
1/2 lb
v
Teoria das Estruturas I 125
ii. Aplicação da equação do PTV
� Temperatura média no centro da viga:
F120
2
80160T o
oo
m =
+
=
DESLOCAMENTOS
Assim:
F4080120T 0oom =−=∆
( ) ( ) ( )
v
60 inL 6 o o
m
C
0 0
1 2 6.5 10 F 40 Fm T1 lb dx 2 dx
c 5 in
−α∆
× ∆ = =∫ ∫
vC 0.0936 in∆ =
Teoria das Estruturas I 126