Questões e respostas- Álgebra Linear I

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Universidade Estadual da Paraíba - UEPB
Centro de Ciências e Tecnologia - CCT
Componente Curricular: Álgebra Linear I
Professora: Emanuela Régia de S. Coelho (emanuela.regia@gmail.com)
I LISTA DE EXERCÍCIOS
- Base e Dimensão de um Espaço Vetorial
1 - Em cada item abaixo, decida se o conjunto β é uma base para o espaço vetorial V indicado. Justi-
fique sua resposta.
i: β = {(1, 1), (1,−1)}, V = R2. Sim
ii: β = {1 + x, 1− x, 1− x2}, V = P2(R).Sim
iii: β = {(1, 2, 1), (3, 6, 3), (2, 1, 0)}, V = R3.Não
iv: β = {(1,−1, 0), (1, 3,−1), (5, 3,−2)}, V = R3.Não
v: β = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}, V = R4.Sim
vi: β = {1 + x+ x2, x− 1}, V = P2(R).Não
vii: β = {(6, 2, 3, 4), (0, 5,−3, 1), (0, 0, 7,−2)}, V = R4.Não
viii: β =
{[
3 6
3 −6
]
,
[
0 −1
−1 0
]
,
[
0 −8
−12 −4
]
,
[
1 0
−1 2
]}
, V =M2(R).Sim
2- Determine a dimensão dos espaços vetoriais abaixo, exibindo uma base para cada um deles.
i: V = {A ∈M2(R);At = A}; dim V = 3
ii: V = {p(x) ∈ P2(R); p′(x) = 0};dim V = 1
iii: V = {p(x) ∈ P2(R); p(0) = p(1) = 0}dim V = 1
iv: V =
{[
x y
z t
]
∈M2(R);x− y − z = 0
}
;dim V = 3
v: V = {(x, y, z) ∈ R3;x = 0}.dim V = 2
3- Seja V um espaço vetorial com dimV = n. Mostre que:
a: Qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V ;
b: Qualquer subconjunto de V com n vetores que gera V é uma base de V .
4- Complete os conjuntos β, abaixo, de modo que o conjunto resultante seja uma base para o espaço
vetorial V , correspondente.
i: β = {(1, 2, 0), (0, 1, 2)}, V = R3.
ii: β =
{[
1 3
1 0
]
,
[
0 2
1 1
]}
, V =M2(R).
iii: β = {1, 1 + x}, V = P2(R).
iv: β = {(1, 2)}, V = R2.
v: β = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)}, V = R4.
5- Reduza os conjuntos β abaixo, de modo que o conjunto resultante seja uma base para o espaço
vetorial V , dado.
i: β = {(1, 0), (3, 4), (10, 8}, V = R2.
ii: β = {1, 1 + x, x2 + 1, x+ x2}, V = P2(R).
iii: β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 1, 3), (0, 2, 2)}, V = R3.
6- Sejam V um espaço vetorial real de dimensão finita e W um subespaço de V . Mostre que dimW ≤
dimV . Quando ocorre dimW = dimV ? Se V = R3 qual a dimensão dos subespaços próprios de V ?
7- Sejam V e W espaços vetoriais sobre R, com dimV = n e dimW = m. Consideremos o espaço
vetorial real
V ×W = {(v, w); v ∈ V e w ∈W}
1
munido das operações
+ : (V ×W )× (V ×W ) −→ (V ×W )
((v1, w1), (v2, w2)) 7→ (v1 + v2, w1 + w2)
e
· : R× (V ×W ) −→ (V ×W )
(λ, (v, w)) 7→ (λv, λw) .
Encontre uma base para V ×W . Qual a dimensão de V ×W ? Se V = R2 e W = M2(R) indique uma
base para V ×W.
8- Considere o espaço vetorial R3. É possível obtermos subespaços vetoriais W1,W2 de R3 satisfa-
zendo:
a: dimW1 = 2 = dimW2 e W1 ∩W2 = {(0, 0, 0)}?Não
b: dimW1 = 1, dimW2 = 2 e W1 +W2 = R3?Sim
9- Em cada item, dados subespaçoes vetoriais V e W de um mesmo espaço vetorial U , encontre uma
base e indique a dimensão de V , W , V ∩W e V +W .
i: U = P3(R), V = {p(x) ∈ P3(R), p(0) = p(1) = 0} e W = {p(x) ∈ P3(R); p(−1) = 0}.dim V = 2,
dim W = 3, dim V ∩W = 1, dim V + W = 4
ii: U = R3, V = {(x, y, z) ∈ R3;x = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R3; y − 2x = 0}.dim V = 2, dim W = 2,
dim V ∩W = 1, dim V + W = 3
- Mudança de Base
10- Em cada item, são dados uma base ordenada β de um espaço vetorial V e um vetor v ∈ V .
Determine [v]β .
i: V = R2, β = {(2,−4), (3, 8)}, v = (1, 1);[v]β =
[ − 528
3
14
]
ii: V = R3, β = {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}, v = (2,−1, 3);[v]β =
 3−2
1

iii: V = P2(R), β = {1 + x, 1 + x2, x+ x2}, v = 2− x+ x2;[v]β =
 02
−1

iv: V =M2(R), β =
{[ −1 1
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
, v =
[
2 0
−1 3
]
; [v]β =

