Circunferência: definição, equação e exercícios

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 II.. CCIIRRCCUUNNFFEERRÊÊNNCCIIAA 
 
1.1 . DE F I N I Ç Ã O 
 
 Denomina-se circunferência o conjunto de todos os pontos de um plano 
eqüidistantes de um ponto fixo C, denominado centro da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 . E Q U A Ç Ã O D A C I R C UN F E R Ê N C I A 
 
 Considere o plano cartesiano e a circunferência de centro C (a, b) e raio r, 
conforme indica a figura. 
 No caso particular de o centro da circunferência estar na origem, isto é, a = b = 
0, a equação será: 
     222 0 ry0-x 222 ryx 
 
 
EX E M P LO S : 
 
(1) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (4, 7) e raio r = 
2. 
(2) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 3) e que 
passa pelo ponto P(-1, 2). 
(3) Achar a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os 
pontos A (0, -8) e B (6, 0). (Ponto médio) 
(4) Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0, 1) e B (1, 4) e 
tem centro sobre a reta de equação x = 2. 
 
(1) E Q U A Ç Ã O GE R A L D A C I R C U N F E R Ê N C I A 
 
 A equação reduzida da circunferência é dada por 
    222 rbyax 
. 
Desenvolvendo os quadrados, obtemos: 
A 
B 
D 
C 
Em que 
rCDCBCA 
 (raio da circunferência) 
. 
r 
P (x, y) 
C 
x 
x a 
y 
y 
b 
0 
O ponto P (x, y) pertence à circunferência se: 
      rbyaxrCPd  22,
 
 
    222 rbyax 
 
 
 
 
 
Equação reduzida da 
circunferência 
 2 
022
22
22222
22222


rbabyaxyx
rbbyyaaxx 
 Fazendo 
a2
, 
b2
 e 
222 rba 
, vem: 
022  yxyx
 
 
 
 
 Toda circunferência pode ser representada por uma equação da forma 
022  yxyx
, mas nem toda equação dessa forma representa uma 
circunferência. 
 
Exemplos : 
(1) Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação 
0198422  yxyx
. 
Resposta: 
  1r e 4,2C 
 
(2) Verificar se a equação 
098444 22  yxyx
 representa uma 
circunferência. 
Resposta: (não) 
 
(2) Determinar a forma geral da equação da circunferência com centro no ponto Q (-
1, 2) e raio r = 3. 
Resposta: 
 044222  yxyx
 
 
1.4 . E XE R C Í C I O S 
 
1) Verifique se as equações dadas representam uma circunferência: 
 
a) 
08422  yxyx
 
b) 
03 22  yxyx
 
c) 
0288844 22  yxyx
 
d) 
03041022  yxyx
 
e) 
03712222  yxyx
 
 
2) Em cada caso, obter as coordenadas do centro e a medida do raio da 
circunferência: 
 
a) 
36
23
3
222 
y
xyx
 
b) 
03181616 22  xyx
 
c) 
0741022  yxyx
 
d) 
014444 22  yxyx
 
 
3) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 5) e raio r = 3. 
Equação geral da circunferência 
 3 
4) Uma circunferência de raio r = 4 tem o centro no ponto Q (0, -2). Determine a 
equação dessa circunferência. 
5) Dada a circunferência de equação 
    912 22  yx
, determine as 
coordenadas do centro C (a, b) e o raio r. 
6) Verifique entre os pontos A (0, 3), B (7, 2) e C (-1, 3), quais pertencem à 
circunferência de equação 
    2513 22  yx
. 
7) Determine a equação da circunferência com centro no ponto Q (-1, 2) e que 
passa pelo ponto M (2, 0). 
8) Observando a circunferência da figura ao lado, determine a 
sua equação. 
 
 
9) Verifique se o gráfico da equação 
03181222 22  yxyx
 é uma circunferência. 
10) Por que a equação 
0110252 22  yxyx
 não tem como gráfico uma 
circunferência? 
11) Verifique se a equação 
0222  yxyx
 representa uma circunferência. 
 
RE S P O S T A S 
 
1) a) sim 
b) não 
c) sim 
d) sim 
e) sim 
 
2) a) 
  1
3
1,
2
1  reC
 
b) 
  20,
4
1 reC
 
c) 
  92,5  reC
 
d) 
 
2
1
2
1,
2
1  reC
 
 
3) 
02010422  yxyx
 
 
4) 
012422  yyx
 
 
6) 
x 
y 
C 
P 
3 1 
3 
1 
 4 
 
7) A e B pertencem e C não pertence. 
 
8) 
    1321 22  yx
 
 
9) 
    813 22  yx
 
 
10) Não. 
 
11) 
 
12) Não.