−1
1
−1
3

v: V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)}, v = (1, 1);[v]β =
[
1
1
]
vi: V = R3, β = {(1, 0,−1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}, v = (x, y, z);
[v]β =
 (y − z)y
(x− 2y + z)

vii: V = P2(R), β = {1, 1 + x, (1 + x)2}, v = a0 + a1x+ a2x2, ai ∈ R, i = 0, 1, 2;
[v]β =
 (a0 − a1)(a1 − a2)
a2

viii: V =M2(R), β =
{[ −1 1
0 0
]
,
[
1 2
0 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
, v =
[
a b
c d
]
, a, b, c, d ∈ R.
[v]β =

b−c−2a
3
b−c+a
3
c
d

2
11- Dadas as bases α e β do espaço vetorial V . Calcule [I]βα.
i: V = R2, α = {e1, e2}, β = {(1, 1), (−1, 0)};[I]βα =
[
1 −1
1 0
]
ii: V = R3, α = {(1, 1, 0), (0, 1, 1, ), (0, 1, 0)}, β = {(1, 2, 0), (3, 3, 2), (0, 5, 1)}; [I]βα =
 1 3 00 2 1
1 −2 4

iii: V = P2(R), α = {1, x, x2}, β = {1 + x, 1 + x2, x+ x2};[I]βα =
 1 1 01 0 1
0 1 1

iv: V = M2(R), α = base canônica, β =
{[ −1 1
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
.[I]βα =
−1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1

12 - Sejam V = R2 e α = {(1, 2), (3,−6)} e β duas bases ordenadas de V , tais que a matriz de mudança
de base de α para β, [I]βα, é
[I]βα =
[
1 1
1 −1
]
.
Determine β.
- Transformações Lineares
13- Verifique se as aplicações abaixo são transformações lineares. Em caso afirmativo, calcule seu
núcleo e imagem.
i: T : R2 → R3, T ((x, y)) = (x+ y, 2x− y, 3x− y); Sim
ii: T : R2 → R2, T ((x, y)) = (x+ 1, 2y − x); Não
iii: T : R3 → R3, T ((x, y, z)) = (x+ y − z, 2z − y, 3x− z); Sim
iv: T : P2(R)→ R, T (p(x)) = p(0); Sim
v: T : P2(R)→ R, T (p(x)) = p(0) + 1; Não
vi: T : R3 → R3, T ((x, y, z)) = (x, y, 0); Sim
vii: T : R2 → R2, T ((x, y, z)) = (x2, 3y); Não
viii: T : Pn(R)→ Pn(R), T (p(x)) = p′(x); Sim
ix: T : Pn(R)→ R, T (p(x)) =
∫ 1
0
p(x)dx; Sim
x: T :M2(R)→M2(R), TX = AX −XA, onde
A =
[
1 2
0 1
]
.
Sim
14 - Sejam V e W espaços vetoriais reais e T : V →W uma transformação linear. Mostre que:
a: Se U é subespaço de V , então o conjunto
T (U) = {T (u);u ∈ U}
é subespaço de W .
b: Se Z é subespaço de W , então o conjunto
T−1(Z) = {u ∈ V ;T (u) ∈ Z}
é subespaço de V .
15- Sejam T : R2 → R2 um operador linear, tal que T ((x, y)) = (x+y, x) eA = {(x, y) ∈ R2;max{|x|, |y|} =
1}, B = {(x, y) ∈ R2; |x|+ |y| = 1} e C = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 1}. Determine T (A), T (B) e T (C).
16 - Sejam V um espaço vetorial e T : V → V um operador linear. Mostre que:
3
a: Im(T ) ∩Ker(T ) = {0};
b: Se T (Tv) = 0, então T (v) = 0.
17 - Sejam V e W espaços vetoriais reais de dimensão finita, T : V → W uma transformação linear
e β = {v1, v2, · · · , vn} uma base para V . Mostre que o conjunto α = {T (v1), T (v2), · · · , T (vn)} é um
conjunto gerador de Im(T ). Conclua que dimIm(T ) ≤ n = dimV .
18 - Sejam V e W espaços vetoriais sobre R, com dimV = dimW e T : V → W uma transformação
linear. Mostre que são equivalentes,
(1) T é sobrejetora;
(2) T é injetora;
(3) T é bijetora;
(4) T leva bases de V em bases de W .
19- Sejam V eW espaços vetoriais sobreR, T : V →W uma transformação linear e β = {v1, v2, · · · , vn}
e β′ = {T (v1), T (v2), · · · , T (vn)} subconjuntos de V e W , respectivamente. Supondo que β′ é LI, mostre
que β também é.
Bons estudos!
4